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第十四章 全等三角形·拔尖卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，根据尺规作图的痕迹作
射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；
首先根据角平分线的性质得到GH=BG=1，然后三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹得AG平分∠BAC，∠B=90°
过G点作GH⊥AC于H点，如图，
∴GH=GB=1，
∵AC=4，
1 1
∴△ACG的面积= AC⋅GH= ×4×1=2．
2 2
故选：A．
2．（3分）（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，
若∠A:∠C=4:3，则∠DBC的度数为（ ）A．12° B．18° C．24° D．36°
【答案】A
【分析】设∠A=4x，∠C=3x，由三角形内角和定理得到∠ABC=180°−7x，由全等三角形的性质得
∠ABC=∠DBE，AB=DB，得∠ABD=∠CBE，由等边对等角推出∠ADB=∠A=4x，求出
∠ABD=180°−8x，由邻补角的性质得到180°−7x+180°−8x=180°，求出x=12°，由三角形的外
角性质得∠DBC=∠ADB−∠C．
【详解】解：∵∠A:∠C=4:3，
设∠A=4x，∠C=3x，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−4x−3x=180°−7x，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，AB=DB，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
∵AB=DB，
∴∠ADB=∠A=4x，
∴∠ABD=180°−∠ADB−∠A=180°−4x−4x=180°−8x，
∴∠CBE=∠ABD=180°−8x，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴180°−7x+180°−8x=180°，
∴x=12°，
∴∠DBC=∠ADB−∠C=4x−3x=x=12°，
即∠DBC的度数为12°．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补
角的定义等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（3分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位
置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在
C处接住她．已知妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.8m，∠BOC=90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1m B．1.3m C．1.5m D．1.8m
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，由AAS可判定△BOD≌△OCE，由全等三角形的性
质得OD=CE=1.8m，BD=OE=1.3m，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
AD=1m，BD=1.3m，CE=1.8m，
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，∠BOD=∠CEO，
∵∠COE+OCE=90°，
∴∠BOD=∠OCE，
在△BOD和△OCE中
¿，
∴△BOD≌△OCE(AAS)，
∴OD=CE=1.8m，BD=OE=1.3m，
∴DE=OD−OE=1.8−1.3=0.5m，
∴AE=DE+AD=0.5+1=1.5m；
故选：C．
4．（3分）（24-25七年级下·河北张家口·期末）题目：“在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′=30°,AB=A′B′=6,AC=A′C′=4，已知∠C=n°，求∠C′的度数．”对于其答案，甲答：
∠C′=n°，乙答：∠C′=150°，丙答：∠C′=180°−n°，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①当∠C
和∠C′都是锐角时，②当∠C和∠C′都是钝角时，③当∠C和∠C′中，有一个是锐角、一个是钝角时；不妨设∠C是锐角，∠C′是钝角；过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，证出
△ADB≌△A′D′B′，Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，根据全等三角形的性质即可得．
【详解】解：①如图，当∠C和∠C′都是锐角时，
过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
在△ADB和△A′D′B′中，
{∠ADB=∠A′D′B′=90°
)
∠B=∠B′ ，
AB=A′B′
∴△ADB≌△A′D′B′ (AAS)，
∴AD=A′D′，
在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，
{AC=A′C′
)
，
AD=A′D′
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′ (HL)，
∴∠C′=∠C=n°；
②如图，当∠C和∠C′都是钝角时，
过点A作AD⊥BC，交BC延长线于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′延长线于点D′，
同理可证：∠A′C′D′=∠ACD，
∴180°−∠A′C′D′=180°−∠ACD，
即∠A′C′B′=∠ACB=n°；
③如图，当∠C和∠C′中，有一个是锐角、一个是钝角时；不妨设∠C是锐角，∠C′是钝角，
过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′延长线于点D′，
同理可证：Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，
∴∠A′C′D′=∠C=n°，
∵∠A′C′D′+∠A′C′B′=180°，
∴∠A′C′B′=180°−∠A′C′D′=180°−n°；
综上，∠C′=n°或∠C′=180°−n°，
所以正确的是甲、丙答案合在一起才完整，
故选：C．
5．（3分）（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，BC=6cm，∠PBC=∠QCB=60°，点
M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运
动的时间为t(s)（当点M运动结束时，点N运动也随之结束）．在射线BP上取一点A，在点M，N运动到
某处时，存在△ABM与△MCN全等，求此时t的值．”甲的结果是0.5，乙的结果是1，丙的结果是1.5，
则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的结果合起来才对
B．乙、丙两人的结果合起来才对
C．甲、丙两人的结果合起来才对
D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．
根据题意得到CM=3t，CN=t，则BM=BC−CM=6−3t，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求
解即可．【详解】解：点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，
∴点M从C→B的时间为6÷3=2(s)，
∵它们运动的时间为t(s)，
∴CM=3t，CN=t，则BM=BC−CM=6−3t，
当△ABM≌△MCN时，
∴BM=CN,AB=CM，
∴6−3t=t，
解得，t=1.5；
当△ABM≌△NCM时，
∴AN=NC,BM=CM，
∴6−3t=3t，
解得，t=1．
综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对．
故选：B．
6．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，△ABC中，点D为AC的中点．点E是AC下方一点，
连接BE，CE．BD平分∠ABE，CE ∥AB，若CE=3，BE=7，则AB的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B
【分析】连接ED并延长交AB于点F，在BD的延长线上取一点H，使DH=DB，连接FH，证明
△ADF≌△CDE(ASA)，得AF=CE=3，DE=DF，再证明△DHF≌△DBE(SAS)得
HF=BE=7，∠H=∠DBE，进而得BF=HF=7，由此即可得出AB的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形
的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【详解】解：连接ED并延长交AB于点F，在BD的延长线上取一点H，使DH=DB，连接FH，如图，
∵点D为AC的中点，CE=3，BE=7，
∴AD=CD，
∵ CE ∥AB，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE=3，DE=DF，
∵DE=DF，∠FDH=∠EDB，DH=DB，
∴△DHF≌△DBE(SAS)，
∴HF=BE=7，∠H=∠DBE，
∵BD平分∠ABE，
∴∠DBE=∠DBF，
∴∠H=∠DBF，
∴BF=HF=7，
∴AB=AF+BF=3+7=10，
故选：B．
7．（3分）在△ABC中，AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0<AD<12 B．1<AD<6 C．0<AD<6 D．2<AD<12【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握是解题的关键．
延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB(SAS)，推出AC=BE=7，在△ABE中，根据
三角形三边关系定理得出BE−AB<AE<BE+AB，代入求出即可．
【详解】解： 延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE=7，
∵AB=5，在△ABE中，BE−AB<AE<BE+AB，
∴7−5<2AD<7+5，
∴1<AD<6．
故选：B．
8．（3分）（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点
P、Q，如果△APQ的周长为2，则∠PCQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从△APQ的周长入手求出
PQ=DQ+BP，延长AB至M，使BM=DQ，连接CM，然后利用全等来解．
【详解】解：如图所示，延长AB至M，使BM=DQ，连接CM，△APQ AP+AQ+PQ=2
的周长为2，即 ，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴AQ+QD=1，AP+PB=1，∠CDQ=∠CBM=90°，
∴AP+AQ+QD+PB=2，
∴PQ=PB+QD，
在△CBM和△CDQ中，
{
CD=CB
)
∠CDQ=∠CBM ，
DQ=BM
∴△CBM≌△CDQ(SAS)，
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∴PM=PB+BM=PB+DQ=PQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，
∴∠QCM=90°，
在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM(SSS)，
1
∴∠PCQ=∠PCM= ∠QCM=45°．
2
故选：B．
9．（3分）（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，
P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【答案】D【分析】先在BC上截取BE=BQ，连接PE，证明△PBQ≌△PBE(SAS)，得出PE=PQ，说明
AP+PQ=AP+PE，找出当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，
过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在BC上截取BE=BQ，连接PE，如图：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=68°，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=34°，
2
∵BP=BP，
∴△PBQ≌△PBE(SAS)，
∴PE=PQ，
∴AP+PQ=AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点
E，交BD于点P，如图：
∵∠AEB=90°，∠CBD=34°，
∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与
三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP+PQ最小时点P的位置．
10．（3分）在正方形ABCD中，直线m经过对角线AC，BD的交点O，过A，B两点分别作直线m的垂线，
交直线m于点E，F．若AE=2，BF=5，则EF长为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
【答案】D【分析】依据已知条件求出∠AEO=∠BFO=90°，∠EAO=∠FOB，根据AAS证△EAO≅△FOB，
推出AE=OF=2，OE=BF=5，即可得到EF的长．
【详解】解：如图，当直线m与线段AB不相交时，
∵AE⊥m，BF⊥m，∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠EAO=90°=∠AOE+∠BOF，∠AEO=∠OFB，
∴∠EAO=∠FOB，
又∵正方形ABCD中，AO=OB，
∴△EAO≅△FOB(AAS)，
∴AE=OF=2，BF=EO=5，
∴EF=EO+FO=5+2=7；
如图，当直线m与线段AB相交时，
∵AE⊥m，BF⊥m，∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠EAO=90°=∠AOE+∠BOF，∠AEO=∠OFB，
∴∠EAO=∠FOB，
又∵正方形ABCD中，AO=OB，
∴△EAO≅△FOB(AAS)，
∴AE=OF=2，BF=EO=5，
∴EF=EO−FO=5−2=3；
故选D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．本题要注意思考全面，直线m与线段AB有两种情况（相交、不相交），不能遗
漏．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、BC边上，且
CE=AD，现增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是下列中的 ．
①BD=BE；②∠BAC=∠BCA；③∠BAE=∠BCD；④AE⊥CD．
【答案】①②③
【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判
定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可．
【详解】解：①由CE=AD，BD=BE，得到AB=CB，又∠B=∠B，由SAS判定△ABE≌△CBD，故
①符合题意；
②由∠BAC=∠BCA，推出AB=CB，而CE=AD，可得BD=BE，结合∠B=∠B，由SAS判定
△ABE≌△CBD，故②符合题意；
③如图，记AE,CD交点为N，
∵∠BAE=∠BCD，∠∧=∠CNE，CE=AD，
∴△∧≌△CNE，
∴DN=EN，AN=CN，
∴AE=CD，
∵∠B=∠B，∠BAE=∠BCD，
∴由AAS判定△ABE≌△CBD，故③符合题意；
④增加添加AE⊥CD，不能判定△ABE≌△CBD，故④不符合题意．
∴增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是①②③．故答案为：①②③．
12．（3分）（23-24八年级上·河北张家口·期中）已知△ABC和△A C B ，∠B=∠B =30°，
1 1 1 1
AB=A B =5，AC=A C =3，已知∠C=n°，则∠C = ．
1 1 1 1 1
【答案】n°或180°−n°
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明全等，讨论当BC=B C
1 1
时，可得△ABC≌△A B C (SSS)，则∠C =∠C=n°，当BC≠B C 时，由A C′ =A C 可得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∠A C′ C =∠C′ =n°，则问题可解
1 1 1 1
【详解】解：当BC=B C 时，△ABC≌△A B C (SSS)，
1 1 1 1 1
∴∠C =∠C=n°，
1
当BC≠B C 时，如图，
1 1
∵A C′ =A C ，
1 1 1 1
∴∠A C′ C =∠C′ =n°，
1 1 1 1
∴∠A C′ B =180°−n°，
1 1 1
故答案为：n°或180°−n°
13．（3分）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且
∠BAO=∠CAO，则图中的全等三角形共有 对．
【答案】4【分析】根据垂直定义得出∠ADO=∠AEO=90°，根据全等三角形的判定定理AAS推出
△DAO≌△EAO，根据全等三角形的性质得出AD=AE，DO=ED，根据垂直定义得出
∠BDO=∠CEO=90°，根据全等三角形的判定定理ASA推出△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质
得出∠C=∠B，CE=BD，易得AB=AC，根据全等三角形的判定定理SAS推出△ABE≌△ACD和
△BAO≌△CAO即可．
【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
在△DAO和△EAO中，
{∠DAO=∠EAO
)
∠ADO=∠AEO ，
AO=AO
∴△DAO≌△EAO(AAS)，
∴AD=AE，DO=ED，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CEO=90°，
在△BDO和△CEO中，
{∠BDO=∠CEO
)
DO=EO ，
∠DOB=∠EOC
∴△BDO≌△CEO(ASA)，
∴∠C=∠B，CE=BD，
∵AE=AD，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
在△BAO和△CAO中，
{
AB=AC
)
∠BAO=∠CAO ，
AO=AO
∴△BAO≌△CAO(SAS)，
即全等三角形共4对．故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理以及垂直的定义等知识，能熟记全等三角形的判定定理是解此
题的关键．
14．（3分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上
（点C与点A不重合），点B到射线AM的距离为d，BC=x，若x取某一确定值时，△ABC的形状、大小
是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
【答案】x=d或x≥a
【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【详解】解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为d，
∴BD=d，
①如图，
当C点和D点重合时，d=x，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当d<x<a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x=d或x≥a，
故答案为：x=d或x≥a．
【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是
解此题的关键．
15．（3分）（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，
则∠α+∠β= 度．
【答案】45
【分析】连接AB，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出∠DBC=∠BCE=∠β、
∠ABD=∠CAE=∠α及△CAB是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接AB，
∵DB∥CE，
∴∠DBC=∠BCE=∠β，
∵△ACE和△BAD中，
{
AE=BD
)
∠AEC=∠BDA
CE=AD
∴△ACE≌△BAD(SAS)，∴∠ABD=∠CAE=∠α，AC=BA，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
即∠CAB=90°，
∴△CAB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠α+∠β=45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判
定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=DC，AB⊥AE，且AE=AB，连接DE交AC的延
AC 3 BD
长线于点F， = ，则 = ．
CF 2 CD
4
【答案】
3
【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得△ACG≌△DCF，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
再证明△GAB≌△FEA，进而即可求解．
【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴△ACG≌△DCF，∴∠AGC=∠CFD，
设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴△GAB≌△FEA，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG-GD=4x，
BD 4
∴ = ．
CD 3
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，
CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
(1)求证：∠ADC+∠B=180°．
(2)若AD=2，AB=4，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)AF=3
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关
键．
（1）由角平分线的性质定理得CE=CF，再由CD=BC可证明Rt△CED≌Rt△CFB，从而有
∠EDC=∠B；由∠EDC+∠ADC=180°即可求证结论成立；
（2）证明Rt△AEC≌Rt△AFC，则AF=AE=2+DE；由Rt△CED≌Rt△CFB得DE=BF，则
AF=4+DE，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，CF⊥AB，CE⊥AD,
∴CE=CF；
∴CD=BC，∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL)，
∴∠EDC=∠B；
∴∠EDC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°；
（2）解：∵CE=CF，AC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，
∴AF=AE=AD+DE=2+DE；
∵Rt△CED≌Rt△CFB，
∴DE=BF，
∴AF=AB−BF=4−DE，
∴2AF=6，
∴AF=3．
18．（6分）（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且
BD=BE．
(1)请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______．
(2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由．
【答案】(1)∠BEA=∠BDC，ASA（答案不唯一）
(2)△DFA≌△EFC，理由见解析
【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键
（1）根据已知条件，在△BEA和△BDC中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即
可（也可添加BA=BC）；
（2）由△BEA≌△BDC得∠DAF=∠ECF，AB=CB，进而可得AD=CE，即可证明
△DFA≌△EFC(AAS)．
【详解】（1）解：添加的条件是∠BEA=∠BDC，依据是ASA；
在△BEA和△BDC中，{∠BEA=∠BDC
)
BE=BD
∠B=∠B
∴ △BEA≌△BDC(ASA)；
故答案为：∠BEA=∠BDC，ASA；
（2）解：△DFA≌△EFC，理由如下：
∵ △BEA≌△BDC，
∴ ∠DAF=∠ECF，AB=CB，
∵ BD=BE，
∴ AB−BD=CB−BE，即AD=CE，
在△DFA和△EFC中，
{∠DAF=∠ECF
)
∠DFA=∠EFC
AD=CE
∴ △DFA≌△EFC(AAS)．
19．（8分）（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形ABFD中，∠A=90°，过点B作
BC⊥DF于点C，AB=BC，在AD上截取AM=CF，连接BM，BE平分∠FBM交AD的延长线于点E，
连接FE．
【问题解决】（1）证明：∠MBE=∠ABM+∠CBE；
【问题探究】（2）探索线段AE，EF，CF之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AE=EF+CF．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）先证明△ABM≌△CBF(SAS)得出∠ABM=∠CBF，再由角平分线的定义得出∠MBE=∠FBE，
即可得证；
（2）由△ABM≌△CBF得出BM=BF，证明△BME≌△BFE(SAS)，得出EM=EF，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵BC⊥DF，
∴∠BCF=90°，
∴∠A=∠BCF，
在△ABM和△CBF中，
{
AB=CB
)
∠A=∠BCF ，
AM=CF
∴△ABM≌△CBF(SAS)，
∴∠ABM=∠CBF．
∵BE平分∠FBM，
∴∠MBE=∠FBE，
∴∠MBE=∠FBE=∠FBC+∠CBE=∠ABM+∠CBE．
（2）AE=EF+CF．理由如下：
∵△ABM≌△CBF，
∴BM=BF，
在△BME和△BFE中，
{
BM=BF
)
∠MBE=∠FBE ，
BE=BE
∴△BME≌△BFE(SAS)，
∴EM=EF．
∵AE=EM+AM，
∴AE=EF+CF．
20．（8分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已
知∠BAC=∠B A C=30°，AB=2BC．
1 1
(1)固定三角板A B C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A C、A B 分
1 1 1 1 1
别交于点D、E，AC与A B 交于点F．
1 1①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB = ___________度；
1
②当旋转角等于多少度时，AB与A B 垂直？请说明理由．
1 1
(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB ，AB与A C交于点D，试
1 1
说明A D=CD．
1
【答案】(1)①160；②旋转角为30∘
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点．
（1）①根据旋转的性质得∠A CA=20°，则利用互余得到∠ACB =70°，然后根据
1 1
∠BCB =∠ACB+∠ACB 进行计算；
1 1
②利用AB与A B 垂直得∠A ED=90°，则∠A DE=90°−∠A =60°，根据对顶角相等得
1 1 1 1 1
∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A CB=180°−∠BDC−∠B=60°，所以
1
∠AC A =90°−∠A CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A B 垂直；
1 1 1 1
（2）先证明△CDB≌△CGB (ASA)，再证明△A DH≌△AGH(AAS)，然后证明
1 1
△ACH≌△A CH(SSS)，最后证明△A DH≌△CDH(AAS)．
1 1
【详解】（1）解：∵将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴∠A CA=20°，
1
∴∠ACB =90°−20°=70°，
1
∴∠BCB =∠ACB+∠ACB =90°+70°=160°；
1 1
故答案为：160；
②当旋转角等于30∘时，AB与A B 垂直．理由如下：
1 1
当AB与A B 垂直时，∠A ED=90∘，
1 1 1
∴∠A DE=90∘−∠A =90∘−30∘=60∘，
1 1
∴∠BDC=60∘，
∵∠B=60∘，
∴∠A CB=180∘−∠BDC−∠B=60∘，
1
∴∠AC A =90∘−∠A CB=30∘；
1 1
即旋转角等于30∘时，AB与A B 垂直；
1 1
（2）解：连接CH，∵∠ACB=∠A CB=90°，
1
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠B ，CB=CB ，
1 1
∴△CDB≌△CGB (ASA)，
1
∴CD=CG，
∵CA=C A ，
1
∴A D=AG，
1
∵∠A=∠A ，∠A HD=∠AHG，
1 1
∴△A DH≌△AGH(AAS)，
1
∴AH=A H，
1
∵HC=HC,CA=C A ，
1
∴△ACH≌△A CH(SSS)，
1
∴∠A CH=∠ACH，
1
∵AB∥CB ，
1
∴∠2=∠A=30°，∠A DH=∠ACB =90°
1 1
1
∴∠A CH=∠ACH= ×(90°−30°)=30°，
1 2
∴∠A CH=∠A =30°，
1 1
∵∠A DH=90°，
1
∴CDH=180°−∠A DH=90°=∠A DH，
1 1
∵DH=DH，
∴△A DH≌△CDH(AAS)，
1
∴A D=CD.
1
21．（10分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【新知】在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC，即
△ABC是等腰三角形．
【解决问题】如图，已知正方形ABCD中点E为边AB上异于点A、B的一动点，EF∥AC，交BC于点F，连接DF．点G为DA延长线上一定点，满足AG=AD．GE的延长线与DF交于点H，连接BH．（备注：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)判断△BEF的形状；
(2)试说明：△AGE≌△CDF；
(3)探究∠EHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】(1)△BEF是等腰直角三角形
(2)见解析
(3)∠EHB是定值，为45°，理由见解析
【分析】（1）先求出∠BAC=∠ACB=45°，再根据平行线的性质可得
∠BEF=∠BAC=∠ACB=∠BFE=45°，从而得到BE=BF，即可解答；
（2）根据BE=BF，AB=BC，可得AE=CF，再由AG=AD，可得AG=CD，即可解答；
（3）在GE取点M使ME=FH，连接BM，证明△BEM≌△BFH，可得BM=BH,∠EBM=∠FBH，
从而得到∠HBM=∠FBE=90°，进而得到△BMH为等腰直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
1
∴∠BAC=∠ACB= (180°−90°)=45°，
2
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠BAC=∠ACB=∠BFE=45°，
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形，
∵∠ABC=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（2）解：∵BE=BF，AB=BC
∴AB−AE=BC−BF，即AE=CF，
∵AG=AD,AD=CD，∴AG=CD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠EAG=180°−∠BAD=90°=∠BCD，
在△AGE和△CDF中，
∵AG=CD，∠EAG=∠BCD，AE=CF，
∴△AGE≌△CDF(SAS)；
（3）解：是定值，为45°，理由如下：
如图，在GE取点M使ME=FH，连接BM，
由（2）得：△AGE≌△CDF，
∴∠AEG=∠CFD，
∴180°−∠AEG=180°−∠CFD，
即∠BEM=∠BFH，
在△BEM和△BFH中，
∵ME=FH，∠BEM=∠BFH，BE=BF，
∴△BEM≌△BFH(SAS)，
∴BM=BH,∠EBM=∠FBH，
∴∠EBM+∠EBH=∠FBH+∠EBH，
即∠HBM=∠FBE=90°，
∴△BMH为等腰直角三角形，
∴∠BHE=45°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练
掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键．
22．（10分）（24-25八年级下·广东佛山·期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．(1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与点A重合，D、E分别在边AB、AC上，沿AF画射线交BC
于P．则AP是∠BAC的平分线，说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于Q，若AB+AC=a，S =b，则PQ=_______．
△ABC
【答案】(1)AP是∠BAC的平分线，证明见解析
2b
(2)
a
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的
长度是解题关键．
（1）利用三条对应边相等证明△ADF≌△AEF来得到∠DAF=∠EAF即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到△APC的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可．
【详解】（1）解：AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
{AD=AE
)
AF=AF ，
DF=EF
∴△ADF≌△AEF(SSS)
∴∠DAF=∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
（2）解：如图，过P作PL⊥AC于L，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PQ=PL，∵AB+AC=a，S =b，
△ABC
1 1 1
∴ AB⋅PQ+ AC⋅PL=b，即 a⋅PQ=b，
2 2 2
2b
∴PQ= ．
a
23．（12分）（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC=7，
BC=9，AB=10，P为AB上一点，思考当点P在什么位置时，△ACP与△BCP是偏等积三角形？并说明
理由．
问题探究：
（2）如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=2,AC=6，且线段AD的长度为正整数，过点C作
CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角
∠ACB=∠DCE=90°(0°<∠BCE<90°)请问△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？说明理由．
【答案】（1）当点P在AB中点时，△ACP与△BCP是偏等积三角形，理由见解析；（2）6；（3）是，
理由见解析
【分析】本题考查了三角形的三边关系、同角的余角相等、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）设点 C到AB的距离为h，根据当点 P在AB中点时，AP=BP，S =S ，根据AC≠BC即可
△ACP △BCP
得到结论；
1 1
（2）设点A到BC的距离为n，则 S = BD⋅n，S = CD⋅n，先证明 △CDE≌△BDA(AAS)，
△ABD 2 △ACD 2
结合三角形三边关系以及AE为偶数即可得出结果；
（3）过A作AM⊥DC于M， 过B作BN⊥CE于N， 证明△ACM≌△BCN(AAS)，得到AM=BN，
根据三角形面积的计算，推出△ACD与△BCE不全等，得出结论【详解】解：当点 P在AB中点时，△ACP与△BCP是偏等积三角形，理由如下：
1 1
设点 C到AB的距离为h，则S = ×AP×ℎ,S = ×BP×ℎ
△ACP 2 △BCP 2
当点 P在AB中点时，AP=BP ，
∴S =S
△ACP △BCP
∵AC≠BC，
∴△ACP与△BCP不全等，
∴△ACP与△BCP是偏等积三角形
1 1
（2）设点A到BC的距离为n，则 S = BD⋅n，S = CD⋅n，
△ABD 2 △ACD 2
∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，
∴S =S ,
△ABD △ACD
∴BD=CD，
∵CE∥AB，
∴∠ECD=∠B，∠E=∠BAD，
在△CDE和△BDA中，
{∠ECD=∠B
)
∠E=∠BAD
CD=BD
∴△CDE≌△BDA(AAS)，
∴CE=AB=2，ED=AD，
∴AE=ED+AD=2AD，
∵线段AD的长度为正整数，
∴AE的长度为偶数，
在△ACE中，AC=6，CE=2，
∴6−2<AE<6+2，
即：4<AE<8，
∴AE=6；
（3）①△ACD与△BCE是偏等积三角形，理由如下：
过A作AM⊥DC于M， 过B作BN⊥CE于N， 如图3所示：则∠AMC=∠BNC=90°，
∵△ACB、△DCE是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
∴∠BCN+∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE=360°−90°−90°=180°，
∵∠ACM+∠ACD=180°，
∴∠ACM=∠BCN
在△ACM和△BCN中，
{∠AMC=∠BNC
)
∠ACM=∠BCN ，
AC=BC
∴△ACM≌△BCN(AAS)
∴AM=BN，
1 1
∵S = CD⋅AM，S = CE⋅BN，
△ACD 2 △BCE 2
∴S =S
△ACD △BCE
∵∠BCE+∠ACD=180°，0°<∠BCE<90°，
∴∠ACD≠∠BCE，
∵CD=CE，AC=BC
∴△ACD与△BCE不全等，
∴△ACD与△BCE是偏等积三角形
24．（12分）（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】
角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法．
【模型证明】
常见模型1
条件：如图，OC为∠AOB的角平分线，CA⊥OA，垂足为点A，CB⊥OB，垂足为点B．结论：CA=CB，△OAC≌△OBC．
常见模型2
条件：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的角平分线，过点DE⊥AB，垂足为点E．
结论：DC=DE，且△DAC≌△DAE（当△ABC是等腰直角三角形时，有AB=AC+CD）．
常见模型3
条件：如图，OC是∠AOB的角平分线，∠OAC=∠CBN．
结论：AC=BC．
根据模型3的条件，请证明上述结论AC=BC．
【模型运用】
如图，BE，CE分别为∠ABC和∠BCE的平分线，AB∥CD，则AB，CD，BC的数量关系是 ．
【解决问题】
如图，ABCD是一个四边形人工湖，AB=AD，BC=80米，CD=60米，甲、乙两人同时从点C出发，
甲沿CB方向以2米/秒的速度前进，乙沿CD方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F
1
处，此时测得∠EAF= ∠BAD，∠B+∠D=180°，此时甲、乙两人的距离为 米．
2【答案】模型证明：见解析；模型运用：AB+CD=BC；解决问题：50
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，
添加适当的辅助线是解此题的关键．
模型证明：作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则∠CDA=∠CEB=90°，CD=CE，证明
△CAD≌△CBE(AAS)，即可得证；
模型运用：在BC上截取点F，使得CD=CF，连接EF，由角平分线的定义可得∠ECF=∠ECD，证明
△CED≌△CEF(SAS)，得出CD=CF，∠CFE=∠D，再证明△ABE≌△FBE(AAS)，得出AB=BF，
即可得证；
解决问题：由题意可得CE=60米，CF=30米，延长CD至点G，使得DG=BE，连接AG，证明
△ABE≌△ADG(SAS)，得出DG=BE=20米，∠BAE=∠DAG，AE=AG，再证明
△AEF≌△AGF(SAS)，即可得解．
【详解】模型证明：证明：如图，作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
则∠CDA=∠CEB=90°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴CD=CE，
∵∠OAC=∠CBN，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴CA=CB；
模型运用：如图，在BC上截取点F，使得CD=CF，连接EF，∵CE平分∠BCE，
∴∠ECF=∠ECD，
∵CE=CE，CD=CF，
∴△CED≌△CEF(SAS)，
∴∠CFE=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠BFE+∠CFE=180°，
∴∠BFE=∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(AAS)，
∴AB=BF，
∵BF+CF=BC，
∴AB+CD=BC；
故答案为：AB+CD=BC；
解决问题：由题意可得：CE=60米，CF=30米，BC=80米，CD=60米，
∴BE=BC−CE=80−60=20米，DF=CD−CF=60−30=30米，
如图，延长CD至点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
∵AB=AD，DG=BE，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴DG=BE=20米，∠BAE=∠DAG，AE=AG，1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=∠DAG+∠EAF+∠DAF=∠EAF+∠GAF，
1
∴∠EAF= (∠EAF+∠GAF)，
2
∴∠EAF=∠GAF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF=GD+DF=20+30=50米，
即此时甲、乙两人的距离为50米．
故答案为：50．
