文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷 01(新高考八省专用)
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】集合 ， ，所以 .
故选：B
2．若复数 是纯虚数，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ， ，
得 ，根据选项可知，只有 满足条件.
故选：C3．若非零向量 ， 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
即 ，又 ，
.
故选：D.
4．已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 为奇函数，且当 时，
，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知，函数 与函数 互为反函数，则 ．
由题设，当 时， ，则 ．
因为 为奇函数，所以 .
故选：C．
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 上一点 作 于点 ，若
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C【解析】方法一：连接 ，由抛物线定义可得 ，
因为 ，所以 是边长为4的等边三角形．
如图，设准线 与 轴的交点为 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
方法二：设 与 轴的交点为 ，则 ，
设A(x ,y )，在 中， ，
1 1
即 ①，
又 ②，联立方程组①②，解得： ， ；
所以 ．
故选：C．
6．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
则 ，而 ．
故选：B
7．如图，已知四棱柱 的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱 的中点，则
（ ）
A．直线 都与平面 平行
B．直线 都与平面 相交
C．直线 与平面 平行，直线 与平面 相交
D．直线 与平面 相交，直线 与平面 平行
【答案】C【解析】
设对角线AC的中点为O，EF的中点为 ， ，
以 为基底，建立空间坐标系如上图，
则 ，
E，F分别是 的中点，∴ ，
∵
，
∴ ，即 ， 平面EFG， 平面EFG，
平面EFG；
由以上分析知， ，并且 ，
， ，点O也是对角线BD的中点，
是 的 边上的中位线，即 在 上，
平面EFG，即 与平面EFG交于点 ，
综上， 平面EFG， 与平面EFG相交；
故选：C.8．若 ， 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于AB选项，构造函数 ，则 ，当 时， ，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，即 ，即 ，A错，B对；
对于CD选项，构造函数 ，其中 ， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以，函数 在 上不单调，无法比较 、 的大小，C错，D错.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．
B．函数 在 上的值域为
C．函数 是奇函数
D．函数 的图象可由 上所有点的横坐标变为原来的 倍，再向右平移 得到
【答案】ACD
【解析】由图可知 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 上的值域为 ，故B错误；
对于C， ，
因为 ，
所以函数 是奇函数，故C正确；
对于D， 上所有点的横坐标变为原来的 倍，得 ，
再向右平移 ，得 ，故D正确.
故选：ACD.
10．某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教
师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制．某
选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表．对学生
网络评分按 分成三组，其频率分布直方图如图所示．
教师评
A B C D E F G
委
有效评
9.6 9.1 9.4 8.9 9.2 9.3 9.5
分
则下列说法正确的是（ ）
A．现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同B．估计全校有1200名学生的网络评分在区间 内
C．在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7
D．从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则
【答案】ABD
【解析】去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A正确；
因为学生网络评分在区间 内的频率为0.3，学生总人数为4000，则网络评分在区间 内的学生估计
有 人，B正确；
若去掉的一个最高分为9.6，去掉的一个最低分为8.9，则9名教师原始评分的极差等于0.7，C错误；
学生网络评分在区间 内的频率为0.5，则 ，所以 ，D正确；
故选：ABD．
11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形
可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为 ．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－ )、B(0， )，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos APB的最小值为
∠
－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：
后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
【答案】BCD
【解析】对于A：曲线 中， ，当 时，
分5类讨论： ，分别代入曲线 方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，1 )， (0，0)，(0，-1 )，
(0，-2 ),(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有12个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当 时 ，此时与原点距离为2，
当 ，时 ，设半椭圆上动点P坐标为(2cosθ，3sinθ)，
则 ，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－ )、B(0， )恰为椭圆 的两个焦点．
那么 ，
当且仅当 ，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中， ，由余弦定理知：
，选项C正确；对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆 ： 中取两条切线：
和 ，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为： ，选项D正确．
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数 则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
13．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：
第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个
小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个
球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得
分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 .
【答案】
【解析】若第一轮在第一轮中得1分，
若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2，
若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3，
若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4，
若第一轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可
以是剩下三个小球中的任何一个，故共有 ，因此第一轮中甲得1分的概率为 ,
在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球
即可，故概率为 ，
因此甲在两轮中共得2分的概率为 ，
故答案为：
14．已知过点 的直线 分别与圆 交于 两点（点 在 的上方）和 两点
（点 在 的上方），且四边形 为等腰梯形，若 ，则梯形 的面积为 ．
【答案】
【解析】不妨设点 在第一象限，设 与 轴交点为 ，如图所示，
由圆 得， ，圆心 ，半径为 ，
因为 ，所以 ，
因为四边形 为等腰梯形，
所以 ，点 与点 关于 轴对称， 轴，
则 ，解得 ，
所以 ，
设直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ， ，
由 得， ，解得 ， ， ，
则 ， ，
所以梯形 的面积为 ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知 的内角 满足 .
(1)求 ；
(2)证明： .
【解析】（1）由 ，得 .
由正弦定理得 .
设 ，
由余弦定理得 ，
则 .（2）证明：由（1）可知， ，
则 .
由 ，得 ，则 .
因为 ，所以 .
16．（15分）
已知数列 满足 ．设 ．
(1)求证：数列 是等比数列，并求数列 通项公式；
(2)设数列 ，且对任意正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）证明：由 ，
可得 ，
即数列 是首项和公比均为3的等比数列，
则 ，即 ；
（2）数列 ，
则 ，
可得 递减，可得 ，对任意正整数 ，不等式 恒成立，
可得 ，即有 ，即 的取值范围是 .17．（15分）
设函数 .
(1)若 在 处的切线方程为 ，求实数 的取值；
(2)试讨论 的单调性；
(3)对任意的 ，恒有 成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由 ，则 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ，即 .
（2）由（1）知， ， ，
因为 ，所以 时，f'(x)<0，当 时，f'(x)>0，
所以 单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（3）若任意的x∈(0,+∞)，恒有 成立，
即 ，在x∈(0,+∞)上恒成立，即 ，其中 ，
当 时， 成立，
当 时， ，则 恒成立，令 ，
令ℎ '(x)<0，即 ，解得 ，故ℎ(x)在(0,1)上单调递减，其图象如图所示
故ℎ(x)<0，所以此时 ，又因为 ，故 ，当 时， ，则 恒成立，令ℎ '(x)>0，即 ，解得 ，
而ℎ '(x)<0时， ，故 时，f'(x)<0，此时 单调递减，
时，f'(x)>0，此时 单调递增，
故 在 时取得最小值， ，即 ，
又因为 ，故 ，
综上所述，实数a的取值范围为 .
18．（17分）
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，且 ，
侧面 是正三角形，侧面 底面 ，E为 中点，作 交 于F．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)在平面 内是否存在点Q．使得 ，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说
明理由．
【解析】（1）由侧面 底面 ，侧面 底面 ， 面 ，
又底面 是直角梯形， ，故 ，
所以 面 ， 面 ，则 ，
由侧面 是正三角形，E为 中点，则 ，
而 且都在面 内，则 面 ， 面 ，
所以面 面 ，而 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 .
（2）依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系， ，所以 ， ，
令 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
令 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值 .
（3）由 ，即 ，故 点在以 为直径的球体与平面 的交线上，
又 ，其中点坐标为 ，则 ，
由（1）（2）知， 是面 的一个法向量，
所以 到面 的距离 ，
所以以 为直径的球体与平面 不相交，故不存在 使 .
19．（17分）
定义：如果在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标分别为 ，那么称为 两点间的曼哈顿距离； 为 两点间的欧
几里得距离.
(1)已知 ，求 的最小值；
(2)已知 ，求 的最大值；
(3)已知 ，点 在函数 图像上，点 在函数 图像上，
且 ，点 有 的最小值为4，求实数a的取值.
【解析】（1）设 ，由 得： ，
点 的轨迹是由直线 围成的边长为 的菱形，且对角线在坐标轴上.
点 到直线 的距离即为 的最小值，
.
（2）设 ，由 得： ，
令 ，
.
.
（3） 过定点 ，当 为 时，
此时 ，即 时满足 .
对于函数 图像上的点 有 的最小值为4，
只需 ，求 的值即可.
，
①当 时，
，
此时没有 能使 恒成立.
②当 时，
，当且仅当 时，上式等号成立.
要使 ，则 ，即 .
构造函数 ，要使 ，即等价于求 取何值时 恒成立.
，令 ，得 .
时， 在 上单调递减；
时， 在 上单调递增.，要使 恒成立，即 .
构造函数 ，
，令 ，得 ，
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减.
，
因此要使 恒成立，则 .
结合图像可知，当 时，也满足 .
因此， .
