文档内容
第 2 讲 不等式选讲
本讲为高考命题热点，分值10分，极坐标与参数方程跟不等式选讲两个里面选择一个，
极坐标与参数方程常考察直角坐标方程，参数方程，极坐标方程的互化，角度问题，不等
式选讲考察绝对值绝对值不等式与均值不等式证明，需要一定的逻辑推理能力，运算求解.
高频考点一 绝对值不等式性质的应用
【例1】设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|5；
(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
(1)解 因为|x2－x－15|>5，所以x2－x－15<－5或x2－x－15>5，即x2－x－10<0
或x2－x－20>0，解得5，所以不等式|f(x)|>5的解集为{x|x<－4
或5}.
(2)证明 因为|x－a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|＝|(x－a)(x＋
a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|
≤1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
高频考点二 绝对值不等式恒成立与能成立问题【例3】(2022·陇南二诊)已知a≠0，函数f(x)＝|ax－1|，g(x)＝|ax＋2|.
(1)若f(x)－3，当a>0时，x>－，
即x的取值范围是；
当a<0时，x<－，
即x的取值范围是.
(2)因为f(x)＋g(x)＝|ax－1|＋|ax＋2|≥|(ax－1)－(ax＋2)|＝3，
所以f(x)＋g(x)的最小值为3，
所以|2×10a－7|≤3，
则－3≤2×10a－7≤3，
解得lg 2≤a≤lg 5，
故a的最大值与最小值之和为lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
【例4】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x＜2；
(2)若存在a∈时，使不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围.
解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1，
不等式f(x)＋x＜2化为|2x＋2|＜1－x.
当1－x≤0时，即x≥1时，该不等式无解.
当1－x＞0时，原不等式化为x－1＜2x＋2＜1－x.
解之得－3＜x＜－.
综上，原不等式的解集为.
(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|，
得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，
设g(x)＝|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，则不等式的解集非空，即不等式有解，
所以不等式等价于b≤g(x) .
max
由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1＝|a2－a|＋1，所以b≤|a2－a|＋1.
由题意知存在a∈，使得上式成立，
而函数h(a)＝|a2－a|＋1在a∈上的最大值为h＝，
所以b≤，即b的取值范围是.
【方法技巧】
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角θ之间的
关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
【变式训练】
1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.
2.(1)在例6第(1)问，可作出函数y＝|2x＋2|与y＝1－x的图象，观察、计算边界，
直观求得不等式的解集.
(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值.
存在性问题转化方法：f(x)＞a有解⇔f(x) ＞a；f(x)＜a有解⇔f(x) ＜a.
max min
高频考点三 比较法证明不等式
【例5】设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：＜；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.
(1)证明 设f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜.
因此集合M＝，则|a|＜，|b|＜.
所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.
(2)解 由(1)得a2＜，b2＜.
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋
1＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，
所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.
【方法技巧】比较法证明不等式的方法与步骤
(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.
(2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论.
【变式训练】
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是________.
答案 s≥t
解析 s－t＝a＋b2＋1－(a＋2b)＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.
高频考点四 综合法证明不等式
【例4】(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
证明 (1)由题设可知，a，b，c均不为零，
所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝
－(a2＋b2＋c2)<0.
(2)不妨设max{a，b，c}＝a.
因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a>0，b<0，c<0.
由bc≤，可得abc≤，当且仅当b＝c＝－时取等号，
故a≥，所以max{a，b，c}≥.
【方法技巧】
1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的
差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这
些性质时，要注意性质成立的前提条件.
【变式训练】
1. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
又abc＝1，
故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
