文档内容
专题 04 立体几何（理）
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2022年浙江卷、2022年全国甲卷（理）
考点1：三视图
2023年全国乙卷（理）
2023年全国Ⅱ卷、2022年全国II卷
2022年天津卷、2023年天津卷
2024 年全国甲卷（理）、2022 年全国甲卷
考点2：空间几何
从近三年高考命题来看，本节
（理）
体表面积、体
2023 年全国乙卷（理）、2023 年全国甲卷 是高考的一个重点，立体几何
积、侧面积
（理）
是高考的必考内容，重点关注
2024年天津卷、2023年北京卷
2024年全国Ⅰ卷 以下几个方面：
考点3：空间直
2024年天津卷、2024年全国甲卷（理） （1）掌握基本空间图形及其简
线、平面位置关
2022年全国乙卷（理）
系的判断 单组合体的概念和基本特征，
2022年全国甲卷（理） 能够解决简单的实际问题；
2022年全国乙卷（理）
（2）多面体和球体的相关计算
2022年北京卷、2022年浙江卷
考点4：线线角与
2023年全国甲卷（理） 问题是近三年考查的重点；
线面角问题
2022年全国甲卷（理）
（3）运用图形的概念描述图形
2022年浙江卷、2023年全国乙卷（理）
2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷 的基本关系和基本结果，突出
考查直观想象和逻辑推理．
考点5：外接球、
2023年全国甲卷（理）、2022年全国II卷
内切球问题 （4）能够理解空间向量的概
念、运算、背景和作用；能够
考点6：立体几何
2023年全国Ⅰ卷、2022年全国I卷
中的范围与最值 运用空间向量解决一些简单的
2022年全国乙卷（理）
问题及定值问题
实际问题，体会用向量解决一
考点7：距离问题 2024年北京卷
类问题的程序化思想．考查重
考点8：立体几何 点是解决空间线线角、线面
2024年全国Ⅰ卷、2023年全国Ⅰ卷
存在性问题
角、二面角的问题求解．
2024年全国甲卷（理）
2024年全国Ⅱ卷、2024年北京卷
考点9：二面角问 2024年天津卷、2023年北京卷
题 2023年全国乙卷（理）
2023年全国Ⅱ卷、2022年天津卷
2022年全国II卷、2023年天津卷考点1：三视图
1．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方
形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．（2022年新高考浙江数学高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积
（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24 B．26 C．28 D．30
考点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
5．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022年新高考天津数学高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的
底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A．23 B．24 C．26 D．27
7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆
台的母线长分别为 , ，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
8．（2023年天津高考数学真题）在三棱锥 中，点M,N分别在棱PC,PB上，且 ，
，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为
圆锥的母线， ，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024年天津高考数学真题）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．
并已知 ．则该五面体的体积为（ ）A． B． C． D．
13．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可
以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，
两个面是全等的等腰三角形．若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平
面与平面 的夹角的正切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点3：空间直线、平面位置关系的判断
15．（2024年天津高考数学真题）若 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是
（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 相交
16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设 为两个平面， 为两条直线，且 .下述
四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 或
③若 且 ，则 ④若 与 , 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
17．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
考点4：线线角与线面角问题
18．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
19．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．20．（2022年新高考北京数学高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ，
， ， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设
M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．22．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
， 到平面 的距离为1．
(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在长方体 中，已知 与平面 和平
面 所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
24．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角
为 ，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边
三角形，若二面角 为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．26．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则
与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
27．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
考点5：外接球、内切球问题
28．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中
点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
29．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其
顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
30．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）
的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
31．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
考点7：距离问题33．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，
， ，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
考点8：立体几何存在性问题
34．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
35．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
考点9：二面角问题
36．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形
ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
38．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点
在 上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
39．（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ，
平面 ， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
40．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
41．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ，
， ，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上，
.(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
42．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
43．（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱 中，
，D为 的中点，E为 的中点，F为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
44．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
45．（2023年天津高考数学真题）如图，在三棱台 中， 平面
， 为 中点.，N为AB的中点，
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
