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专题 04 立体几何
立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是
1 体积问题及表面积问题
2 线面距离及线面角问题
3 二面角问题
4 空间几何综合问题
题型一：体积及表面积问题
1．在如图所示的多面体ABCDE中， 平面ABC， ， ， ，
．
(1)证明：平面 平面BDE；
(2)求多面体ABCDE的体积．
1．如图①，在平面四边形 中， ， ， ．将 沿着 折
叠，使得点 到达点 的位置，且二面角 为直二面角，如图②．已知 分别是的中点， 是棱 上的点，且 与平面 所成角的正切值为 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积．
题型二：线面距离及线面角问题
1 如图，在多面体 中，已知 ， ， 均为等边三角形，平面 平面ABC，平面
平面ABC，H为AB的中点．
(1)判断DE与平面ABC的位置关系，并加以证明；
(2)求直线DH与平面ACE所成角的正弦值．
1 如图， 垂直于梯形 所在平面， ， 为 的中点， ，
，四边形 为矩形.(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小；
(3)求点 到平面 的距离.
题型三： 二面角问题
1 如图，四棱锥P-ABCD中，已知 ，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．
(1)证明：PB⊥AB；
(2)设E是PC的中点，直线AE与平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．
1 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为梯形， ， ， ， 为正三角
形， ， .(1)求证：平面 平面SBC；
(2)求二面角 的余弦值.
题型四： 空间几何综合问题
1．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直， ， ，
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角 的余弦值为 .若存在，求出的
值；若不存在，请说明理由.
1 如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O､M分别为线段AD､DE的中点，四边形BCDO
是边长为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.(1)求证：CM 平面ABE；
(2)求直线CM与BD所成角的余弦值；
(3)点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长.
1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形， 为
的中点， ，平面 平面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面ABC，D为线
段AB的中点， ， ， ，三棱锥 的体积为8．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2
的菱形， ， 为等边三角形， 为线段 的中点，且平面 平面 ， 是线
段 上的点.(1)求证： ；
(2)若直线 与平面 的夹角的正弦值为 ，求四棱锥 的体积.
5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）如图，直四棱柱 中， ，E是
的中点，底面ABCD是平行四边形，若 平面 .
(1)若 ，证明：底面 是正方形
(2)若 ，求二面角 的余弦值
6．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）直四棱柱 被平面 所截，所得的一部
分如图所示， ．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，平面 与平面 所成角的正切值为 ，求点 到
平面 的距离．
1．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ，
为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
2．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
3．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为
的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
6．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
8．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
9．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
