文档内容
第 02 讲 不等式（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年秋考3题 一元二次不等式及其应用
2024年春考6,13题 基本不等式及其应用，不等式的性质
2023秋考1题
绝对值不等式
2023春考3题
2022秋考14题 基本不等式及其应用
2022春考3，19题 分式不等式，基本不等式及其应用
2021年春考4题 分式不等式
2020年秋考13题 基本不等式及其应用
2. 备考策略
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系
3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
知识讲解
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
⇔
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
⇒
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
⇔ ⇒
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
⇒ ⇒ ⇒
(6)可开方：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
⇒
⇒
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中称为正数 a，b的算术平均数，称为正数 a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实根x ， 有两相等实根x ＝x
ax2＋bx＋c＝0 1 1 2 没有实数根
x (x ＜x ) ＝－
2 1 2
(a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
{ x | x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
解集
不等式
ab
(x－a)·(x－b)>0 { x | x < a 或 x > b } { x | x ≠ a } { x | x < b 或 x > a }
(x－a)·(x－b)<0 { x | a < x < b } ∅ { x | b < x < a }
4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f ( x )· g ( x )>0(<0) .
(2)≥0(≤0) f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
⇔
⇔
考点一．等式与不等式的性质
1．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
2．（2023秋•浦东新区校级期末）若 ， ， ， ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
3．（2024•崇明区二模）若 ， ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
4．（2023秋•静安区校级期末）已知 ，以下不等关系不一定成立的是A． B．
C． D．
考点二．不等关系与不等式
5．（2024春•宝山区校级期中）已知 、 ， ，则下列不等式中不一定成立的是
A． B．
C． D．
6．（2024•闵行区校级三模）已知 ，那么下列不等式成立的是
A． B． C． D．
7．（2024•杨浦区二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
A． B． C． D．
8．（2024春•浦东新区校级月考）如果 ， ， ， ，则下列选项正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
考点三．不等式比较大小
9．（2023秋•松江区期末）已知 、 ，设 ， ，则 与 的值的大小关系是
A． B． C． D．
10．（2023秋•青浦区期末）已知 ， ，若 ，则 与 的大小关系是A． B． C． D．不能确定
考点四．基本不等式及其应用
11．（2024•黄浦区校级模拟）若 ， ，且 ，则下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
12．（2024•青浦区二模）函数 的最小值是
A．4 B．5 C． D．
13．（2024•黄浦区校级三模）若 ， ，且 ，则 的最大值是 ．
14．（2024•闵行区三模）已知两个正数 ， 的几何平均值为1，则 的最小值为 ．
15．（2024•浦东新区三模）设正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
16．（2024•松江区校级模拟）设实数 、 满足 ，则 的最大值是 ．
17．（2024•静安区二模）在下列关于实数 、 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正
确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
18．（2024•闵行区校级三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和
中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定
义与今天大致相同．若 ，则 的最小值为 ．
考点五．其他不等式的解法
19．（2024•浦东新区校级四模）已知集合 ， ，0， ，则 ．
20．（2023秋•杨浦区校级期末）不等式 的解集是 ．21．（2024•虹口区模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
22．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ，全集 ，则 ．
考点六．指、对数不等式的解法
23．（2024•闵行区校级模拟）不等式 的解集为 ．
24．（2024•浦东新区校级模拟）设集合 ，则 ．
25．（2023秋•普陀区校级期末）不等式 的解集是 ．
26．（2024•浦东新区二模）已知集合 ，1， ，集合 ，则 ．
考点七．一元二次不等式及其应用
27．（2024•长宁区校级三模）已知集合 ，1， ， ，则 ．
28．（2024•普陀区校级三模）已知集合 ，1，2，3， ， ，则 中的元
素个数为 ．
29．（2024•黄浦区校级三模）已知全集 ，集合 ，则 ．
30．（2024•浦东新区校级模拟）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是
．
31．（2024•崇明区二模）不等式 的解为 ．
一．选择题（共6小题）1．（2023秋•宝山区校级月考）已知 ， ， ，则 的最小值为
A． B．12 C． D．16
2．（2023秋•黄浦区期中）若实数 ， 满足 ，则必有
A． B． C． D．
3．（2023秋•闵行区校级期中）下列说法正确的是
A．若
B． 的最小值为2
C．设 ， ，
D．周长为10的所有矩形中，面积最大的为25
4．（2023秋•长宁区校级期中）若 、 ，且 ，则下列关系式中不可能成立的是
A． B．
C． D．
5．（2023秋•黄浦区校级期中）下列说法，其中一定正确的是
A．
B．
C．
D． 的最小值为2
6．（2023秋•徐汇区校级期中） ， ， ， ， ， 为非零实数，则“ ”是“关于 的
不等式 和 的解集相同”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二．填空题（共9小题）
7．（2024•长宁区校级三模）已知函数 ，若 ， ，且 ，则
的最小值是 ．8．（2019•天津）设 ， ， ，则 的最小值为 ．
9．（2023秋•静安区校级期中）已知函数 ，若任意的正数 ， 均满足 （a）
，则 的最小值为 ．
10．（2023 秋•崇明区期末）已知正实数 ， ， ， 满足 ， ，则当
取得最小值时， ．
11 ． （ 2023 秋 • 浦 东 新 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， 若 实 数 ， 且
，则 的最小值是 ．
12．（2023•杨浦区校级开学）已知函数 ，若实数 ． 满足 ，
则 的最大值为 ．
13．（2023秋•青浦区期末）已知三个互不相同的实数 、 、 满足 ， ，则
的取值范围为 ．
14．（2023秋•浦东新区校级期末）已知 ，关于 的不等式 的解集为 ，设
，当 变化时，集合 中的元素个数最少时的集合 为 ．
15．（2022秋•徐汇区期末）已知函数 至多有一个零点，则 的最小
值为 ．
三．解答题（共3小题）
16 ． （ 2023 秋 • 浦 东 新 区 校 级 期 末 ） 已 知 全 集 为 实 数 集 ， 集 合 ，
，求：
（1） ；
（2）若对任意的 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
17．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式 的解集是 ．
（1）求实数 的值；（2）当 的解集为 时，求 的取值范围．
18．（2023 秋•奉贤区期中）（1）已知一元二次不等式 的解集为 ，求不等式
的解集．
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
一．选择题（共2小题）
1．（2023秋•宝山区校级月考）已知 ， ， ，若关于 的不等式 的解集为 ，
，则
A．不存在有序数组 ， ， ，使得
B．存在唯一有序数组 ， ， ，使得
C．有且只有两组有序数组 ， ， ，使得
D．存在无穷多组有序数组 ， ， ，使得
2．（2023秋•普陀区校级期中）定义区间 、 ， 、 ， 、 ， 的长度均为 ，已
知实数 ，则满足 的 构成的区间的长度之和为
A． B． C．4 D．2
二．填空题（共2小题）
3．（2023秋•黄浦区校级期中）关于 的不等式 恰有2个整数解，则实数 的取值范围是 ．
4．（2023秋•浦东新区校级期中）设 ， 为正实数，若 ，则 的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
5．（2023秋•普陀区校级期中）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产
件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用
与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？
6．（2023•上海开学）已知关于 的一元二次函数 ．
（1）若 的解集为 ，求实数 、 的值．
（2）若实数 、 满足 ，求关于 的不等式 的解集．
7．（2023秋•宝山区校级期中）已知函数 ，
（1）若 在 ， 上单调递减，求 的取值范围；
（2）求 在 ， 上的最大值 ．
8．（2023春•浦东新区校级期末）设函数 ．
（1）若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
（2）当 时，对任意的 ， 都有 成立，求实数 的取值范围．9．（2023秋•宝山区校级月考）阅读：已知 、 ， ，求 的最小值．解法如下：
，当且仅当 ，即 ， 时取到等
号，则 的最小值为 ．应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知 ， ， ， ，求 的最小值；
（2）已知 ，求函数 的最小值；
（ 3 ） 已 知 正 数 、 、 ， ， ， ， 求 证 ：
．一．选择题（共5小题）
1．（2022•上海）若 ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
2．（2024•上海） ， ， ， ，下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
3．（2020•上海）下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
4．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
5．（2021•上海）已知两两不相等的 ， ， ， ， ， ，同时满足① ， ， ；
② ；③ ，以下哪个选项恒成立
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
6．（2024•上海）已知 ， 的最小值为 ．
7．（2022•上海）不等式 的解集为 ．
8．（2021•上海）不等式 的解集为 ．
9．（2024•上海）已知 ，则不等式 的解集为 ．
10．（2023•上海）已知正实数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
11．（2021•上海）已知函数 的最小值为5，则 ．
12．（2020•上海）不等式 的解集为 ．
13．（2022•上海） ， ，求 的最小值 ．
三．解答题（共1小题）
14．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工
程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块 ， ， ．为保护 处的一棵古树，
有关部门划定了以 为圆心、 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为边上的点 ，出线口为 边上的点 ，施工要求 与封闭区边界相切， 右侧的四边形地块 将
作为绿地保护生态区．（计算长度精确到 ，计算面积精确到
（1）若 ，求 的长；
（2）当入线口 在 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
