文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷（新高考Ⅰ卷专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
由 ，解得 ，故 ，
故 .
故选：B
2．已知 ， 为虚数单位，若复数 的实部与虚部相等，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
所以 ，解得 .
故选：D3．已知向量 ， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【解析】依题意， 在 方向上的投影向量为 ，则 ，而 ，
所以 .
故选：A
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，得 ，
所以 .
故选：D.
5．已知双曲线 ，点 在 上，过点 作 两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，
若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则 ，即 ，又两条渐近线方程为 ，即 ，故有 ，
所以 ．
故选:D.
6．如图，侧面展开图为扇形 的圆锥和侧面展开图为扇环 的圆台的体积相等，且 ，则
（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】D
【解析】设侧面展开图为扇形 的圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的体积 ．
侧面展开图为扇形 的圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的体积 ．
由题可知 ，从而 ．
故选：D.
7．已知数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C【解析】当n为奇数时有 ，函数 的周期为 ，
故有 ，
故 ， ， ， ，
则 ，故有 .
故选：C.
8．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， 显然恒成立．
当 时， 可以理解为将 的图象向右平移 个单位长度后，得到的 的图
象始终在 的图象的下方（或重合）．
当 时，由 的图象可知，
，则 ，解得 ；当 时，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，函数 在R上为增函数，
对任意的x∈R且 时， ， 恒成立.
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了 份，将得
分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛
成绩落在 内的人数为10，则（ ）
A．B．
C．估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表）
D．估计参赛选手得分的中位数在 内
【答案】ABD
【解析】对于A、B，由 ，
得 ，则 ，故A，B正确；
对于C，估计参赛选手得分的平均分为x，
则 ，故C不正确；
对于D，因为 ， ，
所以估计参赛选手得分的中位数在 内，故D正确．
故选：ABD.
10．已知函数 ，若 及其导函数 的部分图象如图所示，
则（ ）
A．
B．函数 在 上单调递减
C． 的图象关于点 中心对称
D． 的最大值为【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，根据图象可知，当 时，
，所以 单调递增，故 ，从而 ．
又 ，所以 ，由 得 ，
故 ， ．
选项A： 的最小正周期为 ，故 ，A正确．
选项B：令 ，解得 ，
故函数 在 上单调递减，B正确．
选项C：由于 ， ，
故 的图象不关于点 中心对称，故C错误．
选项D： ，
其中 为锐角，且 ，（辅助角公式的应用）,所以 的最大值为 ，D错误．
故选：AB
11．已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线
（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两定点除外）.如图，给定的矩形 中，
， ，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线 、 的动
点， ， ，其中 ，且直线 与直线 交于点P.下列说法正确的是（ ）A．若 ，则P的轨迹是双曲线的一部分
B．若 ，则P的轨迹是椭圆的一部分
C．若 ，则P的轨迹是双曲线的一部分
D．若 ，则P的轨迹是椭圆的一部分
【答案】CD
【解析】由已知可得 ， ， ， ， ，
则由 可得， ；
由 可得， ，
所以 .
所以， ， .
所以， .
对于A、B项，因为 ，所以 ，显然 不是一个常数，所以此时P
的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，A、B均错；
对于C选项， ，此时 的结果为一个大于0的定值，所以P的轨迹是双曲线（顶点除外），C对；
对于D选项， ，此时 的结果为一个小于0的定值，所以P的轨迹为椭圆（顶点除
外），D对.
故选：CD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．甲、乙、丙等 人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种．
【答案】
【解析】先站甲、乙、丙 人，共有 种不同的站法，
再站剩余 人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中，
最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中，
共有 种不同的站法，
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有 种．
故答案为：40
13．欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知
，其中 ， 是 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质
数）.例如 .若数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则
.
【答案】
【解析】由题意可得 ，
则 ，
当 时， ，则 .
故答案为：
14．现有质量分别为 千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两
件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是
.
【答案】 /
【解析】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况.
设事件 表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件 表示第一､二个箱子的总质量均不小于
第三个箱子的总质量.
由对称性，可得 .
当 发生时，这两个箱子的货物组合只能是 和 和 和 三种可能，故
.
当 不发生时， 表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得 .
故 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
的内角 的对边分别为 ．已知 ．
△
(1)求 的值；
(2)求 周长的最大值．
【解析△】（1）（方法一）因为 ， ，所以 ，
则 ．又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，
（方法二）由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，则 ．
．
因为 ，所以 ．
（2）由（2）可得 ，
从而 ．
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，
从而 ，则 周长的最大值为3．
16．（15分）
某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽
中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为 和 ，且每次中奖情况相
互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．
(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；
(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为 ，求 的分布列与期望．
【解析】（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也
得抽中银奖，此时概率 ．
若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率．
故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率 ．
（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为 ，则 ．
由题可知 ， ， ，
， ，
则 ， ， ，
．
的分布列为
1 2 3 4
5 5 5 5
．
17．（15分）
如图，在三棱锥 中， ， ， 是线段 上的点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长；(3)若 平面 ， 为垂足，直线 与平面 的交点为 ，当三棱锥 体积最大时，
求 的长.
【解析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，所以， ，
因为 为棱 上的点，设 ，其中 ，
所以， ，且 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
不妨取 ，可得 ，
因为线 与平面 所成角的正弦值为 ，所以 ，
则 ，化简可得： ，
解得： 或 （舍去）.
所以 .
（3）设 ，因为 ，其中 ，
所以， ，可得 ，即点 ，
因为 平面 ，则点 ， ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故当点 为线段 的中点时，三棱锥 的体积取最大值 ，
此时，点 ，
由（2）可知，此时，平面 的一个法向量为 ，
设 ，其中 ，则 ，
因为 平面 ，则 ，
所以， ，解得 ，
所以， ，
所以 .即 的长为 .
18．（17分）
已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若对任意的实数 ， ，曲线 与直线 总相切，则称函数 是“ 函
数”，当 时，若函数 是“ 函数”，求 .
【解析】（1）函数 ， ，
当 时， ， ，
当 时，f'(x)<0， 单调递减，
当 时，f'(x)>0， 单调递增，
故 有极小值 ，无极大值.
（2）由（1）可知：当 时， ， 在 单调递减；当 时，令 ，得 ， ，
所以 ，且 为增函数，
当 时，f'(x)<0， 在 单调递减；
当 时，f'(x)>0， 在 单调递增；
综上，
当 时， 的单调递减区间为 ，无递增区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（3）当 时，函数 是“ 函数”，
求导得 ，
设曲线 与直线 切点 ，
则 ，故 ，即 ，
所以 且 ，
设 ， ，易知 ，且 是增函数，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 是方程 的根，且唯一，
所以 ．
19．（17分）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 之间的“距离”为 ，
我们把到两定点 的“距离”之和为常数 的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 的左顶点为 ，过 作直线
交 于 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
【解析】（1）设“椭圆”上任意一点为P(x,y)，则 ，
即 ，即 ，
所以“椭圆”的方程为 ；
（2）由方程 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 或 或 ，
解得 ，
由方程 ，得 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以“椭圆”的范围为 ， ，
将点 代入得， ，
即 ，方程不变，所以“椭圆”关于 轴对称，
将点 代入得， ，即 ，方程不变，所以“椭圆”关于 轴对称，
将点 代入得， ，
即 ，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于 轴， 轴，原点对称；
（3）由题意可设椭圆 的方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ， ，
由题意可设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
恒成立，
则 ，
因为 的中点为 ，
所以直线 的中垂线的方程为 ，
同理直线 的中垂线的方程为 ，设 ，则 是方程 的两根，
即 是方程 的两根，
所以 ，
又因 ，
所以 ，
两式相比得 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 与 的斜率之积为定值 ．
