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第八章 实数 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值
【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求
字母的取值，主要考查了方程思想.
例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若 是 的算术平方根，
，则 的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解
题的关键．根据题意列出关于 、 的方程，求出 、 的值，即可求解．
【详解】∵ 是 的算术平方根，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ 的立方根为 ，
故答案为： ．例2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知 的平方根为 的立方根为4．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了平方根以及立方根的计算，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义得出关于 、 的方程求解，即可得出答案；
（2）将 、 的值代入，再求平方根即可．
【详解】（1）解：由题意得： ， ，
解得： ， ．
（2）解：由（1）得： ， ，
∴ ．
∴ 的平方根为 ．
对应练习：
1.（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知 的平方根是 ， 的立方根为 ．
(1)求a与b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合 的平方根是 ， 的立方根为 ，则 ，再解出
，即可作答．
（2）把 代入 ，得出 ，再求其的算术平方根，即可作答．
【详解】（1）解：∵ 的平方根是 ， 的立方根为 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，则 的算术平方根是 ．
2. （24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知 的平方根是 ， 的立方根是
2，求 的平方根．
【答案】平方根为 ．
【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得
到 ， ，解得 ， ，求出 的值，根据平方根的意义求出
答案即可．
【详解】解：∵ 的平方根是 ， 的立方根是2，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的平方根为 ．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 ， 的立方根是2．
(1)求 的算术平方根；
(2)求 的立方根．
【答案】(1)❑√32
(2)
【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求得 ， 的值，然后将其代入 中计算后，
再根据算术平方根的定义即可求得答案；
（2）将 ， 的值代入 中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得 ， 的值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， 的立方根是2
， ，
解得： ， ，
则❑√7a−3b=❑√7×5−3×1=❑√32；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
则 ，
即 的立方根为 ．
4. （23-24七年级下·四川·阶段练习）已知 是 的算术平方根，
是 的立方根，求 的立方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．
根据 是 的算术平方根，得到 ，求出a的值，根据
是 的立方根，得到 ，求出b的值，从而求出A，B，进而
求出 的值，即可求出结果．
【详解】解： 是 的算术平方根，
，
，
是 的立方根，
，
又 ，
，
， ，
，
．
【解法提炼】
根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值二. 平方根和立方根性质问题
【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反
数那么它们的立方根也互为相反数
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是 和 ，且
与 相等，求 的算术平方根．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟
练掌握平方根的定义和性质．
根据平方根的性质可得x的值，代入 可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质
即可求得b，然后代入 求解即可．
【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是 和 ，
所以
所以
所以
因为 与 相等
所以
所以
所以 ．
所以 的算术平方根是 ．
例2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如果 和 是一个非负数的平方根，
那么这个非负数是 ．
答案： 或 /16或1
【分析】本题主要考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0
的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质列出方程计算即可．
【详解】解： 和 是一个非负数的平方根，，
解得： ，
，
，
或 ，
解得： ，
，
．
故答案为： 或 ．
例3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知 与 互为相反数，求
的立方根．
【答案】2
【详解】解：由题意，得 ，
的立方根是2．
对应练习：
1.（23-24七年级下·重庆长寿·期末）若实数 的平方根是 和 ， 的立方根是
，求 的算术平方根．
【答案】8
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的
定义可得 ，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义
可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案．
【详解】解：∵实数 的平方根是 和 ，
∴ ，
解得： ．
∴ ，∴ ．
∵ 的立方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为 ．
2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）一个正数m的平方根是 和 ，求正数m的
立方根．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出 ，再求出 ，
再进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
∴
∴
∴
3. （23-24七年级下·全国·假期作业）已知√33 y−1与√31−2x互为相反数，且x≠0,y≠0求
x
的值．
y
3
【答案】
2
【详解】解：由题意，得√33 y−1+√31−2x=0，
∴3 y−1+1−2x=0
∴3 y=2x
∵x≠0,y≠0．
x 3
∴ =
y 2
4．（24-25八年级上·河南·期中）已知正数x的两个平方根分别是 和 ，负数y的
立方根与它本身相同．
(1)求a，x，y的值；(2)求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2) ❑√8
【 分析】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题
的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：依题意，得 ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ．
负数 的立方根与它本身相同，
；
（2）解：当 时， ，
∴ 的算术平方根为❑√8．
5.已知√3 x−2+2=x,且√33 y−1与√31−2x互为相反数，求x,y的值
2 4
【答案】x=1或3或2，y= 或2或
3 3
【分析】本题考查立方根．熟练掌握如果两个数相反数那么它们的立方根也互为相反数和
立方根等于本身的数是±1和0，是解题的关键．
【详解】∵√3 x−2+2=x
∴x−2=±1或0
∴x=1或3或2
∵√33 y−1+√31−2x=0
∴3 y−1+1−2x=0
2 4
∴y= 或2或
3 3
【解法提炼】利用平方根的性质和立方根的性质，建立方程，解方程即可，主要考查方程
思想
三.算术平方根的非负性【题型解读】1.算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根
具有双重非负性．
2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”，构建方程，从而求得未
知数的值．
例1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数 ， ， 满足：
，求：
(1) ， ， 的值．
(2) 的平方根．
【答案】：(1)
(2) 的平方根为
【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、
绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；
（1）根据题意易得 ，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得 的值，然后根据平方根可进行求解．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由（1）得： ，
∴ ，
∴4的平方根为 ，
即 的平方根为 ．
例2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若 ， 为两个有理数，且 ，
则 的平方根为 ．
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的
性质．根据题意得到 ， ，求出 ，代入 求出 ，然后代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故答案为： ．
对应练习：
1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的
关键．利用非负数的性质得出 的值，代入计算得出答案．
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
，
2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知实数 满足 ，若 为正整数，
当b取最大值时， ．
【答案】4．
【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知
识．由 ，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即 ，由此求解即可．
【详解】解：∵ ，a，b均为正整数，∴
∴当b取最大值时，即 时， ，
∴ ，
解得 ，
3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知 满足
，求 的算术平方根．
【答案】4
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为 ，先根据算术平方根的非负性，
得出 ，再由非负数之和为 ，求出 ，求得的值，进而求得 的算术
平方根，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的算术平方根是 ．
4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知： ．求：
(1) ， ， 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2)
【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键．
（ ）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可；
（ ）将 ， ， 的值代入计算即可；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴
．
【解法提炼】1.根据被开方数为非负确定字母的取值
2.利用非负＋非负=0，则它们分别等于0,即() 2+❑√❑+||=0,即可得() 2=0,❑√❑=0, ||=0
四. 实数有关概念，分类问题及与数轴的关系
【题型解读】主要考查有理数，无理数，正数和负数的概念，能根据实际情况对数进行分
类
例1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上．
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ (两个 之间依次多一个 )．
属于整数的有：__________________________________________
属于负数的有：________________________________________________
属于无理数的有：_________________________________________________
【答案】 ， ，
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
有理数和无理数统称实数，据此进行分类即可．【详解】解：属于整数的有： ，
属于负数的有： ，
属于无理数的有： ，
故答案为： ， ， ．
例2．有理数和无理数的区别在于（ ）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数
B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的
D．有理数是整数，无理数是分数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义．有理数和无理数统称实数．
【详解】A:有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数故A错
B.正确
C.不管是有理数还是无理数都有正有负，故C错
D.整数和分数统称为有理数, 故D错
故答案为：B．
例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它
们连接起来．
， ， ， ， ．
【答案】画图见解析，
【分析】本题考查的是实数的性质，求解算术平方根与立方根，利用数轴表示实数，先化
简能够化简的各数，再在数轴上表示即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴各数在数轴上表示如下：
∴ ．例4如图 ， ， 是数轴上三个点 、 、 所对应的实数．
试化简：
【答案】
【分析】根据数轴确定a,b,c的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简
即可．
【详解】由数轴可知， ，
，
．
对应练习：
1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥0，⑦ ，⑧ ，⑨ …
（每相邻两个1之间0的个数逐次加 ）
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
【答案】(1)②，③，⑦，⑨
(2)①，④，⑧
(3)①，②，⑦，⑧
【分析】首先计算立方根，然后根据无理数、分数及负实数的定义，对所给各数进行分类
即可．
本题主要考查了立方根，实数，熟知无理数、分数及负实数的定义是解题的关键．
【详解】（1）由题知， ，∴无理数集合{②，③，⑦，⑨…}；
（2）分数集合{①，④，⑧…}；
（3）负实数集合{①，②，⑦，⑧…}．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上： ， ， ，
0， ， ， ，
整数：___________________________________；
负分数：___________________________________；
无理数：___________________________________；
正实数：___________________________________．
【答案】 ，0， ； ， ； ， ； ， ，
【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义
分类即可．
无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数．
【详解】解： ， ，
整数： ，0， ；
负分数： ， ；
无理数： ， ；
正实数： ， ，
故答案为： ，0， ； ， ； ， ； ， ， .
3．下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数、0和负实数
B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．无理数都是带根号的数
D．实数是有理数和无理数的统称
【答案】C【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义．有理数和无理数统称实数．
【详解】A:正确
B.正确
C.无理数是无限不循环小数.
D.正确
故答案为：C．
4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知一列数： ．
(1)把这 个数表示在下图所示的数轴上；
(2)用“ ”将这 个数连接起来．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较；
（1）根据题意先化简绝对值，然后表示在数轴上，即可求解；
（2）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“ ”将这 个数连接起来，即可求解．
【详解】（1）解： = ，
如图所示，
（2）根据数轴可得：
5.（24-25七年级下·重庆南岸·阶段练习）已知点 、 、 在数轴上表示的数 、 、 的
位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知 ，则可知
， ，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．【详解】根据数轴可知 ，则可知 ， ，
；
故答案为： ．
【解法提炼】(1)本题考查了实数的分类
(2)数轴上比较大小，越靠右值越大.
五.实数大小比较与估算
【题型解读】有理数范围内比较大小学生易于掌握，而无理数比较大小对学生而言就有
难度了，此种题主要考查学生选择合适的方法比较大小.
例1 比较−❑√5−2与−❑√7−2的大小
解：∵|−❑√5−2|=❑√5+2, |−❑√7−2|=❑√7+2,
而❑√5<❑√7
∴❑√5+2<❑√7+2,
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小
点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小
1
例2 比较7 与❑√56的大小
2
1 15 √225 √ 1
解：法一：∵7 = =❑ =❑56
2 2 4 4
1
∵56 >56
4
√ 1
∴❑56 >❑√56
41
即7 >❑√56
2
当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号
下两个数的大小．
1 2 225 1
法二：∵(7 ) = =56
2 4 4
∵(❑√56) 2=56
1
又∵56 >56
4
1
∴7 >❑√56
2
把两个数都平方，然后比较大小．
对应练习：
1.比较2,3,√320的大小
解：∵23=8,33=27,(√320) 3=20
又∵8<20<27
∴2<√320<3
比较含立方根的几个正数的大小，一般先将各数同时立方，然后依立方后各数的大小来判
断原来几个数的大小．
2.（23-24七年级下·四川成都·期末）比较大小： （填“ ”，“ ”或
“=”）
【答案】
【分析】根据无理数估算，实数的大小比较解答即可．
本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3.比较❑√6+2与❑√57−2的大小
解：∵2<❑√6<3,7<❑√57<8
∴❑√6+2<3+2=5<❑√57−2
∴❑√6+2< ❑√57−2
比较两个含有无理数的式子的大小可以采用放缩法．
❑√13−1 3
4. 比较 与 的大小
2 2
❑√13−1 3 ❑√13−4
解：∵ − = 而❑√13−4=❑√13−❑√16<0
2 2 2
❑√13−4 ❑√13−1 3
∴ <0即 − <0
2 2 2
❑√13−1 3
∴ <
2 2
先作差，然后与0比较大小，最后确定这两个数(或式子)的大小．
1
5.当0<a<1,比较a, ,❑√a的大小
a
解：∵0<a<1
1
∴令a=
4
1 1 1
∴a= , =4,❑√a=
4 a 2
1 1
∵ < <4
4 2
1
∴a<❑√a<
a
本题可以用特殊值法求解【解法提炼】实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规
的方法外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法、取近似值法、放缩法、作差法、作商
法等．
六.实数运算
【题型解读】1.实数的运算法则同有理数一样，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算
加、减，有括号的先算括号里面的．
2．在实数的运算中，数的绝对值、相反数、倒数等意义跟有理数一样，在有理数范围内的
运算律在实数范围内同样适用．
例1 （24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）（1）计算： ．
(2) ；
(3) ．
(4)
【详解】此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，整式的加减，解
题的关键运算法则是解题的关键．
解：（1）
．
（2）原式 ；
（3）原式 ．
（4）解：原式 ；
例2．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣ a＝2b+ ﹣a，则ab= ．
【答案】
【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.
【详解】解：已知等式整理得:5﹣ a＝（2b﹣a）+ ，
可得 ，
解得: ，
故 ，
故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关
键.
例3．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知 是 的整数部分， ，则 的
平方根是 ．
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；
由题意易得 ，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴9的平方根是 ；
故答案为 ．
对应练习：
1．（24-25七年级下·山东威海·期末）计算：(1) ．
(2) ；
(3)
(4)：
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键，
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：
（3）解：
（4）原式
．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若有理数 a，b 满足 ，
则a＝ ， b＝ ．
【答案】 7 2
【分析】根据有理数的概念和实数的运算法则分析计算．
【详解】解：∵ ，且有理数a，b∴ ，
∴ ，
故答案为：7；2．
【点睛】此题主要考查实数的运算，掌握概念，列出方程是解题关键．
3．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，
则 ， ．
【答案】
【分析】根据 的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解，
本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：∵ 的整数部分是 ，小数部分是 ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
4．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ，c是 的整数部分，求
的平方根．
【答案】
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于 、 的方程组求得 、 的值，然后
估算出 的大小，可求得 的值，接下来，求得 的值，最后求它的平方根即可．
【详解】解：由题意得： ，
， ．
，
．
．
．的平方根是 ．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟
练掌握相关定义和方法是解题的关键．
【解法提炼】
① 有理数范围内的运算法则和运算顺序，实数范围内仍然适用；
② 通过夹逼法得出实数的整数和小数部分；
③ 有理数范围内的运算结果依然是有理数，无理数范围内的运算结果为有理数
或无理数，有理数与无理数加减运算结果为无理数，有理数(除0以外)与无理数乘除
运算结果为无理数.
七.实数的实际应用
【题型解读】学有用的数学所以实际应用为常考类型.
1.利用几何图形的面积，周长，体积来解决实际问题；
2.跨学科融合考查实数的实际应用.
例1 如图，一个底面半径为 的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度
为 ；倒放时，空余部分的高度为 ．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器
（ 取3，容器的厚度不计）．
(1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？
(2)正方体容器的棱长是多少厘米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，
读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为 的圆柱体积相等”是解题的关键．
（1）瓶子的容积与同底、高为 的圆柱体积相等，由此可解；
（2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：因为 ．
所以棱长 ．
例2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一
个周期，其计算公式为 ，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：
m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（ 取3， ）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次
滴答声？
【答案】(1)
(2)该座钟大约发出了420次滴答声
【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可；
（2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ；
（2） （次）．
答：该座钟大约发出了420次滴答声．
【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键．
对应练习：
1.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面
升高 ，如果容器的底面半径是 ，求正方体铁块的棱长 取 ，精确到 ．【答案】
【分析】本题考查求一个数的立方根、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算
公式是正确解答的前提．
根据题意可得底面半径 ，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程
求出棱长．
【详解】解：设正方体的棱长为 ，由题意得，
，
解得， ，
答：正方体的棱长约为 ．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）用电器的电阻 、功率 与它两端的电压 之间有关
系： ．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为 ，乙的电阻为 ．现
测得某用电器的功率为 ，两端电压在 ，该用电器到底是甲还是乙？
【答案】甲
【分析】根据 ，得到 ，分别求出甲乙的电压，故可求解．
【详解】∵
∴
∴ ， ，该用电
器是甲．【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的
能力，本题还用到物理中的电功率的知识．
3．（23-24七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千
米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，
所用的经验公式是v＝16 ，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过
的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你
判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16 ，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较
即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16 ，
v=16 =128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运
算．
4．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为 的正方形的木
板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形装饰材料，且长宽比为 ．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【解法提炼】
① 利用几何体有关公式直接运算
②在物理学或其它学科背景下根据所给公式直接进行计算.
八.实数有关的规律
【题型解读】此种题型主要考查学生的观察所给算式，从算式中归纳出它的一般规律，并能用此规律解题的能力，是考试中一种常考题型.
例1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）计算：① ；② ；③ ；④
，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：
（ ）
A． B．1275 C．1326 D．1378
【答案】C
【分析】此题考查了算术平方根与数字的变化规律．先分别求出①②③④的结果，发现的
规律 ，据此求解即可．
【详解】解：① ；
② ；
③ ；
④ ，
……
∴ ，
∴ ，
故选：C．
例2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知
，则
．
【答案】【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算 ，得到
即可求解，找到规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
例3．（24-25七年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，
“○”的个数用b表示，如 时， ， ； 时， ， ；……根据图形
的变化规律，当 时， 的值为 ．【答案】．4047
【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来．
【详解】解： 时， ， ，
时， ， ，
时， ， ，
……
∴ ， ，
当 时， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行 ❑√2
第二行 ❑√3
第三行
第四行
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．C【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据
数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在
的行数乘比行数大1的数，可得结论．
【详解】解：第1行的最后一个数是 ，
第2行的最后一个数是 ，
第3行的最后一个数是 ，
……
第8行最后一个数字为 ，
∴第8行倒数第三个数是 ，
故选：C．
2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平
方数．对任意正整数n，记 表示不大于n的最大完全平方数，记 ．例如：
．则 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个
分式相加，要注意找到计算规律和技巧．
分别求得 的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
；
，
；
，；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
．
分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．，
故答案为：2024．
3．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式： ， ，
， ，通过观察并归纳结论：
（1）请写出： ：
（2）计算： ．
【答案】 n 102
【分析】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的
方法和算术平方根的定义是解答的关键．
（1）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为 ，开方即可；
（2）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可．
【详解】解：（1）∵ ， ， ， ，
∴
故答案为：n；
（2）
．
故答案为：102．
4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位
置上的数按如下方式计算：
，
，
不难发现，结果都是7．
(1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？
发现图2计算结果为______；图3计算结果为______．
(2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明．
【答案】(1)8，6
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是
解答的关键．
（1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可；
（2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算：
，
，
故计算结果为8；
图3中被框起来的3个数按以下方式计算：
，
，
故计算结果为6，故答案为：8，6；
（2）解：根据（1）中计算，可猜想 ，
理由如下：
．
【解法提炼】
① 对于数字来说，可先计算，然后观察数字之间的关系得结论
② 先计算，观察数字之间得循环性得结论
③ 有图形的，可先观察图形的变化，从而总结规律
