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专题 02 复合函数以及嵌套函数的零点问题
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题型01 复合函数的应用......................................................................1
题型02 内外自复合型f(f(x))................................................................3
题型03 内外双函数复合型f(g(x))............................................................3
题型04 二次型因式分解型a[f(x)]
2+bf(x)+c..................................................4
题型 01 复合函数的应用
【解题规律·提分快招】
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式： ，令： ，则 转化为 其中 叫作中间变
量. 叫作内层函数， 叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在 上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
减 增 减
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数 （ ，且 ）. ，使得
成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·山西·期中）已知函数 （ ，且 ）在区间 上单调递增，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神
经单元的函数，其中函数 是比较常用的一种，其解析式为 ．关于函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的值域为R B． 是偶函数
C． 不是周期函数 D． 是单调递减函数
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数 在区间 上的值域为 .若 ，
则 的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2题型 02 内外自复合型f(f(x))
【解题规律·提分快招】
对于嵌套型复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；
（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为，
则函数 的零点个数为 .
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·期中）已知函数 ，若方程 有且仅有一根，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 ，若函数 有3个不同
的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数 ，则方程 的实数解
的个数至多是（ ）
A． B． C． D．
题型 03 内外双函数复合型f(g(x))
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数 ，若
有6个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
2．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数 ，若函数 有3
个不同的零点，则实数m的取值范围为 ．
3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知 ，若函数 恰有
三个零点，则 的取值范围为 ．
题型 04 二次型因式分解型a[f(x)] 2+bf(x)+c
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知 ，若关于 的方程
恰好有三个互不相等的实根，则实数 的取值范围为（）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有8个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数 ，且关于 的方程
有 个不等实数根，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 的最大值是 B． 在 上单调递减
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
二、填空题
4．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数 若 恰
有6个不同的实数解，则正实数 的取值范围是 .一、填空题
1．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数 在区间 上严格增，则实数
的取值范围为 .
2．（24-25高三上·浙江·期中）若函数 ，（ ，且 ）在区间 上单调递增，则 的
取值范围是
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 ， ，则函数
的零点个数为 个．
4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 ，则函数 零点
的个数是 .
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设 是不为0的实数，已知函数 ，若函数
有7个零点，则 的取值范围是 ．
6．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数 ，
有3个不同的零点 ，则实数a的取值范围是 .
7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，都存在
唯一的 ，满足 ，则实数a的取值范围是 .
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）设 ，函数 ，当 时，函数
有 个零点；若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为 ．
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数
有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为10．（2024·北京通州·三模）已知函数 的值域是 ，若 ，则m的取
值范围是 ．
11．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，函
数 在区间 内的所有零点的和为16，则实数 的取值范围是 .
