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专题 02 复合函数以及嵌套函数的零点问题
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题型01 复合函数的应用......................................................................1
题型02 内外自复合型f(f(x))................................................................5
题型03 内外双函数复合型f(g(x))............................................................8
题型04 二次型因式分解型a[f(x)]
2+bf(x)+c.................................................11
题型 01 复合函数的应用
【解题规律·提分快招】
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式： ，令： ，则 转化为 其中 叫作中间变
量. 叫作内层函数， 叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
减 增 减
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数 （ ，且 ）. ，使得
成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.
【详解】 在 单调递减， 时， , 即 ,
另外，0<a<1时， 单调递减， 在 单调递增，
综上所述， 的取值范围是 .
故选：A
2．（24-25高三上·山西·期中）已知函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当 和 分别对函数的单调性进行讨论.
【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，
当 时，令 ，对称轴为 ，则要使 （ ，且 ）在区间 上
单调递增，则 则 ；
当 时， 要使 （ ，且 ）在区间 上单调递增，
则 ，则 ，综上， .
综上，实数 的取值范围为 .
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数a
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造 并研究其奇偶性和单调性，由 等价于
，结合对数的性质即可确定参数范围.
【详解】令 ，易知其定义域为R，
，
所以 为奇函数，且在 上 、 、 均递增，
所以 在 上单调递增，且函数在R上连续，故 在定义域上递增，
由 ，
所以 ，显然该式在 上恒成立，
所以 .
故选：D
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对 进行分类讨论，可得答案.
【详解】 的值域为 ，
当 时，
则 ， 为增函数， ，
而 时， 为增函数，
此时， ，不符题意；
当 时，
则 ， 为减函数， ，
而 时， 为减函数，此时， ，
因为 的值域为 ，当且仅当 时，满足题意，
此时， ，则 ，整理得， ，解得 ；
综上， 时满足题意.
故选：A
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神
经单元的函数，其中函数 是比较常用的一种，其解析式为 ．关于函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的值域为R B． 是偶函数
C． 不是周期函数 D． 是单调递减函数
【答案】C
【分析】 ，求函数 的值域可判断A；由 与 的关系可判断B；
由 是增函数且恒为正数，知 的单调性，可判断D，进而可判断C.
【详解】由 ，
因为 ，所以 ，可得 ，即 ，故A项错误；
因为 的定义域为R，且 ，所以 是奇函数，故B
项错误；
，因为 是增函数， 是增函数且恒为正数，所以 是减函数，故
是增函数，故D项错误；
由D项可知函数 在R上单调递增，所以当 时， ，所以函数 不是
周期函数，故C项正确．
故选：C.
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数 在区间 上的值域为 .若 ，
则 的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D【分析】根据题意可得函数 在 上递增，利用 可得 的值.
【详解】解法1：因为 ，
所以 ，
所以 关于(2,1)对称.
因为 ，函数 在区间 上的值域为 ，所以 .
解法2：因为 在 上递增，
所以 .
解法3：取 ，因为 在[0,4]上递增，
所以 .
故选D.
题型 02 内外自复合型f(f(x))
【解题规律·提分快招】
对于嵌套型复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；
（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为，
则函数 的零点个数为 .
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·期中）已知函数 ，若方程 有且仅有一根，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别讨论 及 ，根据 的值，确定实数 的取值范围.【详解】若 ，则 ，
而当 时 ，当 时 ，所以 无解；
若 ，则 或 ，
其中 有一根为 ，则由题意知 无解，
而当 时 ，当 时 ，所以 的值域为 ，
从而 ，解得 ，所以 .
综上， 的取值范围是 ，
故选：A.
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 ，若函数 有3个不同
的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的解析式，画出函数图象，根据 和 有 个不同的交点可得出.
【详解】当 时， ，则 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ，
因为 单调递增且 时 单调递增，
所以 在 单调递增，且 ，
故画出函数 图象如下图所示，函数 有3个不同的零点等价于 和 有 个不同的交点，
所以由图象可得 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数 有3个不同的零点转化为 和
有 个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度.
3．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数 ，则方程 的实数解
的个数至多是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合方程问题，换元 ，作函数图象分别看内外层分别讨论方程 根的个数
情况，即可得答案.
【详解】设 ，则 化为 ，
又 ，
所以 ， ，
作出函数 的大致图象，如图
由图可得，当 时， 有两个根 ， ，即 或 ，此时方程 最多有5个根；
当 时， 有三个根 ，
即 或 或 ，
此时方程 最多有6个根；
当 时， 有两个根 ，即 或 ，
此时方程 有4个根；
当 时， 有一个根 ，即 ，
此时方程 有2个根；
综上，方程 的实数解的个数至多是6个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型 03 内外双函数复合型f(g(x))
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数 ，若
有6个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数图象，进行分析， 最多有两个零点，根据 最多4个零点，用数形
结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】由题可得函数图象，当 或 时， 有两个解；
当 时， 有4个解；当 时， 有3个解；
当 时， 有1个解；
因为 最多有两个解.
因此，要使 有6个零点，则 有两个解，设为 ， .
则存在下列几种情况：
有2个解， 有4个解，即 或 ， ，显然 ，
则此时应满足 ，即 ，解得 ，
有3个解， 有3个解，设 即 ， ，
则应满足 ，无解，舍去，
综上所述， 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
二、填空题
2．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数 ，若函数 有3
个不同的零点，则实数m的取值范围为 ．【答案】
【分析】令 ，根据函数解析式以及零点解得 或 ，分析可知y=f (x)与 、
共有3个不同的交点，结合图象分析求解即可.
【详解】令 ，则 ，
若 ，可得 ，解得 或 ；
若 ，可得 ，无解；
综上所述： 或 ，即 或 ，
由题意可知：y=f (x)与 、 共有3个不同的交点，
作出y=f (x)的图象，如图所示，
显然 ，可得 或 ，
解得 或 ，所以实数m的取值范围为 .
故答案为： .
3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知 ，若函数 恰有
三个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先通过导数研究 的单调性与最值，结合换元法将问题化为 的零点问题，根据导数
的几何意义计算参数即可.
【详解】设 ，则 ， ，得 ，
当 单调递增，
当 单调递减，
当 时，函数 取得最大值1，如图1，画出函数 的图象，
由 ，即 ，则 恒过点 ，
如图，画出函数 的图象，设过点 的切线与 相切于点 ，
则 ，得 ，即切点(0,1)，所以切线方程为 ，
如图2，则 与 有2个交点， ，
如图可知，若函数 恰有三个零点，则 ， ，
则 ，所以 ，
综上可知， ．
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.
题型 04 二次型因式分解型a[f(x)] 2+bf(x)+c
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知 ，若关于 的方程
恰好有三个互不相等的实根，则实数 的取值范围为（）
A． B．C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分方程 的两根是否相等，结合 的函数图象讨论即可.
【详解】记方程 的两根为 ，
当 时， 恰好有三个互不相等的实根，
等价于 与 和 共有三个不同的交点，
由图可知，此时有 ，
即 ，得 ；
当 时，， 恰好有三个互不相等的实根，
等价于 与 有三个不同的交点，
由图可知，此时 ，即 ，得 .
综上，实数 的取值范围为 或 .
故选：D
【点睛】方法点睛：一般地，判断形如 的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范
围时，可采用换元法，先令 ，求解当 时 的值，然后根据函数 的图象及性质确定当
时，x的值的个数即为 的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数 与 图象性
质的分析.
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有8个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】设 ，将方程 有8个不相等的实数根，转化为关于 的方程
有两个不相等的实根 ，设 ，根据二次函数图象的性质，
得出 ，解不等式组即可求出实数 的取值范围.
【详解】作出 的图象如下，
设 ，则关于 的方程 化为 ，
观察图象知，直线 与 的图象最多有4个公共点，
即关于 的方程 最多有4个不相等的实数根，
而关于 的方程 有8个不相等的实数根，
则关于 的方程 有两个不相等的实数根 且 ，
设 ，对称轴为 ，
则 ，即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：与复合函数有关的函数或方程问题，需运用整体思想，将所求方程看成是关于 的
一元二次方程，再利用二次函数根的分布求参数的取值范围.
3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数 ，且关于 的方程
有 个不等实数根，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 的最大值是 B． 在 上单调递减C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【答案】C
【分析】求导后，根据 正负可确定 单调性，进而得到最大值，知AB正误；设 ，将问
题转化为方程 有两个不等实根 ，根据 的范围可构造不等式组求得结果.
【详解】对于AB， 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，B正确；
，A正确；
对于CD， 当 时， ；当 时， ；且当 时， ；当 时，
；
大致图象如下图所示，
设 ，则方程可化为 ，
有 个不等实根， 方程 有两个不等实根 ，且 或
；
当 时， ，此时方程 仅有 根，不合题意；
当 时， ，解得： ，此时 ，与 矛盾；当 时， ，解得： ，
即实数 的取值范围为 ，C错误，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，求解本题的关键是能够通过换元
法，将问题转化为一元二次方程根的分布问题；通过分析原函数图象确定一元二次方程根的个数及所处范
围，进而构造不等关系求得结果.
二、填空题
4．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数 若 恰
有6个不同的实数解，则正实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】把问题转化为y=f (x)与 或 的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出
参数取值范围即可.
【详解】由题意可知 的实数解可以转化为 或 的实数解，
即y=f (x)与 或 的图象交点的横坐标，
当 时， ，则 ，
所以 时，f′(x)>0，所以 在 上单调递增，
当 时，f′(x)<0，可得 在 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，且 ；
作出函数的大致图象如下图所示：所以当 时，由图可知y=f (x)与 无交点，即方程 无解；
y=f (x)与 有两个不同的交点，即 有两个实数解；
当 时， ，
令 ，则 ，则 ，
作出大致图象如下图所示：
因为当 时，y=f (x)与 有两个不同的交点，
所以只保证 与 及 共有四个交点即可，
所以只需 ，解得 ，
即可得正实数 的取值范围 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解函数零点个数与方程根的问题时经常转化成函数图象交点个数问题，再结合三角
函数图象性质限定出不等式取值范围，即可解得实数 的取值范围.
一、填空题
1．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数 在区间 上严格增，则实数
的取值范围为 .【答案】
【分析】根据符合单调性可得 的单调性，再结合分段函数单调性列式求解.
【详解】因为 在定义域内单调递增，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
若函数 在区间 上严格增，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（24-25高三上·浙江·期中）若函数 ，（ ，且 ）在区间 上单调递增，则 的
取值范围是
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、对勾函数的单调性求解.
【详解】 可看作由函数 与函数 复合而成，
当 时，因为 为增函数，所以 在 上单调递增即可，由对勾函数的单调
性，只需 ，解得 ，
当 时，因为 为减函数，所以 在 上单调递减即可，由对勾函数的单
调性，只需 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 ，
故答案为：3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 ， ，则函数
的零点个数为 个．
【答案】
【分析】令 ，得 ，再令 ，根据 的解析式再分类讨论，即可求出 ，即
或 或 ，再画出 的图象，数形结合即可求解.
【详解】令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
解得 或 或 ，
所以 或 或 ，
作出 函数图象，如图所示：
由图象可知 有 个解， 有 个解， 有 个解，
所以ℎ(x)共有 个零点.
故答案为： .
4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 ，则函数 零点
的个数是 .
【答案】
【分析】令 ，得到 或 ，进而作出函数 的图象，数形结合即可得解.
【详解】令 ，即 ，解得 或 ，
作出函数 的图象如图，由图可知，方程 有 个实数解， 有 个实数解，且均互不相同，
所以 的实数解有 个，即 零点的个数是 个.
故答案为： .
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设 是不为0的实数，已知函数 ，若函数
有7个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出 的图象，然后由 ，得 或 ，由图象可知 有3个零点，
所以 就有4个零点，再结合图象可求出结果.
【详解】作出函数 的图象如图所示，
由 ，得 或 ，
当 时， 有3个零点，
要使函数 有7个零点，
则当 时， ，即 与 有4个交点，
结合图形可得 ，解得 ，
即m的取值范围为
故答案为： .6．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数 ，
有3个不同的零点 ，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】令 ，解得 或 ，结合函数 的图象即可得解.
【详解】令 ，
解得 或 .
函数 的图象如下：
要使 有3个不同的零点，则函数 的图象与直线 和 一共有3个交点，
由图可知当 ，即 时，函数 的图象与直线 有1个交点，与直线
有2个交点，符合题意.
故答案为： .
7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，都存在
唯一的 ，满足 ，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得 在 上的值域包含于 在 上的值域，利用基本不等式先求出
在 上的值域，然后当 时，对 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求
出实数 的取值范围.
【详解】设函数 ， 的值域为A，函数 ， 的值域为B，
因为对任意的 ，都存在唯一的 ，满足 ，
则 ，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.
当 时， ，因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，
当 时， ，
①当 时， ， ，此时 ，
，解得 ，
②当 时， ，
此时ℎ(x)在 上是减函数，取值范围是(1,+∞)，
ℎ(x)在 上是增函数，取值范围是 ，
，解得 ，综合得 .
故答案为： .
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）设 ，函数 ，当 时，函数
有 个零点；若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】当 时，根据零点的定义直接可得解；若函数 恰有3个零点，设 ，分情
况讨论 和 时函数 的图象，进而讨论 与 的解的情况，数形结合即可得解.
【详解】当 时， ，
当 时， 恒成立，
设 ，令 ，可解得 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
即当 时，函数 有 个零点；
当 时，由 可知，
当 时， 恒成立，
所以令 ， ，即 ，方程有 个解，
即当 时，函数 有 个零点，不成立；
当 时，当 时 在 上单调递增，在 单调递减，且 时， ，
此时函数图象如图所示，
令 ，解得 或 ，
即 或 ，
又 有且只有一解，则 只能有两个解，
即 ，
解得 ，
故答案为： ， .
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数
有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为
【答案】(3,4)
【分析】令g(x)=0，则 或 ，先作出函数 的图象，即可得出方程 和方
程 实根的个数，进而可得出方程 实根的个数，再结合函数 的图象即可得解.
【详解】因为函数 有9个不同的零点，
所以方程g(x)=0有9个不同的实根，
，
令g(x)=0，则 或 ，
，
如图，作出函数 的图象，由图可知，方程 有 个不同的实根，
方程 有 个不同的实根，
因为所以方程 有 个不同的实根，
如图，作出函数 的图象，
由图可知 .
故答案为： .
10．（2024·北京通州·三模）已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】先判断出 在 上单调递增，在 上单调递减，然后作出 与
在 上的图象，求出 在 上的值域，再结合图象可求得结果.
【详解】当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，为 ，
作出 与 在 上的图象如图所示：当 ， 时， ，此时 ，
此时 ，
因为 的值域为 ，则 时， 必有解，即 ，解得 ，由图知 ,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解
题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，函
数 在区间 内的所有零点的和为16，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数 的零点转化为函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标，
作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数 的零点即为函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标，
因为 ，
先利用指数函数与对数函数的性质作出函数 在区间 上的图象，
又当 时， ，
即每过两个单位，将 的图象向右平移 个单位，同时将对应的 坐标变为原来的两倍，再作出函数 的图象，如图所示：
由图象可得： ， ， ， ， ，
则 ，
因为 在区间 内的所有零点的和为16，
所以 ，得 ，结合图象，可得实数a的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.
