文档内容
专题 10 立体几何综合
目录一览
2023真题展现
考向一 求二面角
考向二 求距离
真题考查解读
近年真题对比
考向一 求三棱锥体积
考向二 求二面角
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 求二面角
1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝
60°，E为BC中点．
（1）证明BC⊥DA；
→ →
（2）点F满足 EF=DA ，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．
证明：（1）连接AE，DE，
∵DB＝DC，E为BC中点．
∴DE⊥BC，
又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ACD与△ABD 均为等边三角形，
∴AC＝AB，
∴AE⊥BC，AE∩DE＝E，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1∴BC⊥平面ADE，
∵AD 平面ADE，
∴BC⊥DA．
⊂
（2）解：设DA＝DB＝DC＝2，
∴BC=2√2，
∵DE=AE=√2，AD＝2，
∴AE2+DE2＝4＝AD2，
∴AE⊥DE，
又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，
∴AE⊥平面BCD，
以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
D(√2，0，0)，A(0，0，√2)，B(0，√2，0)，E（0，0，0），
→ →
∵ EF=DA ，
∴F(−√2，0，√2)，
→ → →
∴DA=(−√2，0，√2) ，AB=(0，√2，−√2) ，AF=(−√2，0，0) ，
→ →
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n =(x ，y ，z ) ，n =(x ，y ，z ) ，
1 1 1 1 2 2 2 2
{−√2x +√2z =0
1 1
则 ，令x＝1，解得y＝z＝1，
√2y −√2z =0 1 1 1
1 1
{√2y −√2z =0
2 2
，令y＝1，解得x＝0，z＝1，
−√2x =0 2 2 2
2
→ →
故n =（1，1，1），n =（0，1，1），
1 2
设二面角D﹣AB﹣F的平面角为 ，
→ →
|n ⋅n | 2 θ √6
则|cos |= 1 2 = = ，
→ → √3×√2 3
|n ||n |
θ 1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2√3
故sin = ，
3
θ
√3
所以二面角D﹣AB﹣F的正弦值为 ．
3
考向二 求距离
2．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD﹣ABC D中，AB＝2，AA ＝4．点A ，B ，C ，
1 1 1 1 2 2 2
D 分别在棱AA，BB，CC ，DD 上，AA＝1，BB＝DD ＝2，CC ＝3．
2 1 1 1 1 2 2 2 2
（1）证明：BC ∥AD；
2 2 2 2
（2）点P在棱BB 上，当二面角P﹣AC ﹣D 为150°时，求BP．
1 2 2 2 2
解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：
B（0，2，2），C （0，0，3），A（2，2，1），D（2，0，2），
2 2 2 2
→ →
∴B C =(0，−2，1) ，A D =(0，−2，1) ，
2 2 2 2
→ →
∴B C =A D ，又B 2 ，C 2 ，A 2 ，D 2 四点不共线，
2 2 2 2
∴BC ∥AD；
2 2 2 2
（2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t [0，4]，
又由（1）知C （0，0，3），A（2，2，1），D（2，0，2），
2 2 2∈
→ → →
∴C A =(2，2，−2) ，C P=(0，2，t−3) ，A D =(0，−2，1) ，
2 2 2 2 2
→
设平面PA 2 C 2 的法向量为 m=(x，y，z) ，
→ →
{
m⋅C
2
A
2
=2x+2y−2z=0
→
则
→ →
，取m=(t−1，3−t，2) ，
m⋅C P=2y+(t−3)z=0
2
→
设平面A
2
C
2
D
2
的法向量为 n=(a，b，c) ，
→ →
{
n⋅C
2
A
2
=2a+2b−2c=0
→
则
→ →
，取n=(1，1，2) ，
n⋅A D =−2b+c=0
2 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3→ →
∴根据题意可得|cos150°|＝|cos
＜m
→ ， →
n＞
|=
|m
→
⋅n
→
|
，
|m||n|
√3 6
=
∴ ，
2 √(t−1) 2+(3−t) 2+4×√6
∴t2﹣4t+3＝0，又t [0，4]，
∴解得t＝1或t＝3，
∈
∴P为BB 的中点或BB的中点，
1 2 2
∴BP＝1．
2
【命题意图】
考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．
【考查要点】
命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间
角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．
【得分要点】
1．直线与平面平行
（1）直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a ，b ，a∥b，则a∥ ．
（2）直线和平面平行的性质定理：
⊄α ⊂α α
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符
号表示为：若a∥ ，a ， ∩ ＝b，则a∥b．
2．直线与平面垂直
α ⊂β α β
（1）直线与平面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面 互相垂直，记作
l⊥ ，其中l叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l的垂面．
α α
α α α
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4（2）直线与平面垂直的判定：
定义法：对于直线l和平面 ，l⊥ l垂直于 内的任一条直线．
判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
α α⇔ α
判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
（3）直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥ ，
b⊥ a∥b
α
②由定义可知：a⊥ ，b a⊥b．
α⇒
3．二面角的平面角求法：
α ⊂α⇒
（1）定义法．
（2）三垂线定理及其逆定理．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两
个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
（4）平移或延长（展）线（面）法．
（5）射影公式．
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→ →
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
u v
α β θ → →
①当0≤＜ → u ， → v＞≤ π 2 ， =＜ → u ， → v＞ ，cos ＝cos ＜ → u ， → v＞= → u⋅v → ．
|u||v|
θ θ
→ →
②当 π
2
＜＜ → u， →
v＞＜
时，cos ＝﹣cos＜ →
u
， → v＞=−
→
u⋅v
→
|u||v|
π θ
考向一 求三棱锥体积
3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为
45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，又CD 平面BCD，
⊂
所以AO⊥CD；
⊂
（2）方法一：
取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，
过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，
所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则B（0，﹣1，0）， ，D（0，1，0），
设A（0，0，t），则 ，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为 ，
设平面BCE的法向量为 ，
又 ，
所以由 ，得 ，
令x＝ ，则y＝﹣1， ，故 ，
因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，
所以 ，
解得t＝1，所以OA＝1，
又 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6故 ＝ ．
方法二：
过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG，
由题意可知，EF∥AO，又AO⊥平面BCD1
所以EF⊥平面BCD，又BC 平面BCD，
所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF＝F
⊂
所以BC⊥平面EFG，又EG 平面EFG，
所以BC⊥EG，
⊂
则∠EGF为二面角E﹣BC﹣D的平面角，即∠EGF＝45°，
又CD＝DO＝OB＝OC＝1，
所以∠BOC＝120°，则∠OCB＝∠OBC＝30°，
故∠BCD＝90°，
所以FG∥CD，
因为 ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以EF＝GF＝ ，则 ，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7考向二 求二面角
4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 的体积为4，△A BC的面积为 ．
1 1 1 1
（1）求A到平面A BC的距离；
1
（2）设D为A C的中点，AA ＝AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．
1 1 1 1 1
【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A B C 的体积为4，可得 ＝ ＝ ，
1 1 1
设A到平面A BC的距离为d，由 ＝ ，
1
∴ •d＝ ，∴ ×2 •d＝ ，解得d＝ ．
（2）连接AB 交A B于点E，∵AA ＝AB，∴四边形ABB A 为正方形，
1 1 1 1 1
∴AB ⊥A B，又∵平面A BC⊥平面ABB A ，平面A BC∩平面ABB A ＝A B，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AB ⊥平面A BC，∴AB ⊥BC，
1 1 1
由直三棱柱ABC﹣A B C 知BB ⊥平面ABC，∴BB ⊥BC，又AB ∩BB ＝B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴BC⊥平面ABB A ，∴BC⊥AB，
1 1
以B为坐标原点，BC，BA，BB 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8∵AA ＝AB，∴BC× AB× ＝2 ，又 AB×BC×AA ＝4，解得AB＝BC＝AA ＝2，
1 1 1
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A （0，2，2），D（1，1，1），
1
则 ＝（0，2，0）， ＝（1，1，1）， ＝（2，0，0），
设平面ABD的一个法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，
∴平面ABD的一个法向量为 ＝（1，0，﹣1），
设平面BCD的一个法向量为 ＝（a，b，c），
，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，
平面BCD的一个法向量为 ＝（0，1，﹣1），
cos＜ ， ＞＝ ＝ ，
二面角A﹣BD﹣C的正弦值为 ＝ ．
5．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．
（1）证明：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，
又OA 平面ABC，OB 平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，
∴∠POA＝∠POB＝90°，
⊂ ⊂
又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，
∴OA＝OB，
延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，
在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，
∵OE 平面PAC，PF 平面PAC，
∴OE∥平面PAC；
⊄ ⊂
（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AM分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9又∠ABO＝∠CBO＝30°，则 ，
∴ ，
又AC＝ABtan60°＝12，即C（0，12，0），
设平面AEB的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
设平面AEC的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为 ，则 ，
θ
∴ ，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为 ．
6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝ ，QC＝
3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【解答】（Ⅰ）证明：△QCD中，CD＝AD＝2，QD＝ ，QC＝3，所以 CD2+QD2＝QC2，所以
CD⊥QD；
又CD⊥AD，AD∩QD＝D，AD 平面QAD，QD 平面QAD，所以CD⊥平面QAD；
又CD 平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．
⊂ ⊂
（Ⅱ）解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD，
⊂
以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
则O（0，0，0），B（2，﹣1，0），D（0，1，0），Q（0，0，2），
因为Ox⊥平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为 ＝（1，0，0），
设平面BDQ的一个法向量为 ＝（x，y，z），
由 ＝（﹣2，2，0）， ＝（0，﹣1，2），
得 ，即 ，
令z＝1，得y＝2，x＝2，所以 ＝（2，2，1）；
所以cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
所以二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值为 ．
本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，
空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。
高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，
扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程
一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20小题）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 111．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝ ，DH⊥平面ABCD，
EH＝2，DH＝3，AD＝4．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）求三棱锥 F﹣BDG的体积．
【解答】解：（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接EG，GO，
由ABCD﹣EFGH为四棱台，可知ACGE四点共面，且EG 面EFGH，AC 面ABCD，
∴EG∥AC，
⊂ ⊂
∵EFGH和ABCD均为菱形，且 ，EH＝2，AD＝4，
∴ ，
∴四边形AOGE为平行四边形，
∴AE∥GO，
又GO 面BDG，AE 面BDG，
∴AE∥平面BDG；
⊂ ⊄
（2）连接GE交FH于K，
∵GE⊥FH，FD⊥GE，FH∩DH＝D，FH 面BDHF，DH 面BDHF，
∴GE⊥面BDHF，
⊂ ⊂
∵四边形ABCD为菱形且 ，EF＝2，
∴ ，
∴ ．
2．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D
（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12【解答】解：（1）在△ABC中，M，E分别为AC，BC的中点，则ME∥AB，
折叠前AD⊥BC则折叠后AD⊥CD，又∠BDC＝90°即CD⊥BD，且AD⋂BD＝D，
又AD 平面ADB，BD 平面ADB，所以CD⊥平面ADB，
又AB 平面ADB，所以CD⊥AB，而ME∥AB，所以CD⊥ME；
⊂ ⊂
（2）设BD＝x（0＜x＜3），则CD＝3﹣x，
⊂
因为AD⊥CD，AD⊥BD，且CD⋂BD＝D，
又CD 平面BDC，BD 平面BDC，所以AD⊥平面BDC，
所以AD为三棱锥A﹣BCD的高，
⊂ ⊂
在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，所以AD＝CD＝3﹣x，
所以 ，
则 ，令V′＝0解得x＝1或x＝3（舍去），
令V′＞0解得0＜x＜1，令V′＜0解得1＜x＜3，
所以 在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
故当x＝1即当BD＝1，CD＝2时，V
A﹣BCD
取最大值，
此时 ．
3．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．
1 1 1
（1）求证：AC⊥BC ；
1
（2）设AC 与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C﹣ABC 的体积．
1 1
【解答】解：（1）证明：由AC＝4，BC＝3，AB＝5，得AB2＝AC2+CB2，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
在直三棱柱ABC﹣A B C 中，可得C C⊥BC，BC∩C C＝C，
1 1 1 1 1
∴AC⊥平面CBB C ，∵BC 平面CBB C ，
1 1 1 1 1
∴AC⊥BC
1
；
⊂
（2）由C C⊥平面ABC，可得AC为AC 在底面ABC内的射影，
1 1
知∠C AC即为AC 与平面ABC所成的角，∴∠C AC＝60°，
1 1 1
又∵△C AC为直角三角形，且AC＝4，∴C C＝4 ，
1 1
C
1
C为三棱锥C
1
﹣ABC的高，S△ABC ＝6，
＝ ＝ •S△ABC •C
1
C＝ ×6×4 ＝8 ，
∴三棱锥C﹣ABC 的体积8 ．
1
4．（2023•平罗县校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA
＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．
（1）证明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．
【解答】解：（1）证明：在线段PB上取点M，使得PM＝2MB，
所以，在△PBC中， ，且MF∥BC，
因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，
所以MF∥AD，MF＝AD，
所以四边形ADFM是平行四边形，所以DF∥AM，
又DF 平面PAB，AM 平面PAB，
所以DF∥平面PAB；
⊄ ⊂
（2）作FG⊥PD交PD于点G，
因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA与AD交于点A，
所以CD⊥面PAD，CD⊥PD，
又FG⊥PD，所求FG∥CD，
所以△PFG～△PCD，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14所以 ，得 ，又E为PD中点，
所以 ．
5．（2023•新城区校级一模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是
PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：PB∥平面EAC．
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求cos∠PCD．
【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点F，连接FE，
因为底面ABCD是菱形，所以F是BD的中点，
又E是PD的中点，所以EF∥PB，
因为EF 平面EAC，PB 平面EAC，
所以PB∥平面EAC；
⊂ ⊄
（2）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，
设PD＝a，则 ，得a＝3，
连接CO，因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以OC⊥AD，且 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15因为 ，所以 ，
又CD＝AB＝2，所以由余弦定理可得 ．
6．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，
1
已知AB＝4，BC＝6．
（1）证明：BF⊥平面EPF；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．
【解答】解：（1）证明：连接AF，
∵四边形ABCD是圆柱OO 的轴截面，
1
∴AB为圆O的直径，
∴AF⊥BF，
又EF是圆柱的母线，
∴EF⊥平面ABF，
∵BF 平面ABF，
∴EF⊥BF，
⊂
又∵AF⋂EF＝F，AD∥EF，AF，EF 平面ADEF，
∴BF⊥平面ADEF，
⊂
又∵P是线段AD的中点，
∴平面ADEF即为平面EPF，
∴BF⊥平面EPF．
（2）由（1）知BF⊥平面EPF，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16∴BF为三棱锥B﹣EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射影，
∴AB与平面EPF所成角为∠BAF，
由已知∠BAF＝60°，AB＝4，BC＝6，
∴ ，AF＝ABcos60°＝2， ，
∴ ．
7．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A B C 的侧面BB C C是边长为1的正方形，侧面BB C C⊥侧
1 1 1 1 1 1 1
面AA B B，AB＝4，∠A B B＝60°，G是A B 的中点．
1 1 1 1 1 1
（1）求证：平面GBC⊥平面BB C C；
1 1
（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．
【解答】解：（1）证明：在△GBB 中， ，BB ＝1，∠A B B＝60°，
1 1 1 1
则在△GB B中，由余弦定理得GB＝ ＝ ，
1
因为 ，即 ，
所以GB⊥BB ，由已知平面BB C C⊥平面AA B B，
1 1 1 1 1
且平面BB C C∩平面AA B B＝BB 又GB 平面AA B B，故GB⊥平面 BB C C，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又GB 平面GBC，则平面GBC⊥平面BB 1⊂C
1
C；
（2）由 ⊂ 题意知，由（1）知，GB⊥平面 BB 1 C 1 C，BC 平面BB 1 C 1 C，
⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17则BC⊥GB，又BC⊥BB ，且GB∩BB ＝B，GB，BB 平面AA B B，
1 1 1 1 1
可得BC⊥平面AA 1 B 1 B，因此PB为三棱锥P﹣ABG的高 ⊂ ，
因为∠A B B＝60°，∠GBB ＝90°，所以∠ABG＝30°，
1 1 1
又S△ABG ＝ sin∠ABG×AB×BG＝ × ×4× ＝ ，
所以V A﹣PBG ＝V P﹣ABG ＝ ×S△ABG ×PB＝ × × ＝ ．
8．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，
1 1 1 1
CD＝2，M是DD 的中点．
1
（1）证明：BC⊥B M；
1
（2）若B M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A B C D 的体积．
1 1 1 1 1
【解答】解：（1）如图，连接BD，∵AB＝AD＝1，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，
∴ ， ，
∴BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD，
∵BB ⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴BB ⊥BC，
1 1
又BB
1
∩BD＝B，BB
1
，B⊂D 平面B
1
BDD
1
，∴BC⊥平面B
1
BDD
1
，
∵B
1
M 平面B
1
BDD
1
，∴B⊂C⊥B
1
M．
⊂
（2）设AA ＝2a（a＞0），则由已知可得 ，
1
CM2＝CD2+MD2＝4+a2， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18∵B M⊥CM，∴ ，即2+a2+4+a2＝2+4a2，
1
解得 （负值舍去），∴ ，
∴四棱柱ABCD﹣A B C D 的体积 ．
1 1 1 1
9．（2023•南关区校级模拟）如图，三棱台 ABC﹣A B C ，AB⊥BC，AC⊥BB ，平面 ABB A ⊥平面
1 1 1 1 1 1
ABC，AB＝6，BC＝4，BB ＝2，AC 与A C相交于点D， ，且DE∥平面BCC B ．
1 1 1 1 1
（1）求三棱锥C﹣A B C 的体积；
1 1 1
（2）求直线CC 与平面A B C所成角的正弦值．
1 1 1
【解答】解：（1）因为平面ABB A ⊥平面ABC，AB＝平面ABB A ∩平面ABC，BC⊥AB，
1 1 1 1
所以BC⊥平面ABB A ，
1 1
又因为BB 平面ABB A ，
1 1 1
所以BC⊥B⊂B
1
，
又因为AC⊥BB ，AC∩BC＝C，
1
所以BB ⊥平面ABC，
1
连接C B，
1
因为DE∥平面BCC B ，DE 平面ABC ，
1 1 1
平面ABC
1
∩平面BCC
1
B
1
＝C⊂1 B，
所以DE∥C B，
1
又因为 ，
所以 ＝2 ，
又因为△A C D∽△CAD，
1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19所以A C ＝ AC，
1 1
所以S△A1C1B1 ＝ S△ACB ＝ × ×6×4＝3，
又因为BC∥B C ，B C 平面A B C ，BC 平面A B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BC∥平面A 1 B 1 C 1 ， ⊂ ⊄
所以C到平面A B C 的距离等于B到平面A B C 的距离，即为BB ＝2，
1 1 1 1 1 1 1
所以V C﹣A1B1C1 ＝ S△A1C1B1 •BB 1 ＝ ×3×2＝2；
（2）由题意及（1）可得AB⊥BC，AB⊥BB ，BB ⊥BC，
1 1
所以以B为坐标原点， ， ， 为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：
则有A（6，0，0），C（0，4，0），B（0，0，0），B （0，0，2），C （0，2，2），A （3，0，
1 1 1
2），
则 ＝（3，0，0）， ＝（0，4，﹣2）， ＝（0，﹣2，2），
设平面A B C的法向量为 ＝（x，y，z），
1 1
则 ，所以x＝0，z＝2y，
取 ＝（0，1，2），
设直线CC 与平面A B C所成角为 ，
1 1 1
θ
则sin ＝|cos＜ ， ＞|＝ ＝ ＝ ．
10．（2023•琼山区校级三模）如图，三棱台ABC﹣A B C ，AB⊥BC，AC⊥BB ，平面ABB A ⊥平面
θ 1 1 1 1 1 1
ABC，AB＝6，BC＝4，BB ＝2，AC 与A C相交于点D， ，且DE∥平面BCC B ．
1 1 1 1 1
（1）求三棱锥C﹣A B C 的体积；
1 1 1
（2）平面A B C与平面ABC所成角为 ，CC 与平面A B C所成角为 ，求证： ．
1 1 1 1 1
α β
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20【解答】解：（1）∵平面ABB 1 A 1 ⊥平面ABC，且平面ABB 1 A 1⋂ 平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC 平面
ABC
⊂
∴BC⊥平面ABB A ，∵BB 平面ABB A ，
1 1 1 1 1
∴BC⊥BB
1
，又AC⊥BB
1
，B⊂C∩AC＝C，BC，AC 平面ABC
∴BB
1
⊥平面ABC，连接C
1
B，
⊂
∵DE∥平面BCC 1 B 1 ，DE 平面ABC 1 ，平面ABC 1⋂ 平面BCC 1 B 1 ＝C 1 B，
⊂
∴DE∥C B，∵ ，∴ ，∴ ．
1
∴三棱锥C﹣A B C 底面A B C 的面积 ，高h＝BB ＝2，
1 1 1 1 1 1 1
∴三棱锥C﹣A B C 的体积为： ；
1 1 1
（2）证明：分别以 为x，y，z轴的正方向建系如图．
则A（6，0，0），C（0，4，0），B （0，0，2），A （3，0，2），C （0，2，2），
1 1 1
∴ ．
设平面A B C的法向量为 ，
1 1
则 ，取 ，
又平面ABC的一个法向量为 ，
∴cos ＝|cos＜ ， ＞|＝ ＝ ＝ ，
α
．
又 ，所以 ．
∴ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21又 + （0， ），∴ ．
α β∈ π
11．（2023•兴庆区校级四模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝
2，DC＝1，∠BCD＝60°．
（1）证明：BD⊥平面ACDE；
（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面ABE
之间的几何体的体积．
【解答】证明：（1）在△BCD中，∵AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．
∴由余弦定理可得BD2＝22+1﹣2×1×2cos60°＝3．
∴BC2＝BD2+DC2，∴BD⊥CD．
又AC⊥平面BCD，∴AC⊥BD．而AC∩CD＝C，
∴BD⊥平面ACDE．
解：（2）取AC的中点F，BC的中点M，连接DF，DM，MF，
则平面DFM即为所求．理由如下：
因为DE∥AC，DE＝AF，所以四边形AEDF为平行四边形，
所以DF∥AE，从而DF∥平面ABE，
同理可证FM∥平面ABE．
因为FM∩DF＝F，所以平面DFM∥平面ABE．
由（1）可知，BD⊥平面ACDE，FC⊥平面CDM．
因为V
A﹣CDE
＝ ，
V F﹣CDM ＝ ＝ ，
所以夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22V＝V
A﹣CDE
﹣V
F﹣CDM
＝ ＝ ．
12．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB
＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．
（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC的体积．
【解答】（1）证明：如图，设PN⊥平面ABC于点N，过N作NE⊥AB于E，NF⊥AC于F，连接PE，
PF，
∵PN⊥平面ABC，AB 平面ABC，
∴PN⊥AB，
⊂
又∵NE⊥AB，∴AB⊥平面PNE，∴AB⊥PE，
同理AC⊥PF，
在Rt△PAE，Rt△PAF中，∠PAE＝∠PAF，PA＝PA，
∴△PAE≌△PAF，∴AF＝AE，
在Rt△ANE，Rt△ANF中，AF＝AE，AN＝AN，
∴△ANE≌△ANF，∴NE＝NF，即N到AB，AC的距离相等，
同理N到BC，AC的距离相等，故N为△ABC的内心，N与H重合，
∴PH⊥平面ABC，
又∵PH 平面APM，∴平面PAM⊥平面ABC．
（2）解：由已知可得AC＝5，设△ABC的内切圆半径为r，
⊂
则 ，故r＝1，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23∵H为△ABC的内心，∴AH平分∠BAC，∴ ，BM+CM＝4，∴ ， ，
故△AMC的面积为 ，
因为HE⊥AB，AB⊥BC，∴HE∥BC，∴ ，得AE＝2，
∴ ， ，
故三棱锥M﹣PAC的体积为 ．
13．（2023•郑州三模）已知正四棱台ABCD﹣A B C D 的体积为 ，其中AB＝2A B ＝4．
1 1 1 1 1 1
（1）求侧棱AA 与底面ABCD所成的角；
1
（2）在线段CC 上是否存在一点P，使得BP⊥A D？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理
1 1
由．
【解答】解：（1）在正四棱台ABCD﹣A B C D 中，
1 1 1 1
∵AB＝2A
1
B
1
＝4，∴S正方形ABCD ＝16， ，
设正四棱台ABCD﹣A B C D 的高为h，
1 1 1 1
由正四棱台ABCD﹣A B C D 的体积为 ，得 ，
1 1 1 1
得h＝ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24连接AC，过A 作A H⊥AC，垂足为H，则A H为正四棱台的高，
1 1 1
且∠A AH为侧棱AA 与底面ABCD所成的角，
1 1
在Rt△A HA中， ，AH＝ ，
1
∴∠A AH＝45°，即侧棱AA 与底面ABCD所成的角为45°；
1 1
（2）设正四棱台ABCD﹣A B C D 的上下底面的中心分别为O ，O，
1 1 1 1 1
以O为坐标原点，分别以OA、OB、OO 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
1
则A （ ，0， ），D（0， ，0），B（0， ，0），
1
设线段CC 上存在一点P，满足 （0≤ ≤1），
1
λ
C （ ，0， ），C（ ，0，0）， ，
1
∴ ，
则 ＝ ＝
，
．
若BP⊥A D，则 ＝0，解得 ＝2，舍去．
1
∴在线段CC
1
上不存在一点P，使得BP⊥A
1
D．
λ
14．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分
别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为 ，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E﹣ABG体积．
【解答】（1）证明：连接BD，∵E，F分别是线段PB，PD的中点，∴EF∥BD，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25∵底面四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，而EF∥BD，得EF⊥平面PAC，
⊂
又EF 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAC；
（2）解：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线
⊂
为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（1，0，1），F（0，1，1），
P（0，0，2），C（2，2，0），
设PG＝ PC，（0＜ ＜1且 ），
则 λ λ ＝（2 ，2 ，2﹣2 ），
， ， λ λ λ
设平面AEF的一个法向量为 ，
由 ，取z＝﹣1，得 ．
设直线AG与平面AEF所成角为 ，
θ
sin ＝|cos＜ ， ＞|＝| |＝| |＝ ，
θ
∴ ，即3（6 ﹣2）2＝12 2﹣8 +4，
λ λ λ
∴12 2﹣8 +1＝0，解得 ＝ （ 舍去）．
λ λ λ
∴PG＝ PC，
由已知可得BC⊥平面PAB，则G到平面PAB的距离为 BC＝ ．
∴ ＝ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2615．（2023•江西模拟）如图，三棱柱 ABC﹣A B C 中，AB＝BC＝B A＝B C，D 是 AC 的中点，
1 1 1 1 1
AB ⊥BD．
1
（1）证明：B D⊥平面ABC；
1
（2）若 ，点B 到平面ACC A 的距离为 ，求三棱锥C ﹣A B C的体积．
1 1 1 1 1 1
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，
∵AB ⊥BD，AB ∩AC＝A，∴BD⊥平面AB C，
1 1 1
又B D 平面AB C，∴BD⊥B D，
1 1 1
∵B
1
A＝ ⊂B
1
C，D是AC的中点，∴B
1
D⊥AC，
∵BD⊥B D，且BD∩AC＝D，∴B D⊥平面ABC；
1 1
（2）解：由（1）知，BD⊥AC，B D⊥AC，BD∩B D＝D，
1 1
∴AC⊥平面BB D，
1
∵AB＝BC＝B A＝B C，∴BD＝B D，取A C 的中点D ，连接DD ，B D ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
可得BB ∥DD ，∴平面BDD B 即为平面BB D，
1 1 1 1 1
又AC 平面ACC A ，∴平面BDD B ⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1
⊂
过点B 作B H⊥DD 于点H，则B H⊥平面ACC A ，可得 ，
1 1 1 1 1 1
在三棱柱ABC﹣A B C 中，四边形BDD B 为平行四边形，∴∠B BD＝∠B D D，
1 1 1 1 1 1 1 1
∵BD＝B D，∴ ，可得BD＝B D ＝1，则 ，
1 1 1
又∵ ，∴AD＝1．
∵B D⊥平面ABC，∴ ＝ ．
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2716．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，△A B C 与△AB C 均是边长为2的正三角形，且
1 1 1 1 1 1 1 1
AA ＝ ．
1
（Ⅰ）证明：平面AB C ⊥平面A B C ；
1 1 1 1 1
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB C C的体积．
1 1
【解答】解：（Ⅰ）证明：取B C 中点O，连接AO，A O，如图，
1 1 1
∵三棱柱ABC﹣A B C 中，△A B C 与△AB C 均是边长为2的正三角形，且AA ＝ ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴A O⊥B C ，AO⊥B C ，AO＝A O＝ ＝ ，
1 1 1 1 1 1
∴∠A OA是平面AB C 和平面A B C 所成角，
1 1 1 1 1 1
∵ ＝ ，∴∠A OA＝90°，
1
∴平面AB C ⊥平面A B C ；
1 1 1 1 1
（Ⅱ）∵A O⊥B C ，AO⊥B C ，AO∩A O＝O，∴B C ⊥平面AOA ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵AA 平面AOA ，∴B C ⊥AA ，∴B C ⊥BB ，
1 1 1 1 1 1 1 1
取BC⊂中点D，连接AD，OD，则AO＝AD＝ ，DO＝ ，AO⊥AD，
过A作AE⊥平面BB C C，交CD于点E，由题意E是OD中点，
1 1
AE＝ ＝ ，
∴四棱锥A﹣BB C C的体积为：
1 1
V＝ ＝ ＝2．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2817．（2023•宛城区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，底面是边长为2a的正三角形，侧棱AA
1 1 1 1
的长为 ，D，D 分别是棱BC，B C 的中点，平面ADD A ⊥平面CBB C ，且∠ADD ≠90°．
1 1 1 1 1 1 1 1
（1）求证：BC⊥CC ；
1
（2）若三棱柱ABC﹣A B C 的侧面积为 ，求它的体积．
1 1 1
【解答】（1）证明：如图，过点A作AO⊥DD 交DD 于点O．
1 1
∵平面ADD A ⊥平面CBB C ，平面ADD A ∩平面CBB C ＝DD ，AO⊥DD ，AO 平面ADD A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AO⊥平面CBB 1 C 1 ． ⊂
又BC 平面CBB C ，∴AO⊥BC．
1 1
∵△ABC是正三角形，D为BC的中点，∴BC⊥AD．
⊂
∵AO∩AD＝A，AO，AD 平面ADD A ，∴BC⊥平面ADD A ．
1 1 1 1
又DD
1
平面ADD
1
A
1
，∴ ⊂BC⊥DD
1
．
易知DD⊂1 ∥CC
1
，∴BC⊥CC
1
．
（2）解：由（1）知四边形CBB C 为矩形，如图，过O作OE⊥CC ，交CC 于E，连接AE．
1 1 1 1
易知四边形CDOE为矩形， ．
由（1）知AO⊥平面CBB C ，所以AO⊥CC ，
1 1 1
又AO∩OE＝O，AO，OE 平面AOE，所以CC ⊥平面AOE，
1
由于AE 平面AOE，所以 ⊂CC
1
⊥AE．
同理过O⊂ 作OF⊥BB
1
，交BB
1
于F，连接AF，可证AF⊥BB
1
．
由OE＝OF，可知AE＝AF．
所 以 三 棱 柱 ABC﹣ A B C 的 侧 面 积 ：
1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29，
所以 ．
在Rt△AOE中，OE＝a， ，所以 ．
连接AC ，AB ，四棱锥A﹣CBB C 的体积： ，
1 1 1 1
又 ，所以 ．
18．（2023•长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠PAB＝∠DAB＝
，PA⊥PB，点E在线段PB上，CD⊥DE，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求四面体E﹣PAD的体积；
（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取AB的中点O，连接BD，DO，过点P作DO的平行线PG，
在菱形ABCD中， ，∴△ABD为等边三角形，
又底面ABCD是边长为4的菱形，∴ ，且DO⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，DO 平面ABCD，
∴DO⊥平面PAB，又DO∥PG，∴PG⊥平面PAB，
⊂
又PA，PB 平面PAB，∴PA⊥PG，PB⊥PG，又PA⊥PB，
⊂
建系如图，∵ ，∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30取PA的中点F，连接OF，则 ，
∴ ，
∴ ，设C（a，b，c），则 ，
由 ，得 ，
即 ， ，
设PE＝d，则E（0，d，0），∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设平面CDP的一个法向量为 ，
得 取 ，
又 ，
∴直线DE与平面CDP所成角的正弦值为：
．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，将
△PAB绕着PA逆时针旋转 到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点．
（1）当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；
（2）当PC∥平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31【解答】解：（1）PA⊥底面ABC，AB，AC 面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC
⊂
则由旋转可得
∴底面积 ，
又∠BAC （0， ），故当 时，sin∠BAC取最大值1，
∈ π
则底面积S的最大值为 ，故几何体体积为 ，
故当 时，该组合体的体积最大，最大值为 ；
（2）以A为原点，AC为x轴，AP为z轴，在平面ABC上作y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），C（1，0，0），P（0，0，2），
设∠BAC＝ ， （0， ），则 B（cos ，sin ，0）， ，
θ θ∈ π θ θ
，
∴ ，设 为平面MAB的法向量，
又
∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32令x＝sin ，则平面MAB的法向量 ，
θ
∵PC∥平面MAB，∴ ，则 ，∴ 或 ，
∵ ，设 为平面PBD的法向量，
① 当 ， 则 ， ， ∴ ，
，
则 ，
取y ＝4，则平面PBD的法向量 ，
1
∴cos＜ ＞＝ ，
∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 ；
②当 ，则 ，D（﹣1，0，0），
∴ ， ，
则 ，
取y ＝2，则
1
∴cos＜ ＞＝ ，
∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 ；
综上，直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 或 ．
20．（2023•睢宁县校级模拟）在三棱台ABC﹣DEF中，G为AC中点，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．
（1）求证：BC⊥平面DEG；
（2）若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为 ，求三棱锥E﹣DFG的体
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33积．
【解答】证明：（1）在三棱台ABC﹣DEF中，G为AC中点，
则AC＝2GC，又AC＝2DF，
则GC＝DF，
又AC∥DF，
∴四边形GCFD为平行四边形，
则DG∥CF，∵BC⊥CF，∴BC⊥DG，
又DE∥AB，AB⊥BC，
∴BC⊥DE，
∵DE，DG 平面DEG，DE⋂DG＝D，
∴BC⊥平面DEG．
⊂
（2）解：∵CF⊥AB，DG∥CF，
∴DG⊥AB，
又∵DG⊥BC，AB，BC 平面ABC，AB⋂BC＝B，
∴DG⊥平面ABC，
⊂
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，G为AC中点，
∴GB⊥AC．
以 为正交基底，建立空间直角坐标系G﹣xyz，
AB＝BC＝2，
则G（0，0，0）， ， ， ，D（0，0，m），m＞0，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34，
设平面EFG的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，y＝m，x＝m，则 ，又平面ACFD的一个法向量为 ，
则 ＝ ＝ ，解得m＝1，即DG＝1．
∵DG⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，DG⊥平面DEF，
∴ ．
二．平面与平面垂直（共3小题）
21．（2023•江西模拟）如图所示，圆锥的高 ，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得
BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
（1）证明：平面PDE⊥平面POD；
（2）点E到平面PAD的距离为d ，求d 的值．
1 1
【解答】解：（1）证明：由题设，PO⊥平面ABD，又D是切线CE与圆O的切点，
所以CE 平面ABD，则PO⊥CE，且OD⊥CE，
又PO∩OD＝O，PO，OD 平面POD，
⊂
所以CE⊥平面POD，
⊂
又CE 平面PDE，
所以平面PDE⊥平面POD．
⊂
（2）因为OD⊥CE，OD＝1，OC＝2，
所以 ，∠OCD＝30°，
又AE⊥AC，CA＝3，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35所以 ，
所以 ，
所以 ，且△ADE的面积为 ，
因为 ，
所以PA＝PD＝2，
所以△PAD为等腰三角形，其底边AD上的高为 ，
所以△PAD的面积为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
22．（2023•开福区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AC＝AA ＝3，点D是BC的中点，
1 1 1 1
点E在AA 上，AD∥平面BC E．
1 1
（1）求证：平面BC E⊥平面BB C C；
1 1 1
（2）当三棱锥B ﹣BC E的体积最大时，求直线AC与平面BC E所成角的正弦值．
1 1 1
【解答】解：（1）证明：可取CC 的中点M，连接DM，AM，
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36又D为BC的中点，可得DM∥BC ，
1
DM 平面BC E，可得DM∥平面BC E，
1 1
又A⊄D∥平面BC
1
E，AD∩DM＝D，可得平面ADM∥平面BC
1
E，
所以AM∥平面BC E，
1
又平面BC E∩平面A ACC ＝C E，可得AM∥C E，即有E为AA 的中点，
1 1 1 1 1 1
因为AB＝AC，D为BC的中点，可得AD⊥BC，
由直三棱柱ABC﹣A B C 中，B B⊥底面ABC，可得B B⊥AD，
1 1 1 1 1
由BC∩B B＝B，可得AD⊥平面BB C C，
1 1 1
取BC 的中点H，连接EH，可得EH∥AD，即有EH⊥平面BB C C，
1 1 1
而EH 平面BC E，可得平面BC E⊥平面BB C C；
1 1 1 1
⊂
（2）设BC＝2a，可得AD＝ ，
三棱锥B ﹣BC E的体积V＝ EH• ＝ • ×3×2a＝a ≤ （a2+9﹣a2）＝
1 1
（当且仅当a＝ 取得等号），
可得当AB⊥AC时，三棱锥B ﹣BC E的体积取得最大值．
1 1
由于A C ∥AC，可得直线AC与平面BC E所成角即为直线A C 与平面BC E所成角．
1 1 1 1 1 1
设A 到平面BC E的距离为h，由BE＝C E＝ ＝ ，BC ＝ ＝3 ，可得 ＝
1 1 1 1
×3 × ＝ ，
所以 ＝ h• ＝ h，又 ＝ ×3× ×3× ＝ ，
又 ＝ ，解得h＝ ，
又A C ＝3，可得直线A C 与平面BC E所成角的正弦值为 ＝ ，
1 1 1 1 1
即有直线AC与平面BC E所成角的正弦值为 ．
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3723．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，
求PB与平面ABCD所成的线面角的大小．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又∵AB∥CD，
∴AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
⊂
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵PA＝PD，O为AD的中点，
∴PO⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，
∴AB⊥PO，
⊂
∵AB∩AD＝A，
∴PO⊥底面ABCD，
设PA＝PD＝AB＝DC＝a，
则 ， ，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，PO⊥底面ABCD，
∴ ＝ ，解得 a＝
2，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38＝ ，
∴ ，
∵PO⊥底面ABCD，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，
在Rt△POB中， ，
∴∠PBO＝30°，
故PB与平面ABCD所成的线面角为30°．
三．直线与平面所成的角（共7小题）
24．（2023•花都区校级模拟）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的
菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C 的位置，且AC ＝ ．
1 1
（1）求证：平面BC E⊥平面ABED；
1
（2）在棱DC 上是否存在点P，使得点P到平面ABC 的距离为 ？若存在，求出直线EP与平面
1 1
ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
1
【解答】解：（1）证明：如图所示，
在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且∠BCE＝60°，
所以AC⊥BE，且 ，
在图②中，相交直线OA，OC 均与BE垂直，
1
所以∠AOC 是二面角A﹣BE﹣C 的平面角，
1 1
因为 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39所以OA⊥OC ，
1
所以平面BC E⊥平面ABED．
1
（2）由（1）知，分别以直线OA，OB，OC 为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，
1
则 ， ， ，B（0，1，0），E（0，﹣1，0），
所 以 ， ， ，
， ，
设 ， [0，1]，
λ∈
则 ，
设平面ABC 的一个法向量 ，
1
则 ，
令x＝1，则y＝ ，z＝1，
所以 ．
因为P到平面ABC 的距离为 ，
1
所以 ，
解得 ，
由 ，得（x ﹣ ，y + ，z ）＝ （﹣ ， ， ），
P P P
所以x ＝ ，y ＝﹣ ，z ＝ ，
P P P
所以 ，
所以 ．
设直线EP与平面ABC 所成的角为 ，
1
θ
所以 ．
25．（2023•雅安三模）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中、四边形ABB A 是菱形，且∠ABB ＝60°，AB＝BC
1 1 1 1 1 1
＝2，CA＝CB ，CA⊥CB ，
1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40（1）证明：平面CAB ⊥平面ABB A ；
1 1 1
（2）求直线BB 和平面ABC所成角的正弦值；
1
【解答】证明：（1）取AB 的中点O，连接OC，OB，如图所示：
1
∵四边形ABB A 是菱形，且∠ABB ＝60°，
1 1 1
∴△ABB 为等边三角形，又∵AB＝2，
1
∴OB＝2× ＝ ，AB ＝2，
1
∵CA＝CB ，CA⊥CB ，∴CO⊥AB ，且CO＝ ＝1，
1 1 1
又∵BC＝2，∴BC2＝OB2+CO2，
∴CO⊥OB，
又∵CO⊥AB ，AB ∩OB＝O，
1 1
∴CO⊥平面ABB A ，
1 1
又∵CO 平面CAB ，
1
∴平面C⊂AB
1
⊥平面ABB
1
A
1
；
解：（2）由（1）可知，OB，OB ，OC两两垂直，
1
以点O为坐标原点，分别以 ， ， 的正方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所
示：
则B（ ，0，0），B （0，1，0），A（0，﹣1，0），C（0，0，1），
1
∴ ＝（﹣ ，1，0）， ＝（ ，1，0）， ＝（0，1，1），
设平面ABC的一个法向量为 ＝（x，y，z），则 ，
即 ，取x＝ 得， ，
∴ ＝（ ，﹣3，3），
∴直线BB 和平面ABC所成角的正弦值为|cos＜ ， ＞|＝ ＝ ．
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4126．（2023•白山四模）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB||CD，AD＝DC＝1，AB＝
2，AC⊥PC．
（1）证明：平面ABCD⊥平面PBC．
（2）若 ，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
∵四边形ABCD为等腰梯形，AB||CD，AD＝DC＝1，
∴BE＝ ，
又BC＝AD＝1，∠CEB＝90°，则∠ABC＝60°，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos∠60°＝1+4﹣2＝3，
∴AC2+CB2＝AB2，即△ABC是直角三角形，
∴AC⊥BC，
又AC⊥PC，BC∩PC＝C，BC 平面PBC，PC 平面PBC，
∴AC⊥平面PBC，
⊂ ⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42又AC 平面ABCD，则平面ABCD⊥平面PBC；
（2）由（1）得AC⊥平面PBC，PB⊥BC，则建立以C为原点的空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：
⊂
AD＝DC＝1，AB＝2，则A（ ，0，0），B（0，1，0），P（0，1，2 ），D（ ，﹣ ，0），
∴ ＝（ ，﹣ ，0）， ＝（0，1，2 ）， ＝（ ，﹣1，﹣2 ），
设平面PCD的一个法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，取x＝1，则y＝ ，z＝﹣ ，
∴平面PCD的一个法向量为 ＝（1， ，﹣ ），
设直线PA与平面PCD的夹角为 ，
α
∴sin ＝|cos＜ ， ＞|＝ ＝ ，
α
故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 ；
27．（2023•宁夏三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB
＝AP＝BC＝1，AD＝2．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．
【解答】解：（1）作CF⊥AD，垂足为F，易证，四边形ABCF为正方形．
所以CF＝AF＝DF＝1， ．又 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43因为AC2+CD2＝AD2，所以AC⊥CD．
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．
又AC∩PA＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，所以CD⊥平面PAC．
⊂
⊂ ⊂
（2）以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）， ．
则 ， ， ．
设平面AED的法向量为 ，
由 ，得 ，
令z＝1，可得平面AED的一个法向量为 ．
设PD与平面AED所成角为 ，
θ
则 ．
28．（2023•贵阳模拟）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB＝
CD，CD⊥CE，∠ADC＝∠EDC＝45°，AD＝ ，BE＝ ．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（2）设M为AE的中点，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44【解答】（1）证明：∵ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴CD⊥BC，
又CD⊥CE，BC⋂CE＝C，BC，CE 平面BCE，
∴CD⊥平面BCE，又BE 平面BCE，
⊂
∴CD⊥BE，又∠ADC＝4⊂5°， ，
如图，过点A作AF⊥CD，
∴AF＝1，DF＝FC＝1，∴BC＝1，
又∠EDC＝45°，∴CD＝CE＝2．
又 ，由勾股定理可知BE⊥BC，
∵BC⋂CD＝C，BC，CD 平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD，又BE 平面ABE，
⊂
∴平面ABE⊥平面ABCD；
⊂
（2）解：取AB的中点N，连接DN，MN，
∵M为AE的中点，BE＝ ，∴MN∥BE， ，
由（1）知BE⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角．
由（1）知CD⊥BC，又AB∥CD， ，∠ADC＝45°，AD＝ ，
∴AB＝BC＝ CD＝1，DN＝ ＝ ，
∴DM2＝DN2+MN2＝ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45∴DM＝2．
∴ ．
29．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，
AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
【解答】解：（I）取AD中点F，连PF、BF，
∵△ADP是等边三角形，∴PF⊥AD，……………………（2分）
又∵AD⊥BP，
∴AD⊥平面PFB，∵BF 平面PFB，∴AD⊥BF，………………………（4分）
∴BD＝AB＝2，∴BC＝⊂ ． …………………………（6分）
（II）∵AD⊥平面PFB，AD 平面APD
∴平面PFB⊥平面APD …………………………………（8分）
⊂
作BG⊥PF交PF为G，则BG⊥平面APD，AD、BC交于H，
∠BHG为直线BC与平面ADP所成的角，…………（10分）
由题意得PF＝BF＝ ，又∵BP＝3，
∴∠GFB＝30°，BG＝ ，……………………（12分）
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD＝1，∴BH＝2 ，
∴sin∠BHG＝ ．
∴直线BC与平面ADP所成的角的正弦值为 ．……………………（15分）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4630．（2023•分宜县校级一模）在正△ABC 中，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上的点，满足
，将△AEF沿EF折起到△A EF的位置，使二面角 A ﹣EF﹣B成直二面角，连接
1 1
A B，A P．
1 1
（1）求证：A E⊥平面BEP；
1
（2）求直线A E与平面A BP所成角的大小．
1 1
【解答】解：不妨设正三角形的边长为3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF．
∵ ，AF＝AD＝2，又∠A＝60°，△ADF为正三角形．
又∵AE＝ED＝1，
∴EF⊥AD，
∴在图2中有A E⊥EF，BE⊥EF．
1
∴∠A EB为二面角A ﹣EF﹣B的平面角．
1 1
∵二面角A ﹣EF﹣B为直二面角，
1
∴A E⊥BE
1
又∵BE∩EF＝E，
∴即A E⊥平面BEF，即A E⊥平面BEP
1 1
（2）由（1）可知，A E⊥平面BEP，BE⊥EF，建立坐标系则E（0，0，0），A （0，0，1），B（2，
1 1
0，0），
F（0， ，0），D（1，0，0），不难得出EF∥DP且EF＝DP，DE∥EP且DE＝FP．
故P点的坐标为（1， ，0），
∴
设平面A BP的法向量 ＝（x，y，z），
1
则
∴ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47∴ ．
∴A E与平面A BP所成角的大小为 ．
1 1
四．二面角的平面角及求法（共23小题）
31．（2023•广西模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB
的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点
（与点B，C不重合）．
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值 ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明
理由．
【解答】解：（I）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
⊂
EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
⊂
BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，
EM 平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
⊂
（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE＝EB＝2，设N（2，m，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
M（1，0，1），
， ， ，
设平面EMN的法向量为 ，
由 ，得 ，
平面BEN的法向量为 ，
故|cos＜ ＞|＝| |＝ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48得m＝1，
故存在N为BC的中点．
32．（2023•龙华区校级模拟）如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD是边
长为2正方形， ，AC与BD交于点O，点E在线段SD上．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）若OE∥平面SAB，求平面SAC与平面EAC所成夹角的余弦值．
【解答】证明：（1）因为平面SAD⊥平面ABCD且交线为AD，
又AB 平面ABCD且AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，
又SA 平面SAD，所以SA⊥AB，
⊂
因为A⊂BCD是边长为2正方形，所以 ，又 ，
所以SA2+AC2＝SC2，即SA⊥AC，
又因为AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD；
⊂
解：（2）因为OE∥平面SAB，OE 平面SBD，平面SBD∩平面SAB＝SB，
所以OE∥SB，
⊂
因为O为BD的中点，所以E为SD的中点，
以AB，AD，AS分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则有 ，E（0，
1， ），
易得平面SAC的一个法向量为 ，
设平面EAC的一个法向量为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49则 ，
取z＝1，则 ，
设平面SAC与平面EAC所成夹角为 ，则 ，
θ
所以平面SAC与平面EAC所成夹角的余弦值为 ．
33．（2023•商丘三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AP
＝2DC＝4，PB＝2AD＝4 ，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面ABCD；
（2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：因为M，N分别为PD，PB的中点，
所以MN为△PBD的中位线，
所以MN∥DB，
因为MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD．
⊄ ⊂
（2）因为AB＝AP＝2DC＝4，PB＝2AD＝4 ，PD＝2 ，
所以AD＝2 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50所以AB2+AP2＝PB2＝32，
所以△PAB是直角三角形，PA⊥AB，
又AD2+AP2＝PD2＝24，
所以△PAD是直角三角形，PA⊥AD，
又AD⊥AB，
所以以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以B（0，4，0），C（2 ，2，0），D（2 ，0，0），P（0，0，4），M（ ，0，2），N
（0，2，2），
所以 ＝（ ，2，﹣2）， ＝（﹣2 ，0，2），
设平面MCN的法向量 ＝（x，y，z），
所以 ，
令x＝1，则y＝ ，z＝ ，
所以 ＝（1， ， ），
由题意知平面ABCD的一个法向量为 ＝（0，0，1），
设平面MCN与平面ABCD夹角为 ，
θ
所以|cos |＝|cos＜ ， ＞|＝| |＝| |＝ ，
θ
所以平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值为 ．
34．（2023•保定三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A B C 中，D，D ，F分别是BC，B C ，A B 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1
，△ABC的边长为2．
（1）求证：EF∥平面ADD A ；
1 1
（2）若三棱柱的高为1，求二面角B﹣EF﹣C 的正弦值．
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51【解答】解：（1）证明：取A D 的中点G，连接FG，DG，
1 1
根据题意可得FG∥B D ，且FG＝ B D ，DE＝ BD，
1 1 1 1
由三棱柱得性质知BD∥B D ，
1 1
所以四边形DGEF是平行四边形，
所以EF∥DG，
因为EF 面ADD A ，DG 面ADD A ，
1 1 1 1
所以EF⊄ ∥面ADD 1 A 1 ． ⊂
（2）因为△ABC是等边三角形，且边长为2，
所以AD⊥BC，
因为三棱柱的高为1，
以D为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系：
所以E（ ，0，0），F（ ，﹣ ，1），B（1，0，0），C （﹣1，0，1），
1
所以 ＝（﹣ ，0，0）， ＝（0，﹣ ，1）， ＝（﹣ ，0，1），
设平面BEF的法向量 ＝（x ，y ，z ），
1 1 1
则 ，
令y ＝ ．则z ＝ ，x ＝0，
1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52所以 ＝（0， ， ），
设平面C EF的一个法向量为 ＝（x ，y ，z ），
1 2 2 2
所以 ，
令y ＝2，则x ＝ ，z ＝ ，
2 2 2
所以 ＝（ ，2， ），
设二面角B﹣EF﹣C 为 ，
1
θ
所以|cos |＝| |＝| |＝ ，
θ
所以sin ＝ ＝ ，
θ
所以二面角B﹣EF﹣C 的正弦值为 ．
1
35．（2023•唐县校级二模）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，侧面ABED与ACFD均为梯形，AB∥DE，
AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．
（1）证明：平面ABED⊥平面ACFD；
（2）求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小．
【解答】解：（1）证明：因为AB∥DE，AC⊥DE，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53所以AC⊥AB，
又AC 平面ABC，平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，
所以AC⊥平面ABED，
⊂
又AC 平面ACFD，
所以平面ABED⊥平面ACFD．
⊂
（2）如图，作DE中点M，连接AM，易知AB，AM，AC两两垂直，
以 ， ， 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，0，1），F（﹣1，1，2），
所以 （1，0，﹣1）， ，
设平面ACFD的法向量为 ＝（x ，y ，z ），
1 1 1
则 ，
取x ＝1，则y ＝1，z ＝0，
1 1 1
所以 ＝（1，1，0），
设平面CBEF的法向量为 ＝（x ，y ，z ），
2 2 2
则 ，
取x ＝1，则y ＝0，z ＝1，
2 2 2
所以 ＝（1，0，1），
设平面BEFC与平面FCAD的夹角为 ，
θ
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54所以 ，
所以平面BEFC与平面FCAD的角 ．
36．（2023•道里区校级四模）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，
点E，F在以AD为直径的半圆上，且 ＝ ＝ ，将半圆沿AD翻折如图2．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接AE，EF，FD，六边形ABCDFE为正六边形，则EF∥AD∥BC，
在翻折过程中，EF∥AD，EF 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．
⊄ ⊂
（2）解：连接EB，FC分别交AD于G，H，则EB⊥AD，FC⊥AD，
翻折过程中，EG 平面EGB，GB 平面EGB，EG∩GB＝G，
AD⊥EG，AD⊥GB，所以AD⊥平面EGB，同理AD⊥平面FHC，
⊂ ⊂
所以平面EGB∥平面FHC．又因为EF∥GH∥BC，
则三棱柱EGB﹣FHC为直三棱柱，EG∥FH，BG∥HC，
且EG＝GB＝FH＝HC＝ ，AG＝HD＝1，GH＝2．
设∠EGB＝ ，所以 ，
θ
V＝V三棱锥A﹣EGB +V三棱柱EGB﹣FHC +V三棱锥D﹣FHC ＝ AG•S△EGB +GH•S△EGB + HD•S△FHC ＝4sin ＝4．
θ
所以sin ＝1，即 ，AD⊥EG，AD⊥GB，∠EGB为二面角E﹣AD﹣B的平面角，
即平面EFDA⊥平面ABCD．以G为坐标原点，GB，GD，GE所在的直线为x，y，z轴，
θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55建立空间直角坐标系如图，则A（0，﹣1，0）， ， ，
，2，0），D（0，3，0），F（0，2， ），
，
设平面ABE的一个法向量 ，有 ，
令x＝1得 ，同理可得平面CDF的法向量 ，
设平面ABE与平面CDF的夹角为 ，观察图可知其为锐角，则cos ＝ ＝ ，
φ φ
所以平面ABE与平面CDF的夹角的余弦值为 ．
37．（2023•万州区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，BC＝BB ，BC ∩B C＝O，AO⊥平面
1 1 1 1 1 1
BB C C．
1 1
（1）求证：AB⊥B C；
1
（2）若∠B BC＝60°，直线AB与平面BB C C所成的角为30°，求二面角A ﹣B C ﹣A的正弦值．
1 1 1 1 1 1
【解答】（1）证明：因为AO⊥平面 BB C C，B C 平面BB C C，
1 1 1 1 1
所以AO⊥B
1
C．
⊂
因为BC＝BB ，四边形BB C C是平行四边形，所以四边形BB C C是菱形．
1 1 1 1 1
所以BC ⊥B C．
1 1
因为AO∩BC ＝O，AO 平面ABC ，BC 平面ABC ，
1 1 1 1
所以B
1
C⊥平面ABC
1
．
⊂ ⊂
因为AB 平面ABC ，所以B C⊥AB．
1 1
（2）解 ⊂ ：因为AB与平面BB 1 C 1 C所成角为30°，AO⊥平面BB 1 C 1 C，
所以∠ABO＝30°，
因为∠B BC＝60°，所以△BCB 是正三角形，
1 1
设BC＝2，则 ，
以O为原点，分别以OB，OB ，OA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 56设平面AB C 的一个法向量为n ＝（x，y，z），
1 1 1
则
令x＝1，得 ，
设平面B C A 的一个法向量为n ＝（x′，y′，z′），
1 1 1 2
则
令x′＝1，解得 ．
设二面角A ﹣B C ﹣A的大小为 ，
1 1 1
θ
因为 ，
所以 ，
所以二面角A ﹣B C ﹣A的正弦值为 ．
1 1 1
38．（2023•杭州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知CB⊥平面ABB′A′，AB＝2，且
AB⊥BB′，A′C⊥AB′．
（1）求AA′的长；
（2）若D为线段AC的中点，求二面角A﹣B′C′﹣D的余弦值．
【解答】解：（1）连接A′B，
因为CB⊥平面ABB′A′，AB′ 平面ABB′A′，
则CB⊥AB′，
⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57又因为A′C⊥AB′，A′C⋂CB＝C，A′C，CB 平面A′BC，
所以AB′⊥平面A′BC，
⊂
且A′B 平面A′BC，
可得AB′⊥A′B，
⊂
因为ABB′A′为平行四边形，且AB⊥BB′，
则ABB′A′为矩形，
所以ABB′A′为正方形，
可得AA′＝AB＝2．
（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱ABCE﹣A′B′C′E′，
取CE，AB的中点P，Q，连接PQ，C′P，B′Q，则P，D，Q三点共线，且PQ∥BC，
因为B′C′∥BC，可得PQ∥B′C′，
所以平面B′C′D即为平面PQB′C′，
同理平面AB′C′即为平面AB′C′E，
因为B′C′∥BC，CB⊥平面ABB′A′，则B′C′⊥平面ABB′A′，
且AB′，B′Q 平面ABB′A′，则B′C′⊥AB′，B′C′⊥B′Q，
所以二面角A﹣B′C′﹣D的平面角为∠AB′Q，
⊂
可得 ，
在△AB′Q中，则 ，
所以二面角A﹣B′C′﹣D的余弦值为 ．
39．（2023•徐州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，
PA＝AD＝4，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，AD＝3AE．
（1）求证：直线AM∥平面BNE；
（2）从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为 ；
②二面角N﹣BE﹣D的余弦值为 ．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58【解答】解：（1）证明：如图，连接MD，交BN于点F，连接EF，
因为M，N分别为棱PB，PD的中点，
所以F为△PBD的重心，则MD＝3MF，
又在△AMD中，AD＝3AE，
所以EF∥AM，
又因为EF 平面BNE，AM 平面BNE，
所以AM∥平面BNE．
⊂ ⊄
（2）若选①作为已知条件：
在矩形ABCD中，AB∥CD，CD 平面PCD，
AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD．
⊂
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，
⊄
所以AB∥l．
⊂
所以l与直线BE所成角即为∠ABE．
在直角三角形ABE中， ，AB⊥AE，
所以由 可得，AB＝4
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（4，0，0）， ，N（0，2，2），
所以 ， ．
设平面BNE的法向量为 ，
则 ，可得 ，则可取 ．
又 为平面BDE的一个法向量，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59由图可知，二面角N﹣BE﹣D的余弦值为 ．
若选②为已知条件：
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，设AB＝m，则B（m，0，0）， ，N（0，2，2），
则 ， ．
设平面BNE的法向量为 ，
则 ，即 ，则可取 ．
又 为平面BDE的一个法向量，且二面角N﹣BE﹣D的余弦值为 ，
所以 ，解得m＝4．
在矩形ABCD中，AB∥CD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，
所以AB∥平面PCD．
⊂ ⊄
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，
所以AB∥l．
⊂
所以l与直线BE所成角即为∠ABE．
在直角三角形ABE中，AB⊥AE，AB＝4， ，可得 ，
所以平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为 ．
40．（2023•锦州一模）如图一，△ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D，E分别是CA，CB边上
的点， ；如图二，将△CDE沿DE翻折，使点C到点P的位置，PO＝3．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 60（1）求证：OP⊥平面ABED；
（2）求二面角B﹣PE﹣F的正弦值．
【解答】解：（1）证明：因为△ABC为等边三角形， ，DE∥AB，
CO为AB边上的高线，故DE⊥OF，DE⊥PF，
又OF∩PF＝F，OF，PF 平面FOP，所以DE⊥平面FOP．
因为OP 平面FOP，所以DE⊥OP．
⊂
在△FOP⊂中， ，
所以OF2+OP2＝PF2，
故OP⊥OF，
而DE 平面ABED，OF 平面ABED，OF∩DE＝F，
故OP⊥平面ABED⋅
⊂ ⊂
（2）分别以 方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61设 平 面 BPE 的 法 向 量 ， 则 ， 则 可 取
，
设 平 面 PEF 的 法 向 量 ， 则 ， 则 可 取
，
设二面角B﹣PE﹣F大小为 ，则 ，
θ
所以 ．
41．（2023•武功县校级模拟）如图，四边形 ACC A 与四边形 BCC B 是全等的矩形，AB＝
1 1 1 1
．
（1）若P是AA 的中点，求证：平面PB C ⊥平面PB C；
1 1 1 1
（2）若P是棱AA 上的点，直线BP与平面ACC A 所成角的正切值为 ，求二面角B ﹣PC﹣C
1 1 1 1 1
的余弦值．
【解答】解：（1）证明：由题意知 ，
所以AC⊥BC，
又因为CC ⊥BC，且CC ∩AC＝C，AC 平面ACC A ，CC 平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1
所以BC⊥平面ACC 1 A 1 ， ⊂ ⊂
又CP 平面ACC A ，
1 1
所以BC⊥CP．
⊂
，即 ，
所以AC＝AP，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 62同理 ，
所以 ，即PC ⊥CP．
1
又由于BC∥B C ，
1 1
所以B C ⊥CP，且PC ∩B C ＝C ，
1 1 1 1 1 1
又PC 平面PB C ，B C 平面PB C ，
1 1 1 1 1 1 1
所以C⊂P⊥平面PB 1 C 1 ， ⊂
又因为CP 平面PB C，
1
所以平面P⊂B
1
C
1
⊥平面PB
1
C．
（2）由（1）知，BC⊥平面ACC A ，
1 1
所以CP是直线BP在平面ACC A 内的射影，
1 1
所以∠BPC就是直线BP与平面ACC A 所成的角，即 ，
1 1
所以 ，
所以由勾股定理得 ，
又由（1）知，A
1
C
1
，B
1
C
1
，CC
1
两两垂直，
以C C，C B ，C A 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
1 1 1 1 1
设AA ＝2，则C（2，0，0），B （0，1，0），
1 1
， ， ，
设平面PB C的一个法向量为 ，
1
则 ，即 ，
则可取 ，
易知平面PCC 的一个法向量为 ，
1
设二面角B ﹣PC﹣C 的大小为 ，由图知 为锐角，
1 1
θ θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63所以 ．
故二面角B ﹣PC﹣C 的余弦值为 ．
1 1
42．（2023•海淀区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分
别为AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若 ，二面角E﹣FC﹣D的大小为45°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
已知．求PD的长．
条件①：DE⊥PC；条件②：PB＝PC．
【解答】解：（1）证明：取PC的中点M，连接MF，MB，
∵M，F分别为PC，PD的中点，
∴MF是△PCD的中位线，
∴MF∥CD且 ，
又E为AB的中点，
∴BE∥CD且 ，
∴MF∥BE且MF＝BE，
∴四边形MBEF是平行四边形，
∴EF∥MB，EF 平面PBC，MB 平面PBC，
∴EF∥平面PBC；
⊄ ⊂
（2）选择条件①：DE⊥PC，PD⊥平面ABCD，DE⊥PD，PC 平面PCD，PD 平面PCD，DE⊥平面
PCD，
⊂ ⊂
∴DE⊥CD，∴DE⊥AB，底面ABCD为菱形，E为AB的中点．∴DA＝DB，△ABD是等边三角形，
以DP为z轴，DC为y轴，DE为x轴，建立空间直角坐标系，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 64设PD＝2t，则 ，
设平面FCD法向量为 ，
设平面FEC法向量为 ，又 ， ，
则 ，取 ，∵二面角E﹣FC﹣D的大小为45°，
∴cos ＝ ＝ ＝cos45°＝ ，
∴ ，∴t＝6，2t＝12，∴PD＝12；
选择条件②：PB＝PC．PD⊥平面ABCD，BC⊥PD，
∵PB＝PC，取BC的中点O，∴PO⊥BC，PD 平面PDO，PO 平面PDO，BC⊥平面PDO，
∴BC⊥DO，∵AD∥BC，∴DA⊥DO，
⊂ ⊂
底面ABCD为菱形，O为BC的中点．∴DC＝DB，△CBD是等边三角形，
以DP为z轴，以DA为x轴，以DO为y轴，
设PD＝2t，则 ，
设平面FCD法向量为 ，又 ， ，
则 ，取 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 65设 平 面 FEC 的 法 向 量 为 ， 又 ，
，
则 ，∴ ，取 ，
∵二面角E﹣FC﹣D的大小为45°
∴ ，
∴ ，∴t＝6，2t＝12，∴PD＝12．
43．（2023•枣强县校级模拟）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂
直．DE⊥平面BCD，且 ．
（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．
（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD，
∵△ABC是正三角形，
∴OA⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，OA 平面ABC，
∴OA⊥平面BCD．
⊂
∵OD 平面BCD，
∴OA⊥OD．
⊂
在Rt△AOD中， ，
∴ ．
又 ，
∴△ADE为等腰三角形．
∵P是DE的中点，
∴AP⊥DE．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 66∵DE⊥平面BCD，
∴OA∥DE，
∴AP⊥OA，
∴AP∥OD．
∵OD 平面BCD，AP 平面BCD，
∴AP∥平面BCD．
⊂ ⊄
（2）由（1）知，OA∥DP，AP∥OD，
∴四边形APDO为平行四边形，
∴ ，
∴ ．
以点O为坐标原点，以 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐
标系O﹣xyz，
则 ， ，
∴ ．
设平面ABE的法向量为 ，
则 ，则可取 ．
设平面ACE的法向量为 ，
则 ，则可取 ，
∴ ．
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为 ，则 ，
θ
∴二面角B﹣AE﹣C的正弦值为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6744．（2023•密云区三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，
AD⊥MN，AB＝2，AD＝AP＝4，M，N分别是BC，PD的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：由题意，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝AP＝4，AB⊥AD，
M，N分别是BC，PD的中点，
∴BM＝CM＝ ，AB＝CD＝2，
在四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，
∵PA 面PAD，∴PA⊥AB，
取AP中点E，连接BE，由几何知识得BE∥MN，
⊂
∵AD⊥MN，∴AD⊥BE，AD⊥AB，
∵BE 面PAB，AB 面PAB，AB∩BE＝B，
∴PA⊥面PAB，∴PA⊥AD，
⊂ ⊂
以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），M（2，2，0），N
（0，2，2），
∴ ＝（﹣2，0，2），面PAB的一个法向量为 ＝（0，4，0），
∵ ＝0，∴MN∥平面PAB．
（2）由题意及（1）得：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 68在平面AMN中，A（0，0，0），M（2，2，0），N（0，2，2），
＝（2，2，0）， ＝（0，2，2），
设平面AMN的法向量为 ，
则 ，取x＝1，得 ＝（1，﹣1，1），
平面AMB的一个法向量为 ＝（0，0，1），
设二面角N﹣AM﹣B的平面角为 ，由图得 为钝角，
∴二面角N﹣AM﹣B的余弦值为：
θ θ
cos ＝﹣ ＝﹣ ．
45．（2023•日喀则市模拟）如图，已知直角梯形 ABCD 与 ADEF，2DE＝2BC＝AD＝AB＝AF＝2，
θ
AD⊥AF，ED∥AF，AD⊥AB，BC∥AD，G是线段BF上一点．
（1）平面ABCD⊥平面ABF；
（2）若平面 ABCD⊥平面 ADEF，设平面 CEG 与平面 ABF 所成角为 ，是否存在点 G，使得
θ
，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（1）因为AD⊥AF，AD⊥AB，AF∩AB＝A，AF、AB 平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD 平面ABCD，
⊂
所以平面ABCD⊥平面ABF；
⊂
（2）由面ABCD⊥面ADEF，AD⊥AF，面ABCD∩面ADEF＝AD，AF 面ADEF，
所以AF⊥平面ABCD，AB在面ABCD内，则AF⊥AB，结合已知建立如下空间直角坐标系，
⊂
则C（2，1，0），E（0，2，1），F（0，0，2），B（2，0，0），
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 69设 ，得G（2 ，0，2﹣2 ），
平面ABF的法向量为 ，λ λ
又 ，
设平面CEG的法向量为 ，则 ，
取y＝2﹣2 ，则 ，
λ
故 ＝ ，
解得 ＝ ， （舍），
所以点G的坐标为（1，0，1），
λ
故存在点G为BF中点时使得 ．
46．（2023•郑州模拟）如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中，D为AC的中点，AB＝BC＝2，∠AA B ＝
1 1 1 1 1
∠B BC．
1
（1）证明：BB ⊥AC；
1
（2）若BB ⊥BC，直线AB 与平面BCC B 所成的角的正弦值为 ，二面角A﹣BB ﹣C的大小为
1 1 1 1 1
60°，求二面角B﹣B D﹣C 的余弦值．
1 1
【解答】解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A B C 中，AA ＝B B，∠AA B ＝∠B BC，A B ＝AB＝BC，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴△AA B ≌△B BC，
1 1 1
∴AB ＝CB ，
1 1
又D为AC的中点，
∴B D⊥AC，
1
在△ABC中，∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，
∵B
1
D⋂BD＝D，B
1
D、BD 平面BDB
1
，
∴AC⊥平面BDB
1
，
⊂
又BB 平面BDB ，
1 1
⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 70∴AC⊥BB ．
1
（2）∵BB
1
⊥AC，BB
1
⊥BC，AC⋂BC＝C，AC，BC 平面ABC，
∴BB
1
⊥平面ABC，而AB 平面ABC，
⊂
∴BB
1
⊥AB，
⊂
∴∠ABC为二面角A﹣BB ﹣C的平面角，即∠ABC＝60°，
1
∴△ABC为等边三角形，即AC＝2，
过点A作AO⊥BC于点O，则O为BC的中点， ，
∴BB ⊥平面ABC，而AO 平面ABC，
1
∴BB
1
⊥AO，
⊂
又BB 1⋂BC＝B，BC，BB
1
平面BCC
1
B
1
，
∴AO⊥平面BCC 1 B 1 ， ⊂
故直线AB 与平面BCC B 所成角为∠AB O，即 ，
1 1 1 1
设BB ＝y，则 ，即BB ＝3，
1 1
取 O 为B C 中点，
1 1 1
∴A O ⊥B C ，
1 1 1 1
∵BB ⊥平面A B C ，而A O 平面A B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴BB 1 ⊥A 1 O 1 ， ⊂
又BB 1⋂B
1
C
1
＝B
1
，B
1
C
1
，BB
1
平面BCC
1
B
1
，
∴A 1 O 1 ⊥平面BCC 1 B 1 ， ⊂
∵O O⊥BB ，
1 1
∴O O⊥平面A B C ，
1 1 1 1
以O 为坐标原点，分别以O B ，O O，O A 所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
1 1 1 1 1 1
则B （1，0，0），C （﹣1，0，0），B（1，3，0）， ，
1 1
， ， ， ，
设平面BB D一个法向量为 ，
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71由 ，可得 ，则可取 ；
设平面C B D的一个法向量分别为 ，
1 1
由 ，可得 ，则可取 ．
∴ ．
∴二面角B﹣B D﹣C 的余弦值 ．
1 1
47．（2023•招远市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，∠ACB＝60°，E为AB中点，过点E
作ED垂直AC于D，将△ADE沿ED翻折，使得面ADE⊥面BCDE，点M是棱AC上一点，且BM∥面
ADE．
（1）求 的值；
（2）求二面角M﹣BE﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）因为面ADE⊥面BCDE，面ADE⋂ 面BCDE＝DE
由题意可知，AD⊥DE，CD⊥DE，所以∠ADC＝90°，
过点B作BQ垂直CD于点Q，连接QM，
因为BQ∥DE，BQ 平面ADE，DE 平面ADE，
所以BQ∥平面ADE，
⊄ ⊂
又因为BM∥平面ADE，BQ⋂BM＝B，BQ，BM 平面ADE，
所以平面BQM∥平面ADE，
⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 72又因为面BQM⋂ 面ADC＝QM，平面ADE⋂ 平面ADC＝AD，
所以AD∥QM．
因为BC＝2，∠ACB＝60°，所以，CQ＝1，
在折叠前的图形中， ，所以AQ＝3，
易知D为AQ的中点，所以 ，
所以 ，所以， ．
（2）由（1）知，以D为原点，以DE，DC，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
易知平面BCDE的一个法向量 ，
，
设平面MBE的法向量为 ，
所以 ，令 ，则y＝﹣1，z＝5，故 ，
所以 ，
所以二面角M﹣BE﹣C的余弦值为 ．
48．（2023•凯里市校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝BC，AB ＝B C．
1 1 1 1 1
（1）证明：AC⊥B B；
1
（2）若AB＝BB ＝2，AB ＝ ，∠ABC＝120°，求二面角A﹣BB ﹣C的余弦值．
1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73【解答】（1）证明：取AC的中点D，连接BD，B D，
1
∵AB＝BC，AB ＝B C，∴AC⊥BD，AC⊥B D，
1 1 1
又BD∩B D＝D，∴AC⊥平面BB D，而BB 平面BB D，
1 1 1 1
∴AC⊥B
1
B；
⊂
（2）解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
可得BD＝ AB＝1，AC＝2AD＝2 ，
在△AB C中，AB ＝B C＝ ，AC＝2 ，可得B D＝ ，
1 1 1 1
在△BB D中，BD＝1，B D＝ ，BB ＝2，
1 1 1
可得 ，即B D⊥BD，
1
由（1）知，平面ABC⊥平面BB D，而平面ABC∩平面BB D＝BD，
1 1
∴B D⊥平面ABC，以D为坐标原点，分别以DB、DC、DB 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标
1 1
系，
B（1，0，0），A（0， ，0），C（0， ，0），B （0，0， ），
1
， ， ，
设平面ABB 与平面CBB 的一个法向量分别为 ， ，
1 1
由 ，取 ，得 ，
由 ，取 ，得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 74∴cos ＝ ＝ ．
由图可知，二面角A﹣BB ﹣C的平面角为钝角，
1
∴二面角A﹣BB ﹣C的余弦值为﹣ ．
1
49．（2023•合肥三模）已知平行六面体ABCD﹣A B C D 中，底面ABCD和侧面ABB A 都是边长为2的
1 1 1 1 1 1
菱形，平面ABCD⊥平面ABB A ，A B⊥B D．
1 1 1 1
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若∠A AB＝60°，求二面角A﹣B C﹣B的余弦值．
1 1
【解答】解：证明：（1）连接B A，作A H⊥AB于H，
1 1
∵ABB A 是菱形，∴B A⊥A B，
1 1 1 1
又A
1
B⊥B
1
D，B
1
A⋂B
1
D＝B
1
，B
1
A、B
1
D 面DAB
1
，
∴A
1
B⊥面DAB
1
，又AD 面DAB
1
，∴A 1⊂B⊥AD，
又平面ABCD⊥平面ABB⊂1 A
1
，平面ABCD∩平面ABB
1
A
1
＝AB，
∴A H⊥面ABCD，又AD 面ABCD，∴A H⊥AD，
1 1
又A
1
H与AB
1
相交，且A 1⊂H、AB
1
面ABB
1
A
1
，
∴AD⊥面ABB
1
A
1
，又AB 面ABB⊂1 A
1
，∴AD⊥AB，
又ABCD为菱形，∴四边形ABCD是正方形；
⊂
（2）在∠A AB＝60°时，易知H为AB的中点，
1
如图以H为中心，建立空间直角坐标系则，A（1，0，0）， ，C（﹣1，2，0），B
（﹣1，0，0），
∴ ， ， ，
设平面AB C的法向量为 ，
1
则 ，取 ，
设平面BB1C的法向量为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 75则 ，取 ，
∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
又由图可知二面角A﹣B C﹣B为锐角，
1
∴二面角A﹣B C﹣B的余弦值为 ．
1
50．（2023•安徽模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A B C D 中， ．
1 1 1 1
（1）求证：平面BC D⊥平面ACC A ；
1 1 1
（2）设E为棱BC的中点，线段AC，DE交于点F，C F⊥平面ABCD，且C F＝2，求平面ABC 与平
1 1 1
面CBC 的夹角的余弦值．
1
【解答】解：（1）证明：设AC，BD交于点O，连接C O，如图，
1
因为BC＝CD，AB＝AD，则点A，C在线段BD的垂直平分线上，即有AC⊥BD，O为BD的中点；
又因为C B＝C D，则C O⊥BD，又C O∩AC＝O，C O，AC 平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1
⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 76因此BD⊥平面ACC A ，而BD 平面BC D，所以平面BC D⊥平面ACC A ；
1 1 1 1 1 1
⊂
（2）由（1）知，BD⊥平面ACC A ，而BD 平面ABCD，则平面ABCD⊥平面ACC A ，
1 1 1 1
在平面ACC
1
A
1
内过O作Oz⊥AC，又平面AB⊂CD∩平面ACC
1
A
1
＝AC，
因此Oz⊥平面ABCD，射线OB，OC，Oz两两垂直，
以O为原点，射线OB，OC，Oz的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为E为棱BC的中点，则点F是正△BCD的重心，
又 ，C F⊥平面ABCD，且C F＝2，
1 1
则 ，
所以 ，0）． ，2）． ，
设平面ABC 的法向量为 ＝（x，y，z），
1
则 ，令x ＝1，得 ＝（1，﹣ ，1），
1
设平面CBC 的法向量为 ＝（a，b，c），
1
则 ，令x ＝3，得 ＝（3， ，1），
2
则cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
即平面ABC 与平面CBC 的夹角的余弦值为 ．
1 1
51．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形
ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝ ．将△ADE沿AD折起，使得点E到达
点M的位置，且使BM＝ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 77（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；
（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．
【解答】解：（1）如图，取AD的中点N，连接MN，BN．
∵△MAD是等边三角形，所以MN⊥AD，且 ，
在直角梯形ABCD中，因为DN＝BC＝1，DN∥BC，AD⊥DC，
∴四边形BCDN是矩形，所以BN⊥AD，且 ，
∴BN2+MN2＝6＝BM2，即BN⊥MN，
又∵AD∩MN＝N，AD 平面MAD．MN 平面MAD，
∴BN⊥平面MAD．
⊂ ⊂
∵BN 平面ABCD，
∴平面MAD⊥平面ABCD．
⊂
（2）由（1）知NA，NB，NM两两互相垂直，
以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 78由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，
，
∵平面MAD的一个法向量为 ，
设平面PBD的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令y＝1，则 ，故平面BDP的一个法向量为 ，
设平面MAD与平面PBD所成的二面角的平面角为 ，
θ
则 ，
∴ ，
∴平面MAD与平面PBD所成的二面角的正弦值为 ．
52．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA B B中，A B ∥AB，AA ⊥AB，AB＝AA ＝2A B ＝6，直角
1 1 1 1 1 1 1 1
梯形AA B B绕直角边AA 旋转一周得到如下图的圆台A A，已知点P，Q分别在线段CC ，BC上，二
1 1 1 1 1
面角B ﹣AA ﹣C 的大小为 ．
1 1 1
θ
（1）若 ＝120°， ，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA B B；
1 1
（2）若 θ ＝90°，点P为CC 1 上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA 1 C 1 C所成最大角的正切值，
并求此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．
θ
【解答】（1）证明：∵AA ⊥AB，∴AA ⊥AC，∴∠BAC＝∠B A C ＝ ＝120°，
1 1 1 1 1
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，∴AA
1
⊥平面ABC，
θ
又AQ 平面ABC，∴AA
1⊂
⊥AQ，又AQ⊥AB，
如图，
⊂
以A为原点，AB，AQ，AA
1
所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 79由于AB＝AA ＝2A B ＝6，∴ ，
1 1 1
则 ，
又 ， ∴ ， 则
，
∴ ，又y轴⊥平面AA B B，
1 1
故 可为平面AA B B的一个法向量，
1 1
又 ，且PQ 平面AA B B，∴PQ∥平面AA B B；
1 1 1 1
（2）解：∵AA
1
⊥AB，∴A⊄A
1
⊥AC，∴∠BAC＝∠B
1
A
1
C
1
＝ ＝90°，
如图，以A为原点，AB，AC，AA
1
所在直线分别为x，y，zθ 轴建立空间直角坐标系，
则B（6，0，0），C（0，6，0），C （0，3，6），Q（3，3，0），
1
设 ，则 ，
则 ，
又x轴⊥平面AA C C，∴ 可作为平面AA C C的一个法向量，
1 1 1 1
设PQ与平面AA C C所成角为 ，且 ，
1 1
α
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 80又函数y＝sin 与y＝tan 均在 上单调递增，
α α
∴当 时， 有最大值为 ，此时tan 也取到最大值，
α
又 ，则 ；
设 为 平 面 APQ 的 法 向 量 ， 又
，
∴ ，令z＝9，则平面APQ的法向量 ，
平面APC的一个法向量为 ，
∴ ，由图可知二面角Q﹣AP﹣C为锐角，即二面角Q﹣AP
﹣C的余弦值为 ．
∴PQ与平面AA C C所成最大角的正切值为 ，此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值为 ．
1 1
53．（2023•安徽模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D为A B上一点，AD⊥平面A BC．
1 1 1 1 1
（1）求证：BC⊥A B；
1
（2）若 ，AB＝BC＝2，P为AC的中点，求二面角A﹣A B﹣P的余弦值．
1
【解答】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A B C 为直三棱柱，
1 1 1
∴A A⊥平面ABC，又BC 平面ABC，∴A A⊥BC，
1 1
∵AD⊥平面A
1
BC，且BC⊂ 平面A
1
BC，
∴AD⊥BC．又AA
1
平面 ⊂A
1
AB，AD 平面A
1
AB，A
1
A∩AD＝A，
∴BC⊥平面A
1
AB，
⊂ ⊂
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 81又A B 平面A BC，∴BC⊥A B．
1 1 1
（2）解
⊂
：由（1）知BC⊥平面A
1
AB，AB 平面A
1
AB，从而BC⊥AB，
如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，
⊂
∵AD⊥平面A BC，其垂足D落在直线A B上，
1 1
∴AD⊥A B．
1
在Rt△ABD中，AD＝ ，AB＝2，
sin∠ABD＝ ＝ ，∠ABD＝60°，
在直三棱柱ABC﹣A B C 中，A A⊥AB．
1 1 1 1
在Rt△ABA 中，AA ＝AB•tan60°＝2 ，
1 1
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），
P（1，1，0），A （0，2，2 ），
1
， ＝（0，2，2 ）， ，
设平面PA B的一个法向量 ，
1
则 ，即 ，
得 ，
平面AA B的一个法向量为 ＝ ，
1
则 ，
∴二面角A﹣A B﹣P平面角的余弦值是 ．
1
五．点、线、面间的距离计算（共7小题）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8254．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝
4，AB＝AD＝2．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求点D到平面PBC的距离．
【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，AB＝AD＝2，
则 ， ．
△BCD中， ，
故BD2+BC2＝8+8＝16＝DC2，故BD⊥BC．
又因为PD⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PD⊥BC．
又因为PD∩BD＝D，PD，BD 平面PBD，BC⊥平面PBD．
⊂
又BC 底面PBC，故平面PBC⊥平面PBD．
⊂
（2）解：设点D到平面PBC的距离为d，
⊂
根据V
D﹣PBC
＝V
P﹣BCD
，即 ，
因为BC⊥平面PBD，PB 平面PBD，所以BC⊥PB，
△PBC中， ， ⊂ ，
所以 ，
故 ，解得 ．
即点D到平面PBC的距离为 ．
55．（2023•琼海校级模拟）如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中，AA ＝AD＝4，AB＝2，点M，N，P分
1 1 1 1 1
别是BB ，B C ，BC的中点，点Q为棱CC 上一点，且直线AA 和PQ所成的角为 ．
1 1 1 1 1
（1）求证：PQ∥平面AMN；
（2）求点P到平面AMN的距离．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 83【解答】（1）证明：在长方体ABCD﹣A B C D 中，∵AA ∥CC
1 1 1 1 1 1
∴直线AA 和PQ所成的角为 ，
1
∴直角三角形△PQC为等腰直角三角形，∴QC＝2，故点Q为棱CC 的中点．
1
连接BC ，∴PQ∥BC ，MN∥BC 故．∴PQ∥MN
1 1 1
又MN 平面AMN，PQ 平面AMN，∴PQ∥平面AMN
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标
⊂ ⊄ 1
系，
则A（4，0，0），B（4，2，0），C（0，2，0）B （4，2，4），C （0，2，4），
1 1
∴P（2，2，0），M（4，2，2），N（2，2，4）
则 ，
设平面AMN的法向量为 ，则 ，
即 令z＝1，则平面AMN的法向量 ，
设P到平面AMN的距离为d，∴
∴点到平面AMN的距离为 ．
56．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G
分别是棱BC，AD，PA的中点．
（1）证明：PE∥平面BFG；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 84（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
【解答】解：（1）连接DE，
∵ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，∵G是PA的中点，
∴FG∥PD，又PD，DE 平面BFG，且FG，BF 平面BFG，
∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG，
⊄ ⊂
∵PD∩DE＝D，直线PD，DE在平面PDE内，
∴平面PDE∥平面BFG，又PE 平面PDE，
∴PE∥平面BFG；
⊂
（2）∵PD⊥平面ABCD，FG∥PD，
∴FG⊥平面ABCD，
过C在平面ABCD内，作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM，
∵FG∩BF＝F，又FG，BF 平面BFG，
∴CM⊥平面BFG，
⊂
∴CM的长是点C到平面BFG的距离，
∵△BCF中， ，
∴由等面积可得 ，
∴点C到平面BFG的距离为 ．
57．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD．
（1）证明：BD⊥PC；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 85（2）若 ，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离．
【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接PO，
∵底面ABCD为菱形，OB＝OD，CO⊥BD，
又PB＝PD，∴PO⊥BD．
又PO⋂CO＝O，PO，CO 平面PCO，
∴BD⊥平面PCO，又PC 平面PCO，
⊂
∴BD⊥PC．
⊂
（2）∵AB＝BD＝2，底面ABCD为菱形，
∴△ABD为等边三角形，∴ ，
在等边三角形PBD中，BD＝2，∴ ，
∴PO2+AO2＝3+3＝6＝PA2，∴AO⊥PO，
又PO⊥BD，AO⋂BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD．
易知 ， ．
设点A到平面PCD的距离为d，因为V
P﹣ACD
＝V
A﹣PCD
，
∴S△ACD⋅PO＝S△PCD⋅d，即 ，
解得 ，
∴点A到平面PCD的距离为 ．
58．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝
2，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PBC；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 86（2）求点P到平面AEF的距离．
【解答】解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB，
⊂
∵AE 平面PAB，∴AE⊥BC，
⊂ ⊂
∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，
⊂
∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，
∵PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC．
⊂ ⊂
（2）由F是BC的中点，∴AF＝ ＝ ，
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA⊥AB，
⊂
∵E为线段PB的中点，∴AE＝ ＝ ，
由（1）知AE⊥平面PBC，EF 平面PBC，
∴AE⊥EF，∴EF＝ ⊂＝ ，
∴S△AEF ＝ ＝ ，
∵PA＝AB＝2，∴ ＝ ＝1，
由（1）知BC⊥平面PAB，∴FB⊥平面PAB，
设点P到平面AEF的距离为h，
则有V
P﹣AEF
＝ ＝ ＝V
F﹣PAE
＝ ＝ ，
解得h＝ ，
∴点P到平面AEF的距离为 ．
59．（2023•红桥区二模）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC
＝4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 87（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．
【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴建立空间直角
坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴ ＝（2，0，0）， ＝（0，4，0）， ＝（0，0，2）， ＝（﹣2，0，0），
＝（0，2，1）， ＝（2，4，0），
（Ⅰ）∵ ＝0，∴CD⊥AD，又∵ ＝0，∴CD⊥AP，
∵AP∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，由CD 平面PDC可得平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）设平面AEC的法向量 ＝（x，y，z⊂），
由 可得 ，解得 ，∴ ＝（1， ，1）．
而平面ABC的法向量 ＝（0，0，2），
∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝
∴平面EAC与平面ACD夹角的余弦值是 ；
（Ⅲ） 设点B到平面AEC的距离为h，
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知 ＝（2，0，0）， ＝（1， ，1），
则h＝ ＝ ＝ ，∴B点到平面EAC的距离是
60．（2023•陵水县模拟）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任
意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 88【解答】解：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴SA⊥BD、
⊂
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、
∵BD 平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC、
⊂
（2）设AC∩BD＝F，连SF，则SF⊥BD、
∵AB＝2．∴BD＝2 ．
∵SF＝ ＝ ＝3
∴S△SBD ＝ BD•SF＝ •2 •3 ＝6．
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，
∴ •S△SBD •h＝ •S△ABD •SA，
∴6•h＝ •2•2•4，
∴h＝ ，
∴点A到平面SBD的距离为 ．
1.求点到平面的距离的四步骤
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 892.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
3.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)
4．表面积与体积公式
（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V ＝S×h．
棱柱
1
（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V = Sh．
棱锥 3
（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
1
V
棱台
=
3
×(S+S'+√S×S')×ℎ．
（ 4 ） 圆 柱 的 体 积 和 表 面 积 公 式 ： 设 圆 柱 底 面 的 半 径 为 r ， 高 为 h(母线长l)， 则
{ V =πr2 ℎ
圆柱 ．
S =2×πr2+2πrl=2πr(r+l)
圆柱
（5）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为 r，高为 h(母线长l)，母线长为 l：
{ V = 1 πr2 ℎ
圆锥 3 ．
S =πr2+πrl=πr(r+l)
圆锥
（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为 r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 90{ V = 1 πℎ(r2+R2+Rr)
圆台 3 ．
S =πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)
圆台
4
（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V = πR3 ，S ＝4 R2．
球体 3 球体
5．直线和平面所成的角： π
一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的
环节：
（1）作出斜线与射影所成的角．
（2）论证所作（或找到的）角就是要求的角．
（3）常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）回答求解问题．
6．线面角的求解方法：
传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解
直角三角形求得．
→ → → →
向量求法：设直线l的方向向量为
a
，平面的法向量为
u
，直线与平面所成的角为 ，
a
与
u
的夹角为
→ → θ
|a⋅u|
，则有sin ＝|cos |= ．
→ →
|a||u|
φ θ φ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91
