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专题 14 立体几何常见压轴小题全归纳
目 录
01 球与截面面积问题...........................................................................................................................2
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题.....................................................................................2
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题.....................................................................................4
04 立体几何中的交线问题...................................................................................................................5
05 空间线段以及线段之和最值问题....................................................................................................6
06 空间角问题......................................................................................................................................7
07 轨迹问题..........................................................................................................................................8
08 以立体几何为载体的情境题..........................................................................................................10
09 翻折问题........................................................................................................................................1101 球与截面面积问题
1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角 的大小为 ，球 与直线 相切，且平面 、
平面 截球 的两个截面圆的半径分别为 、 ，则球 半径的最大可能值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一
个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球， 为圆柱上下底面
的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则平面DEF截球所得的截面面积最
小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥 （底面是正三角
形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点E是线段BC的中点，过点E作
球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在正方体 中， 分别为 的中点，
该正方体的外接球为球 ，则平面 截球 得到的截面圆的面积为（ ）A． B． C． D．
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题
5．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，
其中 ， ， ， ，则
A．当 时，△ 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱 的各条棱的长度均相等， 为 的中点， ，
分别是线段 和线段 上的动点 含端点 ，且满足 ，当 ， 运动时，下列结论正确的是
（ ）
A．在 内总存在与平面 平行的线段
B．平面 平面C．三棱锥 的体积为定值
D． 可能为直角三角形
7．（2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 为线段
上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥 外接球表面积为
B．三棱锥 的体积为定值
C．过点 平行于平面 的平面被正方体 截得的多边形的面积为
D．直线 与平面 所成角的正弦值的范围为
8．（2023·广东实验中学高一期中）已知正四面体 的棱长为 ，其外接球的球心为 ．点 满足
，过点 作平面 平行于 和 ，设 分别与该正四面体的棱 、 、 相
交于点 、 、 ，则（ ）
A．四边形 的周长为定值
B．当 时，四边形 为正方形
C．当 时， 截球 所得截面的周长为
D． ，使得四边形 为等腰梯形9．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，点P满足 ，
， ，则（ ）
A．当 时，
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的最小值为
D．当 时，存在唯一的点P，使得点P到 的距离等于到 的距离
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题
10．（2022•乙卷）已知球 的半径为1，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为
A． B． C． D．
11．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
12．（2023·四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体 的所有棱长均为 ， 分别为棱
的中点， 为棱 上异于 的动点．有下列结论：
①线段 的长度为 ； ②点 到面 的距离范围为 ；
③ 周长的最小值为 ； ④ 的余弦值的取值范围为 ．
其中正确结论的个数为（ ）A． B． C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为 的正方体 ，棱 中点为 ，动点 、 、
分别满足：点 到异面直线 、 的距离相等，点 使得异面直线 、 所成角正弦值为定值
，点 使得 ．当动点 、 两点恰好在正方体侧面 内时，则多面体 体积最
小值为（ ）
A． B． C． D．
04 立体几何中的交线问题
14．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体 中， 为线段 的中点，设平面
与平面 的交线为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥 的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与
的交线为L，则交线L的长度为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体 .已知该正方体中，点
分别是棱 的中点，过 三点的平面与平面 的交线为 ，则直线 与直线 所成角
为（ ）
A． B． C． D．
05 空间线段以及线段之和最值问题
17．（2023·河北·高一校联考期末）已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形， 底面
， ，则四棱锥 外接球表面积为 ；若点 是线段 上的动点，则
的最小值为 ．
18．（2023·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱 中， ， ， 、 分
别为线段 、 的动点，则 周长的最小值是 .
19．（2023·广西玉林·统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在
鳖臑PABC中， 平面ABC， ，AB＝3， ，PA＝4，D，E分别为棱PC，PB上一点，
则AE＋DE的最小值为 ．20．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体 中，棱长为 ，已知点 、 分别是线段
、 上的动点（不含端点）.
① 与 垂直；
②直线 与直线 不可能平行；
③二面角 不可能为定值；
④则 的最小值是 .
其中所有正确结论的序号是 .
06 空间角问题
21．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱 ， ， ， 分别是棱 ， 上的点．
记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则A． B． C． D．
22．（2022•甲卷）在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，
则
A．
B． 与平面 所成的角为
C．
D． 与平面 所成的角为
23．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别
是侧棱 上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面
与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）
A．B．
C．
D．
24．（2023·浙江·高三专题练习）在三棱锥 中，顶点P在底面的射影为 的垂心O（O在
内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 ，过BM作平行于AC的截面 ，记 ，
与底面ABC所成的锐二面角分别为 ， ，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 可能值为
D．当 取值最大时，
25．（2023·全国·高二课时练习）已知正方体 的棱长为3， 为棱 上的靠近点 的三
等分点，点 在侧面 上运动，当平面 与平面 和平面 所成的角相等时，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
07 轨迹问题
26．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为 ， ， 分别为 ， 的中
点，点 在平面 中， ，点 在线段 上，则下列结论正确的个数是（ ）①点 的轨迹长度为 ；
②线段 的轨迹与平面 的交线为圆弧；
③ 的最小值为 ；
④过 、 、 作正方体的截面，则该截面的周长为
A． B． C． D．
27．（2023·江西·模拟预测）已知正方体 的棱长为3，点P在 的内部及其边界上运
动，且 ，则点P的轨迹长度为( )
A． B． C． D．
28．（2023·重庆·模拟预测）已知棱长为3的正四面体 ， 是空间内的任一动点，且满足
，E为AD中点，过点D的平面 平面BCE，则平面 截动点P的轨迹所形成的图形的面积为
（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
29．（2023·浙江·模拟预测）在棱长为 的正方体 中，P为侧面 内的动点，且直
线 与 的夹角为30°，则点P的轨迹长为___________；若点 与动点P均在球O表面上，球O的表
面积为___________．
30．（2023·江苏无锡·高三期末）正四面体 的棱长为 ，在平面 内有一动点 ，且满足
，则 点的轨迹是__________；设直线 与直线 所成的角为 ，则 的取值范围为__________.
08 以立体几何为载体的情境题
31．（2023·河北·高三校联考期末）由空间一点 出发不共面的三条射线 ， ， 及相邻两射线所
在平面构成的几何图形叫三面角，记为 ．其中 叫做三面角的顶点，面 ， ， 叫做
三面角的面， ， ， 叫做三面角的三个面角，分别记为 ， ， ，二面角
、 、 叫做三面角的二面角，设二面角 的平面角大小为 ，则一
定成立的是（）
A． B．
C． D．
32．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规
定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度
用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八
面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·山西长治·高三统考阶段练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率
为 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，
且平面 ， ，……， 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、
正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系
是（ ）A． B．
C． D．
09 翻折问题
34．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在菱形 中， ， 为
的中点，将 沿直线 翻折成 ，连接 和 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列
说法中错误的是（ ）
A．
B．不存在某个位置，使得 //平面
C．存在某个位置，使得
D． 与 的夹角为
35．（2023·浙江衢州·高一统考期末）在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 沿
， 翻折，使点 与点 重合于点 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知正方形 的边长为 ，现将 沿对
△角线 翻折，得到三棱锥 .记 的中点分别为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 与平面 所成角的范围是
B．三棱锥 体积的最大值为
C． 与 所成角的范围是
D．三棱锥 的外接球的表面积为定值
37．（2023·全国·高三对口高考）如图，已知矩形 ， ．将 沿矩形的对角线
所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）
A．对任意位置，三组直线“ 与 ”，“ 与 ”，“ 与 ”均不垂直
B．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
C．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
D．存在某个位置，使得直线 与直线 垂直
