文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷 02(新高考 II 卷专用)
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为对数函数 为增函数，当 时， ，即 ，
因为指数函数 为减函数，当 时， ，即 ，
因此， .
故选：A
2．已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 是等差数列， ，得 ，所以 ，
，不能判断 的正负，所以不能判断 , 的大小，
所以不能确定 是否递增数列；
若 为递增数列，则 ，即 时 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 是 为递增数列的必要不充分条件.
故选：B
3．若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象与 的图象完全重合，
则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题知， 是函数 周期的整数倍，所以 ，
所以 ，所以正数 的最小值为4.
故选：B.
4．某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间 分钟与
温度 （摄氏度）的关系用模型 （其中 为自然对数的底数）拟合.设 ，变换后得到一组数
据：
2 2.5 3 3.5 4
4.04 4.01 3.98 3.96 3.91
由上表可得线性回归方程 ，则 等于（ ）A．-4 B． C．4.16 D．
【答案】D
【解析】由表格中数据，得 ，
则 ，解得 ，因此 ，
由 两边取对数，得 ，又 ，
所以 ，即 .
故选：D
5．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 的纵坐标为2，且 ，则点 到直线
的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 的横坐标为 ，则 ，得 ，则 ，解得 ，则 ．
由题意知直线 过定点 ，连接 ，
则当 时，点 到直线 的距离最大，最大值为 ．
故选：A
6．某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连
续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16【答案】B
【解析】记国庆7天假期的编号依次为 ，则甲、乙值班安排方法的情况及相应值班安排方法种数如
下表：
甲 乙 不同的值班安排方法种数
4，5
1，2，3 5，6
6，7
5，6
2，3，4
6，7
1，2
3，4，5
6，7
1，2
4，5，6
2，3
1，2
5，6，7 2，3
3，4
根据分类加法计数原理可知共有 种不同的值班安排方法.
故选：B．
7．已知圆 与圆 交于 、 两点，则 （
为圆 的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： ，所以圆心 ，半径 ，由两圆相交于 、 两点可知： ，
所以 的面积 ，
因为 是半径为 的圆，所以 ，
当 时， ，
又 ，
此时由 ，解得 ， ，故 可以取最大值 ，
所以当 时， 最大，且 是锐角，
根据函数 的单调性可知：当 时， 最大，
在 中由余弦定理可得： ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
8．已知曲线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 的图象是以 为端点的两条射线．
当 时，曲线 与曲线 恰有两个公共点 ， ，如图1．
当 时，曲线 与曲线 的公共点就是曲线 与曲线
的交点与 ，如图2．
当 时，曲线 与曲线 只有一个公共点 ，如图3．
当 时，曲线 与曲线 无公共点，如图4．
综上， 的取值范围为 ．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则（ ）
A． 在复平面内对应的点在第一象限
B． 的虚部为C．
D．
【答案】AD
【解析】由 得 ，
对于A，则 在复平面内对应的点为 ，在第一象限，A正确；
对于B， 的虚部为 ，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：AD
10．已知事件 、 发生的概率分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．一定有 D．若 ，则 与 相互独立
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由对立事件的概率公式可得 ，A对；
对于B选项，因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ， ，
所以，
，
当且仅当 时，等号成立，综上所述， ，B对；
对于C选项，因为 ， ，无法确定 、 的包含关系，C错；
对于D选项，因为 ，
所以， ，则 、 独立，进而可知， 与 相互独立，D对.
故选：ABD.
11．在平面直角坐标系中，已知 ， ， 为原点， 为平面内的动点，且 垂直于 轴，
垂足为 ，则满足下列条件的动点 的轨迹为椭圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，由椭圆定义可知动点 的轨迹为椭圆，故A正确；
对于B，设P(x,y)，则
，
∴ ，∴动点 的轨迹为椭圆，故B正确；
对于C，设P(x,y)，
则 ，
∴ ，即 ，这样的点 的轨迹不存在，故C错误；
对于D，设P(x,y)，则 ，
∴ ，即 ，动点 的轨迹为椭圆，故D正确．
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某流水线上生产的一批零件，其规格指标 可以看作一个随机变量，且 ，对于 的
零件即为不合格，不合格零件出现的概率为 ，现从这批零件中随机抽取 个，用 用表示 个零
件的规格指标 位于区间 的个数，则随机变量 的方差是 ．
【答案】
【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间 的概率为 ，
即1件产品的质量指标位于区间 的概率为 ，所以 ，
故 .
故答案为：
13．已知 ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，
，
有 ，可得 ．
故答案为：
14．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同
的点A，B，恒有 成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”
为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C： （其中 是自然对数的底数），O为
坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，则 ．
【答案】
【解析】当 时，过原点作 的切线，
设切点 ， ， ，
则切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，所以 .
设 ，则 ，故 为增函数，且 ，
所以 ，
当 时，过原点作 的切线，设切点B ， ，
则切线为 ，又切线过点
所以 ，又 ， ，
因为 ，所以两切线垂直，所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，设 的内角 的对边分别为 ，已知 ， 是 的中点．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的周长．
【解析】（1）方法一：由正弦定理有 ，
因为B∈(0,π)，所以 ，
则 ，
即 ，所以 ．
又 ，所以 ．
所以 ，解得 ．
方法二：由正弦定理有 ，
因为B∈(0,π)，所以 ，则 ，
即 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ．
（2）方法一：因为 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去）．
在 中，由余弦定理得 ，
解得 （舍负），
所以 的周长为 ．
方法二：因为 是 中点， ，
所以由余弦定理的推论得 ，
即 ， ①
在 中，由余弦定理得 ， ②
联立①②解得 ， （ 和 的负值舍去），
所以 的周长为 ．
16．（15分）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为 年— 年我国
在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中 年— 年对应的代码依次为 — .
年份代码
市场规模
， ， ，其中
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其经验回归直线 的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为 ， .
(1)由上表数据可知，若用函数模型 拟合 与 的关系，请估计 年我国在线直播生活购
物用户的规模（结果精确到 ）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 ，现从我国在线直播购物用户
中随机抽取 人，记这 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 ，若 ，求 的数
学期望和方差.
【解析】（1）设 ，则 ，
因为 ， ， ，
所以， ，
所以， 与 的拟合函数关系式为
当 时， ，
则估计 年我国在线直播生活购物用户的规模为 亿人.
（2）由题意知 ，所以， ，，
由 ，可得 ，
因为 ，解得 ，
所以， ， .
17．（15分）
已知双曲线 ： （ ， ）的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在双曲线 上，当
时， .
(1)求 的离心率；
(2)已知 ， ， 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若 ，求
的面积.
【解析】（1）设 ，将 代入双曲线方程得 ，此时 ，
所以 ，即 ， ，
则 ，所以 （负值舍去），
故 的离心率为2.
（2）因为 ，由（1）知 ，
双曲线方程为： ，渐近线方程为 ，设 ，
则 ，
所以 ，
又 在双曲线上，所以 ，整理得： ，
由渐近线方程为 得 ，
所以 的面积为
.
18．（17分）
已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)关于 的方程 有两个不相等的正实数解 ， ，且 ，求证：
．
【解析】（1）由 ，求导可得 ，
令f'(x)>0，得 或 ，令f'(x)<0，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）当 时， 等价于 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ．
（3）当 时， ，
由（1）可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
作出函数 的大致图象，如图：
因为 ，所以 ，所以 ．
由 ，且切点 ，则曲线y=f (x)在 处的切线为 ，
同理可得曲线y=f (x)在 处的切线为 ，
设 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 在 上恒成立，设直线 与直线 交点的横坐标为 ，则 ，则 ，则 ，所以
．
同理可得 ，
所以 ，得证.
19．（17分）
给定数列 ，若对任意 且 是 中的项，则称 为“ 数列”；若对任
意 且 是 中的项，则称 为“ 数列”.
(1)设数列 的前 项和为 ，若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)设数列 既是等比数列又是“ 数列”，且 ，求公比 的所有可能取值；
(3)设等差数列 的前 项和为 ，对任意 是数列中的项，求证：数列 是“ 数列”.
【解析】（1） ，
当 时， ，
当 时， 符合上式，
.
对任意 ，且 ，
，
是“ 数列”.
（2） ，且数列 是等比数列，，且 ，
是“ 数列”，
也为数列中的项，
令 得 ，
，
且 ，
的所有可能取值为 或8.
（3）设数列 公差为 ，故 ；对 ，有 ，
即 ，
当 时， ，此时数列显然为“ 数列”，
当 时， ，
取 ，则 ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
，
设 ，即 ，
对 ，且 ，
，
易知 ，为数列 中的项，
数列 为“ 数列”.
