文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷（天津专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
1．全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，集合 ， ，
所以 ，则 .
故选：A.
2．命题 ， ，则 是（ ）.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】易知 ， 的否定 是 ， .
故选：B
3．某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该
国企的生产利润约为千万元（参考公式及数据： ， ）
年号年生产利润 （单位：千万
元）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用最小二乘法求得回归直线方程，将 代入回归直线方程即可求得结果.由表中数据可知：
；
；
，
回归直线方程为：
当 时，
本题正确选项：
4．若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合指数函数的单调性，可得出 ， ， ，结合 ，从而可得
出三个数的大小关系.函数 是 上减函数，所以 ，同理得 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 .
故选：D.
5．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单
位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为 ；
向左平移 个单位得 ，
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为： ，k∈Z，
k＝1时， .
故选：D.
6．已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，由函数的图象， 的定义域为 ，其图象关于原点对称，为奇函数；在
上，函数图象与 轴存在交点.
由此分析选项：
对于A， ，其定义域为 ，有 ，
为偶函数，不符合题意；
对于B， ，其定义域为 ，
有 ， 为奇函数，其图象关于原点对称；
当 时， ，函数图象与 轴存在交点，符合题意；
对于C， ，当x>0时， ，故 恒成立，所以该函数图象在 上与 轴不存在交点，不符合题意；
对于D， ，其定义域为 ，
有 为偶函数，不符合题意.
综上所述，只有选项B的函数满足，
故选：B．
7． 如图所示，已知双曲线 ： 的右焦点为 ，双曲线的右支上一点 ，它关于
原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线 的右焦点为 ，双曲线 的右支上一点 ，它关于原点 的对称
点为 ，满足 ，且 ，可得 ， ， ，
，所以 ，可得 ，
，
所以双曲线的离心率为： ．
故选： ．8．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单
位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按
照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据： ）
A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元
【答案】A
【解析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为 .
依题意可得 ，则 ，
所以数列 是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则 ，即 ，
则 ，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.
故选：A.
9．艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相
互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两
个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，所以 ，
所以 ，则该正方体的棱长为 ．
易知三棱锥 为正三棱锥，则 ．
易知两个几何体相交后公共部分形成的几何体体积为 ．
故选：B.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．复数 的共轭复数为 ，则 .
【答案】
【解析】 ，
所以 .
故答案为： .
11．若 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为 ．
【答案】5670
【解析】因为二项式系数和等于 ,所以 ,由二项式展开式通项公式 ,
令 解得 ,所以常数项为 .
故答案为: 5670.
12．从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到红
球的条件下第4次摸到红球的概率为 .
【答案】 /0.5
【解析】用 表示事件"第 次摸到红球"， 表示事件"第 次摸到红球"， .
.
故答案为：
13．已知点 ，抛物线 ： （ ）的准线为 ，点 在 上，作 于点 ，
， ，则 .
【答案】
【解析】设抛物线的焦点为 ， ，
由抛物线的定义可知， ，因为 ，所以 ，
不妨设点 在第一象限，过点 作 轴于点 ，则 为 的中点，
，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，所以点 的坐标为 ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，
化简得 ，解得 或 (舍去)，所以 .
故答案为： .
1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理；
2.若 为抛物线 （ ）上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 的端点坐标
为 ， ，则弦长为 ， 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标
准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
14．如图，已知正方形 的边长为2，过中心 的直线 与两边 ， 分别交于点 ， ，若 是
的中点，则 的取值范围是 ；若 是平面内一点，且满足 ，
则 的最小值是 .【答案】
【解析】由直线l过正方形 的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点，
则 ， ，
由Q是BC的中点，得 ，又 ，则 ，
所以 取值范围为 ；
令 ，则 ，
则 ，即 ，于是 ，即点T 在直线BC上，
因此 ， ，则 ，
而 ，因此 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： ；
15．已知函数 ， 均为周期为2的函数， ，
，若函数 在区间 有10个零点，则实数 的取值范围是.
【答案】
【解析】作出 的图象以及 在 上的图象，通过分析图象，可知 与 在 有2
个交点，在 有1个交点，通过换元法，即可求得结果.作出 的图象，如图，
作出 在 上的图象，
在 和 上， 与 共有两个交点，
与 在 共10个交点，
与 在 ， ， 共有8个交点，
又 与 的周期为2，
与 在 有2个交点，在 有1个交点，
① 在 有2个交点，
由①知 ， ，令 ，则 ， ，
由基本不等式知 ，当且仅当 时，取等号；
当 时， ；
当 时， ，
所以 时有两解，
② 在 有1个交点，
由②知 ，
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
，
所以，当 时， ，
当 时， ，
所以， 或 ，综上， .
故答案为： .
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在 中，内角 ， ， ，所对的边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ．
【解析】（1）由题意及正弦定理得， ，
有 ，
又由 ，
有 ，
又由 ，有 ，可得 ，
可得 ，又由 ，可得 .
（2）由正弦定理及 ，有 ，
又由 的面积为 ，
有 ，可得 ， ，
由余弦定理，有 ，故 .
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ，
，点E在线段 上，满足 ，点F为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 所成角的余弦值．
【解析】（1）
取点M为 的中点，连接 ，
因为点F为 的中点，所以 ， ，
又因为 ， ，
又 ，则 ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 与平面 所成角为 ，
设 ，则 ，因为 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3）在（2）的条件下，以A为坐标原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，过点A作平行于
的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
A(0,0,0)， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则 ，即 ，令 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，所以 ，
设平面 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．18．（15分）
已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，离心率 ，点 、 分别是椭圆的
右顶点和上顶点， 的边 上的中线长为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆上顶点 的直线交椭圆于点 ，且 ，求直线 的方程;
(3)直线 、 过右焦点 ，且它们的斜率乘积为 ，设 、 分别与椭圆交于点 、 和 、 .若 、
分别是线段 和 的中点，求 面积的最大值.
【解析】（1）由题意，因为 、 ， 为直角三角形，所以 ，
又 因为 ， ，解得 ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）易知点F (−1,0)， ，且 ，则 ，
1
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，即点A(0,−1)或 ，
当点 的坐标为 时，直线 的方程为 ；
当点 的坐标为 时， ，
此时，直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为 或 .
（3）由题意，F (1,0)，
2设直线 的方程为y=k(x−1)，其中 ， 、 ，
则直线 的方程为 ， 、 ，
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ， ，所以 ，
同理可得 ， ，
所以，点 ，即 的中点为 ，
所以 ，
当且仅当 时，即当 时取等号，所以 的面积最大值为 .
19．（15分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件
的数组 ；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，解得 ；
由 ，得 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是等差数列，
又 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
又 ，所以 是递增数列.
当 时，若 对任意的 恒成立，则 ；
当 时，若 对任意的 恒成立，则 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
（3）由（1）知 ，假设存在正整数 ，使得 成等差数列，则 ，即 ，其中 ，故 ，即 .
设 ，则 ，
故数列 为递减数列，而 ，故 的正整数解为 ，
此时 ，故 即 ，由 的单调性可得 ，
所以符合条件的数组 为(2,3).
20．（16分）
已知 ，其中 ， .
(1)若 与 相切，求实数 的值；
(2)当 时，证明： ；
(3)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）设 ，则 ， ，
若 与y=f (x)相切，设切点为 ，
则 ，又 ，则 ，从而 ，即 ，即 .
（2）设 ，则 ，当 时， ，
依题意，当 时，要证 ，即证 ，当 时，即证 .
设 ，ℎ(1)=0，则 ，当 时，ℎ '(x)>0，ℎ(x)单调递增，则当 时， ，即 ，从而 ，
当 时， ，即 ，从而 ，
综上可知，当 时， .
（3）不等式即 ，令 ，令 ， ， ，
由 ，不妨设 ， ，
其中 ，ℎ(1)=0， .
（ⅰ）当 时，由（2）可知ℎ(x)单调递增，故 ，则 ，即 单调递增，符合
题意；
（ⅱ）当 时，由 ，令 ，则 ，
①当 时， ，则 恒成立，故ℎ(x)单调递减，即 ，
即 ，故 单调递增，从而 ，符合题意；
②当 时， ，故 有两个根 ，
因此当 时，ℎ '(x)>0，ℎ(x)单调递增，则 ，
即 ，故 在区间 上单调递减，从而 ，不合题意.
综上可知， 或 ，即 .
