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第12讲 不等式大小关系及不等式的解法
【知识点总结】
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.
不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“ ”，“
”，“ ”，“ ”，“ ”等）连接的式子叫做不等式，其中“ ”或“ ”连接的不等式叫做严格不等
式；用“ ”或“ ”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代
替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等
式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放
宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由
于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成，一律为“ ”（充分不必要条件）
（1） （传递性，注意找中间量）
（2） （同向可加性）
（3） （同正可乘性，注意条件为正）
2. 一个不等式的等价变形，一律为“ ”（充要条件），这是不等式解法的理论依据
（1） .
（2） （对称性）
（3） （乘正保号性）
（4）
（5） （不等量加等量）
（6） （乘方保号性，注意条件为正）
（7） （开方保号性，注意条件为正）
（8） （同号可倒性）； .
三、一元一次不等式（ ）
（1）若 ，解集为 .
（2） 若 ，解集为
（3）若 ，当 时，解集为 ；当 时，解集为四、一元一次不等式组（ ）
（1） ，解集为 .（2） ，解集为
（3） ，解集为
（4） ，解集为
五、一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的
两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上.
（2）①若 ，解集为 .
②若 ，解集为 .
③若 ，解集为 .
(2) 当 时，二次函数图象开口向下.
①若 ，解集为
②若 ，解集为
六、简单的一元高次不等式的解法
简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.
例如，解一元高次不等式
（1）将 最高次项系数化为正数
（2）将 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（ ）
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切
而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.
（4）根据曲线显现出的 的值的符号变化规律写出不等式的解集.
七、分式不等式
（1）（2）
（3）（4）
八、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则
例3．（2022·全国·高三专题练习）实数 ， ， 满足 且 ，则下列关系成立的
是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则
的值是___________.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， .若 是 的充分不必要条件，
则实数 的取值范围是______.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 有实数解，则 的取值范围是_____．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为
_______【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． < B．a2>b2
C． > D．a|c|>b|c|
2．（2022·全国·高三专题练习）若 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（ ）
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则
.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则 的取值范围为（ ）
A．(1，3)
B．
C．
D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设 ＜ ＜ ＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③ .以其中两个作为条件，
余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．38．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足 ，则2α－β的取值范围是
A．－π < 2α－β < 0 B．－π < 2α－β < π
C．－ < 2α－β < D．0 < 2α－β < π
9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设 ， ，若 是 的必
要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式 对任意 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式 的解集是 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）不等式 的解集为（ ）
A． B．(－∞，1) C． ∪(1，＋∞)D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．15．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．17．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式 的解集是 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于 的不等式 的解集为 或 ，则实数 的
值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有5个整数，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式 的解集为 ，则函数
的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式 的解集为 ，
则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．6二、多选题
22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ，则
三、填空题23．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ， ，那么 ， ， 的大小关系为_____________.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足 ，则 、 、 中的最大数为______
25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小： ______ （用“ ”或“ ”符号填空）．
26．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 _______ ．（用“>”或“<”填空）
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是___________.
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 的取值范围是_____．
29．（2019·江苏·高三专题练习）不等式 的解集是________．
30．（2020·全国·高三专题练习）在 上定义运算 ，若关于 的不等式
的解集为 ，则实数 的取值范围是_________.
31．（2022·全国·高三专题练习）不等式 的解集为________.
32．（2021·上海市七宝中学高三期中）关于x的不等式 的解集为 ，则函
数 的定义域是_______
33．（2021·北京·101中学模拟预测）若关于x的不等式 （ ）的解集为 ，
且 ，则a的值为___________.
34．（2021·江苏省苏州第十中学校高三阶段练习）已知不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为___________.
