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专题 02 基本不等式求最值
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题型01 配凑法..............................................................................1
题型02 常数代换法..........................................................................3
题型03 变形后常数代换法....................................................................6
题型04 消元法..............................................................................8
题型05 齐次化求最值.......................................................................10
题型06 双换元法...........................................................................11
题型07 与其他知识点交汇...................................................................13
题型 01 配凑法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得最值.
【详解】因为 ，
所以 ．当且仅当 ，即 时取等号，
即最小值为 ，
故选：B.
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题 ，命题 ，则
（ ）
A．命题 与 均为真命题
B．命题 与 均为真命题
C．命题 与 均为真命题
D．命题 与 均为真命题
【答案】B
【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断 ，利用基本不等式求出最大值判断 即可得解.
【详解】 ，则 ，当且仅当 时取等号， 为真命题；
当 时， ，当且仅当 时取等号， 为假命题， 为真命题，
所以命题 与 均为真命题，B正确.
故选：B
3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值.
【详解】令 ，则 ，
而函数 在 上单调递增，
所以当 ，即 时， 取得最小值 .
故选：D
4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ， ，利用基本不等式求最值.【详解】因为 ， ， ，则 ， ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值是 .
故选：A.
5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】将目标式化为 ，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立
条件.
【详解】由 ，则 、 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为6.
故选：C
题型 02 常数代换法
【解题规律·提分快招】
利用常数 代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多
称之为“1”的代换
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1） 求
（2） 求【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·一模）若 ，且 则 的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】由条件可知：
所以 ，
当且仅当 ，即 取得等号，
所以 的最小值为25，
故选：D
2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值.
【详解】由 ，得 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：B
3．（24-25高三上·重庆·期中）已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的巧用即可得最值．
【详解】因为正实数 ， 满足 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立．故选：B．
4．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，得 ，再利用基本不等式“1”的妙用求最值
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ， 的最小值是4.
故选：B.
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．2 C．9 D．8
【答案】C
【分析】根据 ，由 ，结合基本不等式求解.
【详解】解：因为正实数x，y满足 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 或 时，等号成立，
所以 ，解得 ，所以 的最大值为9，
故选：C
题型 03 变形后常数代换法
【解题规律·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如 ，可以通过同除ab，化为 构造“1”的代换求解
2、形如 ，求 型，则可以凑配 ，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利
用“1”的代换来求解。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
【答案】B
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】 ，且 ，
且 ，
，
当且仅当 ，即 且 时取等号，故 的最小值为9．
故选：B．
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以
，
当且仅当 即 取等号，
故最小值为25，
故选：B
3．（2024·河北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．13 B． C．14 D．
【答案】A
【分析】由 ，利用基本不等式即可求.
【详解】 ， ，又 ，且 ，
，
当且仅当 ，解得 时等号成立，故 的最小值为13.
故选：A
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由题意可知 ，进而利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
，当且仅当 ，即 时等号成立.
于是 ，即 .
故 的最小值为 .
故选：B.
5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】根据题意可知 ，根据乘1法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为 ，则 ，且 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
题型 04 消元法
【解题规律·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或
“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【分析】由 解出a，代入 ，进行适当变形，应用基本不等式求最小值即可.【详解】解：因为正数a，b满足 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为8.
故选：D
2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】由题设可得 ，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】由 ，可得 ，故 ，
则 ，
当且仅当 ， 时取等号，故目标式的最小值为9.
故选：A
3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知 ， 为正实数且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 可得 ，将 化简再利用基本不等式中“1”的应用即可得出结果.
【详解】由 可得 ，可得 ，
所以
；
当且仅当 时，即 时，等号成立；又 可知符合题意.
故选：D
题型 05 齐次化求最值
【解题规律·提分快招】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有 等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量
型来转化计算求解
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在 处取最小值，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意， ，而
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ．
故选：C
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出 ，利用基本不等式可求得 的最大值.
【详解】因为正实数 、 、 满足 ，则 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 .故选：D.
二、填空题
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】将 变形为 ，换元，令 ，构造均值不等式 求解即可.
【详解】 ，令 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
题型 06 双换元法
【解题规律·提分快招】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角换元有 ，即可求其最小值.
【详解】由题设，令 且 ，所以 ，显然 的最小值为 ，
当且仅当 ，即 时取最小值.
故选：D
2．（2024·湖北·一模）已知实数 满足 ，则 最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】解法（1）采用三角换元，令 ，再结合余弦函数的值域求解即可；解法
（2）采用基本不等式求解即可；
【详解】解法（1）：由 ，
令 ，即 ， ，
，即 最大值为2；
解法（2）：
当且仅当 ，即 时取等号，
，即 最大值为2，
故选：A.
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数 满足 且 ，则 的最小值为
【答案】
【分析】构造 ，将代数式换元为 ，由 ，得到 ，再用
基本不等式得到最小值.
【详解】设 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时等号成立.故答案为：
4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数 、 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得 ，令 ， ，则 ，即可用含 、 的式子表示 、
，再代入 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为实数 ， 满足 ，
化为 ，
令 ， ，则 ．
联立可得 ， ，
则
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含 、 的式子表示 、 ，再利用基本不等式求出最小值.
题型 07 与其他知识点交汇
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知 三点不共线，点 不在平面 内，
，若 四点共面，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由 四点共面，可知 ，然后利用基本不等式求解 的最大值即可.【详解】因为 四点共面，所以 ，则 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
故选：B
2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为
，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由双曲线方程及渐近线方程可得 ，再根据“1”的代换结合基本不等式即可求解.
【详解】由题可知 ，则 ，
故 ，
当且仅当 ， ，即 ， 时，等号成立.
故选： .
二、多选题
3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点 是 的中线 上一点（不包含端点）且
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 的最小值是
【答案】ACD
【分析】设 ，利用向量线性运算表示出 ，即可得到 ，
判断选项AB，然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD.
【详解】由题知，设 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ，且 ，A正确，B不正确；
，
当且仅当 时，等号成立，C正确；
又
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D正确.
故选：ACD
三、填空题
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，当 取最
小值时， .
【答案】3
【分析】根据S 求得 ，代入结合基本不等式分析最值即可.
n
【详解】因为 ，
当 时， ，
又当 时， ，满足 ，故 ；
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值.
故答案为： .
5．（2024·河南新乡·一模）在 中，角 的对边分别为 ， 的面积，则 的最小值为 ，此时 的周长为 ．
【答案】 8 /
【分析】根据正余弦定理边角互化可得 ，进而根据三角形面积公式可得 ，即可根据基本不等
式求解最值，利用余弦定理可得 ，即可求得答案.
【详解】由 和正弦定理可得 ，
故 ,
，
，故 ,
当且仅当 ，即 时取等号，
，故 ，
此时周长为 ，
故答案为：8，
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ，若 ， 且
，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出 的关系，再借助基本不等式“1”的妙用
求解即得.
【详解】由 ，定义域为 ， ，
则 ，
所以函数 为奇函数，
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由 ，则 ，
所以 ，即 ，则 ，
又 ， ，则 ， ，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
（1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一
正”、“二定”、“三相等”的条件；
（2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以
及“1”的代换等应用技巧.
一、单选题
1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】借助“1”的代换，利用基本不等式求最值可得.
【详解】若正实数x，y，且 ，
则
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故 的最小值为 .
故选：D.
2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得.
【详解】由 的图象恒过定点 ，可得 ， ，则 ；
因 ，
当且仅当 时等号成立，
由 ，可解得 ，
故当 时， 的最小值为8.
故选：B.
3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】结合条件信息可判定此题用基本不等式的乘“ ”法求最值，同时需注意对所求式子的转换.
【详解】已知正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，即 时， 取得最小值为10.
故选：D.
【点睛】方法点睛：基本不等式是求最值的常用方法，使用时注意“一正二定三相等”.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数 满足 ， ，且 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可.
【详解】因为 ，可得 ，
又因为 ，即 ，整理可得 ，
且 ， ，则 ，可得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，所以 取得最大值 ．
故选：C.
5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 ，代入函数 ，得到 ，再利用不等式“1”的妙用即可得
解.
【详解】因为函数 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号.
故选：A
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】将 看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.
【详解】设 ， ，故 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B
7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用
基本不等式求出 的最小值，根据题意可得出关于 的不等式，解之即可.
【详解】因为 ， ，且 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即当 ， 时，所以 的最小值为 ，
因为 恒成立，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B.
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】A【分析】由条件可得 ， ，变形代数式 ，利用基本不等式求其
最小值.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，
因为 ， ，
由基本不等式就可得 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A
9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据题意得 ，然后利用换元法以及平方和不等式 可得最小值.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，所以 ，
因为 ，所以当且仅当 ，即 或 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据和的立方公式计算化简得出得 ，换元得出 ，
再结合基本不等式得出 ，最后计算求解即可.
【详解】因为 ，故原题干等式可转化为 ，得
，
设 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 ，又因为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此 ，即 2，所以 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
解题的关键点是利用换元，结合基本不等式得出关于 的高次不等式即可求解.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.
【详解】由 ，
，
当且仅当 时，等号成立.
故选：B．
12．（2024高三·全国·专题练习）设 均为正实数，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 ，根据基本不等式证明 ，判断充分性，举例说明必要性不成立，由
此判断结论.
【详解】因为 均为正实数，所以若 ，
则
故 ，
当且仅当 ， ， ，即 ， ， 时等号成立，
所以充分性成立．
当 时，可取 ，但此时 ，所以必要性不成立，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A．
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足 ，则 的最小
值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】应用三角换元，令 ，且 ，结合已知、平方关系、和角正弦公式
得 ，进而有 ，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.
【详解】 ，由 ，
得 ，
令 ，且 ，
所以，有 ，
即 ，故 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为
是关键.
二、多选题
14．（2024高三·全国·专题练习）对任意 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，B，C运用均值不等式 逐一判断即可，对于D，可先将
变形成 ，再利用三角换元通过三角恒等变形化成三角函数即可判断．【详解】解析 因为 ，
由 可变形为 ，解得 ，
当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ， ，
所以 ，
因此
，所以D错误.
故选：BC.
15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式，结合对数与指数运算和指对函数性质即可计算判断各选项.
【详解】A选项，依题意， ， ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.A选项正确.
B选项，由A选项分析可知 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.B选项正确.
C选项， ，
当且仅当 时等号成立.C选项错误.D选项， ，
当且仅当 时等号成立.D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由换元法，结合对勾函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】 ，
令 ，则 时， ，
，函数在 上单调递减，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
故函数值域为 ．
故答案为： .
17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数 、 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可求最小值.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 .
故答案为： .
18．（2024高三·全国·专题练习）已知点 为 的重心， 分别为 ， 边上一点， ， ，
三点共线， 为 的中点，若 ，则 ； 的最小值为 .
【答案】 6【分析】根据 三点共线和 为 的重心，可得 ，进而可得
， 的最小值可利用基本不等式可得.
【详解】
因为点 为 的重心，所以 ，则 .
因为 三点共线， ，
所以 ， ，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值为6.
故答案为： ；6
19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形 的周长为24，将 沿 向
折叠，AB折过去后与DC交于点P．设 ，则 （用x表示），当
的面积最大时， ．
【答案】 .
【分析】结合图形，折叠后易得 ，设 ，利用 ，即可求得 的表示式；
依题意，求出 的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时 的值.
【详解】
如图2是图1沿着 折叠后的图形，因 ，则 ，
因矩形 的周长为24，则 ，对折后 ,易得 ,设 ，则 ,在 中，由勾股定理， ，
整理得 ，即
的面积为 ，
因 ，则当且仅当 时， ，
此时 时， .
故答案为： ； .
20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小
值为 ．
【答案】 /
【分析】令 ，化简得 ，令 ， ，利用对勾函数的性质求解
最值即可．
【详解】令 ，则 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
令 ， ，
由对勾函数的性质可知，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
∵ ， ， .
∴ ， ，
∴函数 在 上的最大值和最小值分别为 和 ．
故答案为： ； .
21．（2024·湖北·一模）已知正实数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】【分析】将 代入可得 ，再由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 .又 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 的最大值为 .
故答案为：
