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专题 02 复数
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2023真题展现
考向一 复数的运算
考向二 复数的代数表示法及其几何意义
真题考查解读
近年真题对比
考向一．复数的代数表示法及其几何意义
考向二．复数的运算
考向三．共轭复数
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 复数的运算
1−i
1．（2023•新高考Ⅰ•第2题）已知z= ，则z−z=（ ）
2+2i
A．﹣i B．i C．0 D．1
【答案】A
1−i 1 1−i 1 (1−i) 2 1
解：z= = ⋅ = ⋅ =− i，
2+2i 2 1+i 2 (1+i)(1−i) 2
1
则z= i，
2
故z−z=−i．
故选：A．
考向二 复数的代数表示法及其几何意义
2．（2023•新高考Ⅱ•第1题）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
学科网（北京）股份有限公司 1则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），
位于第一象限．
故选：A．
【命题意图】考查复数的相关概念与四则运算，考查运算求解能力．
【考查要点】复数是高考考查热点之一，以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念
与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数
的几何意义；④复数的模．
【得分要点】
1．复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
2．复数的几何意义
(1)z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系
⇔ ⇔
在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
考向一．复数的代数表示法及其几何意义
1．（2021•新高考Ⅱ）复数 在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A．
解：∵ ＝ ＝ ，
∴在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ， ），位于第一象限．
考向二．复数的运算
2．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（ ）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
【答案】D．
解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．
考向三．共轭复数
学科网（北京）股份有限公司 23．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+ ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D．
解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝ ，
∴z＝1+i，则 ，
∴ ．
4．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（ +i）＝（ ）
A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i
【答案】C．
解：∵z＝2﹣i，
∴z（ +i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．
分析近三年的高考试题，可以发现复数考察四个考点：复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其
几何意义、复数的模。预计2024年还是主要体现在这四个考点上出题。
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县模拟预测）已知复数 ，若 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
解： .
2．（2023·安徽合肥·二模）设i是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
解：由题意得 ，所以在复平面内表示复数 的点为 在第二象限．
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）在复平面内，复数 （i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司 3解： ，在复平面内对应的点在第一象限.
4．（2023·江苏徐州模拟预测）已知复数 ，其中i是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：设 ， ，则 ，
故 ， ， ，
5．（2023·全国·校联考三模）已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 的最大值为 ．
6．（2023·河南开封·统考三模）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为复数 对应的点的坐标为 ，
所以 ，
所以 .
7．（2023·宁夏银川·统考一模）已知复数 在复平面内对应的点是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：复数 在复平面内对应的点为 ，则 ，
所以 .
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
解：因为 ，所以 ，
所以复数 在复平面内所对应的点为 ，位于第一象限；
学科网（北京）股份有限公司 49．（2023·湖南常德市模拟预测）已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由 对应点为 ，则 对应点为 ，故 ，
所以 .
10．（2023·河北沧州·统考三模）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知
，则下列数是z的同部复数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由于 ，其实部和虚部均为 ，
而 与 的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以 是 的同部复数.
11．（2023·海南海口模拟预测）设 ，其中 ， 为实数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
解： ，
∴ ，
， .
12．（2023·吉林长春模拟预测）复数 的平方根是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
解：设 的平方根为 ，则 ，即 ，
从而 解得 或
所以复数 的平方根是 或 ，
13．（2023·陕西安康中学模拟预测）设复数 的实部与虚部互为相反数，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 5A． B． C．2 D．3
【答案】D
解： ，
由已知得 ，解得 ，
14．（2023海南华侨中学一模）设i为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
解：∵ ，∴ .
15．（2023·广西模拟预测）已知复数 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：设 ，
依题意得， ， .
解得 ， ，所以 .
16．（2023·江西南昌十中模拟预测）如图，在复平面内，复数 对应的点为 ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由图可知，点 的坐标为 ，故 ，
则 .
17．（2023·河南郑州模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A．2 B．3 C．2i D．3i
【答案】B
解：由题可得 ，
学科网（北京）股份有限公司 6故 ，其虚部为3，
18．（2023·河南南阳中学三模）已知 为虚数单位， ，则复数 在复平面上所对应的点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
解：因为 ，
则 ，
所以 在复平面上所对应的点为 位于第二象限.
19．（2023江苏省镇江中学三模）已知复数 （ 为虚数单位）， 在复平面上对应的点
分别为 .若四边形 为平行四边形（ 为复平面的坐标原点），则复数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为复数 ､ 为虚数单位)､ 在复平面上对应的点分别为 ，
所以 ，
设 ，因为 为平行四边形( 为复平面的坐标原点)，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
20．（2023·河南郑州模拟预测）已知 （a， ，i为虚数单位），则复数
（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 7所以 ．
21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数 ，其中 为实数，且满足 ，
则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
解：依题意， ，而 为实数，
则 ，解得 ，所以复数 的虚部为2.
22．（2023·河南模拟预测）已知 ，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
解：∵ ，
∴复数z所对应的点为 ，位于第四象限.
23．（2023·云南曲靖模拟预测）已知复数 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解： .
24．（2023·河北沧州模拟预测）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一，四象限 D．第二、三象限
【答案】D
解：设 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
25．（2023·安徽·合肥一中模拟预测）若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部
是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 8【答案】A
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的虚部是 ，
26．（2023·湖南益阳安化县第二中学三模）已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】A
解：因为 ，所以 ，
故复数 的虚部为 .
27．（2023·江苏·金陵中学三模）已知复数z满足 ，则复数z在复平面内所对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
解：因为 ，
所以点 位于第四象限.
28．（2023·湖南长沙·周南中学二模）若复数 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
解：因为 ，所以
所以 ，
所以 .
29．（2023·福建泉州·五中模拟预测）已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
解：设 ，
学科网（北京）股份有限公司 9因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 相当于圆 上的点到点 距离，
所以 的最大值为圆心 到点 距离与圆的半径 的和，即 .
30．（2023·云南模拟预测）已知 ， 是方程 的两个复根，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
解：已知 ， 是方程 的两个复根，所以 ，
则设 ， ，所以 ，
31．（2023·全国·模拟预测）设 是复数且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
解：根据复数模的几何意义可知， 表示复平面内以 为圆心，1为半径的圆，而 表示复
数 到原点的距离，
由图可知， .
32．（2023·新疆喀什模拟预测）已知 ， 则 在复平面内的坐标是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 10C． 或 D． 或
【答案】C
解：设 ，由 ， 得
， ，解得 ， ，或 ， ，
所以 ，或 ，则 在复平面内的坐标是 或 .
二、多选题
33．（2023·重庆·统考二模）已知复数 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 或
C．若 且 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
解：对于A，若 ，例如： ，则 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，所以 或 至少有一个成立，即 或 ，故B正
确；
对于C，由 ，则 ，∵ ，∴ ，故C正确；
对于D：若 ，则 ，故D正确.
34．（2023·重庆一中模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数 ， ， ， ， ，
．若 或（ 且 ）,称 ．若 且 ,称 ．共余情形均为 ．
复数u，v，w分别满足： ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
解：设复数 ，若 ，因为 ，则 无解，
所以 ，将 代入 ，可得，
，即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 11设 ，所以 ，
所以 ，
所以复数 对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上，
所以 ，从而 最大，故B错误；
若 ， ，则 ，
所以当 ， 或 ，
时 ，则 ，C正确；
若 ，此时 ，则 ，A正确；
若 ，此时 ，则 ，D正确；
35．（2023·全国·模拟预测）已知 是复数，且 为纯虚数，则（ ）
A． B．
C． 在复平面内对应的点不在实轴上 D． 的最大值为
【答案】ABC
解：由题意设 ，则 ．因为 为纯虚数，
所以 ，且 ，因此 ， 在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C正确；
，所以B正确； 表示圆 上的点到点 的距离，且最大距离为
，所以D不正确．
36．（2023·河北石家庄三模）已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
【答案】AD
解：由已知 ，其对应点坐标为 ，C错；
学科网（北京）股份有限公司 12，A正确；
由 知 对应的点在以 对应点为圆心，2为半径的圆上， ，
因此 ，B错误；
对应点坐标为 ，因此D正确．
37．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 是虚数单位，复数 ，
，则（ ）
A．任意 ，均有 B．任意 ，均有
C．存在 ，使得 D．存在 ，使得
【答案】AD
解：根据复数的概念可知 不能与实数比大小，故B错误；
由复数的模长公式可得 ，
易知 ，且不能同时取得等号，故 ，即A正确；
即动点E 到动点F 的距离，显然E在抛物线 上，F在单位圆
上，如图所示，
当 时， ，故D正确；
若存在 ，使得 ，则 ，
由上知 ，即上述方程组无解，故C错误；
三、填空题
38．（2023福州第一中学三模）已知复数 ， 满足 ， ，则 的最大值为_____________.
【答案】4
解：设 ，
学科网（北京）股份有限公司 13则 ，
所以 ，即 ， ，
，
当 时，则 取得最大值，最大值为 .
39．（2023·上海华师大二附中模拟预测）复数 满足 ，则 ________.
【答案】
解：设 ，则 ，
所以 则 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
故 .
40．（2023·福州第一中学二模）已知复数 ，若 在复平面内对应的点位于第四象限，
写出一个满足条件的 __________.
【答案】 中的一个均可
解：复数 ，可得 ，
当 时，可得 ，
此时复数 对于点点位于第四象限，
当 时， 符合题意.
41．（2023·广东佛山模拟预测）已知 是关于 的方程 的一个根，其中 ， 为实数，
则 ______.
【答案】
解：因为 是关于 的方程 的一个根，
所以 也是关于 的方程 的一个根，
所以 且 ，
所以 ， ， ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司 1442．（2023·安徽蚌埠三模）已知 ， 为虚数单位，若复数 ， ，则 ______．
【答案】
解：因为
由 ，得 ，得 ．
43．（2023·上海华师大二附中三模）在复平面内，复数z所对应的点为 ，则 ___________．
【答案】2
解：由题意可知 ，所以 ，
44．（2023·上海复旦附中模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点是A， 其共轭复数 在复平面内对应
的点是 是坐标原点， 若A在第一象限， 且 ， 则 ________.
【答案】
解：设 ，则由共轭复数的概念可得： ，
由 得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 .
45．（2023福州第一中学模拟预测）在复平面内，复数 对应的点为 ，则 __________.
【答案】
解：由已知可得， ，所以 ，
所以， .
46．（2023·天津和平·耀华中学二模）i是虚数单位，若复数 为纯虚数，则 ______．
【答案】
解： ,
所以 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 15三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z ，z∈C，z＋z＝0，就
1 2
不能推出z＝z＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
1 2
复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
学科网（北京）股份有限公司 16
