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第六章圆章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计
算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中
点， ．“会圆术”给出 的弧长 的近似值计算公式： ．当
， 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后
代入公式计算即可．
【详解】连接 ，根据题意， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点，
，
得 ，
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∴点M，N，O三点共线，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
2．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若
， ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质及正切的定义得到 ，再根据勾股定理得到 ．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
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∵ ，
∴在 ， ，
故选： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关
键．
3．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形 内接于 ，分别以
为直径向外作半圆．若 ，则阴影部分的面积是
（ ）
A． B． C． D．20
【答案】D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为 的半圆的面积加上矩形的面积减去直
径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
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∵矩形 内接于 ，
∴
∴阴影部分的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2023·河北·统考中考真题）如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形
的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A． B． C． D．a，b大小无法比
较
【答案】A
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【分析】连接 ，依题意得 ， ， 的周长为
，四边形 的周长为 ，故
，根据 的三边关系即可得解．
【详解】连接 ，
∵点 是 的八等分点，即
∴ ，
∴
又∵ 的周长为 ，
四边形 的周长为 ，
∴
在 中有
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∴
故选：A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周
长大小是解题的关键．
5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形 是边长为 的正方形，曲线
是由多段 的圆心角的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为
的圆心依次为 循环，则 的长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ，
得到 ， ，得出半径，再计算弧长即可．
【详解】解：由图可知，曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前
一段弧半径 ，
， ， ， ，
， ， ， ，
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，
， ，
故 的半径为 ，
的弧长 ．
故选：A.
【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式： ，找到每段弧的半径变化
规律是解题关键．
6．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，
．若 ， ，则 的度数与 的长分别为（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【分析】过点O作 于点E，由题意易得 ，然
后可得 ， ， ，进而可
得 ，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作 于点E，如图所示：
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、
圆周角定理及三角函数是解题的关键．
7．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，弦 交 于点E，
， ，过点O作 于点F，延长 交 于点G，若 ，
，则 的长为( )
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A． B．7 C．8 D．
【答案】B
【分析】作 于点M，由题意可得出 ，从而可得出 为等边三
角形，从而得到 ，再由已知得出 ， 的长，进而得出 ，
的长，再求出 的长，再由勾股定理求出 的长．
【详解】解：作 于点M，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆
与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解
题关键．
8．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角
为 的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
先计算 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于 的长度，根据公式计算即可．
【详解】
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解：如下图：
连接BC，AO，
∵ ，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 的长度为： ，
∴围成的底面圆周长为 ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，
则： ，
∴ ．
故选：
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【点睛】
本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件
计算出扇形的半径是解题的关键．
9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从
地走到 地有观赏路（劣弧 ）和便民路（线段 ）.已知 、 是圆上的点， 为
圆心， ，小强从 走到 ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内
角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出 的长，最
后求它们的差即可．
【详解】
解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B= （180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC= OA=9，
AC= ，
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∴AB=2AC= ，
又∵ = ，
∴走便民路比走观赏路少走 米，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、
半径、弦心距等问题．
10．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，
以 为圆心、 长为半径画 ，点 为菱形内一点，连接 ， ， ．当
为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角
坐标系，判断出 ，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位
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置，启动改革免费进行求解即可．
【详解】
解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面
直角坐标系，如图，
∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，
很显然，
①若∠BCP=90°，则CP=BC=2
这C作CE⊥AD,交AD于点E，
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°
∴CE=CDsin∠D=2
∴点P在菱形ABCD的外部，
∴与题设相矛盾，故此种情况不存在；
②∠BPC=90°
过P作PF⊥BC交BC于点F，
∵△BPC是等腰直角三角形，
∴PF=BF= BC=1
∴P(1,1)，F(1,0)
过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°
∴∠BAG=30°
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∴BG= ，AG=
∴A ，
∴点F与点G重合
∴点A、P、F三点共线
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图
形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点 是 外一点， ， 分别与 相
切于点 ， ，点 在 上，已知 ，则 的度数是___________．
【答案】
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【分析】连接 ，根据切线的性质得出 ，根据四边形内角和得
出 ，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图 ，
∵ ， 分别与 相切于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得 是解题的关键．
12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为 ，面积为 的扇形纸片，围成
一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________ ．
【答案】
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：
，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为 ， ，
由扇形的面积： ，
得：
故答案为： .
【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题
的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．
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13．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在 中， ，
以 为直径作半圆，交 于点 ，交 于点 ，则弧 的长为__________ ．
【答案】
【分析】连接 ， ， ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，
弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴弧 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合
一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 的半径为 ， 为 的弦，点
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为 上的一点，将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，则阴影部分的面积为_______．
（结果保留 与根号）
【答案】
【分析】根据折叠的性质得出 是等边三角形，则 ， ，根据
阴影部分面积 即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 交于点
∵将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，
∴ ，
又
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ,
∴阴影部分面积
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故答案为： ．
15．（2023·湖南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 相
切于点 ，连接 ，若 ，则 的大小为__________．
【答案】
【分析】证明 ，可得 ，结合 ，证明
，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记
基本图形的性质是解本题的关键．
16．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，点
是 上一点， ，则 ________ ．
【答案】35
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【分析】由同弧所对的圆周角相等，得 再根据直径所对的圆周角为直角，
得 ，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解： 是 所对的圆周角，
是 的直径，
，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握
圆周角定理是解本题的关键．
17．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在 中， ，E为 边上一
点，以 为直径的半圆O与 相切于点D，连接 ， ．P是 边上
的动点，当 为等腰三角形时， 的长为_____________．
【答案】 或
【分析】连接 ，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出 的长，勾股定理求
出 和 的长，分 和 两种情况进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵以 为直径的半圆O与 相切于点D，
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∴ ， ，
∴
设 ，则 ，
在 中： ，即： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 为等腰三角形，
当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴点 与点 重合，
∴ ，
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不存在 的情况；
综上： 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟
练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点 的位置，是解题的关键．
18．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，
直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为
_______．
【答案】
【分析】方法一∶如图：连接 ，由题意可得： ，
，然后再根据等腰三角形的性质求得 、 ，
最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接 ，由题意可得： ，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接 ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
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方法二∶解∶ 连接 ，
由题意可得： ，
根据圆周角定理，知 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对
弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．
19．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为
，则烟囱帽的侧面积为_____________ ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式 代值求解即可得到答案．
【详解】解： 圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ，
烟囱帽的侧面积 （ ），
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式 ，熟记扇形面积公式是解决问题
的关键．
20．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 中， 的内切圆
与 分别相切于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则
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_________．
【答案】
【分析】如图所示，连接 ，设 交于H，由内切圆的定义结合三角形
内角和定理求出 ，再由切线长定理得到 ，进而推出 是 的垂直
平分线，即 ，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 交于H，
∵ 是 的内切圆，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 分别相切于点 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
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【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分
线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点
作 的切线 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质， 即可求解．
（2）根据 是 的切线，可得 ，在 中，勾股定理求得 ，
根据 ，可得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 是 的切线， 是 的半径，
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∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023·甘肃武威·统考中考真题）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作
图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立
发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成
下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，
保留作图痕迹）
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 的
圆周四等分．
【答案】见解析
【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．
【详解】解：如图，
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即点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
理由如下：
如图，连接 ，
由作图可得： ，且 ，
∴ 为等边三角形， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴A，O，D三点共线， 为直径，
∴ ，
设 ，而 ，
∴ ， ，
由作图可得： ，而 ，
∴ ， ，
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∴由作图可得 ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定
与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本
性质并灵活应用于作图是解本题的关键．
23．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以 的边 为直径作 ，交 边于
点D，过点C作 交 于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 和 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】（1）根据 ，得到 ，再根据同弧所对的圆周角相等，得到
，可证明 是等腰三角形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到 ，设 ，根据勾股定理列方
程，解得x的值，即可求出 ；解法一：过点 作 的垂线段，交 的延长线于点
F，证明 ，求出 的长，根据勾股定理即可解出 的长；解法二：连接
,得到角相等，进而证得 ，根据对应边成比例即可解出 的长．
【详解】（1）证明： ，
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，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
是 的直径，
，
，
，即 ，
根据（1）中的结论，可得 ，
根据勾股定理，可得 ，即 ，
解得 ， （舍去），
， ,
根据勾股定理，可得 ；
解法一：如图，过点 作 的垂线段，交 的延长线于点F，
，
，
，
，即 ，
， ， ，
，
，
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，
设 ，则 ，
，
可得方程 ，解得 ，
， ，
根据勾股定理，可得 ．
解法二：如图，连接 ,
， ，
，
，
又 ， ， ，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，
平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．
24．（2023·江西·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的
与 相交于点D，E为 上一点，且 ．
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(1)求 的长；
(2)若 ，求证： 为 的切线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到
，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可
得 ，再由 是 的直径，得到 ，进而求出
，进一步推出 ，由此即可证明 是 的切线．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∵E为 上一点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长 ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正
确作出辅助线是解题的关键．
25．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为
上一点， 为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求 的度数；
(2)如图2，过点 作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．
若 ，求 的长．
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；
（2）由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．
【详解】（1）∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）如图，连接 ，设 ，
则 ， ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
在 中，有勾股定理得：
由（1）得： ，
∴ ，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，
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∴ ，整理得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二
次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
26．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 都是 的半径，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据
，即可得出结论；
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（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明
，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，
在 中，根据勾股定理得出 ，求出 即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，
，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
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【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握圆周角定理．
27．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图， 为 的直径，D，E是 上的两点，
延长 至点C，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 的半径为
【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论；
（2）连接 ，由圆周角定理得出 ，证出 ，由切线的判定可得出结
论；
（3）由相似三角形的性质得出 ，由比例线段求出 和 的长，可求
出 的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，
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∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周
角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形 中，半径 ，点P在OA上，连结
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PB，将 沿PB折叠得到 ．
（1）如图1，若 ，且 与 所在的圆相切于点B．
①求 的度数．
②求AP的长．
（2）如图2， 与 相交于点D，若点D为 的中点，且 ，求 的长．
【答案】（1）①60°；② ；（2）
【分析】
(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求
的长，先连接 ，先在 中，求出 ；再在 中，求出 即可
得到答案；
（2）要求 的长，扇形的半径已知，就转化成求 的度数，连接 ，通过条件
找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为 ，建立等式求出 ，最后利用弧
长的计算公式进行计算．
【详解】
解：（1）①如图1， 为圆的切线 ．
由题意可得， ， ．
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，
②如图1，连结 ，交BP于点Q．则有 ．
在 中， ．
在 中， ，
．
（2）如图2．连结OD．设 ．
∵点D为 的中点．
．
由题意可得， ．
又
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， ，解得 ．
．
【点睛】
本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边
角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
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