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专题 24.9 直线和圆的位置关系（2 大考点 7 类题型）（知识梳理与
题型分类讲解）
【知识点一】直线和圆的三种位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯
一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
【知识点二】直线与圆的位置关系的判定
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和
点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；
图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
（1）直线和圆相交 ;
（2）直线和圆相切 ;
（3）直线和圆相离 ;
【要点提示】这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则
是直线与圆的位置关系的判定．知识点与题型目录
【题型1】判断直线和圆的位置关系............................................2
【题型2】根据直线和圆的位置关系求半径......................................2
【题型3】根据直线和圆的位置关系求直线到圆心的距离..........................3
【题型4】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离..............................4
【题型5】求直线平移到与圆相切时运动的距离..................................4
【题型6】直通中考..........................................................5
【题型7】拓展延伸..........................................................6
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判断直线和圆的位置关系
【例1】（2022九年级上·全国·专题练习）在 中， ， ， ，以O
为圆心，4为半径的 与直线 的位置关系如何？请说明理由
【变式1】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知 的半径是一元二次方程
的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知直线 经过点 ，将直线向上平移
个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为
．
【题型2】根据直线和圆的位置关系求半径【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的斜边 ，直角边 ，以点 为圆心
作 ．
（1）当半径 为________时，直线 与 相切；
（2）当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为________；
（3）当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为__________．
【变式1】（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在 中， ，若以C为
圆心，r长为半径的圆C与边 有交点，那么r的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， ， ，若 与射线 只有一个
交点，则 半径r的取值范围是 ．
【题型3】根据直线和圆的位置关系求直线到圆心的距离
【例3】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知 的半径为1，圆心 在抛物线 上运
动，当 与 轴相切时，求圆心 的坐标.
【变式1】（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ，
，如果以CD为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系 中，对于直线 ： ，给出如下定义：若直
线 与某个圆相交，点 的坐标为 ，若 的半径为 ，直线 关于 的“圆截距”的最小值为
，则 的值为 ．
【题型4】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
【例4】（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的 的圆心P的坐标为 ，
将 沿x轴正方向平移，使 与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【变式1】（2020·辽宁盘锦·二模）如图，半径 的⊙M在 轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线 相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
【变式2】（2021·四川绵阳·一模）如图， O 的直径AB长度为12， O 的直径为8，∠AOO＝30°，
1 2 1 2
O 沿直线OO 平移，当 O 平移到与 ⊙O 和AB所在直线都有公共点⊙时，令圆心距OO＝x，则x的取
2 1 2 2 1 1 2
⊙值范围是（ ） ⊙ ⊙
A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8
【题型5】求直线平移到与圆相切时运动的距离
【例5】（2019九年级·全国·专题练习）已知：直线 经过点 .
（1）求 的值；
（2）将该直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相离（点 为坐标原
点），试求 的取值范围.
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中， 与x轴分别交于A、B两
点，点 的坐标为 ， ．将 沿着与y轴平行的方向平移，使得 与x轴相切，则平移的
距离为（ ）A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【变式2】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 半径 ，直线 ，垂足为H，
且l交 于A，B两点， ，将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，则平移
的距离为（ ）
A． B． C． D．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例1】（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数 的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点
O为圆心、r为半径作 ．若对于符合条件的任意实数k，一次函数 的图像与 总有两个公
共点，则r的最小值为 ．
【例2】（2021·四川遂宁·中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（ ）和直线Ax＋By＋C＝0（其
中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离 可用公式 来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B
＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线 的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线 的位置关系，若相交，设其弦
长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
【题型7】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 中， ， ， ，D
是 上一点，E是 上一点， ，若以 为直径的圆交 于M、N点，则 的最大值为
．
【例2】（2024·四川成都·二模）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐
标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密
点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是 ．
