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专题 09 立体几何初步
目录一览
2023真题展现
考向一 立体几何的体积
考向二 外接球与内切球
考向三 空间角
真题考查解读
近年真题对比
考向一 旋转体
考向二 立体几何的体积
考向三 外接球与内切球
考向四 球体的表面积
考向五 空间角
考点六 直线与平面的位置关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 立体几何的体积
1．（2023•新高考Ⅱ•第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长
为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
2．（2023•新高考Ⅰ•第14题）在正四棱台ABCD﹣ABC D 中，AB＝2，AB ＝1，AA =√2，则该棱台的
1 1 1 1 1 1 1
体积为 ．
考向二 外接球与内切球
3．（2023•新高考Ⅰ•第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器
（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向三 空间角
4．（2023•新高考Ⅱ•第9题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝
120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（ ）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为4√3
C．AC＝2√2
π
D．△PAC的面积为√3
π
【命题意图】
考查空间几何体的表面积与体积、外接球问题、空间角等．
【考查要点】
命题会涉及到体积，表面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，考查空间想象力、运算求解
能力、数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力．
【得分要点】
1．表面积与体积公式
（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V ＝S×h．
棱柱
1
（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V = Sh．
棱锥 3
（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
1
V = ×(S+S'+√S×S')×h．
棱台 3
（ 4 ） 圆 柱 的 体 积 和 表 面 积 公 式 ： 设 圆 柱 底 面 的 半 径 为 r ， 高 为 h(母线长l)， 则
{ V =πr2h
圆柱 ．
S =2×πr2+2πrl=2πr(r+l)
圆柱
（5）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为 r，高为 h(母线长l)，母线长为 l：
{ V = 1 πr2h
圆锥 3 ．
S =πr2+πrl=πr(r+l)
圆锥
（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为 r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
{ V = 1 πh(r2+R2+Rr)
圆台 3 ．
S =πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)
圆台
4
（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V = πR3 ，S ＝4 R2．
球体 3 球体
2．外接球题型归类： π
（1）三线垂直图形
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】计算公式：三棱锥三线垂直 还原成长方体
（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：
①三棱锥对棱相等． ， ， ， 是三个对棱棱长．
②等边三角形与等腰直角三角形连接．
③投影为矩形．
（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外
接圆半径是r，满足正弦定理）．
计算公式 ；其中
（4）面面垂直型
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型
（5）垂线相交型
等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．
许多情况下，会和二面角结合．
3．直线和平面所成的角：
一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的
环节：
（1）作：作出斜线与射影所成的角．
（2）证：论证所作（或找到的）角就是要求的角．
（3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求
出角．
（4）答：回答求解问题．
4．线面角的求解方法：
传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解
直角三角形求得．
→ → → →
向量求法：设直线l的方向向量为
a
，平面的法向量为
u
，直线与平面所成的角为 ，
a
与
u
的夹角为
→ → θ
|a⋅u|
，则有sin ＝|cos |= ．
→ →
|a||u|
φ θ φ
5．二面角的平面角求法：
（1）定义法．
（2）三垂线定理及其逆定理．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两
个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
（4）平移或延长（展）线（面）法．
（5）射影公式．
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→ →
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
u v
α β θ → →
①当0≤＜ → u ， → v＞≤ π 2 ， =＜ → u ， → v＞ ，cos ＝cos ＜ → u ， → v＞= → u⋅v → ．
|u||v|
θ θ
→ →
②当 π
2
＜＜ → u， →
v＞＜
时，cos ＝﹣cos＜ →
u
， → v＞=-
→
u⋅v
→
．
|u||v|
π θ
考向一 旋转体
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A．2 B．2 C．4 D．4
考向二 立体几何的体积
5．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已
知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积
为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m上升到
157.5m时，增加的水量约为（ ≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
6．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+12 B．28 C． D．
7.（多选）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形 ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝
2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V ，V ，V ，则（ ）
1 2 3
A．V ＝2V B．V ＝V C．V ＝V +V D．2V ＝3V
3 2 3 1 3 1 2 3 1
8.（多选）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AA ＝1，点P满足 ＝ + ，其
1 1 1 1
中 [0，1]， [0，1]，则（ ）
λ μ
A．当 ＝1时，△AB P的周长为定值
λ∈ μ∈ 1
B．当
λ
＝1时，三棱锥P﹣A
1
BC的体积为定值
μ
C．当 ＝ 时，有且仅有一个点P，使得A P⊥BP
1
λ
D．当 ＝ 时，有且仅有一个点P，使得A B⊥平面AB P
1 1
考向三 外接球与内切球
μ
9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 36 ，且
3≤l≤3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．[18， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18，27]
10．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为（ ）
A．100 B．128 C．144 D．192
考向四 球体的表面积
π π π π
11．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地
球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表
面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面
所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，该卫星信
号覆盖地球表面的表面积 S＝2 r2（1﹣cos ）（单位：km2），则 S 占地球表面积的百分比约为
α
（ ）
π α
A．26% B．34% C．42% D．50%
考向五 空间角
12.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体ABCD﹣A B C D ，则（ ）
1 1 1 1
A．直线BC 与DA 所成的角为90°
1 1
B．直线BC 与CA 所成的角为90°
1 1
C．直线BC 与平面BB D D所成的角为45°
1 1 1
D．直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1
考点六 直线与平面的位置关系
13.（多选）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方
体的顶点，则满足MN⊥OP的是（ ）
A． B．
C． D．
本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，
空间角等问题。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，
扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视立体几何表面积与体积、内接球与外切球、空间角
的解题思路。
一．棱柱的结构特征（共2小题）
1．（2023•盐亭县校级模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为3，以A为球心， 为半径的球被
1 1 1 1
该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为 ．
2.（多选）（2023•晋江市校级模拟）直三棱柱ABC﹣A B C ，中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA ＝1，点D是线
1 1 1 1
段BC 上的动点（不含端点），则以下正确的是（ ）
1
A．AC∥平面A BD
1
B．CD与AC 不垂直
1
C．∠ADC的取值范围为
D．AD+DC的最小值为
二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）
3．（2023•河南模拟）已知圆台O O的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面 经过圆台O O的两条
1 1
母线，设 截此圆台所得的截面面积为S，则（ ）
α
A．当h≥R﹣r时，S的最大值为（R+2r）h
α
B．当h≥R﹣r时，S的最大值为
C．当h＜R﹣r时，S的最大值为（R+2r）h
D．当h＜R﹣r时，S的最大值为
三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）
4．（2023•南通三模）已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径
为 ，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•安阳二模）2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，
该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、
赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型
ABCDEF﹣A B C D E F ，设M为B E 的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截
1 1 1 1 1 1 1 1
面面积为 平方分米．
6．（2023•皇姑区校级模拟）用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】则所需纸的最小面积是 ．
四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共13小题）
7．（2023•郑州模拟）陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗
址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的
底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•宁夏三模）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，线段B D 上有两个动点E，F（E在F
1 1 1 1 1 1
的左边），且EF＝ ．下列说法不正确的是（ ）
A．异面直线AB 与BC 所成角为60°
1 1
B．当E运动时，平面EFA⊥平面ACC A
1 1
C．当E，F运动时，存在点E，F使得AE∥BF
D．当E，F运动时，三棱锥体积B﹣AEF不变
9．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱
锥的内部，若球O的体积为36 ，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． π C． D．
10．（2023•吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长 ，其外接球的表面积为20 ，D是
1 1 1
B 1 C 1 的中点，点P是线段A 1 D上的动点，过BC且与AP垂直的截面 与AP交于点E，则三棱 π 锥A﹣
BCE的体积的最大值为（ ）
α
A． B． C． D．
11．（2023•雅安三模）已知圆锥的高为3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球
面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
12.（多选）（2023•临泉县校级三模）在正三棱台ABC﹣A B C 中，A B ＝1，AA ＝2，AB＝3， ＝2
1 1 1 1 1 1
， ＝2 ，过MN与AA 平行的平面记为 ，则下列命题正确的是（ ）
1
α
A．四面体ABB C 的体积为
1 1
B．四面体ABB C 外接球的表面积为12
1 1
C． 截棱台所得截面面积为2
π
α
D． 将棱台分成两部分的体积比为
13.（多选）（2023•辽宁模拟）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，线段B D 上有两个动点E、
α 1 1 1 1 1 1
F，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
14.（多选）（2023•福州模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E，F分别为棱BC，CC 的中点，
1 1 1 1 1
P为线段EF上的动点，则（ ）
A．线段DP长度的最小值为2
B．三棱锥D﹣A AP的体积为定值
1
C．平面AEF截正方体所得截面为梯形
D．直线DP与AA 所成角的大小可能为
1
15.（多选）（2023•山西二模）正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为a，E在棱A B 上运动（不含端点），则
1 1 1 1 1 1
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．侧面AA D D中不存在直线与DE垂直
1 1
B．平面A DE与平面ABCD所成二面角为
1
C．E运动到A B 的中点时，A C上存在点P，使BC∥平面AEP
1 1 1
D．P为A C中点时，三棱锥E﹣PBC 体积不变
1 1
16.（多选）（2023•船营区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AA ＝2，AB＝BC＝1，∠ABC
1 1 1 1
＝90°，侧面AA C C的对角线交点O，点E是侧棱BB 上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
1 1 1
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是6
C．三棱锥E﹣AA O的体积与点E的位置有关
1 π
D．AE+EC 的最小值为
1
17．（2023•甘肃模拟）如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO上一点O′作平行于底面的截面，
以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 ．
18．（2023•2月份模拟）三棱锥A﹣BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】19.（多选）（2023•浠水县模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形， ，AB＝AP＝PD＝
1，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（ ）
A．存在点M使得BD⊥AM
B．四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为3
π
C．直线PC与直线AD所成角为
D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥P﹣ADMN的体
积是
五．球的体积和表面积（共27小题）
20．（2023•玉树市校级模拟）在正四棱台ABCD﹣A B C D 中，A B ＝2AB＝4，AA ＝2，则该棱台外接
1 1 1 1 1 1 1
球的表面积为（ ）
21．（2023•晋中模拟）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、
下底面分别是边长为 和 的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
π π π π
22．（2023•广东模拟）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为 ，则该圆锥的
表面积的最小值为（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
23．（2023•巴林左旗校级模拟）两个边长为4的正三角形△ABC与△ABD，沿公共边AB折叠成60°的二
π π π π
面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023•湖北模拟）现有一个底面边长为 ，侧棱长为 的正三棱锥框架，其各顶点都在球O
1
的球面上．将一个圆气球O 放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切
2
时停止充气，此时两球表面积之和为（ ）
A．23 B． C． D．
25．（2023•防城港模拟）已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC体积取最
π
大时，其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
26 ． （ 2023• 青 羊 区 校 级 模 拟 ） 已 知 三 棱 锥 P﹣ ABC 的 四 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ，
，PA＝BC＝2，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023•青羊区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠ACB＝ ，AC＝BC＝2，BB ＝
1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7，点P在棱BB 上，且P靠近B点，当PA⊥PC 时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
1 1
A．3 B．4 C．10 D．17
28．（2023•白山二模）已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径
π π π π
为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023•四川模拟）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将△BCD绕对角线BD所在直线旋转至
BPD，使得 ，则三棱锥P﹣ABD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
30.（多选）（2023•云南模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，E，F分别为AB，BC的中点，
1 1 1 1
则（ ）
A．异面直线DD 与B F所成角的正切值为
1 1
B．点P为正方形A B C D 内一点，当DP∥平面B EF时，DP的最小值为
1 1 1 1 1
C．过点D ，E，F的平面截正方体ABCD﹣A B C D 所得的截面周长为
1 1 1 1 1
D．当三棱锥B ﹣BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为3
1
31.（多选）（2023•深圳模拟）如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O
π
为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是（ ）
A．AO⊥平面BCD
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．球O的体积为
C．球O被平面BCD截得的截面面积为
D．球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为
32．（2023•高州市一模）圆锥内有一个球，该球与圆锥的侧面和底面均相切，已知圆锥的底面半径为r ，
1
球的半径为r ，记圆锥的体积为V ，球的体积为V ，当 ＝ 时， 取最小值 ．
2 1 2
33．（2023•江宁区校级二模）在三棱锥V﹣ABC中，AB，AC，AV两两垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P为
棱AB上一点，AH⊥VP于点H，则△VHC．面积的最大值为 ；此时，三棱锥A﹣VCP的外接
球表面积为 ．
34．（2023•浦东新区校级三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底边长为 ，四个顶点在同一球面上，则
此球的表面积为 ．
35．（2023•攀枝花三模）如图，圆台O O 中， ，其外接球的球心O在线段O O 上，上下底面
1 2 1 2
的半径分别为r ＝1， ，则圆台外接球的表面积为 ．
1
36．（2023•湖南模拟）在直三棱柱ABC﹣A B C 中，已知AB＝AC＝4，AA ＝2，∠BAC＝90°，则该三棱
1 1 1 1
柱外接球的表面积为 ．
37．（2023•桃城区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，∠ABC＝60°，将
△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且 ，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是 2 0
．
π
38．（2023•青羊区校级模拟）已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝
4，若球O的体积为8 ，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为 ．
π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】39．（2023•晋中模拟）在△ABC中，AB⊥BC， ，D是AC边的中点，且AC＝2．将△ABD沿BD折
起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面体A﹣BCD．则该四面体外接球的表面积为 ．
40．（2023•河南模拟）已知等腰直角△ABC的斜边BC＝2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B
﹣AD﹣C为 ，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ．
41．（2023•简阳市校级模拟）在△ABC中，AB＝AC＝2， ，D为BC的中点，将△ACD绕AD旋
转至APD，使得 ，则三棱锥P﹣ABD的外接球表面积为（ ）
A． B． C．5 D．8
42 ． （ 2023• 河 南 模 拟 ） 已 知 四 棱 锥 P﹣ ABCD 的 底 面 ABCD 是 矩 形 ， 高 为
π π
，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积为（ ）
A． B．36 C． D．
43.（多选）（2023•大同二模）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长均为2，PO⊥平面ABC，O为垂足，D是
π
PO的中点，AD的延长线交平面PBC于点A ，CD的延长线交平面PAB于点C ，则下列结论正确的是
1 1
（ ）
A．A C ∥AC
1 1
B．若Q是棱PB上的动点，则|AQ|+|CQ|的最小值为
C．三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为6
π
D．
44.（多选）（2023•包河区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 棱长为4，M为棱CC 上的动点，
1 1 1 1 1
AM⊥平面 ，则下列说法正确的是（ ）
α
A．若N为DD 中点，当AM+MN最小时，
1
B．当点M与点C 重合时，若平面 截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
1
α
C．直线AB与平面 所成角的余弦值的取值范围为
α
D．当点M与点C重合时，四面体AMD B 内切球表面积为
1 1
45．（2023•保定一模）“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”是最
早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似现在的踢足球活
动．已知某“鞠”的表面上有四个点 A，B，C，D，且满足AB＝BC＝CD＝DA＝DB＝2cm，AC＝
3cm，则该“鞠”的表面积为 cm2．
46.（多选）（2023•大连模拟）已知正四棱台ABCD﹣A B C D 的所有顶点都在球O的球面上，AB＝2A B
1 1 1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】＝2， ，E为△BDC 内部（含边界）的动点，则（ ）
1
A．AA ∥平面BDC
1 1
B．球O的表面积为8
C．EA+EA
1
的最小值为π
D．若AE与平面BDC 所成角的正弦值为 ，则E点轨迹长度为
1
六．异面直线及其所成的角（共4小题）
47．（2023•贵州模拟）如图，圆柱的底面直径AB与母线AD相等，E是弧AB的中点，则AE与BD所成
的角为（ ）
A． B． C． D．
48．（2023•榆林二模）如图，在正三棱柱ABC﹣A B C 中，2BB ＝3AB，D是棱BC的中点，E在棱CC
1 1 1 1 1
上，且CC ＝3CE，则异面直线A D与B E所成角的余弦值是（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
49．（2023•辽宁模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（
1 1 1 1
）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，则异面直线BP与C D所成角的余弦值为
1
B．若 ，三棱锥P﹣A BC的体积不是定值
1
C．若 ，有且仅有一个点P，使得A C⊥平面AB P
1 1
D．若 ，则异面直线BP和C D所成角取值范围是
1
50．（2023•大连二模）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的
正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这
是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由
一个正方体截去八个一样的四面体所得．若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余
弦值的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
七．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
51．（2023•罗湖区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D ，点P在直线AD 上，Q为线段BD的中点．
1 1 1 1 1
则下列说法不正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．存在点P，使得PQ⊥A C
1 1
B．存在点P，使得PQ∥A B
1
C．直线PQ始终与直线CC 异面
1
D．直线PQ始终与直线BC 异面
1
52.（多选）（2023•滨州二模）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确
的为（ ）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
八．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
53．（2023•北流市模拟）如图，在正方体ABCD﹣A B C D 中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底
1 1 1 1
面的中心，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面EFC ⊥平面AA C C B．MP∥AC
1 1 1 1
C．MP⊥C D D．EF∥平面AD B
1 1 1
九．直线与平面所成的角（共2小题）
54．（2023•河南模拟）如图，在正方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别为AC，A B的中点，则下列说法
1 1 1 1 1
中不正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．MN∥平面ADD A
1 1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与DD 所成的角为45°
1
55.（多选）（2023•思明区校级二模）已知正四棱锥 P﹣ABCD的所有棱长均为 ，E，F分别是PC，
AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线EF、PD所成角的大小为
B．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为
C．△EMF周长的最小值为
D．存在点M使得PB⊥平面MEF
一十．二面角的平面角及求法（共5小题）
56．（2023•雁塔区校级三模）已知大小为60°的二面角 ﹣l﹣ 棱上有两点 A，B，AC ，AC⊥l，
BD ，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3， ，则CD的α长为（β ） ⊂α
⊂β
A．22 B．49 C．7 D．
57.（多选）（2023•南通三模）已知正三棱柱ABC﹣A B C 的各棱长都为1，E为AB的中点，则（ ）
1 1 1
A．BC ∥平面A EC
1 1
B．二面角A ﹣EC﹣A的正弦值为
1
C．点A到平面A BC 的距离为
1 1
D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】58.（多选）（2023•佛山模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A B C D 中，点P在侧面BB C C（包
1 1 1 1 1 1
含边界）内运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BD ⊥平面A C D
1 1 1
B．二面角B ﹣CD﹣B的大小为
1
C．过三点P，A ，D的正方体的截面面积的最大值为
1
D．三棱锥B ﹣A C D的外接球半径为 a
1 1 1
59.（多选）（2023•武汉模拟）三棱锥P﹣ABC中， ，BC＝1，AB⊥BC，直线PA与平面ABC所
成的角为30°，直线PB与平面ABC所成的角为60°，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥P﹣ABC体积的最小值为
B．三棱锥P﹣ABC体积的最大值为
C．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角P﹣BC﹣A的平面角为锐角
D．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角P﹣AB﹣C的平面角为钝角
60.（多选）（2023•谷城县校级模拟）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线
PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点，记平面BEF与平面ABC的交线为l，直线l与圆O的另
一个交点为D，且点Q满足 ．记直线PQ与平面ABC所成的角为 ，异面直线PQ与EF所成
的角为 ，二面角E﹣l﹣C的大小为 ，则下列说法不一定正确的是（ ）
θ
α β
A．sin ＝sin sin B．sin ＝sin sin
C．sin ＝sin sin D．cos ＝cos cos
θ α β α θ β
β α θ θ α β
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则 2R ＝ a ；
②若球为正方体的内切球，则 2R ＝ a ；
③若球与正方体的各棱相切，则 2R ＝ a .
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 2R ＝ .
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R ＝a，外
内
接球半径R ＝a.
外
2.．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
3.线、面平行的性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(8)垂直于同一平面的两条直线平行．
4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
5.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角
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