文档内容
专题 03 函数的概念与性质
目录一览
2023真题展现
考向一 函数的奇偶性
考向二 函数单调性
考向三 指数函数与对数函数大小比较
真题考查解读
近年真题对比
考向一．函数的最值及其几何意义
考向二．函数奇偶性
考向三 抽象函数及其应用
考点四 指数函数与对数函数大小比较
命题规律解密
名校模拟探源
十三种题型60题
易错易混速记/二级结论速记
考向一 函数的奇偶性
2x−1
1．（2023•新高考Ⅱ•第4题）若f（x）＝（x+a）ln 为偶函数，则a＝（ ）
2x+1
1
A．﹣1 B．0 C． D．1
2
考向二 函数单调性
2．（2023•新高考Ⅰ•第4题）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
考向三 指数函数与对数函数大小比较
3．（2023•新高考Ⅰ•第10题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定
p
义声压级L＝20×lg ，其中常数p（p＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
p p 0 0
0
学科网（北京）股份有限公司 1声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p，p，p，则（ ）
1 2 3
A．p≥p B．p＞10p C．p＝100p D．p≤100p
1 2 2 3 3 0 1 2
【命题意图】
考查函数的性质：对称性、周期性、单调性，考查化归与转化思想，考查逻辑推导与计算素养．
【考查要点】
函数的图象与性质是高考常考查的热点之一．考查函数的定义域、值域、图象，函数的对称性、周期性、
单调性．
【得分要点】
一．函数奇偶性的性质与判断
（1）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函
数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
（2）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f
（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
二.函数的单调性
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵
循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”
联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x，x∈[a，b]且x≠x，那么
1 2 1 2
① ⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
1 2 1 ⇔ 2
（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
1 2 1 2 ⇔
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
⇔
三、指对幂函数的大小比较
方法一：运用函数的单调性比较
学科网（北京）股份有限公司 21.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；
2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.
方法二：因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小.
方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
方法四：作差法、作商法
1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小
2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解
方法五：利用对数运算分离常数比大小
这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区
间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小
方法六：构造函数
学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还
要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.
构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规
律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.
方法七：放缩法
1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数
2、指数和幂函数结合来放缩。
3、利用均值不等式等不等关系放缩
方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），
那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.
考向一．函数的最值及其几何意义
1．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 ．
考向二．函数奇偶性
2．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）： ．
①f（x x ）＝f（x ）f（x ）；②当x （0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是奇函数．
1 2 1 2
3．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝∈x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝ ．
4．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为
奇函数，则（ ）
A．f（﹣ ）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
考向三 抽象函数及其应用
学科网（北京）股份有限公司 35．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，
则 f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
考向四 指数函数与对数函数大小比较
6．（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
7．（2021•新高考Ⅱ）已知a＝log 2，b＝log 3，c＝ ，则下列判断正确的是（ ）
5 8
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
从近三年的新高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择
题、填空题。主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，预测2024高考仍将以函数的单调性，
奇偶性、幂指对函数比较大小为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
一．函数的单调性及单调区间（共3小题）
1．（2023•海淀区校级三模）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（ ）
A．y＝x3 B．
C． D．y＝x﹣1
2．（2023•扬中市校级模拟）若幂函数f（x）的图象过点 ，则函数 的递减区间
为（ ）
A．（0，2） B．（﹣∞，0）和（2，+∞）
C．（﹣2，0） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
3．（2023•浦东新区校级三模）定义在区间[1，+∞）上的函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，f
（x）在区间[2k﹣1，2k]上严格增，在区间[2k，2k+1]上严格减，k为正整数．给出下列四个结论：
①若{f（2k）}为严格增数列，则f（x）存在最大值；
②若{f（2k+1）}为严格增数列，则f（x）存在最小值；
②若f（2k）f（2k+1）＞0，且f（2k）+f（2k+1）存在最小值，则|f（x）|存在最小值；
①若f（2k）f（2k+1）＜0，且f（2k）﹣f（2k+1）存在最大值，则|f（x）|存在最大值．
其中所有错误结论的序号有 ．
学科网（北京）股份有限公司 4二．函数单调性的性质与判断（共6小题）
4．（2023•西城区校级三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（ ）
A．f（x）＝tanx B．f（x）＝|x| C．f（x）＝2x D．f（x）＝x2
5．（2023•龙华区校级模拟）已知函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且f（f（x）﹣x﹣log x）＝5，
2
则f（x）在[1，8]上的值域为（ ）
A．[2，10] B．[3，10] C．[2，13] D．[3，13]
6．（2023•西宁模拟）已知函数 ，对任意x ≠x ，都有 成
1 2
立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2] C．（0，1] D．（1，2）
7．（2023•景德镇模拟）已知定义域为R的函数f（x）的图象是连续不断的曲线，对任意实数 m，n均满
足enf（m）+e2mf（n﹣m）＝emf（n），且当x＞0时，f（x）＞0．若g（x）＝
，则下列判断正确的是（ ）
A．g（1）＞g（0） B．g（3）＜g（﹣1） C．g（2）＜g（﹣1） D．g（3）＞g（﹣2）
8．（2023•驻马店二模）已知f（x）是定义域为R的单调递增的函数， n N，f（n） N，且f（f（n））
＝3n，则f（28）＝ ．
∀ ∈ ∈
9．（2023•杨浦区校级三模）已知函数 ，设x（i＝1、2、3）为实数，且x +x +x ＝0，给出
i 1 2 3
下 列 结 论 ： ① 若 x • x • x ＞ 0 ， 则 ； ② 若 x • x • x ＜ 0 ， 则
1 2 3 1 2 3
．则（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
三．复合函数的单调性（共4小题）
10．（2023•绍兴二模）下列函数在区间（0，2）上单调递增的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B． C．y＝sin（x﹣2） D．y＝cos（x﹣2）
（多选）11．（2023•渝中区校级模拟）若 ，其中e为自然对数的底数，则下列命
题正确的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．f（x）在（0，+∞）上单调递减
C．f（x）的图象关于直线x＝0对称
D．f（x）的图象关于点（0，0）中心对称
学科网（北京）股份有限公司 512．（2023•济宁一模）若函数f（x）＝log （ax﹣x3）（a＞0且a≠1）在区间（0，1）内单调递增，则a
a
的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（1，3] C． D．
13．（2023•安康一模）已知函数 ．
（1）若f（1）＝3，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
四．函数的最值及其几何意义（共9小题）
14．（2023•兴庆区校级模拟）已知实数x，y满足2x2﹣5lnx﹣y＝0，m R，则 的
最小值为（ ）
∈
A． B． C． D．
15．（2023•郑州模拟）已知函数f（x）＝a（3﹣x）+ 的图象过点（0，1）与 ，则函数f
（x）在区间[1，4]上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023•芦溪县校级一模）关于“函数f（x）＝ 的最大、最小值与数列a ＝ 的最大、
n
最小项”，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）无最大、最小值，数列{a }有最大、最小项
n
B．函数f（x）无最大、最小值，数列{a }无最大、最小项
n
C．函数f（x）有最大、最小值，数列{a }有最大、最小项
n
D．函数f（x）有最大、最小值，数列{a }无最大、最小项
n
17．（2023•浦东新区二模）函数 在区间 上的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司 6数 ，存在实数x
1
，x
2
，…，x
n
使得f（x
1
）+f（x
2
）+…+f（x
n﹣1
）＝f（x
n
）成立，若
正整数n的最大值为6，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023•烟台模拟）已知实数a，b满足a2+b2﹣4a+3＝0，则a2+（b+2）2的最大值为 ．
20．（2023•香坊区校级模拟）已知实数x ，x ，y ，y 满足 + ＝4， + ＝9，x x +y y ＝0则|x +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
﹣9|+|x +y ﹣9|的最小值是 ．
2 2
21．（2023•鲤城区校级模拟）设a，b R，c＞0，求 的最
小值 ．
∈
22．（2023•武功县校级模拟）已知函数f（x）＝2|x﹣1|+|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜4；
（2）已知f（x）的最小值为m，正实数a，b满足mab＝a+b，求a+3b的最小值．
五．奇函数、偶函数（共3小题）
23．（2023•昌江县二模）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x （0，2）时，f（x）
＝x2+2x，则f（15）＝（ ）
∈
A．3 B．﹣3 C．255 D．﹣255
24．（2023•茂南区校级三模）已知函数 是偶函数，则a＝ ．
25．（2023•肥西县模拟）若函数 f（x）（x R）是周期为 4 的奇函数，且在[0，2]上的解析式为
∈
学科网（北京）股份有限公司 7，则 ＝ ．
六．函数奇偶性的性质与判断（共4小题）
26．（2023•郑州三模）已知函数 是偶函数，则实数a＝ ．
27．（2023•张家口一模）已知 是奇函数，则实数a＝ ．
28．（2023•红山区模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（2x+2）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当
x [0，1]时，f（x）＝ax+b．若f（4）＝1，则 ＝（ ）
∈
A． B．0 C． D．﹣1
29．（2023•南充模拟）设定义在R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x）．若f（x）
﹣g（4﹣x）＝2，g'（x）＝f'（x﹣2），且f（x+2）为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．
C． x R，f（2+x）+f（﹣x）＝0 D．g（3）+g（5）＝4
七．奇偶函数图象的对称性（共4小题）
∀ ∈
30．（2023•晋中模拟）已知函数 ，则f（x）的图象（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于点（2，0）对称
C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称
31．（2023•濠江区校级三模）写出一个满足“图象既关于直线x＝1对称又关于原点中心对称”的函数f
（x）＝ ．
32．（2023•安阳三模）已知函数 的图象关于坐标原点对称，则a+b＝ ．
（多选）33．（2023•海阳市校级模拟）函数y＝f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的图象是一条连续不断的曲
学科网（北京）股份有限公司 8线，且满足f（3+x）﹣f（3﹣x）+6x＝0，函数f（1﹣2x）的图象关于点（0，1）对称，则（ ）
A．f（x）的图象关于点（1，1）对称
B．8是f（x）的一个周期
C．f（x）一定存在零点
D．f（101）＝﹣299
八．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
34．（2023•禅城区模拟）已知f（x）是定义在R上的偶函数且f（1）＝2，若f'（x）＜f（x）ln2，则f
（x）﹣2x+2＞0的解集为 ．
35．（2023•石嘴山校级三模）已知函数f（x）是定义域为R的函数，f（2+x）+f（﹣x）＝0，对任意x ，
1
x [1，+∞）（x ＜x ），均有f（x ）﹣f（x ）＞0，已知a，b（a≠b）为关于x的方程x2﹣2x+t2﹣3＝
2 1 2 2 1
0的两个解，则关于t的不等式f（a）+f（b）+f（t）＞0的解集为（ ）
∈
A．（﹣2，2） B．（﹣2，0） C．（0，1） D．（1，2）
36．（2023•金东区校级三模）已知函数 ，g（x）＝sinx，a＞b≥1，c＞d＞0，若f（a）﹣f
（b）＝ ， ，则（ ）
π
A． B．
C． D．
九．抽象函数及其应用（共6小题）
（多选）37．（2023•杭州二模）已知函数f（x）（x R）是奇函数，f（x+2）＝f（﹣x）且f（1）＝2，
f'（x）是f（x）的导函数，则（ ）
∈
A．f（2023）＝2 B．f'（x）的周期是4
C．f'（x）是偶函数 D．f'（1）＝1
（多选）38．（2023•鼓楼区校级模拟）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数为f′（x），g′
（x），y＝f（x+1）是偶函数．已知2f（x﹣1）﹣g（x）＝8，f′（x）﹣g′（1﹣x）＝0，则（ ）
A．y＝f′（x）是奇函数
B．y＝g（x）图象的对称轴是直线x＝2
C．f′（3）＝0
D．
39．（2023•商洛三模）定义在R上的奇函数f（x）满足 x R，f（x）+f（4﹣x）＝0，且当0＜x＜2时，f
∀ ∈
（x）＝x2﹣2x，则 ＝ ．
40．（2023•德州三模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，且f（x﹣1）为奇函数，
学科网（北京）股份有限公司 9f′（2﹣x）+f′（x）＝2，f′（﹣1）＝2，则 ＝（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
（多选）41．（2023•睢宁县校级模拟）函数f（x）满足 x，y R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f
（1）＝1，则（ ）
∀ ∈
A．
B．数列{f（n）}单调递减
C．
D．
42．（2023•宣威市校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x，y满足f（x﹣y）＝
f（x）+f（y）+xy﹣1恒成立．
（1）求f（0），f（1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若方程f[（f（2x）]＝k恰有两个实数根在（﹣2，2）内，求实数k的取值范围．
一十．函数的值（共3小题）
43．（2023•河南三模）已知函数 则f（f（1））＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
44．（2023•开福区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且y＝f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）成
中心对称．当x＞0时， ，则f（﹣2）＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 10A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
45．（2023•兴庆区校级四模）若 ，（n N*），则 f（1）+f（2）+…+f（2023）＝
（ ）
∈
A． B． C．0 D．
一十一．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共1小题）
46．（2023•如皋市校级模拟）若（m+1） ＜（3﹣2m） ，则实数m的取值范围 ．
一十二．有理数指数幂及根式（共1小题）
（多选）47．（2023•全国模拟）已知正实数x、y、z满足 ，则（ ）
A．ln2＜z＜1
B．
C．
D．
一十三．指数函数的单调性与特殊点（共2小题）
48．（2023•沈河区校级模拟）已知正实数x，y满足x＜y，设a＝xex+y，b＝yey+x，c＝yex+x（其中e为自
然对数：e≈2.71828…），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
49．（2023•哈尔滨一模）已知a＝ln1.21，b＝0.21，c＝e0.2﹣1，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
一十四．对数的运算性质（共2小题）
50．（2023•江西模拟）若1+lgx﹣lgy＝lgy2，则 ＝ ．
（多选）51．（2023•九龙坡区二模）若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则（ ）
A． B． C．a+b＞4c D．ab＞4c2
一十五．对数值大小的比较（共9小题）
52．（2023•包头二模）设a＝2﹣1，b＝log 2，c＝log 5，则（ ）
5 4
A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
53．（2023•雁塔区校级模拟）已知a＝log 3，b＝log 4， ，则（ ）
2 3
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
学科网（北京）股份有限公司 1154．（2023•鼓楼区校级模拟） ，则（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
（多选）55．（2023•青岛三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，lnalnb＝1，则（ ）
A．ab＞e2 B．log 2＜log 2
a b
C． D．aabb＞abba
（多选）56．（2023•日照一模）已知a＞b，c＞d， ，（1﹣c）ec＝（1﹣d）ed＝0.99，
则有（ ）
A．a+b＞0 B．c+d＞0 C．a+d＞0 D．b+c＞0
57．（2023•鼓楼区校级模拟）设 ，则（ ）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
（多选）58．（2023•让胡路区校级二模）已知 ，则（ ）
A．a＞b B．b＞c C．a≥c D．2b＞a+c
59．（2023•开福区校级二模）已知 ， ， ，则（参考数据：ln2≈0.7）（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
60．（2023•三明三模）已知函数 f（x）＝log （4x+4）﹣x﹣1，设 ， ，
2
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
一．函数单调性的性质与判断
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考
虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
学科网（北京）股份有限公司 12第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
二．函数奇偶性的性质与判断
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
三、幂指对函数比较大小的解题策略
策略一：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
策略二：指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小
关系的判定.
策略三：转化为两函数图象交点的横坐标
策略四：特殊值法
策略五：估算法
策略六：放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
四.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意x∈I，都有 f ( x )≤ M； (3)对于任意x∈I，都有 f ( x )≥ M；
条件
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M (4)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
学科网（北京）股份有限公司 13
