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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
专题 02 常用逻辑用语
一、单选题
1.已知x，y，z R，则x＞y的一个充分不必要条件是（ ）
∈
A．|x|＞|y| B．ex＞ey C．xz2＞yz2 D．
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：选项A中，|x|＞|y|不能够推出x＞y，由x＞y不能够推出|x|＞|y|，故|x|＞|y|是x＞y的既不充分
也不必要条件，
选项B中，ex＞ey x＞y，故ex＞ey是x＞y的充要条件，
选项C中，xz2＞yz2 x＞y，当z＝0时，x＞y不能够推出xz2＞yz2，故xz2＞yz2是x＞y的充分不
⇔
必要条件，
⇒
选项D中， ＜ 不能够推出x＞y，x＞y也不能够推出 ，故 是x＞y的既不充分
也不必要条件．
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由
充分必要条件的定义即可得答案．
【解答】解：根据题意，因为y＝2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，
反之若2a＞2b，必有a＞b，
则a＞b是2a＞2b的充要条件，
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
3.已知a，b为实数，则下列不是lna＞lnb的一个必要不充分条件是（ ）
A． ＞ B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D． ＜
【答案】B
【分析】根据充要关系对四个选项逐一进行判断即可．
【解答】解：lna＞lnb 0＜b＜a．易知A，C，D都是lna＞lnb的一个必要不充分条件．
对于B，由ac2＞bc2不一定能得到lna＞lnb，
⇔且由lna＞lnb不一定得到ac2＞bc2，
故ac2＞bc2是lna＞lnb的一个既不充分也不必要条件．
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
4.设函数f（x）＝ ，其中P，M是实数集R的两个非空子集，又规定A（P）＝{y|y＝f（x），
x P}，A（M）＝{y|y＝f（x），x M}，则下列说法：
（1）∈一定有A（P）∩A（M）＝∅；∈
（2）若P∪M≠R，则A（P）∪A（M）≠R；
（3）一定有P∩M＝∅；
（4）若P∪M＝R，则A（P）∪A（M）＝R．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】画图举例说明（1）（4）错误；分析分段函数f（x）＝ 定义域、值域均为实数集的情
况说明（2）正确；由分段函数的定义说明（3）正确．
【解答】解：由题意知，A（P）为分段函数中函数f（x）＝﹣x，x P的值域，
∈
A（M）为分段函数中函数f（x）＝ ，x M的值域．
若f（x）的图象如图所示，
∈
则A（P）∩A（M）＝（0，+∞）≠∅，故（1）错误；
P∪M＝R，但A（P）∪A（M）≠R，故（4）错误；
对于分段函数f（x）＝ ，只有P＝{0}，M＝{x|x≠0}时，满足P∪M＝R，A（P）
∪A（M）＝R，
若P∪M≠R，则A（P）∪A（M）≠R，故（2）正确；分段函数不同段的定义域没有公共部分，故一定有P∩M＝∅，故（3）正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B．
【知识点】命题的真假判断与应用
5.已知a、b、l是空间中的三条直线，其中直线a、b在平面 上，则“l⊥a且l⊥b”是“l⊥平面 ”的（
） α α
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】“l⊥a且l⊥b”，当且仅当 a，b相交时，“l⊥平面 ”，反之，“l⊥平面 ”⇒“l⊥a且
l⊥b”，从而“l⊥a且l⊥b”是“l⊥平面 ”的必要不充分条件．
α α
【解答】解：a、b、l是空间中的三条直线，其中直线a、b在平面 上，
α
“l⊥a且l⊥b”，当且仅当a，b相交时，“l⊥平面 ”，
α
反之，“l⊥平面 ”⇒“l⊥a且l⊥b”，
α
∴“l⊥a且l⊥b”是“l⊥平面 ”的必要不充分条件，
α
故选：B．
α
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
6.已知x R，条件p：x2＜x，条件 ，则p是q的（ ）
A．充∈分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】分别求解所给的两个不等式，得到其对应的集合，然后确定充分性和必要性即可．
【解答】解：求解二次不等式x2＜x，可得0＜x＜1，则A＝{x|0＜x＜1}，
求解分式不等式 可得0＜x＜1，则B＝{10＜x＜1}，
因为A＝B，所以p是q的充分必要条件．
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
7.已知x≠0，n N*，则“n＝2”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必∈要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】从两个方面看：看n＝2时，能否得出“ 的二项展开式中存在常数项”，即验证充分性
是否成立；然后看“ 的二项展开式中存在常数项”时，能否得出n＝2，即验证必要性是否成立，最后即可得出“n＝2”和“ 的二项展开式中存在常数项”的关系．
【解答】解：①n＝2时， ，
∴“n＝2“是“ 的二项展开式中存在常数项“的充分条件；
②若 的二项展开式中存在常数项，设常数项为 ，则n﹣2r
＝0，
∴ ，r为正整数，
∴n能被2整除，即得不出n＝2，
∴“n＝2“不是“ 的二项展开式中存在常数项”的必要条件；
综上得，“n＝2”是“ 的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
8.已知复数z＝﹣1+ i， 为z的共轭复数，若复数w＝ ，则下列结论错误的是（ ）
A．w在复平面内对应的点位于第二象限
B．|w|＝1
C．w的实部为﹣
D．w的虚部为
【答案】D
【分析】根据复数的运算性质求出复数w即可判断．
【解答】解：∵z＝﹣1+ i， 为z的共轭复数，则 ＝﹣1﹣ i，
∴复数w＝ ＝ ＝ ＝ ＝﹣ + i，
w在复平面内对应的点为（﹣ ， ），位于第二象限，
|w|＝ ＝1，w的实部是﹣ ，虚部是 ，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用
二、多选题9.已知 ， 是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．α若mβ∥n，m⊥ ，则n⊥ B．若m∥ ， ∩ ＝n，则m∥n
C．若m⊥ ，m⊥α，则 ∥α D．若m⊥α，αm∥βn，n∥ ，则 ∥
【答案】AC α β α β α β α β
【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．
【解答】解：A．由m∥n，m⊥ ，则n⊥ ，正确；
B．由m∥ ， ∩ ＝n，则m与n的位置关系不确定；
α α
C．由m⊥ ，m⊥ ，则 ∥ 正确
α α β
D．由m⊥ ，m∥n，n∥ ，则 ⊥ ，因此不正确．
α β α β
故选：AC．
α β α β
【知识点】命题的真假判断与应用
10.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则
C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
D．若a＞b，c＞d＞0，则
【答案】BC
【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．
【解答】解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；
若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得 ，即 ﹣ ＞0，所以B正确；
若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；
若a＞b，c＞d＞0，则 ．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，
显然 ， ，所以D不正确．
故选：BC．
【知识点】命题的真假判断与应用
11.已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，当 x＜0时，f（x）＝ex（x+1），则下列命题正确的是
（ ）
A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）
B．函数f（x）有3个零点
C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．∀x，x R，都有|f（x）﹣f（x）|＜2
1 2 1 2
【答案】BCD ∈
【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝ex（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1），f′
（x）＝）＝ex（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．
【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f（x）＝ex（x+1），
设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），
x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．
当x＜0时，f（x）＝ex（x+1），f′（x）＝）＝ex（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得
极小值，
f（﹣2）＝ ．可得其图象：
f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
x，x R，都有|f（x）﹣f（x）|≤|f（0 ）﹣f（0 ）|＜2．
1 2 1 2 + ﹣
因此BCD都正确．
∀ ∈
故选：BCD．
【知识点】命题的真假判断与应用
12.在正方体ABCD﹣ABC D 中，P，Q分别为棱BC和棱CC 的中点，则下列说法正确的是（ ）
1 1 1 1 1
A．BC ∥平面AQP
1
B．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
C．AD⊥平面AQP
1
D．异面直线QP与AC 所成的角为60°
1 1
【答案】ABD
【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面
的判定的应用求出结果．
【解答】解：在正方体ABCD﹣ABC D 中，P，Q分别为棱BC和棱CC 的中点，
1 1 1 1 1
如图所示：①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC 的中点，
1
所以PQ∥BC ，由于PQ 平面APQ，BC 不在平面APQ内，所以BC ∥平面APQ，故选项A
1 1 1
正确．
⊂
②对于选项B：连接AP，AD，DQ，由于AD∥PQ，DQ＝AP，所以：平面APQ截正方体所
1 1 1 1
得截面为等腰梯形，故正确．
③对于选项C：由于AD⊥平面ABCD ，平面ABCD 和平面APQD 为相交平面，所以AD⊥
1 1 1 1 1 1 1
平面AQP，错误．
④对于选项D：PQ∥BC ，△ABC 为等边三角形，所以∠AC B＝60°，即异面直线QP与AC
1 1 1 1 1 1 1
所成的角为60°．故正确．
故选：ABD．
【知识点】命题的真假判断与应用
三、填空题
13.设条件p：|2x+3|＜1；条件q：x2﹣（2a+2）x+a（a+2）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的
取值范围是 ．
【答案】[-3，-2]
【分析】求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．
【解答】解：∵q是p的必要不充分条件，∴p q，且q⇏p．
记p：A＝{x||2x+3|＜1}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，
⇒
q：B＝{x|x2﹣（2a+2）x+a（a+2）≤0}＝{x|a≤x≤a+2}，
则A是B的真子集．从而 且两个等号不同时成立，
解得﹣3≤a≤﹣2．
故实数a的取值范围是[﹣3，﹣2]
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
14.命题“∀x （1，2），x2＞1”的否定是 ．
【答案】∃x ∈（1，2），x2≤1
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
∈
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x （1，2），x2＞1”的否定是：∃x （1，
2），x2≤1．
∈ ∈
故答案为：∃x （1，2），x2≤1．
∈【知识点】全称量词和全称命题、命题的否定
15.设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的 条件（选填“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．
【答案】充分不必要
【分析】求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：命题q：x2﹣5x+4≥0 x≤1，或x≥4，
∵命题p：x＞4；
⇔
故p是q的：充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
16.若命题“∃x R，x2+x+m＜0”是假命题，则实数m的范围是 ．
0 0 0
【分析】命题“∈∃x R，x2+x+m＜0”的否定为：“∀x R，x2+x+m≥0“，原命题为假，则其否定为真，
0 0 0
由△＝1﹣4m≤0，可求出实数m的范围．
∈ ∈
【解答】解：命题“∃x R，x2+x+m＜0”是假命题，即命题的否定为真命题，
0 0 0
其否定为：“∀x R，x2+x+m≥0“，
∈
则△＝1﹣4m≤0，
∈
解得：m≥ ，
故实数m的范围是：[ ，+∞）．
【知识点】存在量词和特称命题
17.若 x {﹣1，m}是不等式 2x2﹣x﹣3≤0 成立的充分不必要条件，则实数 m 的范围是 ﹣
． ∈
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解．
【解答】解：由2x2﹣x﹣3≤0得（x+1）（2x﹣3）≤0，
得﹣1≤x≤ ，
若（﹣1，m）是不等式2x2﹣x﹣3≤0成立的充分不必要条件，
则﹣1＜m≤ ，
即实数m的取值范围是（﹣1， ]，
故答案为：（﹣1， ]
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
18.如图，M点在正方体ABCD﹣ABC D 的棱CC 上（不含端点），给出下列五个命题：
1 1 1 1 1
①过M点有且只有一条直线与直线AB，AD 都是异面直线；
1
②过M点有且只有一条直线与直线AB，AD 都相交；
1
③过M点有且只有一条直线与直线AB，AD 都垂直；
1
④过M点有无数个平面与直线AB，AD 都相交；
1⑤过M点有无数个平面与直线AB，AD 都平行；
1
其中真命题是 ．
【答案】②③④
【分析】利用空间直线的位置关系，作辅助线，对选项逐一分析，利用命题真假进行判断即可．
【解答】解： 连接BC ，AD ，由题意可得BC ∥AD ，所以ABCD 共面，
1 1 1 1 1 1
M CC ，（不含端点），所以M不在面ABCD ，在面ABCD 任取一点E不在直线AB，AD ，得
1 1 1 1 1 1
到的直线ME与直线AB，AD 都是异面直线；
1
∈
所以①不正确；
只有过A，即只有MA是过M点有且只有一条直线与直线AB，AD 都相交；所以②正确；
1
过M做面ABCD 的垂线垂足为Q，即仅有一条过M点有且只有一条直线与直线AB，AD 都垂
1 1 1
直；所以③正确；
过M由无数多个平面与面ABCD 相交，所以过M点有无数个平面与直线AB，AD 都相交，所
1 1 1
以④正确；
而过M点仅有一个平面与面ABCD 平行，所以过M点有无数个平面与直线AB，AD 都平行不
1 1 1
正确，即⑤不正确；
故答案为：②③④．
【知识点】命题的真假判断与应用
19.若∃x R，x2﹣a +5＜0为假，则实数a的取值范围为 ．
0 0
∈
【答案】（-∞，4]
【分析】若∃x R，x2﹣a +5＜0为假，则其否定命题为真，
0 0
利用∈ 分离常数法和基本不等式求出a的取值范围．
【解答】解：若∃x R，x2﹣a +5＜0为假，
0 0
∈
则其否定命题为真，即∀x R，x2﹣a +5≥0为真，
∈所以a≤ 对任意实数恒成立；
设f（x）＝ ，x R；
∈
则f（x）＝ + ≥2 ＝4，
当且仅当 ＝ ，即x＝± 时等号成立，
所以实数a的取值范围是a≤4．
故答案为：（﹣∞，4]．
【知识点】命题的真假判断与应用、存在量词和特称命题
20.已知直线a⊥平面 ，直线b 平面 ，给出下列5个命题①若 ∥ ，则a⊥b；②若 ⊥ ，则a⊥b：③
若 ⊥ ，则a∥b：α④若a∥b⊂，则 β⊥ ；⑤若a⊥b则 ∥ ，其α中β正确命题的序号是α β．
【答案α】①β ④ α β α β
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答
案．
【解答】解：对于①，由a⊥平面 ， ∥ ，得a⊥ ，又直线b 平面 ，∴a⊥b，故①正确；
对于②，由a⊥平面 ， ⊥ ，得a∥ 或a ，而直线b 平面 ，∴a与b的关系是平行、相
α α β β ⊂ β
交或异面，故②错误；
α α β β ⊂β ⊂ β
对于③，由a⊥平面 ， ⊥ ，得a∥ 或a ，而直线b 平面 ，∴a与b的关系是平行、相
交或异面，故③错误；
α α β β ⊂β ⊂ β
对于④，由a⊥平面 ，a∥b，得b⊥ ，又直线b 平面 ，∴ ⊥ ，故④正确；
对于⑤，由a⊥平面 ，a⊥b，得b∥ 或b ，又直线b 平面 ，∴ 与 相交或平行，故⑤
α α ⊂ β α β
错误．
α α ⊂α ⊂ β α β
∴其中正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系、四种命题间的逆否关系
21.已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形或
空间几何体．在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的 ．（写出所有正确结论的
编号）
①每个面都是直角三角形的四面体；
②每个面都是等边三角形的四面体；
③每个面都是全等的直角三角形的四面体：
④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．
【答案】①②④
【分析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可．【解答】解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E﹣ABC，所以①正确；
②每个面都是等边三角形的四面体；如E﹣BGD，所以②正确；
③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；
④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A﹣BDE，所以④正确；
故答案为：①②④．
【知识点】命题的真假判断与应用
22.已知m、n是平面 外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥ ；③m⊥ ；以其中两个论断
作为条件，写出一α个正确的命题（论断用序号表示）： ．α α
【答案】若②③则①
【分析】直接利用线面垂直和线线平行的关系的应用求出结果．
【解答】解：已知m、n是平面 外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥ ；③m⊥ ；
当m⊥ 时，m必垂直于平面 内的任意一条直线，由于n∥ ，
α α α
所以m⊥n，
α α α
如图所示
故答案为：若②③则①．
【知识点】命题的真假判断与应用
23.关于函数 有下列三个结论，
① 是函数f（x）的周期；
②函数f（x）在x [0， ]的所有零点和为 ；
③函数f（x）的值∈域[﹣π1，1]．
其中所有正确结论的编号是 ．
【答案】①③【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．
【解答】解：对①，因为函数y＝|cos（2x﹣ ）|．y＝|sin（2x﹣ ）|的周期都为 ，所以 是函数f
（x）的周期，①正确；
对②，令f（x）＝0，∴tan（2x﹣ ）＝±1，解得，2x﹣ ＝± +k ，即x＝ + 或
π
x＝ ，
而x [0， ]，∴x＝ 或x＝ 或x＝ 或x＝ ，即函数f（x）在x [0， ]的所有
∈ π ∈ π
零点和为 ，②错误；
对③，设y＝|cos（2x﹣ ）|﹣|sin（2x﹣ ）|，y2＝1﹣2|cos（2x﹣ ）||sin（2x﹣ ）|
≤1，即﹣1≤y≤1，③正确．
故答案为：①③．
【知识点】命题的真假判断与应用、三角函数的周期性
24.已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣2a，若存在x （﹣∞，a]，使f（x）≥0，则实数a的取值范围为 ．
0 0
【答案】[-1，0] [2，+∞） ∈
【分析】求导可得故当x＝0时，函数取极大值﹣2a，分类讨论满足存在x （﹣∞，a]，使f（x ）≥0的
0 0
∪
实数a的取值范围，综合可得答案．
∈
【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣x2﹣2a，∴f′（x）＝3x2﹣2x，
当x＜0或x＞ 时，f′（x）＞0，当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，
故当x＝0时，函数取极大值﹣2a，
若a≤0，若存在x （﹣∞，a]，使f（x）≥0，则f（a）＝a3﹣a2﹣2a≥0，
0 0
解得a [﹣1，0]，
∈
若a＞0，若存在x （﹣∞，a]，使f（x ）≥0，则f（0）＝﹣2a≥0，或f（a）＝a3﹣a2﹣
0 0
∈
2a≥0，
∈
解得：a [2，+∞），
综上可得：a [﹣1，0]∪[2，+∞），
∈
故答案为：[﹣1，0]∪[2，+∞）．
∈
【知识点】存在量词和特称命题
25.已知f'（x）是函数 的导函数，且 ，3a＞2c＞2b，则下列说法正
确的是 ．
（1）f'（0）＞0；
（2）曲线y＝f（x）在 处的切线斜率最小；
（3）函数f（x）在（﹣∞，+∞）存在极大值和极小值；
（4）f'（x）在区间（0，2）上至少有一个零点．【答案】（2）（3）（4）
【分析】求出 f′（1）＝﹣ a，f'（0）＝c，可得a＞0，b＜0，可得3a+2b+2c＝0，c的符号不确定，可
判断（1）；由二次函数的性质可判断（2）、（3）；f'（2）＝a﹣c，当c＞0时 f'（x）在区间
（0，1）内至少有一个零点，当 c≤0时，f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点，可判断
（4）．
【解答】解：因为f'（x）＝ax2+bx+c，f′（1）＝﹣ a，所以 a+b+c＝﹣ a，即3a+2b+2c＝0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
f′（0）＝c，c的符号不确定，故（1）错误；
由a＞0，可得f′（x）在 处取得最小值，即y＝f（x）在 处的切线斜率最小，
故（2）正确；
由f′（1）＜0，可得y＝f′（x）与x轴有两个交点，
则函数f（x）在（﹣∞，+∞）存在极大值和极小值，故（3）正确；
于是 f′（1）＝﹣ ＜0，f'（0）＝c，f'（2）＝4a+2b+c＝4a﹣（3a+2c）+c＝a﹣c．
①当c＞0时，因为 f′（0）＝c＞0，f′（1）＝﹣ ＜0，
则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为 f′（1）＝﹣ ＜0，f′（2）＝a﹣c＞0，
则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．故（4）正确．
故答案为：（2）（3）（4）．
【知识点】命题的真假判断与应用
26.已知集合A＝{x|0＜x＜1}．给定一个函数y＝f（x），定义集合A＝{y|y＝f（x），x A }若A∩A ＝
0 n n﹣1 n n﹣1
∅对任意的n N*成立，则称该函数y＝f（x）具有性质“g”． ∈
（I）具有性质“∈g”的一个一次函数的解析式可以是 ；
（Ⅱ）给出下列函数：① ；②y＝x2+1；③ ，其中具有性质“9”的函数的序号是
．（写出所有正确答案的序号）
【答案】【第1空】y=x+1
【第2空】①②
【分析】（I）可取y＝x+1，由集合的运算和函数的值域求法，结合新定义可判断；
（Ⅱ）分别运用反比例函数、二次函数和余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断．
【解答】解：（I）可取y＝x+1，
由A＝{x|0＜x＜1}，A＝{y|y＝f（x），x A }，
0 n n﹣1
可得A＝{y|1＜y＜2}，A＝{y|2＜y＜3}，
1 2
∈
…，A ＝{y|n﹣1＜y＜n}，A＝{y|n＜y＜n+1}，
n﹣1 n
满足A
n
∩A
n﹣1
＝∅对任意的n N*成立；
∈（Ⅱ）① ，由A＝{x|0＜x＜1}，A＝{y|y＝f（x），x A }，
0 n n﹣1
可得A＝{y|y＞1}，A＝{y|0＜y＜1}，A＝{y|y＞1}，A＝{y|0＜y＜1}，…，
1 2 3 4 ∈
满足A
n
∩A
n﹣1
＝∅对任意的n N*成立，故①具有性质“g”；
y＝x2+1，由A＝{x|0＜x＜1}，A＝{y|y＝f（x），x A }，
0 n n﹣1
∈
可得A＝{y|1＜y＜2}，A＝{y|2＜y＜5}，A＝{y|5＜y＜26}，…，
1 2 3
② ∈
满足A
n
∩A
n﹣1
＝∅对任意的n N*成立，故②具有性质“g”；
∈
③ ，由A＝{x|0＜x＜1}，A＝{y|y＝f（x），x A }，
0 n n﹣1
可得A＝{y|2＜y＜3}，A＝{y|1＜y＜2}，A＝{y|1＜y＜2}，…，
1 2 3 ∈
不满足A
n
∩A
n﹣1
＝∅对任意的n N*成立，故③不具有性质“g”．
故答案为：y＝x+1，①②．
∈
【知识点】命题的真假判断与应用
27.在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x [a﹣1，a+1]，都有y [b﹣
∈ ∈
1，b+1]，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①y＝ ，②y＝2x2+1，③y＝sinx，④y
＝ln（x+2），其中是原点O的“限定函数”的序号是 ．已知点A（a，b）在函数y＝2x的图象
上，若函数y＝2x是点A的“限定函数”，则a的取值范围是 ﹣∞ ．
【答案】【第1空】①③
【第2空】（-∞，0]
【分析】分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否
是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得a的范围．
【解答】解：要判断是否是原点O的“限定函数”，只要判断：∀x [﹣1，1]，都有y [﹣1，1]．
∈ ∈
对于①y＝ ，由x [﹣1，1]可得y [﹣ ， ] [﹣1，1]，则①是原点O的“限定函数”；
对于②y＝2x2+1，由x [﹣1，1]可得y [1，3] [﹣1，1]，则②不是原点O的“限定函数”；
∈ ∈ ⊆
对于③y＝sinx，由x [﹣1，1]可得y [﹣sin1，sin1] [﹣1，1]，则③是原点O的“限定函数”；
∈ ∈ ⊈
对于④y＝ln（x+2），由x [﹣1，1]可得y [0，ln3] [﹣1，1]，则④是原点O的“限定函数”．
∈ ∈ ⊆
点A（a，b）在函数y＝2x的图象上，若函数y＝2x是点A的“限定函数”，可得b＝2a，
∈ ∈ ⊈
由x [a﹣1，a+1]，y [b﹣1，b+1]，即y [2a﹣1，2a+1]，
即[2a﹣1，2a+1] [2a﹣1，2a+1]，可得2a﹣1≤2a﹣1＜2a+1≤2a+1，
∈ ∈ ∈
可得a≤1且a≤0，即a≤0．a的范围是（﹣∞，0]．
⊆
故答案为：①③；（﹣∞，0]．
【知识点】命题的真假判断与应用
