文档内容
第 12 节 导数的综合应用
核心素养要做实
题型一 利用导数证明不等式
【例1】设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【解析】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x
变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 2(1－ln 2＋a)
故f(x)单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′
(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
【方法归纳】
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其
单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
【跟踪训练1】已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为
－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
故g(x)在R上单调递增．
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x20，g＝－1<0，
所以g(x)在上有唯一的零点α，所以命题得证．
(2)①由(1)知：当x∈(0，α)时，f′(x)>0，f(x)在(0，α)上单调递增，
当x∈(α，π)时，f′(x)<0，f(x)在(α，π)上单调递减；
所以f(x)在(0，π)上存在唯一的极大值点α，
所以f(α)>f＝ln－＋2>2－>0，
又因为f＝－2－＋2sin<－2－＋2<0，
所以f(x)在(0，α)上恰有一个零点．
又因为f(π)＝ln π－π<2－π<0，
所以f(x)在(α，π)上也恰有一个零点．
②当x∈[π，2π)时，sin x≤0，f(x)≤ln x－x，
设h(x)＝ln x－x，h′(x)＝－1<0，
所以h(x)在[π，2π)上单调递减，所以h(x)≤h(π)<0，
所以当x∈[π，2π)时，f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立，
所以f(x)在[π，2π)上没有零点．
③当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤ln x－x＋2，
设φ(x)＝ln x－x＋2，φ′(x)＝－1<0，
所以φ(x)在[2π，＋∞)上单调递减，所以φ(x)≤φ(2π)<0，
所以当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立，
所以f(x)在[2π，＋∞)上没有零点．
综上，f(x)有且仅有两个零点．
【方法归纳】
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用
导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象
草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单
调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点的个数．
探究2 根据函数的零点个数求参数范围
【例3】若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】由f(x)＝0可得＝，
令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，
则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y＝与函数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同
的交点，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，
当x∈(0,2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，所以k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上
单调递减，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，
因为k(0)＝0，并且当x>2时，>0，
所以当0<<时，k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝有两个不同的交点，
即当a>时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．所以，若函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.
【方法归纳】
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构
建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【跟踪训练2】若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围．
【解析】g(x)＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，
相当于曲线u(x)＝ex·(x－2)与直线y＝m有两个交点．u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
所以u(x)在(－∞，1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0
所以u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以x＝1时，u(x)取得极小值 u(1)＝－e，又x→＋∞时，u(x)→＋∞；x<2时，u(x)<0，所以－
e0，f(x)在区间(36,720)内为增函数，
所以f(x)在x＝36处取得最小值，
此时n＝－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y最小．
【方法归纳】
利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使 f′(x)＝0时，如果函数在这点有极
大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
【跟踪训练3】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年
投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产
生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)
(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百
万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项
共同产生的收益最大．
【解析】(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t) ＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场
max
由广告费而产生的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增
加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3.
对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
当00，即g(x)在[0,2)上单调递增；
当2
