文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）
真题体验 感悟高考
1．【多选题】（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
2．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
3. （2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD 底面ABCD．设平面PAD与平面
PBC的交线为 ．（1）证明： 平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为 上的点，QB= ，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度
中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.
（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.
（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有
时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．几何体与球的切、接、截问题，往往是知识考查的载体.
（4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，
属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，除独立考查外，多出现在立体几何解答题中
的第（1）问，第（2）问则考查角的计算. 空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大
题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量
关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属
于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空
间向量方法进一步求角或距离.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 空间中的位置关系
【核心知识】1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
⊄ ⊂ ⇒
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
⊂ ⇒
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
⊂ ⊂ ⇒
2．直线、平面垂直的判定及其性质
⇒
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
⊂ ⊂ ⇒
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
⇒
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
⊂ ⇒
3.空间向量与空间的位置关系
⊂ ⇒
（1）直线的方向向量直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的方向
向量，与 平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
（2）平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法
向量有无数个，并且它们是共线向量. 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n
为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 .
（3）用向量证明空间中的平行关系
①设直线l和l的方向向量分别为v和v，则l∥l(或l与l重合) v∥v.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v
1
和v
2
，⇔则l∥α或l α 存在两个实数x，y，
使v＝xv＋yv. ⊂ ⇔
1 2
③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u.
④设平面α和β的法向量分别为u 1 ，u 2 ，则α∥β u 1 ∥u 2 . ⊂ ⇔
（4）用向量证明空间中的垂直关系 ⇔
①设直线l和l的方向向量分别为v和v，则l⊥l v⊥v v·v＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则⇔l⊥α v⇔∥u.
③设平面α和β的法向量分别为u
1
和u
2
，则α⊥β u
1
⊥u 2⇔u
1
·u
2
＝0.
（5）共线与垂直的坐标表示 ⇔ ⇔
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则a∥b a＝λb a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)，
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
a⊥b a·b＝0 a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋a
3
b
3
＝0(a，b均为⇔非零向量⇔)．
⇔ ⇔【典例分析】
典例1.（2022·全国·统考高考真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
典例2.（2022·全国·统考高考真题）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成
的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
典例3.【多选题】（2023·湖南湘潭·统考二模）如图，在棱长为 的正方体 中， 是线段
的中点，点 ， 满足 ，其中 ，则（ ）
A．存在 ，使得平面 平面
B．存在 ，使得平面 平面
C．对任意 的最小值为
D．当 时，过 ， ， 三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为典例4.（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且
， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【规律方法】
（1）根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进
行判断．
（3）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.
（4）利用空间向量
考向二 利用空间向量求直线与平面所成角
【核心知识】
直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的
角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.
【典例分析】典例5.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值．
典例6.（2023秋·河南南阳·高三统考期末）如图，四棱锥 的底面为直角梯形， ，
PB⊥底面ABCD， ，设平面PAD与平面PBC的交线为 ．
(1)证明： 平面PAB；
(2)设Q为 上的动点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
典例7.（2023·安徽马鞍山·统考一模）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，
， 为线段 的中点， 在线段 上，且 .
(1)求证：平面 平面 ；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【总结提升】
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就
是斜线和平面所成的角.
考向三 利用空间向量求二面角
【核心知识】
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB， CD 〉．
n ,n n ,n
(2)如图2、3， 1 2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小 1 2 (或
n ,n
1 2 )．即：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n，n，若二面角α－l－β所成的角θ
1 2
为锐角，则cos θ＝|cos〈n，n〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n，n〉|＝－.
1 2 1 2
【典例分析】
典例8.（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
典例9.（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角
形， ，平面 平面ABC，M是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
典例10.（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面ABC，D为线
段AB的中点， ， ， ，三棱锥 的体积为8．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这
两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
考向四 利用空间向量求距离
【核心知识】
点面距的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.
【典例分析】
典例11. （2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
典例12. （2023秋·河南南阳·高三统考期末）如图,四棱锥 的底面为直角梯形, ,
底面 , ,设平面 与平面 的交线为 ．(1)证明: ;
(2)证明: 平面 ;
(3)求点 到平面 的距离．
【总结提升】
利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题，关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直
角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应
用公式关”．
