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微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题
【秒杀总结】
1、立体图形中的截面问题：
（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.
2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得 关于平面的对称点 ，
从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.
3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不
变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的
一种特殊形式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
【典型例题】
例1．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，
图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下
底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体 的上底
A B C D
面 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体 ．已知
1 1 1 1
， ， ，过直线 作平面 ，则十面体
外接球被平面 所截的截面圆面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，四边形 是正方形，令正方形 与正方形 中心分别为
，连接 ，
因为正方形A B C D 与正方形 在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外
1 1 1 1
接圆，
从而十面体 与长方体 的外接球相同，球心O是线段 的中点，如图，
取 中点M，连接 ，因为 ，则 ，显然 ，
又 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ， 平面 ，即有 ，
平面 ，则 平面 ，平面 与平面
有公共点 ，
显然平面 与平面 为同一平面，有 ，而 ，
，
在直角梯形 中，过 作 于I，
，
球O的半径 ，
过D作 平面 ，以点D为原点，射线 分别为 轴非负半轴，建立
空间直角坐标系，
则 ， ，
由已知得 ，即 ，
， ，则点 到直线 的距离 有：
,
球O被过直线 的平面 所截的截面圆最小时，球心O到平面 的距离最大，即为点
到直线 的距离 ，截得的最小截面圆半径为 ，而 ，则
，
所以截得的截面圆面积的最小值是 .
故选：C
例2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知 为圆锥 底面圆
的直径（ 为顶点， 为圆心），点 为圆 上异于 的动点， ，则下
列结论正确的为（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B． 的取值范围为
C．若 为线段 上的动点，则
D．过该圆锥顶点 的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
【答案】AC
【解析】对选项A：母线长 ，侧面积为 ，正确；
对选项B： 中， ， ，则当 时，
，错误；
对选项C： 为等腰直角三角形， ，将 放平得到 ，如图2
所示，当 三点共线时 最小， 为 中点，连接 ，则 ，
，
，正确；
对选项D：如图3，设截面为 ， 为 中点，连接 ，设 ，
，则，当 ，即 时等号成立，D错误.
故选：AC
例3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）正四棱台 中，
，侧棱 与底面所成角为 分别为 ， 的中点， 为线
段 上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的体积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线 与 所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】将正四棱台补形为正四棱锥 ，由 ，可得A B C D 为其中截面.
1 1 1 1
设 分别为 的中心，
底面 ，故 为侧棱 与底面所成角，
故 ，可得 ，
侧面 为等腰梯形，高为 ，故 ，
对于 ，正确
对于B，连接 ,则 ,而 ,
所以 ， 平面 , 平面 ,得 平面 ，
由于 为定值，M在 上，故三棱锥 的体积为定值
即三棱锥 的体积为定值，B正确；
对于 ，取 中点 ，连接 并延长交 于 ，
连接 并延长交直线 于 ，则 ,则 ,而 ，
故 ,同理 ,
连接 ，则 ,即 为 的中位线，而 为 的中点，
故 在 上，即 三点共线，
连接 ,则五边形 为平面 截正棱台所得的截面，C错误
对于 ，由题意 知四边形 为平行四边形，
故 ，可得 为异面直线 与 所成角或补角，
在 中,由余弦定理得 ，
由于异面直线 与 所成角范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，D正确,
故选：
例4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）正方体 的棱长是 ， 、 分
别是 、 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长是
C．平面 截正方体所得的截面周长是
D． 与平面 所成的角的正切值是
【答案】AC
【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
对于A选项， 、 、 、 ，
， ，则 ， ，A对；对于B选项，因为 平面 ，
所以，以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线是以点 为圆心，半径为
的 圆，
故交线长为 ，B错；
对于D选项，易知点 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
， ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以， ，故 ，
因此， 与平面 所成的角的正切值是 ，D错.
对于C选项，设平面 交棱 于点 ，其中 ， ，
因为 平面 ，所以， ，解得 ，即点 ，
同理可知，平面 交棱 于点 ，
由空间中两点间的距离公式可得 ，同理可得 ， ，
因此， 平面 截正方体所得的截面为五边形 ，
其周长是 ，C对.
故选：AC.
例5．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体 的棱长均为
为线段 的中点, ,其中 ,则下列选项正确的是（ ）
A．当 时,
B．当 时, 的最小值为
C．若直线 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
D．当 时,正方体被平面 截的图形最大面积为
【答案】AD
【解析】由题知正方体 的棱长均为2,
当 时, ,
此时
,
所以 ,
即选项A正确;
当 时, ,
所以点 在 上,且点 在平面 上,
分别将 , 延长至 ,
使得 ,
将 沿着 向下翻折至与平面 共面,点 翻折后变为 ,过 向 作垂线,垂足为 ,如图所示:
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 为 中点,且 ,
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
,所以 平面 ,
所以 ,又因为 ,
所以 在 上,且为 中点, ,
在平面 中,连接 交 于点 时, 取最小值,
因为 ,所以 ,
此时
,
故选项B错误;
因为 面 ，所以 为直线 与面 的平面角，
当直线 与平面 所成角为 时,
即 ,因为 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形,因为 ,所以 ,
因为 ,由平面向量基本定理可知 在平面 内,
所以 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆上,且在平面 内,
所以点 的轨迹长度为 ,故选项C错误;
因为 ,其中 ,
因为 ,所以 三点共线,
连接 交 于点 ,
当点 在 上运动时,延长 交 于点 ,
则正方体被平面 截的图形为 ,
由图可知,当 点运动到 点时,截面为 ,此时截面积最大,
因为正方体棱为2,所以 ,
此时截面积最大为 ,
当点 在 上运动时,延长 交 于点 ,
过点 做 的平行线交 于点 ,连接 ,
再过点 做 的垂线,垂足为 ,如图所示:
由题可知,此时截面为等腰梯形 ,
记 ,则 ,
, ,
所以 ,,
所以
,
令 ,
所以 ,所以 在 单调递增,
所以 ,
故 ,因为 ,
所以正方体被平面 截的图形最大面积为 ,
即选项D正确.
故选:AD
例6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在正方体 中，
分别为棱 中点， 为 近C三等分点，P在面 上运动，
则（ ）
A． ∥平面
B．若 ，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关
C．D．若 ，则P点轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】根据题意建立如图所示的坐标系：
因为正方体的边长为2，
所以 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
对于A，因为 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，
则有 ，
取 ，
因为 ，所以 不成立，
所以 ∥平面 不成立，故错误；
对于B，设 ，则 ， ， ，
又因为 ，
所以 ，所以有 ，
所以P点轨迹为如图所示的线段 ，在平面 内作出与 平行的直线 ，
易知 与 的距离等于平面 与平面 的距离为2，
因为 与 不平行，
所以 与 不平行，
所以点 到 的距离不是定值，
所以 不是定值，
又因为 ,
即 ，( 为C点到平面PBH的距离)，
所以 不是定值，
所以C点到平面PBH的距离与P点位置有关，故正确；
对于C，因为 ， ， ，
所以 ，即有 ，故正确；
对于D，由B可知P点轨迹为 ，令 ，则 ；
令 ，则 ，
所以P点轨迹的长度为 ，故正确.
故选：BCD
例7．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，
，点M，N分别是PB，BC的中点，且 ，
则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．【答案】
【解析】因为 ，M是PB的中点，所以 ，
又 平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
所以 ，
又 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB，AB 平面PAB，
所以
在△ABC中， ，
所以 ，
在△PAC中， ，所以 ，所以 ，
取PC的中点O，又 PA，
所以 ，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，
因为 ，故外接球半径为 ，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，
因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故 ，即 ，得 ，
所以 ，
所以截面圆的面积为 ．
故答案为： .
例8．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体 中，P，Q分别为 的中点，点T在正方体的表面上运动，满足 ．
给出下列四个结论：
①点T可以是棱 的中点；
②线段 长度的最小值为 ；
③点T的轨迹是矩形；
④点T的轨迹围成的多边形的面积为 ．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】由题知，以 点为坐标原点，以 所在直线分别为 轴建立如图所
示的空间直角坐标系，令正方体 棱长
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，设 ，
对于①，当点T为棱 的中点时， ，
则 ，
不满足 ，所以点T不是棱 的中点，故①错误.
，因为
所以 ，
当 时， ，当 时，
取 ， ， ， ，
连结 ， ， ， ，
则 ， ， ，即所以四边形EFGH为矩形，
因为 ， ，
所以 ， ，
又 和 为平面 中的两条相交直线，
所以 平面EFGH，
又 ， ，
所以 为EG的中点，则 平面EFGH，
为使 ，必有点 平面EFGH，
又点 在正方体表面上运动，所以点 的轨迹为四边形EFGH，
又 ， ，
所以 ，则点 的轨迹为矩形EFGH，故③正确
面积为 ，即 ，故④正确
又因为 ， ， ，
则 ，即 ，
所以 ，点 在正方体表面运动，
则 ，解得 ，
所以 ，
结合点 的轨迹为矩形EFGH，
分类讨论下列两种可能取得最小值的情况
当 ， 或 时， ，
当 ， 或 时，
因为 ，所以当 ， 或 时， 取得最小值为 ，即 ，故②正确.
综上所述：正确结论的序号是②③④
故答案为：②③④.例9．（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、
阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值 的点
的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
在平面直角坐标系 中， ，点P满足 ．则点P的轨迹方程为
____________；在三棱锥 中， 平面 ，且 ，该三
棱锥体积的最大值为______________．
【答案】
【解析】设 ，所以 ，所以 ，即
，所以点P的轨迹方程为 ；
三棱锥的高为 ，当底面 的面积最大值时，三棱锥的体积最大， ，
，取 靠近B的一个三等分点为坐标原点O， 为x轴建立平面直角坐标系，
不妨取 ，由题设定义可知 的轨迹方程为 ，
所以A在圆 的最高点处 ， ，
此时， ．
故答案为： ； .
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京顺义·统考一模）在棱长为1的正方体 中，动点P在棱
上，动点Q在线段 上、若 ，则三棱锥 的体积（ ）A．与 无关，与 有关 B．与 有关，与 无关
C．与 都有关 D．与 都无关
【答案】D
【解析】因为 为正方体，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离也即 到平面 的距离，也即点 到平面 的距
离不随 的变化而变化，设点 到平面 的距离为 ，过点 作 ，根据
正方体的特征可知： 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
，所以 平面 ，则有 ，
因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以点 到 的距离也即 到 的距离，且距离为1，所以
（定值），
所以 （定值），
则三棱锥 的体积不随 与 的变化而变化，也即与与 都无关.
故选： .
2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥A－BCD中， ，
∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球
面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外）， ．当三棱锥E－ACF
的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
【答案】C
【解析】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以 ，即O为球心，
则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACD，平面 平面ACD＝AC， 平面ABC，
所以OB⊥平面ACD．
设CF＝x，则 ，所以 ，
所以三棱锥E－ACF的体积
，
当 时，V取得最大值 ．由于OA＝OB＝OC＝OD，
在△COF中，由余弦定理得：
，
根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，
设此时截面圆的半径为r，所以 ，
则截面面积的最小值为 ．
故选：C．
3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， 平面
， 为线段 的中点， 分别为线段和线段 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为 平面 ， 面 ，所以 ，
又 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
.
又在 中， ，
在 中， ，
故 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， 为 的中点，此时当 时， 为 的中点，综上所述 的最小值是 .
故选：C.
4．（2023秋·河北保定·高二统考期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、
踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢
皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点 ，满足 ， 面ABC，
⊥ ，若 ，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 面ABC， ⊥ ，
故AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点 ，过 作 ，交BP于点O，
则O即为球心，PB为球的直径，
要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于 ，
故只需AB最小，其中 ，
故 ，
解得： ，
由基本不等式得： ，当且仅当 时，等号成立，
故 最小值为2，此时直径最小值为 ，
所以该“鞠”的体积最小值为 .
故选：B5．（2023秋·北京密云·高二统考期末）在直三棱柱 中，底面 为等腰直
角三角形，且满足 ，点 满足 ，其中 ，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， 的面积 的最大值为
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，存在点 ，使得 平面
【答案】C
【解析】当 时, ,则点 在 上运动，则当点 与 重合时，则此时
面积取得最大值， ,由于直三棱柱 ，则 ,
为等腰直角三角形,则 , 面
则 面
面
则 ,故选项A正确；
当 时，则 ，点 在 上运动，则 ,
由于点 到平面 的距离为定值 ，点 到线段 的距离恒为
则 ,则 ，故选项B正确；当 时， ,设 的中点为 ， 的中点为 ，则点 在 上运
动，当点 与点 重合时， ,
则 面 ，则
当点 与点 重合时， 面 ，即 面 ，
则 ,故选项C错误；
如图建立空间直角坐标系，设 的中点为 ， 的中点为 ，当 时，
，则点 在线段 上运动，
设平面 的法向量为 .
则
当 时，则 与 平行，则存在点 ，使得 平面 ，故选项D正确.
故选：C.6．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在棱长为2的正方体
中，M为 中点，N为四边形 内一点（含边界），若 平面
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．线段 最小值为 D． 的取值范围为
【答案】D
【解析】
取 中点 ，连接 ， ， ，则有平面 平面 ，
∴ 平面 ，即 在线段 上.
当 在 时夹角为45°，故A错；
.故B错.
线段 的最小值为等腰三角形 腰 上的高 ， ，故C错.
因为 ， .
当 为 点时 最大， 的最小.此时 为最小，当 最小值为直角三角形斜边的高，即 ，此时
为最大，故D正确.
故选:D
7．（2023·北京·高三统考阶段练习）已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为
，则以 为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由已知得 ， ， ，得
，所以 ，
其中，以 为球心，2为半径的球面与正三棱锥的面 的交线如图，为弧 与弧 ，
可求得 ， ，故 ，故 ，
故 ，同理，球面与正三棱锥的面 和面 所交的弧长一致，故
以 为球心，2为半径的球面与正三棱锥的面 ，面 ，面 的交线的总长度为：
.
而球面与正三棱锥的面 的其中交线如图，取其中一部分，三部分弧长长度一样，
因为 为直角三角形，且 ， ，根据正三棱锥的性质， 为三
角形 的外接圆圆心，故 为 中点，则 ，且 ，所以，
，
取 ，则 中， ， 中 ， ，
，故利用余弦定理，可得 ，所以，弧长 ，而这
样的弧长，球面与正三棱锥的面 的交线总共有三部分，故交线长为：
故选：D
8．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体 中， 为棱
的中点．动点 沿着棱 从点 向点 移动，对于下列四个结论：
①存在点 ，使得 ；
②存在点 ，使得 平面 ；③ 的面积越来越小；
④四面体 的体积不变．
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设正方体棱长为 ，
由 平面 平面 得 ，同理 ，
所以 ，
由 得 ，存在 使得 ，①正确，
正方体中， 平面 ，所以 到平面A B C D 的距离不变，即 到平面
1 1 1 1
的距离不变，而 面积不变，因此三棱雉 ，即四面体 的体积
不变，④正确;
以 为 轴建立空间直角坐标系，如下图，
正方体棱长为2，则 ，
， ，所以 不可能与 垂直，故 平面 也不
可能成立，故②错误；
设 ，所以
设 到直线 的距离为 ，则
由二次函数性质知 时， 递减，所以 递减，又 不变，所
以 的面积为 递减，③正确，
综上：①③④正确
故选:C.
9．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体 中，O，
F分别为 ， 的中点，点P为棱 上的动点（不含端点），设二面角 的
平面角为 ，直线OF与平面 所成角为 ，则（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
【答案】A
【解析】设点M为BD与 的交点，可得 ， ，且
1
所以 平面 ，即FM⊥平面 ，所以 ，
过点F作DO的垂线FH，垂足为H，如下图所示
1由三垂线定理可知 ，所以 ，
从而 ，
在 中 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：A.
10．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何
体体积的著名数学命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，
祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”
是几何体的高，意思是在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面
所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国
被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线 与它的渐
近线以及直线 围成的图形绕x轴旋转一周得到一个旋转体I，将双曲线C与直
线 围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体II，则关于这两个旋转体叙述正确的
是（ ）
①由垂直于y轴的平面截旋转体II，得到的截面为圆面
②旋转体II的体积为
③将旋转体I放入球中，则球的表面积的最小值为
④旋转体I的体积为
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【解析】对于①,直线 与双曲线的交点为 ，
则用垂直于y轴的平面截旋转体II的截面为圆面，故①正确
对于②,截面圆的半径为 ，截面面积为 ,
与双曲线的渐近线的交点为 ，
所以 是用垂直于y轴的平面截两条渐近线绕y轴旋转得到的旋转体的截面面积.x绕y轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为 ，
所以 与双曲线及渐近线形成的截面圆环面积为定值 ，
且底面半径为 的圆柱的截面面积为8π，高为4的圆柱的体积为 ，
所以旋转体II的体积为 ，故②错误；
对于③,双曲线 的右顶点为 ，渐近线的方程为 ，
当 时, ，由对称性可知若将旋转体I放入球中时，
当球的表面积最小时， 均在球面上或球内，
且此时球的半径与四边形 的外接圆的半径相等，四边形 的外接圆的圆心在x
轴上，
不妨设为点Q，由图可知对应的球的半径至少为2，此时球的表面积是 ，
由图象可知此时 ，
所以 均在球面上或球内，所以③正确；
对于④, 与渐近线交于点 ，
与双曲线交于点 ，
则用垂直于x轴的平面截旋转体I的截面应为圆环，其内径为 ，外径为 ，截面面积为 ，
根据祖暅原理，旋转体I的体积为 ，故④正确，
故选:C
11．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 中， 为 内一点，且
，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图1，设 与平面 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
∵ 平面 ， 平面 ，则 ，
， ， 平面
∴ 平面 ，
由 平面 ，则 ，
同理可证： ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ，由正三棱锥的性质可得： 为 的中心，
连接 ，
∵ 为 的中点，∴ 交 于点 ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，即 是 的高，
设 ， ，则 ，且 的内切圆半径 ，
则 ， ，
∵ ，即 ，则 ，
∴点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.∵ 平面 ， 平面 ，则 ，
∴ ，
故 为底面半径为 ，高为 的圆锥的母线，如图2所示，
设圆锥的母线与底面所成的角 ，则 ，
所以 ，即直线 与平面 所成的角为 .
直线 在平面 内，所以直线 与直线 所成角的取值范围为 ，
因为 ，所以直线 与直线 所成角的取值范围为 ，即 ，
所以 .
故选：C.
12．（2023·全国·高三专题练习）直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为
4，点 在平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】在正四面体 中，分别取 的中点 ，连接 ，
则 ，又 ， 平面 ， 平面
则 平面 ，又 平面 ，则
中，
等腰 中， ，
若固定正四面体 的位置，则点O在以BC为直径的球上运动，球半径为2，
则点O到直线 的距离的最小值为球心到直线 的距离减去半径即 ，
最大值为球心到直线 的距离加上半径即
则点 到直线 的距离的取值范围是
故选：B
13．（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段
的中点， 、 分别为体对角线 和棱 上任意一点，则 的最小值
为（ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】如图,连接 ,取 中点 ,过 作 面 ，垂足为 ,
在正方体 中, 平面A B C D ,且 平面 ,
1 1 1 1
平面 平面A B C D ,
1 1 1 1
平面 平面 ,且 平面 ，
平面A B C D ,
1 1 1 1
为 的中点,
,
故 ,而对固定点 ,当 时, 最小,
此时由 面A B C D ， 面A B C D ， ，又 ,
1 1 1 1 1 1 1 1
，且 面 ，故 面 ，又 面 ,
则面 面 ，根据三棱锥特点，可知 ，而易知 为等腰直角
三角形，可知 为等腰直角三角形,
.
故选：D.14．（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为 的正方体 中， 是
正方体 外接球的直径，点 是正方体 表面上的一点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方体 的外接球的球心为 ，设球 的半径为 ，
则 ，可得 ，所以， ，
，
当点 与正方体 的侧面或底面垂直时， 的长取最小值，即 ，
当点 与正方体 的顶点重合时， 的长取最大值，即 ，
所以， ，所以， .
故选：A.
15．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台 中， ， ．
当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】图1
设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1， 分别是上下底面的中心，连结 ， ，
， 根据边长关系，知该棱台的高为 ，则
，
由 ，且四边形 为直角梯形， ， ，
可得 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时棱台的高为1.
上底面外接圆半径 ，下底面半径 ，设球的半径为R，显然球心
M在 所在的直线上.
显然球心M在 所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段 上，如图2，设 ，则 ，
，显然
则，有 ，即
解得 ，舍去.图3
当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段 的延长线上，如图3，设 ，则
，显然
即 ，即
解得 ， ，
此时，外接球的表面积为 .
故选：D.
16．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ，
， ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，在等腰 中， ，设 的外心是
，外接圆半径是 ，则 ，∴ ，设外接球球心是 ，则 平面 ， 平面 ，则 ，同理
， ，
又 平面 ，所以 ， 是直角梯形，
设 ，外接球半径为 ，即 ，
则 ，所以 ，
在直角 中， ， ，
， ，∴ ，
，
令 ，则 ，
，当且仅当 ， 时等号成
立，
所以 的最小值是 ．
故选：D.
二、多选题17．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知正方体 的棱长为 ，
， ，其中 ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 平面 ，则 B．若 平面 ，则
C．存在 ， ，使得 D．存在 ，使得对于任意的 ，都有
【答案】AD
【解析】
以 为原点， 所在直线为 建立空间直角坐标系.
因为正方体 的棱长为 ，
面 为 点， .
设 ，
又 ,
又因为点 面 ，
所以若 平面 ，则 ，故A正确.
面 的法向量 ，
,,
,
平面 , ，
，故B错误.
,
若 , ,
,
,
令 ，
易得 ，
，
，
在 无解，故C错误.
, ,
,故D正确.
故选：AD
18．（2023秋·浙江·高二期末）在矩形 中， ， 为 的中点，将
沿直线 翻折至 的位置，则（ ）
A．翻折过程中，直线 与 所成角的余弦值最大为
B．翻折过程中，存在某个位置的 ，使得
C．翻折过程中，四棱锥 必存在外接球
D．当四棱椎 的体积最大时，以 为直径的球面被平面 截得交线长为
【答案】AD
【解析】在矩形 中，取 中点 ，连接 与 交于点 ，
∵ ，∴ ，∴ ，且 ，
∴以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，过 与平面 垂直的直线为
轴，
建立空间直角坐标系如上图，则 ， ， ，
∵ 为 中点，∴ ，
将 沿直线 翻折至 的位置的过程中， 在以 为圆心，直径为 的
圆弧上，
∴ 在平面 内，设 ，且 ， ， ，即
，
∴ ， ， ，
，
对于A，设直线 与 所成角为 ，则
，
易知，当 时， 单调递增，
∴当 时， ，故选项A正确；
对于选项B，翻折过程中， 恒成立，∴不存在某个位置的 ，使得 ，故选项B错误；
对于C，连接 ，直角 有以 为直径的唯一外接圆，
又∵ ，∴ 不在 的外接圆上，即四边形 无外接圆，
∴四棱锥 不存在外接球，故选项C错误；
对于D，当四棱椎 的体积最大时， 到平面 距离最大，
∴此时 在 轴上，平面 即平面 ，
∴以 为直径的球的球心为 中点 ，
∴球心 到平面 即平面 的距离为 ，
又∵该球的直径 ，∴半径 ，
由球的几何性质，以 为直径的球面被平面 截得交线为圆，
该圆的半径 ，
∴该圆的周长为 ，故选项D正确.
故选：AD.
19．（2023秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知 为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，
为线段 的中点， 为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． ⊥平面
C．在圆锥侧面上，点A到 中点的最短距离为3
D．圆锥内切球的表面积为
【答案】ABD
【解析】因为 是底面圆的内接正三角形， 为底面圆的直径，所以 ， ，又 ，
所以 ，故 ，A正确；
因为 为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心， 为线段 的中点，
所以MO⊥平面ABC，
因为 平面ABC，所以MO⊥BC，
又AO⊥BC， ， 平面MOA，
所以BC⊥平面AMO，
因为 平面AMO，
所以AM⊥BC，
因为 ，所以 ，
由勾股定理得： ，则 ，
故 ，同理可得： ，
因为 ，所以BM⊥AM，
因为 平面MBC，且 ，
所以 ⊥平面 ，B正确；
将侧面展开，如下：
设 中点为Q，连接AQ，则 为点A到 中点的最短距离，
其中 ，故底面周长为 ，故 ，则 ，
若 ，由 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以在圆锥侧面上，点A到 中点的最短距离不为3，C错误；
由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，作出图形，如下：
设内切球球心为T，设内切球半径为 ，
TU=R， ，则 ，
其中 ，故 ，
在Rt△PUT中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，故圆锥内切球的表面积为 ，D正确.
故选：ABD.
20．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知正方体 的边长
为2，E为正方体内（包括边界）上的一点，且满足 ，则下列说正确的有
（ ）A．若E为面 内一点，则E点的轨迹长度为
A B C D
1 1 1 1
B．过AB作面 使得 ，若 ，则E的轨迹为椭圆的一部分
C．若F，G分别为 ， 的中点， 面FGBA，则E的轨迹为双曲线的一部分
D．若F，G分别为 ， 的中点，DE与面FGBA所成角为 ，则 的范围为
【答案】AB
【解析】对于A项，正方体 中， 平面A B C D ，
1 1 1 1
若 为面A B C D 内一点，所以 .
1 1 1 1
又因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
故点 的轨迹是以 为圆心 为半径的 个圆弧，
所以 点的轨迹长度为 ，故A正确；
对于B项，因为 ，即 为定值，线段 也为定值，
取 的中点 ，故点 的轨迹是以 为轴线， 为母线的圆锥的侧面上的点，
设平面 即为下图的圆 面，过点 作 的平行线交圆锥底面于点 ，交 于点 ，
从图形可得 ，易得 ，
故 的轨迹为椭圆的一部分，所以B正确；
对于C项，平面 与轴线 所成的角即为平面 与 所成的角，
是平面 与轴线 所成的角，在 中 ，
而母线 与轴线 所成的角为 ，
在 中 ，
即母线与轴线所成的角与截面 与轴线所成的角，
所以点 的轨迹应为抛物线，故C不正确；
对于D项，以 为原点，建立如图所示的坐标系，
连接 并延长交上底面 于点 ，设 ，
A B C D
1 1 1 1
则 ， ，
则 ，设面 的法向量为 ，
所以 ，
所以 与面 所成角的正弦值为
又因为 ，
所以 ，故D错误.
故选：AB.
21．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC
的中点，O为DE的中点， ， ．将△ADE沿DE折起到△ 的位
置，如图2．则正确的有（ ）A．当折起使得面 面BCED时，
B．几何体 的最大体积是4
C．DE与面 始终平行
D． 与平面BCED所成角的范围是
【答案】ABC
【解析】A：因为D，E分别为AB，AC的中点且 ，即 ，
又O为DE的中点，则 ，故 ，
面 面BCED，面 面 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，则 ，正确；
B：由题设，若 为 中点，则 翻折轨迹是以 为直径的半圆弧（不含端点A、F），
如下图示，
要使 的体积最大，只需 到面 的距离最大，即 面 且
，
而 ，故最大 ，正确；
C：由题意，折起后始终有 ， 面 ， 面 ，则DE与面 平
行，正确；D：过 作 面 ，则 必在线段 上（不含端点A、F），
构建如下 空间直角坐标系，则 ，令 且 ，则
，
故 ，面 （即面 ）的一个法向量为 ，
若 与平面BCED所成角为 ，则 ，
若 ，而 ，
所以 ，仅当 时等号成立，
所以 范围是 的真子集，错误.
故选：ABC
22．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）如图，在棱长为2的正方体
中，点 满足 ，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A．有且仅有一点 ，使得
B． 的周长与 的大小有关
C．三棱锥 的体积与 的大小有关
D．当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为
【答案】ABD【解析】对于A选项，因 ，要使 ，使 即可，则当且仅当P
为 中点时， ，则此时 ，故A正确；
对于B选项，由题可得 ，又 ，
则 ， ， .由余弦定理，
，
，
故 的周长 ，故 的周长与 的大小有
关，故B正确；
对于C选项，因 ，BD 平面 ， 平面 ，则 平面 .所
以 到平面 的距离d相为定值，又 为定值，则三棱锥 的体积
为定值.故C错误；
对于D选项，如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则 .
.
设平面 法向量为 ，则 ，令 ，
得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，故D正确.故选：ABD
三、填空题
23．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）2022年12月3日，南昌市出
士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示.现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥
吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为 ，该纸片上的正六边形
的中心为 为圆O上的点，如图（2）所示．
分别是以 为底边
的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起
，使 重合，得到六棱锥，
则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为___________ ．
【答案】
【解析】连接 ，交 于点H，由题意得 ，设 ，则 ，，因为 ，所以 ，
六棱锥的高 ．
正六边形 的面积 ，
则六棱锥的体积 ．
令函数 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ．
此时，底面边长 ．
故答案为： .
24．（2023秋·广东·高三校联考期末）如图正方体 的棱长是3，E是
上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是EF中点， ，则 的最小值
是______．【答案】
【解析】以 为顶点构造棱长为2的正方体 ，
由对称得 ， ，
因为 是 上的动点， 是下两底面上的动点，
则 是直角三角形， 是 中点，且 ，故 ，
所以 取最小值时， 四点共线，
则 ，此时 ．
故答案为： .
25．（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知四棱锥 的底面为边长为2的正方
形， 分别为 和 的中点，则平面 上任意一
点到底面 中心距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】 四棱锥 的底面为边长为2的正方形，连接 且相交于点 ，则
点 是底面 中心， ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 ，又 ，
面
又 面 ，
面 面
又 ， 为面 与面 的交线， 平面
面
又 面 ， 面 ，
以 点为原点，以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，
设 到平面 的距离为 ，
则
令 ，则 ，
代入距离公式得 ，
故答案为： .
26．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，在直三棱柱中， ， ， ， ，
．
记 ，给出下列四个结论：
①对于任意点H，都存在点P，使得平面 平面 ；
② 的最小值为 ；
③满足 的点P有无数个；
④当 取最小时，过点A，H，P作三棱柱的截面，则截面面积为 ．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③④
【解析】因为三棱锥 为直三棱锥，所以 平面 ，又 平面
，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
对于任意点H，过点 作 ，垂足为 ，因为 平面 ， 平面
，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
所以对于任意点H，都存在点P，使得平面 平面 ；命题①正确；将 绕 翻折到平面 内，则 的最小值为点 到直线 的距离，又
， ， ， ，所以 ，所以点
到直线 的距离为 ，所以 的最小值为 ；②正确；
当 取最小时， 为 的中点，因为 为等边三角形，点 为线段 的中点，
所以 为 的重心，故 ，在平面 中，延长 交 于点 ，因
为 ， ，所以 ，故 ，
取 的中点 ， 为 的中点，则 ，因为 ， ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故过点A，H，P的三棱柱的截面为梯形 ，
又 ， ， ，
，
在下图中过点 作 ，设 ，
因为 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以四边形 的面积 ，
故过点A，H，P的截面面积为 ．命题④正确；
当 时， ，则 ，
在下图中过点 作 ，垂足为 ，则 ，
又 ， ，故对于任意的点 ，当 时，都存在对应
的点 ，满足 ，故满足 的点P有无数个；命题③正确；
故答案为：①②③④.
27．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在直四棱柱 中，底面ABCD
是边长为1的正方形，侧棱 ，M为侧棱 的中点，N在侧面矩形 内(异于
点 )，则三棱锥 体积的最大值为____________.
【答案】
【解析】以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直
角坐标系，
则 ，设 ， ， ，其中 与
不能同时成立，则 ，
，
故 ，
因为 ，所以 ⊥ ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
，
取 ，则 ，故 ，
点 到平面 的距离
，
三棱锥 的体积为 ，
因为 ， ，其中 与 不能同时成立，
要想 最大，由于 恒成立，只需要 最大，当 时，
，满足要求，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
故答案为：
28．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知正三棱锥 的六条棱长均为 是底面 的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交 于 点（不
与顶点 ， 重合）.
给出下列四个结论：
①三棱锥 为正三棱锥；
②三棱锥 的高为 ；
③三棱锥 的体积既有最大值，又有最小值；
④当 时， .
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【解析】如图所示
∵用一个平行于底面的平面截三棱锥，
且 为正三棱锥， 是底面 的中心
∴三棱锥 为正三棱锥，故①正确；
∵正三棱锥 的六条棱长均为 , 是底面 的中心，
∴三棱锥 的高为 ,
的高为 ，且 , ,
∴ ，故②正确
，∵ 点不与顶点 ， 重合，
∴ ，设 的高为 ，则 ，得 ，
∴ ，，在 上 ， 上 ，
所以 在 上递增， 上递减，故在 上有最大值，无最小值，故③错误；
当 时，点 分别为线段 的三等分点，
∴ ，且
∴ .
故④正确;
故答案为：①②④
29．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若四面体 外接球半径为1，
，则其最大体积为__________.
【答案】
【解析】先证明一个引理：
引理：已知空间四边形 ，若 所成的角为 且异面直线 的公垂线段的
长度为 ，则四面体 的体积为 .
证明：如图，在平面 中，过 作直线平行于 ，过 作直线平行于 ，
它们交于 ，则四边形 为平行四边形，故 .
因为 ，故 或其补角为 所成的角，
故 或 ，
故 ,
设 为 的公垂线段，故 ，
故 ，而 平面 ，故 平面 ，因为 ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
故 到平面 的距离为 的长度，
故 .
故 .
如图，在四面体 中，取 的中点分别为 ，连接 ，
则 .
设 ， 所成的角为 ，则 .
又 ，
设 的公垂线段的长度为 ，则 ①，
故 ，
整理得到： ，
因为
，当且仅当 时等号成立，
故
故 ，
当且仅当 时等号成立，其中 .
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 在 上的最大值为 ，
故 即 ，当且仅当 ， 时等号成立，
又此时取 所在的截面圆的半径为 ，则 为两圆的连心线且 垂直于两个截
面圆，并过球心，故 为 的公垂线段，所以①中等号可取，
故 ，
故答案为：
30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设 ， ， 分别是棱长为2 的正方体
的棱 ， ， 的中点， 为 上一点，且 不与 重合，且 ，
， ， 在同一个表面积为S的球面上，记三棱锥 的体积为 ，则 的最小值
是______.
【答案】
【解析】设 ， ， ， 所在球面球心为O，取MP中点I，连接OI，OP，OR
则I为△MNP外接圆圆心， 平面MNP，
以D为原点，分别以DA，DC， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则 ，
设 ，
则由 可得，
整理得 ，
则
令 ，则 或
则 ， 或令
则
当 时， ， 单调递减；
则当 时， 取得最小值
则 的最小值是
故答案为：
