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2021年广西北部湾经济区中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．0
π
2．如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从
C出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星
最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（ ）
A．4×109 B．40×107 C．4×108 D．0.4×109
5．如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（ ）A．这一天最低温度是﹣4℃
B．这一天12时温度最高
C．最高温比最低温高8℃
D．0时至8时气温呈下降趋势
6．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2﹣2a＝a2
7．平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）
8．如图， O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（ ）
⊙
A． B． C．2 D．3
9．函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，
二车空：二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是
空的：若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为
y，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，矩形纸片ABCD，AD：AB＝ ：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．定义一种运算：a*b＝ ，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（ ）
A．x＞1或x＜ B．﹣1＜x＜ C．x＞1或x＜﹣1 D．x＞ 或x＜﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．要使分式 有意义，则x的取值范围是 ．
14．分解因式：a2﹣4b2＝ ．
15．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知
楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 米（结果保留根号）．
16．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演
讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按
演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．
小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 ．
17．如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分）且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一
个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 ．
18．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2
上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′
的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．计算：23×（﹣ +1）÷（1﹣3）．
20．解分式方程： ＝ +1．
21．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．
22．某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需
要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0
整理数据：
质量 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
（kg）
数量 2 1 7 a 3 1
（箱）
分析数据：
平均数 众数 中位数
4.75 b c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析
的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保
留一位小数）？
23．【阅读理解】如图①，l ∥l ，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l ，DF⊥l ，垂足分别为E，F．
2 2
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF．
∵l ∥l ，
1 2
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF．
又S△ABC ＝ BC•AE，S△DBC ＝ BC•DF．
∴S△ABC ＝S△DBC ．
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接
AE，求△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直
线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．24．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪
训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为
y轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线C ：y＝ 近似表示滑雪场地上
1
的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C ：y
2
＝﹣ x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线
C 的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
2
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直
距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
25．如图①，在△ABC中AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动
点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，
设DE＝x，连接BE．
（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；
（2）设△ABE的面积为S ，矩形EFGH的面积为S ，令y＝ ，求y关于x的函数解
1 2析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l
分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．
26．如图，已知AD，EF是 O的直径，AD＝6 ， O与 OABC的边AB，OC分别交
于点E，M，连接CD并延⊙长，与AF的延长线交于点⊙G，∠▱AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若GF＝1，求⊙cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交 O于点N，
⊙
求 的值．
