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微重点 12 立体几何中的动态问题
“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、
线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，
也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问
题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．
考点一 动点轨迹问题
例1 (多选)(2021·新高考全国Ⅰ)在正三棱柱ABC－ABC 中，AB＝AA ＝1，点P满足BP＝
1 1 1 1
λBC＋μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )
A．当λ＝1时，△ABP的周长为定值
1
B．当μ＝1时，三棱锥P－ABC的体积为定值
1
C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得AP⊥BP
1
D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP
1 1
规律方法 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
跟踪演练1 (多选)(2022·漳州质检)已知正方体ABCD－ABC D 的边长为2，M为CC 的中
1 1 1 1 1
点，P为平面BCC B 上的动点，且满足AM∥平面ABP，则下列结论正确的是( )
1 1 1
A．AM⊥BM
1
B．CD∥平面ABP
1 1
C．动点P的轨迹长为
D．AM与AB 所成角的余弦值为
1 1
考点二 折叠、展开问题
例2 (多选)(2022·德州模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，
BC上(不含端点)且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于
点A，则下列结论正确的有( )
1A．AD⊥EF
1
B．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A－EFD的外接球体积为π
1
C．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A－EFD的体积为
1
D．当BE＝BF＝BC时，点A 到平面EFD的距离为
1
规律方法 画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、
不变的数量关系．
跟踪演练2 (多选)(2022·南通模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝.将△DAC沿着对
角线AC折起至△D′AC，连接BD′，设二面角D′－AC－B的大小为θ，则下列说法正确
的是( )
A．若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝
B．四面体D′ABC体积的最大值为1
C．四面体D′ABC表面积的最大值为2(＋2)
D．当θ＝时，四面体D′ABC的外接球的半径为
考点三 最值、范围问题
例3 (多选)(2022·梅州模拟)如图，在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝AD＝1，AA ＝2，
1 1 1 1 1
动点P在体对角线BD 上(含端点)，则下列结论正确的有( )
1
A．当P为BD 的中点时，∠APC为锐角
1
B．存在点P，使得BD⊥平面APC
1
C．AP＋PC的最小值为2
D．顶点B到平面APC的最大距离为
规律方法 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解
题思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法
求目标函数的最值．
跟踪演练3 (2022·菏泽质检)如图，等腰Rt△ABE的斜边AB为正四面体A－BCD的侧棱，
AB＝2，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E－BCD体积的取值范围
是________________________________．
