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第 12 节 导数的综合应用
核心素养要做实
题型一 利用导数证明不等式
【例1】设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【解析】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x
变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 2(1－ln 2＋a)
故f(x)单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′
(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
【方法归纳】
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其
单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
【跟踪训练1】已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为
－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2<ex.
【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减；
当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
故g(x)在R上单调递增．
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x2<ex.题型二 导数与函数的零点问题
探究1 确定函数的零点个数
【例2】已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；
(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点．
【证明】(1)设g(x)＝f′(x)＝－1＋2cos x，
当x∈(0，π)时，g′(x)＝－2sin x－<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，
又因为g＝－1＋1>0，g＝－1<0，
所以g(x)在上有唯一的零点α，所以命题得证．
(2)①由(1)知：当x∈(0，α)时，f′(x)>0，f(x)在(0，α)上单调递增，
当x∈(α，π)时，f′(x)<0，f(x)在(α，π)上单调递减；
所以f(x)在(0，π)上存在唯一的极大值点α，
所以f(α)>f＝ln－＋2>2－>0，
又因为f＝－2－＋2sin<－2－＋2<0，
所以f(x)在(0，α)上恰有一个零点．
又因为f(π)＝ln π－π<2－π<0，
所以f(x)在(α，π)上也恰有一个零点．
②当x∈[π，2π)时，sin x≤0，f(x)≤ln x－x，
设h(x)＝ln x－x，h′(x)＝－1<0，
所以h(x)在[π，2π)上单调递减，所以h(x)≤h(π)<0，
所以当x∈[π，2π)时，f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立，
所以f(x)在[π，2π)上没有零点．
③当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤ln x－x＋2，
设φ(x)＝ln x－x＋2，φ′(x)＝－1<0，
所以φ(x)在[2π，＋∞)上单调递减，所以φ(x)≤φ(2π)<0，
所以当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立，
所以f(x)在[2π，＋∞)上没有零点．
综上，f(x)有且仅有两个零点．
【方法归纳】
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用
导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象
草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单
调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点的个数．
探究2 根据函数的零点个数求参数范围
【例3】若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】由f(x)＝0可得＝，
令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，
则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y＝与函数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同
的交点，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，
当x∈(0,2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，所以k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上
单调递减，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，
因为k(0)＝0，并且当x>2时，>0，
所以当0<<时，k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝有两个不同的交点，
即当a>时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．所以，若函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.
【方法归纳】
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构
建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【跟踪训练2】若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围．
【解析】g(x)＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，
相当于曲线u(x)＝ex·(x－2)与直线y＝m有两个交点．u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
所以u(x)在(－∞，1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0
所以u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以x＝1时，u(x)取得极小值 u(1)＝－e，又x→＋∞时，u(x)→＋∞；x<2时，u(x)<0，所以－
e<m<0.
题型三 导数在解决实际问题中的应用
【例4】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站
已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称
泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的
输油管道费用为(2＋)x万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成关于x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？
【解析】(1)设需要新建n个增压站，且(n＋1)x＝720，即n＝－1，
则y关于x的函数关系式为
y＝f(x)＝108n＋(n＋1)(2＋)x
＝108×＋(2＋)x
＝＋720＋1332；
(2)由(1)知，f(x)＝＋720＋1332，
f′(x)＝－＋，
令f′(x)＝0，得x ＝216，解得x＝36，
当0<x<36时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,36)内为减函数，
当36<x<720时，f′(x)>0，f(x)在区间(36,720)内为增函数，
所以f(x)在x＝36处取得最小值，
此时n＝－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y最小．
【方法归纳】
利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使 f′(x)＝0时，如果函数在这点有极
大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
【跟踪训练3】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年
投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产
生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)
(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百
万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项
共同产生的收益最大．
【解析】(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t) ＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场
max
由广告费而产生的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增
加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3.
对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
当0<x<2时，g′(x)>0，即g(x)在[0,2)上单调递增；
当2<x<3时，g′(x)<0，即g(x)在(2,3]上单调递减，
所以当x＝2时，g(x) ＝g(2)＝.
max
故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益
最大，最大收益为百万元．
达标检测要扎实
1．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若方程 在(0，1)内存在唯一实根 ，求证： ．
【解析】 (1)函数 的定义域为
则：
当 ， 时， 恒成立，所以 单调递减；
当 时，令 ，解得 或 (舍去)，
令 ， ，令 ，
所以 在 上单调递减； 上单调递增．
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为(0， )(2)由题意知：当 时，方程 在(0，1)内存在唯一根 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 有两个不相等的实数根 ，
又 ， ，故
设 ，令 ，则 ，或
则当 时，g(x)单调递增，当 时，g(x)单调递减，
当 时，g(x)单调递增，
又 ，且g(x)在(0，1)内存在唯一零点 ，
则 ，即 ，
所以 ①，且 ②，
由①得： ，代入②得
令 ，则 ，
当 时，
∴h(x)在(0， )上单调递减，
又 ，
∴h(x)在区间 有且仅有一个零点，即 ．
2．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.(1)若 ， ，证明：当 时， ；当 时，
(2)若 ，函数 在区间 内不单调，求 的取值范围
【解析】 (1) ， ，
当 时， ，故 单调递增，
当 时， ，故 单调递减，
故 ，故 单调递增，又 ，
所以当 时， ；当 时，
(2)函数 在区间 内不单调，即 存在零点，
由 可知 ，又 ，
而函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间，
令 ，又
①若 ，则 ， ，
所以函数 在区间 上单增，
函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区
间”这一要求.
②若 ，则 ， ，
所以函数 在区间 上单减，
函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区
间”这一要求.③若 ，则 ，
于是当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上单减，在区间 上单增，
若 ，则
则 ，由
所以 在区间 上单增，在区间 上单减
，
即 恒成立
于是，函数 在区间 内至少有三个单调区间，
所以 ，得 ，
又 ，所以
综上， 的取值范围为
3．已知函数 ，
(1)若函数 在 处的切线也是函数 图象的一条切线，求实数 的值；
(2)若 ，且 ，判断 与 的大小关系，并说明理由．
【解析】 (1)因为 ，所以 在 处切线斜率 ，切线 ，又 ，
设 与 相切时的切点为 ，则斜率 ，
则切线 的方程又可表示为 ，
由 ，解之得 ；
(2) ，理由如下：
由题 ，由 得 ，
当 时， ， 单调递减，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，①
同理 ②
①+②得 ，
因为 ，
由 得 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ．
4．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 无零点，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)由题知，当 时， ，
∴ ，令 ， ．
∴ 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
∴ 是 的极小值点，∴ 的极小值为 ，无极大值．
(2)由题知 ，
∴ ， ；令 ，
∴ ，∵ ，∴ 恒成立，
∴ 单调递增，即 单调递增．
①当 时，∴ ，∴ 单调递增
∴ 恒成立，即 在 上无零点，∴ ．
②当 时，令 ， ， ，又 单调递增，
∴ 时， ， 时， ，∴ 在 时单调递减， 时，单调递增，
∴ ，又∵ 时，
∴ ， ，即 在 上有零点，不合题意；
综上所述 ．
5．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
【解析】 (1)当 时，函数 ，其定义域为 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)由 ，
可得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上，单调递减，
且 ，显然 ，
若 在 上存在极值，则满足 或 ，解得 ，
综上可得，当 时， 在 上存在极值，
所以实数 的取值范围为 .
6．已知函数 ．
(1)若 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2) 有两个极值点 ，比较 与 的大小；
(3)若 在 上的最大值为 ，求 的值．
【解析】 (1) ，
由 ，解得 ，
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，此时切线与x轴重合，不符合题意；
所以 ；
(2)由（1）知： ，令 可得 或
，
则 在 单增，在 上单减，则 是 的两个极值点，不妨设
，则 ， ，
又 ，即 ；
(3)由（2）知： 在 单增，在 上单减.
当 时， ，则 在 上单增，则 ，解得 或 ，
故 ；
当 时， ，则 在 上单增，在 上单减，
则 ，解得 ，不满足 ，不合题意；
当 时， ，则 在 上单减，则 ，不合题
意；
当 时， ，则 在 上单减，在 上单增，则 ，
若 ，则 ，解得 或 ，不满足 ，
不合题意，
若 ，则 ，解得 或 ，不满足 ，不合题意；
当 时，则 在 上单增，则 ，解得 或 ，故 ；
综上： 或 .
7．已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【解析】 (1)函数 的定义域为 .当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，由 可得 ，列表如下：
增 减
极大值
所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
(2)
证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
8．设函数 ， ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当 时， ．
【解析】 (1) ， ，即切线 .
， ，则切线方程为： .
(2) ， 恒成立等价于 ， 恒成立.设 ， ，
， ， 为增函数，
， ， 为减函数，
所以 ，即 .
(3) ， 等价于 ， .
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 为增函数，即 ，
所以 ，
即 在 为增函数，即 ，即证： .
x+4 y=0
9．已知函数 在 处的切线 与直线 垂直，函数 .
(1)求实数 的值；
(2)若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： .
【解析】 (1)函数 的定义域为 ，
，
由已知得在 处的切线 的斜率为 ，
则 ，即 ，解得 ；(2)由（1）得 ，则 ，
∵函数 存在单调递减区间，∴ 在 上有解，
∵ ，设 ，则 ，
∴只需 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 ；
(3)证明：由题意可知， ，
∵ 有两个极值点 ， ，
∴ ， 是 的两个根，则 ，
∴
，
∴要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则证明 ，令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
则 ，即 ，
所以原不等式 成立．
10．已知函数 .
(1)若函数 有两个极值
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求 极大值的取值范围.
(2)对于函数 ，都有 ，则称 在区间 上是凸函数.利用
上述定义证明，当 时， 在 上是凸函数.
【解析】 (1)（i）函数的定义域为
当 时， 有且只有一个极值点，故舍去.
当 时， ，
经检验，此时满足函数 有两个极值，
故 的取值范围是 .
（ii）设 的极大值点 ，则 ，
则 ，，
，∴ 在 上单调递增
.
(2)要证 ，
代入即证 ，
，
， .
只要证： ，
即证： ，
令 ，即证 非负，
，
当 时， ， 时， ，
在 递减， 递增， 结论成立.
11．已知函数 .(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
【解析】 (1)因为 ，所以
又 ，所以切线方程为 ，即
(2)由 知 ，因为
所以 ，当 时， ，
当 时， ，当 时，
构造函数 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 时， ，因此
当 ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 时， ，因此 综上：
12．已知 .
(1)若 恒有两个极值点 ， （ ），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明 .
【解析】 (1)函数 的定义域为 ， ，则方程 有两个不同的正根，
即函数 与 图像有两个交点，
，令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且当 时， ，
当 时， ，如图，
由图可知 ；
(2)设 ，
则 ，
在 单调递增，故 ，
即 .
而 ，故 ，
又 ， ， 在 单调递减，故 ，即 ；
由 知 ；
由(1)知， ， 为函数 的极值点，
当 时 ，函数 单调递减，
当 时 ，函数 单调递增，时 ，函数 单调递减，
所以 ，故 ，
令 （ ）.
，
，令 ，故当 时，
单调递增，且 ，所以 ，故 单调递减，
由 ，得 ，
即 ，即 .
13．已知函数 ．
(1)当 且 时，试判断函数 的单调性；
(2)若 在 上是单调函数，求ab的最小值．
【解析】 (1) 且 ， ，
令
所以在区间 递减；在区间 递增.
所以 ，
所以 在 上递增.
(2) ，
依题意可知： 在 上单调，则 在 上递增，
所以 ①在 上恒成立.，
当 时， ，
当 时， ， 在 上递增，
，与①矛盾.
当 时，在区间 递减；在区间 递增，
所以 时， 的最小值 ，
，
构造函数 ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以当 时， 也即 取得最小值为 .
