文档内容
第十七章 勾股定理与思想和折叠问题
01 思维导图
目录
【思想总结】.................................................................................................................................................................1
思想一 方程思想.........................................................................................................................................................1
思想二 分类讨论思想.................................................................................................................................................7
思想三 转化思想.......................................................................................................................................................11
【模型总结】...............................................................................................................................................................15
模型一 长方形中折痕过对角线模型......................................................................................................................15
模型二 长方形中折痕过一顶点模型......................................................................................................................19
模型三 长方形中折痕过任意两点模型..................................................................................................................25
模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型..........................................................30
模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型..........................................................................................34
模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型..........................................................38
02 思想总结
【思想总结】
思想一 方程思想
适用情况：
1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系；
2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）；
3. 折叠问题；
4. 实际应用问题.
例题：（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在 中， ， ， ，E是边
上一点，将 沿 折叠，使点B的对应点 恰好落在边 上，则 的长等于 ．
巩固训练1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距 ，C，D为两村庄，
于A， 于B．现要在 上建一个中转站E，使得C，D两村到E站
的距离相等，求 的长．
2．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中 点， 点到地面的高度 米，
点到地面 点（ ， 两点处于同一水平面）的距离 米．
(1)求出 的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达 点（ 点在线段 上），此时小鸟到地面 点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．
3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙
时，竹竿底端O到左墙角的距离 为2米，顶端B距墙顶的距离 为1米，若保持竹竿底端位置不动，
将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离 为3米，顶端E距墙顶D的距离 为2米，点
在一条直线上，点 在一条直线上， ．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知 中， ， ，点 在 边上．请从
， 两题中任选一题作答．
A．如图1，若 ；
B．如图2，若 ；
我选择 题，则 的长为 ；
我选择 题，则 的长为 ．
思想二 分类讨论思想
适用情况：
1. 高在三角形内，外不明确；
2. 直角边、斜边不明确；
3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确.
例题：（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点 是直线 上一点， ，
，连接 ， 则线段 的长为 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在 中， ，点P为射线
上一点，将 沿 所在直线翻折，点C的对应点为点 ，如果点 在射线 上，那么
．
2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知 中， ， ， 边上的高 ，求
边的长．
3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 ．(1)求 边的长；
(2)当 为直角三角形时，求 的值．
思想三 转化思想
适用情况：
1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）；
2. 等线段转化（几何证明）.
例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 、 两个村在河流 的同侧，分别到河的距离为
千米， 千米，且 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 、 俩村供水，铺设水
管的费用为每千米 万，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是
多少？
巩固训练
1．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离
分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要
求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着
玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，
此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所
爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
03 模型总结
【模型总结】模型一 长方形中折痕过对角线模型
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若
，求 的长．
【变式训练】
1．如图，长方形ABCD中， ， ，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，
那么图中阴影部分的面积是______．
ABCD AB 8cm AD6cm AC B
2．如图，在长方形纸片 中， ， . 把长方形纸片沿直线 折叠，点 落在点
E AE DC F AF
处， 交 于点 ，则 的长为（ ）25 15 13
cm cm cm
A． 4 B． 2 C．7cm D． 2
3．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形 中， ，
， ．点 为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
模型二 长方形中折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与
对角线 重合，点B落在点F处，折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；(2)求 的长．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形 沿 折叠，点D恰好落在 边的F点上，已知
， ，则 ．
2．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该
纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ．
3．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形 中， ，点E为线段 的中点，
连接 ，点F在边 上，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点G在线段 上，则 的长为
．
4．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形纸片 ， ，点P在 边上，
将 沿 折叠，点C落在E处， ， 分别交 于点O，F，且 ，则 长为 ．
5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形 中，．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
模型三 长方形中折痕过任意两点模型
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸
片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使顶点C恰好落在 边的
中点 上．若 ， ，求 的长．
2．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形 中 ，边 ， ．将此长
方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．
3．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使其对角顶
点 与 重合， 与 重合．若长方形的长 为 ，宽 为 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长；
(3)求阴影部分 的面积．
模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块 的纸片， ， ，
，将 沿 折叠，使点 落在 上的 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ，
，将斜边 翻折，使得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的
长为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点P是
边 上任意一点，连接 ，将 沿 翻折，点B的对应点为 ，当 有一边与 垂直时，
的长为 ．3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图， 在直角坐标系中， C点在线段 上，
D点在线段 上，将 沿直线 折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ．
2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．将
按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．
3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．
【变式训练】
1．（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ， ．将 折叠，使点
落在 的中点 处，折痕为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C． D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点D、E分别
在 、 上．现将 沿 翻折，使点C落在点 处．连接 ，则 长度的最小值．
（ ）
A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在
4．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在 中， ， ， ， 分别是斜
边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．
