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专题 02 复合函数以及嵌套函数的零点问题
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题型01 复合函数的应用......................................................................1
题型02 内外自复合型f(f(x))................................................................5
题型03 内外双函数复合型f(g(x))............................................................8
题型04 二次型因式分解型a[f(x)]
2+bf(x)+c.................................................11
题型 01 复合函数的应用
【解题规律·提分快招】
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式： ，令： ，则 转化为 其中 叫作中间变
量. 叫作内层函数， 叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
减 增 减
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数 （ ，且 ）. ，使得
成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.
【详解】 在 单调递减， 时， , 即 ,
另外，00，所以 在 上单调递增，
当 时，f′(x)<0，可得 在 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，且 ；
作出函数的大致图象如下图所示：所以当 时，由图可知y=f (x)与 无交点，即方程 无解；
y=f (x)与 有两个不同的交点，即 有两个实数解；
当 时， ，
令 ，则 ，则 ，
作出大致图象如下图所示：
因为当 时，y=f (x)与 有两个不同的交点，
所以只保证 与 及 共有四个交点即可，
所以只需 ，解得 ，
即可得正实数 的取值范围 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解函数零点个数与方程根的问题时经常转化成函数图象交点个数问题，再结合三角
函数图象性质限定出不等式取值范围，即可解得实数 的取值范围.
一、填空题
1．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数 在区间 上严格增，则实数
的取值范围为 .【答案】
【分析】根据符合单调性可得 的单调性，再结合分段函数单调性列式求解.
【详解】因为 在定义域内单调递增，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
若函数 在区间 上严格增，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（24-25高三上·浙江·期中）若函数 ，（ ，且 ）在区间 上单调递增，则 的
取值范围是
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、对勾函数的单调性求解.
【详解】 可看作由函数 与函数 复合而成，
当 时，因为 为增函数，所以 在 上单调递增即可，由对勾函数的单调
性，只需 ，解得 ，
当 时，因为 为减函数，所以 在 上单调递减即可，由对勾函数的单
调性，只需 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 ，
故答案为：3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 ， ，则函数
的零点个数为 个．
【答案】
【分析】令 ，得 ，再令 ，根据 的解析式再分类讨论，即可求出 ，即
或 或 ，再画出 的图象，数形结合即可求解.
【详解】令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
解得 或 或 ，
所以 或 或 ，
作出 函数图象，如图所示：
由图象可知 有 个解， 有 个解， 有 个解，
所以ℎ(x)共有 个零点.
故答案为： .
4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 ，则函数 零点
的个数是 .
【答案】
【分析】令 ，得到 或 ，进而作出函数 的图象，数形结合即可得解.
【详解】令 ，即 ，解得 或 ，
作出函数 的图象如图，由图可知，方程 有 个实数解， 有 个实数解，且均互不相同，
所以 的实数解有 个，即 零点的个数是 个.
故答案为： .
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设 是不为0的实数，已知函数 ，若函数
有7个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出 的图象，然后由 ，得 或 ，由图象可知 有3个零点，
所以 就有4个零点，再结合图象可求出结果.
【详解】作出函数 的图象如图所示，
由 ，得 或 ，
当 时， 有3个零点，
要使函数 有7个零点，
则当 时， ，即 与 有4个交点，
结合图形可得 ，解得 ，
即m的取值范围为
故答案为： .6．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数 ，
有3个不同的零点 ，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】令 ，解得 或 ，结合函数 的图象即可得解.
【详解】令 ，
解得 或 .
函数 的图象如下：
要使 有3个不同的零点，则函数 的图象与直线 和 一共有3个交点，
由图可知当 ，即 时，函数 的图象与直线 有1个交点，与直线
有2个交点，符合题意.
故答案为： .
7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，都存在
唯一的 ，满足 ，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得 在 上的值域包含于 在 上的值域，利用基本不等式先求出
在 上的值域，然后当 时，对 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求
出实数 的取值范围.
【详解】设函数 ， 的值域为A，函数 ， 的值域为B，
因为对任意的 ，都存在唯一的 ，满足 ，
则 ，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.
当 时， ，因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，
当 时， ，
①当 时， ， ，此时 ，
，解得 ，
②当 时， ，
此时ℎ(x)在 上是减函数，取值范围是(1,+∞)，
ℎ(x)在 上是增函数，取值范围是 ，
，解得 ，综合得 .
故答案为： .
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）设 ，函数 ，当 时，函数
有 个零点；若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】当 时，根据零点的定义直接可得解；若函数 恰有3个零点，设 ，分情
况讨论 和 时函数 的图象，进而讨论 与 的解的情况，数形结合即可得解.
【详解】当 时， ，
当 时， 恒成立，
设 ，令 ，可解得 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
即当 时，函数 有 个零点；
当 时，由 可知，
当 时， 恒成立，
所以令 ， ，即 ，方程有 个解，
即当 时，函数 有 个零点，不成立；
当 时，当 时 在 上单调递增，在 单调递减，且 时， ，
此时函数图象如图所示，
令 ，解得 或 ，
即 或 ，
又 有且只有一解，则 只能有两个解，
即 ，
解得 ，
故答案为： ， .
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数
有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为
【答案】(3,4)
【分析】令g(x)=0，则 或 ，先作出函数 的图象，即可得出方程 和方
程 实根的个数，进而可得出方程 实根的个数，再结合函数 的图象即可得解.
【详解】因为函数 有9个不同的零点，
所以方程g(x)=0有9个不同的实根，
，
令g(x)=0，则 或 ，
，
如图，作出函数 的图象，由图可知，方程 有 个不同的实根，
方程 有 个不同的实根，
因为所以方程 有 个不同的实根，
如图，作出函数 的图象，
由图可知 .
故答案为： .
10．（2024·北京通州·三模）已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】先判断出 在 上单调递增，在 上单调递减，然后作出 与
在 上的图象，求出 在 上的值域，再结合图象可求得结果.
【详解】当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，为 ，
作出 与 在 上的图象如图所示：当 ， 时， ，此时 ，
此时 ，
因为 的值域为 ，则 时， 必有解，即 ，解得 ，由图知 ,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解
题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，函
数 在区间 内的所有零点的和为16，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数 的零点转化为函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标，
作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数 的零点即为函数 的图象与函数 的图象的交点的横坐标，
因为 ，
先利用指数函数与对数函数的性质作出函数 在区间 上的图象，
又当 时， ，
即每过两个单位，将 的图象向右平移 个单位，同时将对应的 坐标变为原来的两倍，再作出函数 的图象，如图所示：
由图象可得： ， ， ， ， ，
则 ，
因为 在区间 内的所有零点的和为16，
所以 ，得 ，结合图象，可得实数a的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.
