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第八章 实数 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值
【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求
字母的取值，主要考查了方程思想.
例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若 是 的算术平方根，
，则 的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解
题的关键．根据题意列出关于 、 的方程，求出 、 的值，即可求解．
【详解】∵ 是 的算术平方根，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ 的立方根为 ，
故答案为： ．例2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知 的平方根为 的立方根为4．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了平方根以及立方根的计算，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义得出关于 、 的方程求解，即可得出答案；
（2）将 、 的值代入，再求平方根即可．
【详解】（1）解：由题意得： ， ，
解得： ， ．
（2）解：由（1）得： ， ，
∴ ．
∴ 的平方根为 ．
对应练习：
1.（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知 的平方根是 ， 的立方根为 ．
(1)求a与b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合 的平方根是 ， 的立方根为 ，则 ，再解出
，即可作答．
（2）把 代入 ，得出 ，再求其的算术平方根，即可作答．
【详解】（1）解：∵ 的平方根是 ， 的立方根为 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，则 的算术平方根是 ．
2. （24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知 的平方根是 ， 的立方根是
2，求 的平方根．
【答案】平方根为 ．
【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得
到 ， ，解得 ， ，求出 的值，根据平方根的意义求出
答案即可．
【详解】解：∵ 的平方根是 ， 的立方根是2，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的平方根为 ．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 ， 的立方根是2．
(1)求 的算术平方根；
(2)求 的立方根．
【答案】(1)❑√32
(2)
【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求得 ， 的值，然后将其代入 中计算后，
再根据算术平方根的定义即可求得答案；
（2）将 ， 的值代入 中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得 ， 的值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， 的立方根是2
， ，
解得： ， ，
则❑√7a−3b=❑√7×5−3×1=❑√32；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
则 ，
即 的立方根为 ．
4. （23-24七年级下·四川·阶段练习）已知 是 的算术平方根，
是 的立方根，求 的立方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．
根据 是 的算术平方根，得到 ，求出a的值，根据
是 的立方根，得到 ，求出b的值，从而求出A，B，进而
求出 的值，即可求出结果．
【详解】解： 是 的算术平方根，
，
，
是 的立方根，
，
又 ，
，
， ，
，
．
【解法提炼】
根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值二. 平方根和立方根性质问题
【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反
数那么它们的立方根也互为相反数
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是 和 ，且
与 相等，求 的算术平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟
练掌握平方根的定义和性质．
根据平方根的性质可得x的值，代入 可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质
即可求得b，然后代入 求解即可．
【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是 和 ，
所以
所以
所以
因为 与 相等
所以
所以
所以 ．
所以 的算术平方根是 ．
例2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如果 和 是一个非负数的平方根，
那么这个非负数是 ．
答案： 或 /16或1
【分析】本题主要考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0
的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质列出方程计算即可．
【详解】解： 和 是一个非负数的平方根，，
解得： ，
，
，
或 ，
解得： ，
，
．
故答案为： 或 ．
例3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知 与 互为相反数，求
的立方根．
【答案】2
【详解】解：由题意，得 ，
的立方根是2．
对应练习：
1.（23-24七年级下·重庆长寿·期末）若实数 的平方根是 和 ， 的立方根是
，求 的算术平方根．
【答案】8
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的
定义可得 ，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义
可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案．
【详解】解：∵实数 的平方根是 和 ，
∴ ，
解得： ．
∴ ，∴ ．
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为 ．
2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）一个正数m的平方根是 和 ，求正数m的
立方根．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出 ，再求出 ，
再进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
∴
∴
∴
3. （23-24七年级下·全国·假期作业）已知√33 y−1与√31−2x互为相反数，且x≠0,y≠0求
x
的值．
y
3
【答案】
2
【详解】解：由题意，得√33 y−1+√31−2x=0，
∴3 y−1+1−2x=0
∴3 y=2x
∵x≠0,y≠0．
x 3
∴ =
y 2
4．（24-25八年级上·河南·期中）已知正数x的两个平方根分别是 和 ，负数y的
立方根与它本身相同．
(1)求a，x，y的值；(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2) ❑√8
【 分析】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题
的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得 ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ．
负数 的立方根与它本身相同，
；
（2）解：当 时， ，
∴ 的算术平方根为❑√8．
5.已知√3 x−2+2=x,且√33 y−1与√31−2x互为相反数，求x,y的值
2 4
【答案】x=1或3或2，y= 或2或
3 3
【分析】本题考查立方根．熟练掌握如果两个数相反数那么它们的立方根也互为相反数和
立方根等于本身的数是±1和0，是解题的关键．
【详解】∵√3 x−2+2=x
∴x−2=±1或0
∴x=1或3或2
∵√33 y−1+√31−2x=0
∴3 y−1+1−2x=0
2 4
∴y= 或2或
3 3
【解法提炼】利用平方根的性质和立方根的性质，建立方程，解方程即可，主要考查方程
思想
三.算术平方根的非负性【题型解读】1.算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根
具有双重非负性．
2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”，构建方程，从而求得未
知数的值．
例1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数 ， ， 满足：
，求：
(1) ， ， 的值．
(2) 的平方根．
【答案】：(1)
(2) 的平方根为
【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、
绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；
（1）根据题意易得 ，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得 的值，然后根据平方根可进行求解．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由（1）得： ，
∴ ，
∴4的平方根为 ，
即 的平方根为 ．
例2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若 ， 为两个有理数，且 ，
则 的平方根为 ．
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的
性质．根据题意得到 ， ，求出 ，代入 求出 ，然后代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故答案为： ．
对应练习：
1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的
关键．利用非负数的性质得出 的值，代入计算得出答案．
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
，
2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知实数 满足 ，若 为正整数，
当b取最大值时， ．
【答案】4．
【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知
识．由 ，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即 ，由此求解即可．
【详解】解：∵ ，a，b均为正整数，∴
∴当b取最大值时，即 时， ，
∴ ，
解得 ，
3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知 满足
，求 的算术平方根．
【答案】4
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为 ，先根据算术平方根的非负性，
得出 ，再由非负数之和为 ，求出 ，求得的值，进而求得 的算术
平方根，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的算术平方根是 ．
4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知： ．求：
(1) ， ， 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2)
【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键．
（ ）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可；
（ ）将 ， ， 的值代入计算即可；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴
．
【解法提炼】1.根据被开方数为非负确定字母的取值
2.利用非负＋非负=0，则它们分别等于0,即() 2+❑√❑+||=0,即可得() 2=0,❑√❑=0, ||=0
四. 实数有关概念，分类问题及与数轴的关系
【题型解读】主要考查有理数，无理数，正数和负数的概念，能根据实际情况对数进行分
类
例1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上．
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ (两个 之间依次多一个 )．
属于整数的有：__________________________________________
属于负数的有：________________________________________________
属于无理数的有：_________________________________________________
【答案】 ， ，
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
有理数和无理数统称实数，据此进行分类即可．【详解】解：属于整数的有： ，
属于负数的有： ，
属于无理数的有： ，
故答案为： ， ， ．
例2．有理数和无理数的区别在于（ ）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数
B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的
D．有理数是整数，无理数是分数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义．有理数和无理数统称实数．
【详解】A:有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数故A错
B.正确
C.不管是有理数还是无理数都有正有负，故C错
D.整数和分数统称为有理数, 故D错
故答案为：B．
例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它
们连接起来．
， ， ， ， ．
【答案】画图见解析，
【分析】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，先化
简能够化简的各数，再在数轴上表示即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴各数在数轴上表示如下：
∴ ．例4如图 ， ， 是数轴上三个点 、 、 所对应的实数．
试化简：
【答案】
【分析】根据数轴确定a,b,c的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简
即可．
【详解】由数轴可知， ，
，
．
对应练习：
1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥0，⑦ ，⑧ ，⑨ …
（每相邻两个1之间0的个数逐次加 ）
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
【答案】(1)②，③，⑦，⑨
(2)①，④，⑧
(3)①，②，⑦，⑧
【分析】首先计算立方根，然后根据无理数、分数及负实数的定义，对所给各数进行分类
即可．
本题主要考查了立方根，实数，熟知无理数、分数及负实数的定义是解题的关键．
【详解】（1）由题知， ，∴无理数集合{②，③，⑦，⑨…}；
（2）分数集合{①，④，⑧…}；
（3）负实数集合{①，②，⑦，⑧…}．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上： ， ， ，
0， ， ， ，
整数：___________________________________；
负分数：___________________________________；
无理数：___________________________________；
正实数：___________________________________．
【答案】 ，0， ； ， ； ， ； ， ，
【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义
分类即可．
无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数．
【详解】解： ， ，
整数： ，0， ；
负分数： ， ；
无理数： ， ；
正实数： ， ，
故答案为： ，0， ； ， ； ， ； ， ， .
3．下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数、0和负实数
B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．无理数都是带根号的数
D．实数是有理数和无理数的统称
【答案】C【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义．有理数和无理数统称实数．
【详解】A:正确
B.正确
C.无理数是无限不循环小数.
D.正确
故答案为：C．
4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知一列数： ．
(1)把这 个数表示在下图所示的数轴上；
(2)用“ ”将这 个数连接起来．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较；
（1）根据题意先化简绝对值，然后表示在数轴上，即可求解；
（2）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“ ”将这 个数连接起来，即可求解．
【详解】（1）解： = ，
如图所示，
（2）根据数轴可得：
5.（24-25七年级下·重庆南岸·阶段练习）已知点 、 、 在数轴上表示的数 、 、 的
位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知 ，则可知
， ，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．【详解】根据数轴可知 ，则可知 ， ，
；
故答案为： ．
【解法提炼】(1)本题考查了实数的分类
(2)数轴上比较大小，越靠右值越大.
五.实数大小比较与估算
【题型解读】有理数范围内比较大小学生易于掌握，而无理数比较大小对学生而言就有
难度了，此种题主要考查学生选择合适的方法比较大小.
例1 比较−❑√5−2与−❑√7−2的大小
解：∵|−❑√5−2|=❑√5+2, |−❑√7−2|=❑√7+2,
而❑√5<❑√7
∴❑√5+2<❑√7+2,
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小
点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小
1
例2 比较7 与❑√56的大小
2
1 15 √225 √ 1
解：法一：∵7 = =❑ =❑56
2 2 4 4
1
∵56 >56
4
√ 1
∴❑56 >❑√56
41
即7 >❑√56
2
当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号
下两个数的大小．
1 2 225 1
法二：∵(7 ) = =56
2 4 4
∵(❑√56) 2=56
1
又∵56 >56
4
1
∴7 >❑√56
2
把两个数都平方，然后比较大小．
对应练习：
1.比较2,3,√320的大小
解：∵23=8,33=27,(√320) 3=20
又∵8<20<27
∴2<√320<3
比较含立方根的几个正数的大小，一般先将各数同时立方，然后依立方后各数的大小来判
断原来几个数的大小．
2.（23-24七年级下·四川成都·期末）比较大小： （填“ ”，“ ”或
“=”）
【答案】
【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可．
本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3.比较❑√6+2与❑√57−2的大小
解：∵2<❑√6<3,7<❑√57<8
∴❑√6+2<3+2=5<❑√57−2
∴❑√6+2< ❑√57−2
比较两个含有无理数的式子的大小可以采用放缩法．
❑√13−1 3
4. 比较 与 的大小
2 2
❑√13−1 3 ❑√13−4
解：∵ − = 而❑√13−4=❑√13−❑√16<0
2 2 2
❑√13−4 ❑√13−1 3
∴ <0即 − <0
2 2 2
❑√13−1 3
∴ <
2 2
先作差，然后与0比较大小，最后确定这两个数(或式子)的大小．
1
5.当0
