专题3-2一网打尽14类·二次函数的存在性问题（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 3-2 一网打尽 14 类·二次函数存在性问题 解题策略梳理 题型一 等腰直角三角形存在性问题 本溪中考 辽宁阜新中考 2023·湖南娄底·统考中考真题 2023·四川广元·中考真题 题型二 等腰三角存在性问题 山东泰安中考 甘肃白银中考 江苏盐城中考（删减） 贵港中考（删减） 四川眉山中考删减 辽宁葫芦岛中考（删减） 题型三 直角三角形存在性问题 兰州中考（删减） 辽宁本溪中考 贵州安顺中考真题 怀化中考真题 2023·四川内江·中考真题 2023·海口华侨中学考模 题型四 平行四边形存在性问题 【例4.1】对边相等 【例4.2】两定两动：x轴+抛物线 【例4.3】两定两动：对称轴+抛物线 【例4.4】两定两动：斜线+抛物线 【例4.5】两定两动：抛物线+抛物线 【例4.6】三定一动 2023·四川南充·中考真题 2023·山东聊城·中考真题 2023·四川巴中·中考真题 2023-2024学年武汉市洪山区九年级统考 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型五 正方形存在性问题 例5.1：两动点：构造等腰直角定第3点 例5.2：两定两动：抛物线+抛物线 南充中考真题 2023·黑龙江绥化中考真题 2023·四川凉山·中考真题 2022·四川遂宁·中考真题 2023年广西钦州市一模 2020·四川德阳·中考真题 题型六 菱形存在性问题 例6.1 例6.2 例6.3 2023·湖南邵阳市·中考真题 2023·四川广安·中考真题 题型七 矩形存在性问题 【例7.1】 【例7.2】两定两动 2023·海南·中考真题 2023·内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考真题 2022·贵州黔西·中考真题 2022·贵州黔东南·中考真题 2022·湖北随州·中考真题 题型八 相似三角形存在性问题 【例8.1】 【例8.2】 【例8.3】 【练习1】 【练习2】 【练习3】 2022·湖南张家界·中考真题 题型九 角的存在性问题之转化为相似或全等三角形 2023厦门一中模拟 2023-2024学年福建省福州屏东中学月考 2023-2024学年湖北天门市九年级月考 2024届福州市晋安区统考 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 深圳福田区模拟 题型十 角的存在性问题之转化为等腰三角形问题 2023年湖北省武汉市外国语学校模拟 武汉·中考真题 题型十一 角的存在性问题之化为正切值或斜率 【例11.1】 【例11.2】 题型十二 角的存在性问题之与特殊角结合 【例12.1】 【例12.2】 2023·浙江湖州·统考一模 题型十三 角的存在性问题之2倍角半角 2024届·武汉市武珞路中学期中 2022年长沙市雅礼教育集团中考一模 锦州中考真题 江苏盐城中考真题 题型十四 角的存在性问题之动点是角的顶点——构造圆 【例14】内蒙赤峰·中考：一题四法 山东日照中考真题 甘肃兰州·中考真题 四川资阳·中考真题 解题策略梳理 一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B A O x 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． y B A C 5 C 2 C O C C x 1 3 4 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． y AC =AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 1 B 作AHx轴于H点，AH=1 A C H=C H= 13-1=2 3 1 2 C 2 C 1 O H x C 1 (1-2 3,0) C 2 (1+2 3,0) C、C C 3 4同理可求，下求 5． 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B A O C x 5 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B均往下移一个单位，当点 A坐标为 （1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： y AH=3，BH=2 设AC =x，则BC =x，C H=3-x 5 5 5 (3-x)2+22=x2 B 13 解得：x= 6 19 O A C H x 5 故C 坐标为（ ,0） 5 6 C 而对于本题的 5，或许代数法更好用一些． 二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找 一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． y B A O x 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直 角） y B A C 3 O C C C x 1 4 2 C、C C 1 2 2 重点还是如何求得点坐标， 求法相同，以 为例： 【构造三垂直】 y 易证△AMB∽△BNC 2 AM MB = BN NC 2 M B N 由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC =3 2 3 代入得：BN= 2 A 13 O C 2 x 故C 2 坐标为（ 2 ，0） C、C C 3 4 3 求法相同，以 为例： y AM MC 3 易证△AMC 3∽△C 3 NB， C N = NB 3 由A、B坐标得AM=1，BN=3，设MC =a，C N=b B 3 3 1 a A 代入得： = ，即ab=3，又a+b=4， 故a=1或3 b 3 O M C 3 N x 故C 3 坐标为（2,0），C 4 坐标为（4,0） 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C C 1 1 还剩下 待求，不妨来求下 ： y B A O C x 1 C 1 （1）表示点：设 坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； AC  (m1)2 12 BC  (m5)2 32 AB2 5 1 1 （2）表示线段： ， ， ； BAC AB2  AC2 BC2 1 1 1 （3）分类讨论：当 为直角时， ； 3 20(m1)2 12 (m5)2 32 m （4）代入得方程： ，解得： 2． 三、等腰直角三角形在性问题方法突破 【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE． 我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： E A C 2 3 D 斜边AB绕点A顺时针旋转90°，得到AD AB=AD 1 B BAD=90° 2+3=90° 1=2 △ABC≌△DAE（AAS） ACB=90° 3+1=90° ACB=90°，DEAC BCA=AED=90° AC=DE，BC=AE 【模型迁移】 【兰州中考（删减）】二次函数 yax2 bx2 的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交 y 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 轴于点C．动点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN x轴 交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC ，设运动的时间为t秒． yax2 bx2 （1）求二次函数 的表达式； （2）在直线MN 上存在一点P，当PBC 是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的 坐标． y D C N A O M B x 【分析】 1 3 y x2  x2 （1） 2 2 ； （2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作 水平线，得三垂直全等． 设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b， ab4 a1   由图可知： ba2，解得： b3． 故D点坐标为（1,3）． y D C N M B A O x H P Q 同理可求此时D点坐标为（3,2）． 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y P Q H C D N A O M B x 思路2：等腰直角的一半还是等腰直角． 如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点 和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求． P点横坐标同D点，故可求得D点坐标． y y P C C M M A O B x A O B x P 四、平行四边形存在性问题方法突破 考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分． 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： x x x x A B D C  （1）对边平行且相等可转化为：y A  y B  y D  y C ， 可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同． 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D A y -y D C y -y A B C x -x D C B x -x A B x x x x A C  B D   2 2  y  y y  y  A C  B D （2）对角线互相平分转化为：  2 2 ， 可以理解为AC的中点也是BD的中点． D A C B 【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一： x x x x x x x x  A B D C  A C D B y  y  y  y y  y  y  y A B D C A C D B ， x x x x A C  B D   2 2  y  y y  y x x x x  A C  B D  A C B D  2 2 y  y  y  y → A C B D ． 当AC和BD为对角线时，结果可简记为：AC BD（各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若 坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？ 反例如下： D B M A C 之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全 等价的转化，故存在反例． 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线． （2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 【题型分类】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动 已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的 四边形是平行四边形． y C B A O x 思路1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得： 531m  （1）BC为对角线时，352n ，可得 D 1 (7,6) ； 135m  （2）AC为对角线时，253n ，解得 D 2 (1,4) ； 153m  （3）AB为对角线时，235n ，解得 D 3 (3,0) ． y D 1 C D 2 B A O D x 3 当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． D=BCA D =ACB D  ABC 比如： 1 ， 2 ， 3 ．（此处特指点的横纵坐标相加减） 2．两定两动 已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 是平行四边形，求C、D坐标． y B A O x 【分析】 设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）． 13m0 m4   （1）当AB为对角线时，120n ，解得n3 ，故C（4，0）、D（0，3）； 1m30 m2   （2）当AC为对角线时，102n ，解得n1 ，故C（2，0）、D（0，-1）； 103m m2   （3）当AD为对角线时，1n20 ，解得n1 ，故C（-2，0）、D（0，1）． y y y D B B B A D A A O C x O C x C O x D 【动点综述】 “三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中， 横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标 轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”． 从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个 字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2． 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有 2个未 知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分． 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 x x x x A C B D  但此两个性质统一成一个等式： y A  y C  y B  y D ， 两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在 2个未知量． 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题． 五、矩形的存在性问题方法突破 矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形． 【题型分析】 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四 边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：  x x x x  A C B D  y  y  y  y A C B D   (x x )2 (y  y )2  (x x )2 (y  y )2  A C A C B D B D （AC为对角线时） 因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 题型如下： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点． 【解析思路】 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造 直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的 四边形是矩形，求D点坐标． 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B A O x 【分析】 点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点 C有 4  14  C 1  3 ,0 、 C 2   3 ,0 、 C 3 (2,0) 、 C 4 (3,0) 在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标． y y y B B A D 1 A B O C x O C x 1 2 D 2 A O C C C C x y y 1 3 4 2 D 3 D 4 B B A A O C 3 x O C 4 x 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标， 也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此． 思路2：先平行，再矩形 当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：  x x x x  A C B D  y  y  y  y A C B D   (x x )2 (y  y )2  (x x )2 (y  y )2  A C A C B D B D 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解 方程即可． 无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元 一次方程组． 引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点 的四边形是矩形，求D点坐标． y B A O x 【分析】 设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）． 先考虑平行四边形存在性： 14ab  （1）AB为对角线时，12c0 ，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是 (41)2 (21)2  (ab)2(0c)2 平行四边形，另外AB=CD，得： ， a3 a2   b2 b3   综合以上可解：c3 或c3 ．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）． 1a4b （2）AC为对角线时，  102c ，另外AC=BD，得 (a1)2 (01)2  (b4)2(c2)2 ，综 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  14 a  3   5 b 3  c1 14  5    ,0  ,1 合以上可解得： ．故C  3 、D 3 ． 1b4a （3）AD为对角线时，  1c20 ，另外AD=BC，得 (b1)2 (c1)2  (a4)2(02)2 ，  4 a  3   13 b 3  c1 14  13    ,0  ,1 综合以上可解得： ．故C  3 、D  3 ． 【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事． 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【代数法】表示线段构相等 y B A O C x 5 C 5 （1）表示点：设点 坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3）， AC  (m1)2 (01)2 BC  (m4)2 (03)2 5 5 （2）表示线段： ， AC BC (m1)2 12  (m4)2 32 （3）分类讨论：根据 5 5，可得： ， 23 23  m  ,0 6 C  6  5 （4）求解得答案：解得： ，故 坐标为 ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 六、菱形的存在性问题方法突破 作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形． 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互 相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需 满足：  x x x x  A C B D  y  y  y  y A C B D   (x x )2 (y  y )2  (x x )2 (y  y )2  A B A B C B C B 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等． 即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同． 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点 解决问题的方法也可有如下两种： 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻 边相等，得到方程组． 思路2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第 3个点，再确定第4个点． 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1．看个例子： 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D 点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． y B A O x 思路1：先平四，再菱形 设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）． （1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）  39 m  8   9 15m p p   8 140q q5   (m1)2 (01)2 (m5)2 (04)2 ，解得：   （2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC） 1m5 p  m2 m8 104q  p2  p4   (15)2 (14)2 (m5)2 (04)2 ，解得：  q3 或  q3 （3）当AD为对角线时，由题意得： 1 p5m m12 6 m12 6      1q40 p52 6 p52 6     (15)2 (14)2 (1m)2 (10)2 ，解得：  q3 或  q3 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y B B A A y C D O C x O x B D D A y y O C x B B D D A A O C x C O x 思路2：先等腰，再菱形 先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确 定C，再确定D点． （1）当AB=AC时， ( ) ( ) 12 6,0 52 6,3 C点坐标为 ，对应D点坐标为 ； ( ) ( ) 12 6,0 52 6,3 C点坐标为 ，对应D点坐标为 ． （2）当BA=BC时， C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）； C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）． （3）AC=BC时， 39  9   ,0  ,5 C点坐标为 8 ，D点坐标为8 ． y y y D B B B D D A A C A C O C x O C x O C x D D 以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的方法． 七、正方形的存在性问题方法突破 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化 更加多样，从判定的角度来说，可以有如下： （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线 性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）． 比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在 某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解． 从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为： （1）2个定点+2个全动点； （2）1个定点+2个半动点+1个全动点; 甚至可以有：（3）4个半动点． 不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！ 常用处理方法： 思路1：从判定出发 若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等； 若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等 若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的 4个顶点中任取3个，必是等 腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判 定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系． 正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主． 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的 四边形是正方形． y B A O x 如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形． C C NA C C C 至于具体求点坐标，以 1为例，构造△AMB≌△ 1 ，即可求得 1坐标．至于像 5、 6这两个 C AC BC C BC AC 点的坐标，不难发现， 5是 3或 1的中点， 6是 2或 4的中点． y y C 3 C C C 1 5 1 B B A C N A M 6 O C x O x 4 C 2 题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路． 八、相似三角形存在性问题 【模型解读】 在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在 性问题”． 【相似判定】 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法， 解决问题． 【题型分析】 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有 1或2个动点，即可分为“单动点”类、 “双动点”两类问题． 【思路总结】 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定 2、3可以发现，都有角相等！ 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角． 然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑 思路1． 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？ 搞定这两个问题就可以了． 九、角的存在性问题 方法突破 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的 不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角． 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 2 3 1 2 1 2 1 2 平行：1=3，2=3 角平分线：1=2 等腰三角形：1=2 全等三角形：1=2 2 1 圆周角定理：1=2 1 2 三角函数：若tan1=tan2，则1=2 想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在 以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型一 等腰直角三角形存在性问题 本溪中考 1 y  x2 bxc 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 与 x 轴交于A、B两点，点B（3,0），经 5 C(4, ) 过点A的直线AC与抛物线的另一交点为 2 ，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线 上的一个动点（不与点A、C重合）． （1）求该抛物线的解析式． Q OPQ OP （2）点 在抛物线的对称轴上运动，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写 出符合条件的点P的坐标． y C D A O B x 【分析】 1 3 （1）y x2 x ； 2 2 （2）①当∠POQ为直角时， 考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必 为1，故P的纵坐标为±1．如下图，不难求出P点坐标．  1 3 设P点坐标为m, m2 m ，  2 2 1 3 可得： m2 m 1． 2 2 解得：m 1 2，m 1 2，m 1 6，m 1 6（舍）． 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) 如下图，对应P点坐标分别为 1 2,1 、 1 2,1 、 1 6,1 ． 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y y Q N C C C M P D D D O N A O B x AM Q B x A O B x P M P N Q ②当∠OPQ为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．  1 3 设P点坐标为m, m2 m ，  2 2 1 3 1 3 则PM  0 m2 m    m2 m ，QN= ， 2 2 2 2 m1 1 3 ∴  m2 m  m1， 2 2 1 3 若 m2 m m1，解得： ， （舍）． 2 2 m  5 m  5 1 2 1 3 若 m2 m m1，解得： ， （舍）． 2 2 m 2 5 m 2 5 1 2 ( ) ( ) 如下图，对应P点坐标分别为 5,1 5 、 2 5,1 5 ． y y C C D D M O A O B x A B x P P Q Q N 对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！ 也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键． 其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可． 辽宁阜新中考 2．如图，抛物线yax2 bx2交x轴于点A(3,0)和点B(1,0)，交y轴于点C． （1）求这个抛物线的函数表达式． 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）点D的坐标为 (1,0) ，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 ADCP面积的最大 值． （3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 N，使MNO为等腰直角三角形， 且MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． y y P C C A D O B x A O B x 备用图 【分析】 2 4 （1）y x2  x2； 3 3 （2）连接AC，将四边形面积拆为△APC和△ADC面积，考虑△ADC面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解； （3）过点N作NE⊥x轴交x轴于E点， 如图1，过点M向NE作垂线交EN延长线于F点， 易证△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．  2 4  2 4 设N点坐标为m, m2  m2，则NE   m2  m2 ， ，  3 3  3 3 FM  m1 2 4 ∴  m2  m2  m1 3 3 2 4 7 73 7 73  m2  m2=m1，解得：m  （图1），m  （图4） 3 3 1 4 2 4 7 73 3 73 7 73 3 73 对应N点坐标分别为  ,  、  ,  ； 4 4 4 4     2 4 1 73 1 73  m2  m2=m1，解得：m  （图2）、m  （图3） 3 3 3 4 4 4 1 73 3 73 1 73 3 73 对应N点坐标分别为  ,  、  ,  ． 4 4 4 4     资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y 图1 y C F M N y C A O E B x C E A O B x y E F M A O B x 图3 N C 图4 图2 N N A E O B x M F F M 当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一 个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况． 2023·湖南娄底·统考中考真题 3．如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C． (1)求b，c的值． (2)点 是抛物线上的动点，过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：是否存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形 【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解； （2） 由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对称轴左侧时， 即 时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中， 可得： ，解得： ， 即： ， ； （2）存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知 ， 由题意可知抛物线的对称轴为直线 ， ∵ 轴， ∴ ， ，则 ， 当点 在对称轴左侧时，即 时， ，当 时， 为等腰直角三角形， 即： ，整理得： ， 解得： （ ，不符合题意，舍去） 此时 ，即点 ； 当点 在对称轴右侧时，即 时， 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，当 时， 为等腰直角三角形， 即： ，整理得： ， 解得： （ ，不符合题意，舍去） 此时： ，即点 ； 综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形 2023·四川广元·中考真题 4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，与 轴交于点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)已知 为抛物线上一点， 为抛物线对称轴 上一点，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角 三角形，且 ，求出点 的坐标； 【答案】(1) ，(2) 或 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线 ，设 与 交于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，设 ，则 ， ，进而得出 点的坐 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 标，代入抛物线解析式，求得 的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当 点与 点重合 时，求得另一个解，进而即可求解； 【详解】（1）解：将点 ， ，代入 得 ，解得： ，∴抛物线解析式为 ； （2）∵点 ， ， ∴抛物线的对称轴为直线 ： ， 如图所示，设 与 交于点 ，过点 作 于点 ∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ 点在抛物线 上 ∴ 解得： （舍去）或 , ∴ ， 如图所示，设 与 交于点 ，过点 作 于点 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ 点在抛物线 上 ∴ 解得： （舍去）或 ， ∴ ， 当 点与 点重合时，如图所示， ∵ ， 是等腰直角三角形，且 ，∴ 此时 ，综上所述， 或 或 题型二 等腰三角存在性问题 山东泰安中考 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2 bxc 交x轴于点 A(4,0) 、 B(2,0) ，交 y 轴于 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点 C(0,6) ，在 y 轴上有一点 E(0,2) ，连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P点的坐 标，若不存在请说明理由． y C D A O B x E 【分析】 3 3 （1）y x2  x6； 4 2 （2）可用铅垂法，当点D坐标为 (2,6) 时，△ADE面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴） ①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． ∵AE=2 5，∴AP=2 5 ，又AH=3，∴PH  11， 1 1 ( ) ( ) 故P 1, 11 、P 1, 11 ． 1 2 ②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． ( )2 过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，PM PM  2 5 12  19 ， 3 4 ( ) ( ) 故P 1,2 19 、P 1,2 19 ． 3 4 ③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点． 设P (1,m) ，PA2 (14)2 (m0)2 ，PE2=(10)2 (m2)2 5 5 5 ∴m2 9(m2)2 1，解得：m=1． 故P (1,1) ． 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 综上所述，P点坐标为P 1, 11 、P 1, 11 、P 1,2 19 、P 1,2 19 、P (1,1)． 1 2 3 4 5 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y y P 1 P 3 P 5 H A O B x A O B x A O B x E M E E P 2 P 4 【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决． 甘肃白银中考 6．如图，抛物线 yax2 bx4 交 x轴于 A(3,0) ， B(4,0) 两点，与 y 轴交于点C，连接 AC ， BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PM x轴，垂足为点M ，PM 交BC于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存 在这样的点 Q ，使得以A，C， Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； y C P Q A O M B x 【分析】 1 1 （1）y x2  x4； 3 3 （2）①当CA=CQ时，∵CA=5，∴CQ=5， 考虑到CB与y轴夹角为45°，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H， 5 2 5 2 则CH QH  5 2 ，故Q点坐标为  ,4  ． 2 2 2   ②当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4）， 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AQ (m3)2 (m40)2 ， 即 (m3)2 (m40)2 5，解得：m=1或0（舍）， 故Q点坐标为（1，3）． ③当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在． 5 2 5 2 综上所述，Q点坐标为  ,4  或（1，3）． 2 2   y C P Q 1 Q 2 A O M B x 江苏盐城中考（删减） 7．如图所示，二次函数 yk(x1)2 2 的图像与一次函数 ykxk2 的图像交于 A、B两点， 点B在点A的右侧，直线AB分别与x、 y 轴交于C、D两点，其中k 0． （1）求A、B两点的横坐标； （2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值． y D A B C O x 【分析】 （1）A、B两点横坐标分别为1、2； （2）求k的值等价于求B点坐标， B点横坐标始终为2，故点B可以看成是直线x=2上的一个动点， 满足△OAB是以OA为腰的等腰三角形， 又A点坐标为（1，2），故OA 5 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①当OA=OB时，即OB 5， y D A B C O H x 记直线x=2与x轴交点为H点，∵OH=2，∴BH=1， 故B点坐标为（2，1）或（2，-1），k=-1或-3． ②当AO=AB时，易知B点坐标为（2，0），k=-2． 综上所述，k的值为-1或-2或-3． 贵港中考（删减） 8．如图，已知二次函数 yax2 bxc 的图像与x轴相交于 A(1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴相交于 C(0,3) 点 ． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x轴于点H ，与线段BC交于点 M ，连接PC．当PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． y H A O B x M C P 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】 （1）yx2 2x3； （2）①当PM=PC时，（特殊角分析） 考虑∠PMC=45°，∴∠PCM=45°， 即△PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）； y H A O B x M C P ②当MP=MC时，（表示线段列方程） 设P点坐标为 ( m,m2 2m3 ) ，则M点坐标为(m,m3)， 故线段PM (m3) ( m2 2m3 ) m2 3m 故点M作y轴的垂线，垂足记为N，则MN=m， 考虑△MCN是等腰直角三角形，故MC  2m， ∴m2 3m 2m，解得m3 2 或0（舍）， ( ) 故P点坐标为 3 2,24 2 ． y H A O B x N M C P ( ) 综上所述，P点坐标为（2，-3）或 3 2,24 2 ． 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四川眉山中考删减 4 y x2 bxc 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 9 经过点 A(5,0) 和点 B(1,0) ． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图，连接 AD、BD，点M 在线段AB上（不与 A、B重合），作DMN DBA，MN 交线段AD于点N，是否存在这样点M ，使得DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长； 若不存在，请说明理由． y D C N A M O B x 【分析】 4 16 20 （1）y x2  x ，顶点D坐标为(2,4)； 9 9 9 （2）考虑到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一线三等角）． ①当MD=MN时，有△BMD≌△ANM， 可得AM=BD=5，故AN=BM=1； y D C N A M O B x ②当NM=ND时，则∠NDM=∠NMD=∠DAB， 25 11 △MAD∽△DAB，可得AM= ，BM  6 6 25 AN 6 ∴ ，即  ， AN AM 11 5  BM BD 6 55 解得：AN  ． 36 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y D C N A M O B x ③当DM=DN时，∠DNM=∠DMN=∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M． 55 综上，AN的值为1或 ． 36 辽宁葫芦岛中考（删减） 10．如图，直线 yx4 与x轴交于点B，与 y 轴交于点C，抛物线 yx2 bxc 经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2 个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运 动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛 物线于点M ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接AM 交BC于点D，当PDM 是等腰三角形时，直接写出t的值． y C M D A P B O E x 【分析】 （1）yx2 3x4； （2）①考虑到∠DPM=45°，当DP=DM时，即∠DMP=45°， 直线AM：y=x+1， 联立方程：x2 3x4x1， 解得：x 3，x 1（舍）． 1 2 此时t=1． 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y M C D P A B O E x ②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°， 考虑tan∠22.5°= 21， ( ) 直线AM：y 21 x 21， ( ) 联立方程：x2 3x4 21 x 21 解得：x 5 2，x 1（舍）． 1 2 此时t= 21． y C D M A P B O E x 综上所述，t的值为1或 21． 附：tan22.5°= 21． 22.5° 45° 2 1 1 45° 2 22.5° 1 tan22.5  21 21 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型三 直角三角形存在性问题 兰州中考（删减） 11．通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DE⊥AC于 点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE． 我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下： E A C 2 3 D 斜边AB绕点A顺时针旋转90°，得到AD AB=AD 1 B BAD=90° 2+3=90° 1=2 △ABC≌△DAE（AAS） ACB=90° 3+1=90° ACB=90°，DEAC BCA=AED=90° AC=DE，BC=AE 【模型迁移】 二次函数 yax2 bx2 的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交 y 轴于点C．动点M 从点 A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN x轴交直线BC于点N，交 抛物线于点D，连接AC ，设运动的时间为t秒． yax2 bx2 （1）求二次函数 的表达式； （2）在直线MN 上存在一点P，当PBC 是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的 坐标． y D C N A O M B x 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】 1 3 （1）y x2  x2； 2 2 （2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作 水平线，得三垂直全等． 设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b， ab4 a1 由图可知： ，解得： ． ba2 b3 故D点坐标为（1,3）． y D C N M B A O x H P Q 同理可求此时D点坐标为（3,2）． y P Q H C D N A O M B x 思路2：等腰直角的一半还是等腰直角． 如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点 和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求． P点横坐标同D点，故可求得D点坐标． y y P C C M M A O B x A O B x P 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 辽宁本溪中考 1 y  x2 bxc 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 与 x 轴交于A、B两点，点B（3,0）， 5 C(4, ) 经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为 2 ，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的 抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）． （1）求该抛物线的解析式． Q OPQ OP （2）点 在抛物线的对称轴上运动，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写 出符合条件的点P的坐标． y C D A O B x 【分析】 1 3 （1）y x2 x ； 2 2 （2）①当∠POQ为直角时， 考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必 为1，故P的纵坐标为±1．如下图，不难求出P点坐标．  1 3 设P点坐标为m, m2 m ，  2 2 1 3 可得： m2 m 1． 2 2 解得：m 1 2，m 1 2，m 1 6，m 1 6（舍）． 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) 如下图，对应P点坐标分别为 1 2,1 、 1 2,1 、 1 6,1 ． 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y y Q N C C C M P D D D O N A O B x AM Q B x A O B x P M P N Q ②当∠OPQ为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．  1 3 设P点坐标为m, m2 m ，  2 2 1 3 1 3 则PM  0 m2 m    m2 m ，QN= ， 2 2 2 2 m1 1 3 ∴  m2 m  m1， 2 2 1 3 若 m2 m m1，解得： ， （舍）． 2 2 m  5 m  5 1 2 1 3 若 m2 m m1，解得： ， （舍）． 2 2 m 2 5 m 2 5 1 2 ( ) ( ) 如下图，对应P点坐标分别为 5,1 5 、 2 5,1 5 ． y y C C D D M O A O B x A B x P P Q Q N 对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！ 也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键． 其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可． 资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【对称轴上寻找点】 贵州安顺中考真题 13．如图，已知抛物线 yax2 bxc(a0) 的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于C点，其中 A(1,0) ， C(0,3) ． （1）若直线 ymxn 经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x1上找一点M ，使点M 到点A的距离与到点C的距离之和最小，求 出点M 的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点P坐标． y C B -1 O A x 【分析】 （1）直线BC：yx3 抛物线：yx2 2x3； （2）将军饮马问题，考虑到 M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点 B，故 MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M点坐标为 （-1，2）； （3）两圆一线作点 P： y P 2 P 3 C B -1 O A x P 4 P 1 以P为例，构造△PNB∽△BMC，考虑到BM=MC=3， 1 ∴BN=PN=2，故P点坐标为（-1，-2）． 1 资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y M C B -1 O A x P 1 N 易求P 坐标为（1,4）． 2 y P 2 C B -1 O A x P 、P 求法类似，下求P ： 3 4 3 已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b， 1 a 由相似得：  ，即ab=2，由图可知：b-a=3， b 2  3 17 故可解：b  3 17 ，b  3 17 （舍），对应 坐标为  1,   ． 1 2 2 2 P  2  3 y y M N P C C 3 -1 B -1 O B O A x A x N M P 4  3 17 类似可求 坐标为1, ．   P  2  4 【抛物线上寻找点】 怀化中考真题 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2 2xc 与x轴交于 A(1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴 交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点M ，使BDM 的周长最小，求出点M 的坐标； 资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC 为直角边的三角形是直 角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． y D C A B O x 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3，直线AC：y=3x+3； （2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了． y D C M A B B' O x （3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点， 有如下两种情况， y y D D N C M C N P A O B A B x O x P M 先求过A点所作垂线得到的点P： 设P点坐标为 ( m,m2 2m3 ) ， 则PM=m+1，AM=0 ( m2 2m3 ) m2 2m3， 易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1， m1 m2 2m3 10 ∴  ，解得：m  ， （舍）， 3 1 1 3 m 1 2 10 13 故第1个P点坐标为 , ；  3 9  资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 再求过点C所作垂线得到的点P： PM 3 ( m2 2m3 ) m2 2m，CN=m， m 3 7  ，解得：m  ， （舍）， m2 2m 1 1 3 m 0 2 7 20 故第2个P点坐标为 , ． 3 9  10 13 7 20 综上所述，P点坐标为 , 或 , ．  3 9  3 9  2023·四川内江·中考真题 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点．与y轴 交于点 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在， 请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ,(2) 或 【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可； （2）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，设 ， 可求 ， ，由 ，可求 ，进 而求出直线 的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，解得： ， 抛物线的解析式为 ． （2）解：存在， 如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连 接 ， ∵抛物线 的对称轴为直线 ， 设 ， ， ， ， ， ， 解得： ， ； 设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ， 直线 解析式为 ， ，且经过 ， 直线 解析式为 ， 资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当 时， ， ；综上所述：存在， 的坐标为 或 ． 2023·海口华侨中学考模 yax2bx3 A(1,0) B(3,0) 16．如图1，抛物线 交x轴于点 和点 ，交于y轴点C，F为抛抛物线 Q(2,3) 顶点，点 在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式 (2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂 AQD 线交抛物线于点D，连接DA、DQ，当 是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标． 【答案】(1)yx22x3 3 5 (2)Q点坐标为 2 【分析】分ADQ90或AQD90两种情况结合一次函数图象的性质分析求解； 【详解】（1）∵抛物线yax2bx3经过点A(1,0) ，B(3,0) ， ab30 a1 ∴ ，解得 9a3b30 b2 ∴该抛物线的函数表达式为：yx22x3； （2）∵点P在线段EB上， ∴DAQ不可能为直角， ∴当AQD为直角三角形时，有ADQ90或AQD90， ⅰ．当AQD90时，则DQ AQ， ∵A(1,0) ，Q(2,3) ， ∴直线AQ解析式为yx1， 资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴设直线DA解析式为yxb， 把Q(2,3) 代入可求得b5， ∴直线DQ解析式为yx5， yx5 联立直线DQ和抛物线解析式可得 ， yx22x3 x1 x2 解得 或 y4 y3 ∴D(1,4) （舍）或D(2,3) （舍） ∴此种情况不存在 ⅱ．当ADQ90时，设D ( t,t22t3 ) ， 设直线AD的解析式为yk xb ， 1 1  k b 0 1 1 把A、D坐标代入可得 ，解得 ， tk b t22t3 k (t3) 1 1 1 设直线DQ解析式为yk xb ，同理可求得k t， 2 2 2 3 5 ∵ ADDQ ，∴ kk 1 ，即 t(t3)1 ，解得t  2 1 2 3 5 3 5 3 5 当t 时，∵t  1，∴t （舍） 2 2 2 3 5 3 5 3 5 当t  时，∵1t  3，D点横坐标为t  2 2 2 3 5 综上可知：D点横坐标 2 题型四 平行四边形存在性问题 【例 4.1】对边相等 yax2 2xc ykxb A(0,3) 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与直线 都经过 、 B(3,0) 两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的解析式； （2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线 交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若 不存在，请说明理由； 资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y O B x E A C 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3，直线AB：yx3； （2）考虑EC∥MN，故若使点M、N、C、E是平行四边形，则EC=MN即可， ∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2， 设M点坐标为（m，m-3）（m>1），则N点坐标为 ( m,m2 2m3 ) ， 则MN=MN  ( m2 2m3 ) (m3)  m23m 由题意得： m2 3m 2， 3 17 3 17 ，解得：m  ，m  （舍）， m2 3m2 1 2 2 2 3 17 3 17 对应P点坐标为  ,  ； 2 2   m2 3m2，解得：m 2，m 1（舍）． 3 4 对应P点坐标为（2，-1）． y y N M O B x O M B x E E A A N C C 3 17 3 17 综上，P点坐标为  ,  或（2，-1）． 2 2   【例 4.2】两定两动：x 轴+抛物线 yax2 bxc(a0) A(3,0) B(1,0) C(0,3) 18．如图，已知抛物线 经过点 ， ， ． （1）求该抛物线的解析式； 资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）若点 Q 在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C， Q ，P为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． y y B O A x B O A x C C 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3； （2）列方程组求：设P ( m,m2 2m3 ) 、Q(n,0)，又B（-1，0）、C（0，-3）， 10mn m2 m0 若BC为对角线，由题意得： ，解得： 或 （舍）， 03m2 2m30 n3 n1 故对应的P（2，-3）； m1n0 m2 m0 若BP为对角线，由题意得： ，解得： 或 （舍）， m2 2m3003 n1 n1 故对应的P（2，-3）； n1m0  m1 7  m1 7 若BQ为对角线，由题意得： ，解得： 或 ， 00m2 2m33 n2 7 n2 7 ( ) ( ) 故对应的P 1 7,3 、 1 7,3 ． y y y P P Q Q Q Q B O A x B O A x B O A Q x P P C P C C ( ) ( ) 综上所述，P点坐标为（2，-3）、 1 7,3 、 1 7,3 ． 资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【例 4.3】两定两动：对称轴+抛物线 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2 bx2(a0) 与x轴交于 A(1,0) ， B(3,0) 两 点，与 y 轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B，C，M ，N为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明 理由． y y C C A B A B O x O x 【分析】 2 4 （1）抛物线：y x2  x2，对称轴：直线x=1； 3 3  2 4  （2）设M点坐标为  m, 3 m2  3 m2  ，N点坐标为(1,n)， 又B（3，0）、C（0，2） 30m1  若BC为对角线，由题意得： 2 4 ，解得： m2 ， 02 m2  m2n    3 3 n0 故M点坐标为（2，2）； 31m0 m4   若BN为对角线，由题意得： 2 4 ，解得： 4， 0n m2  m22 n    3 3  3  10 故M点坐标为4, ；  3  m310 m2   若BM为对角线，由题意得： 2 4 ，解得： 16，  m2  m202n n    3 3  3  10 故M点坐标为2, ．  3   10  10 综上所述，M点坐标为（2，2）、4, 、2, ．  3   3  资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【例 4.4】两定两动：斜线+抛物线 1 y x2 20．如图，在平面直角坐标系中，直线 2 与x轴交于点 A，与 y 轴交于点B，抛物线 1 y x2 bxc 2 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知E，F 分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四 边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标． y y B B A A C O x C O x 【分析】 1 3 （1）抛物线：y x2  x2； 2 2  1   1 3  （2）设E点坐标为m, m2，F点坐标为n, n2  n2，  2   2 2  又B（0，2）、O（0，0）， 00mn  ①若OB为对角线，由题意得： 1 1 3 ， 02 m2 n2  n2   2 2 2  m 22 2  m 22 2 1 2 解得： 或 ， n 22 2 n 22 2 1 2 ( ) ( ) 故E点坐标为 22 2,3 2 或 22 2,3 2 ； 0m0n  ②若OE为对角线，由题意得： 1 1 3 ， 0 m22 n2  n2   2 2 2  m 22 2  m 22 2 3 4 解得： 或 ， n 22 2 n 22 2 3 4 ( ) ( ) 故E点坐标为 22 2,1 2 或 22 2,1 2 ； 0n0m  m 2 ③若OF为对角线，由题意得： 1 3 1 ，解得： 5 ， 0 n2  n22 m2    2 2 2 n 2 5 故E点坐标为（2，1）． 资55料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y E 1 B B E 2 F A 2 A C O x C O x y F 1 F 5 B y y E 5 A C O x B B E 4 F A 4 A C O x C O x E 3 F 3 【例 4.5】两定两动：抛物线+抛物线 xOy L :yx2 bxc C(0,3) 21．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 1 过点 ，与抛物线 1 3 L :y x2  x2 2 2 2 的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、 Q 分别是抛物线 L 1、 L 2 上的动点． L （1）求抛物线 1对应的函数表达式； （2）若以点A、C、P、 Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标． y y O x O x A A C C 备用图 资56料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】 （1）L 解析式：yx2 2x3； 1 （2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．  1 3  设P点坐标为( m,m2 2m3 )，Q点坐标为  n, 2 n2  2 n2  ， 又C（0，-3）、A（2，-3）， 02mn  ①若CA为对角线，由题意得; 1 3 ， 33m2 2m3 n2  n2   2 2 m3 m0 解得： 或 （舍），故P点坐标为（-3，12）； n5 n2 0m2n  ②若CP为对角线，由题意得： 1 3 ， 3m2 2m33 n2  n2   2 2  4 m   3 解得： m3或 10 ，故P点坐标为（3，0）或  4 13 ；  n  ,  n1  3  3 9  0n2m  ③若CQ为对角线，由题意得： 1 3 ， 3 n2  n23m2 2m3   2 2 m1 m0 解得： 或 （舍），故P点坐标为（-1，0）． n1 n2  4 13 综上所述，P点坐标为（-3，12）、（3，0）、 , 、（-1，0）．  3 9  【例 4.6】三定一动 x A B y C A (1,0) OC 2 22．如图，已知抛物线交 轴于 、 两点，交 轴于 点， 点坐标为 ， ， OB3，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标． y y D D C C A O B x A O B x 资57料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】 2 4 （1）抛物线：y x2  x2； 3 3  8 （2）设P点坐标为（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D1，   3 30m1 m2   ①若BC为对角线，由题意得： 8，解得： 2， 02n n    3  3  2 故 的坐标为2, ； P  3 1 31m0 m4   ②若BD为对角线，由题意得： 8 ，解得： 2 ， 0 n2 n    3  3  2 故 坐标为4, ； P  3 2 m301 m2   ③若BP为对角线，由题意得： 8，解得： 14 ， n02 n    3  3  14 故 坐标为2, ． P  3  3 y P 3 D C P 2 A O B x P 1  2  2  14 综上所述，P点坐标为2, 、4, 、2, ．  3  3  3  2023·四川南充·中考真题 23．如图，抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． 资58料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； 【答案】(1) ( ) (2) 或 或 1 7,3 【分析】（1）将A(1,0)，B(3,0) 两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据 P，Q 的不确定性，进行分类讨论：①过C作CP∥x轴，交抛物线于P，过P作 1 1 P 1 Q 1 ∥BC，交x轴于Q 1 ，可得y P1 3，由x22x33，可求解；②在x轴的负半轴上取点Q 2 ， 过Q 作Q P ∥BC，交抛物线于P ，同时使Q P BC，连接CQ 、BP ，过P 作PDx轴，交x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 轴于D，y P2 3，即可求解；③当BC为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左 边，且满足BQBQ ，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标 1 【详解】（1）解： 抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(1,0)，B(3,0) 两点，  ab30 a1  ，解得 ，故抛物线的解析式为 ． 9a3b30 b2 yx22x3 （2）解：①如图，过C作CP∥x轴，交抛物线于P 1 ，过P 1 作P 1 Q 1 ∥BC，交x轴于 Q 1 ， 四边形BCPQ 是平行四边形， 1 1 y P1 3，x22x33，解得：x 1 2，x 2 0，P 1 (2,3) ； 资59料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②如图，在x轴的负半轴上取点Q ，过Q 作Q P ∥BC，交抛物线于P ，同时使Q P BC，连接 2 2 2 2 2 2 2 CQ 2 、BP 2 ，过P 2 作P 2 Dx轴，交x轴于D， 四边形BCQ 2 P 2 是平行四边形，CBQ 2 P 2 Q 2 B， BQ Q B 2 2  在 和 中，CBQ PQ B， ( )， 2 2 2  CBQ 2 P 2 Q 2 B CBP 2 Q 2 CBQ 2 ≌P 2 Q 2 B SAS P 2 DCO3，y P2 3，x22x33， ( ) 解得：x 1 7，x 1 7 ，P 1 7,3 ； 1 2 2 ( ) 如上图，根据对称性：P 1 7,3 ， 3 ③当BC为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且BQBQ 2时，也满足条件， 1 ( ) ( ) 此时点P的坐标仍为(2,3)；综上所述： 的坐标为(2,3)或 1 7,3 或 1 7,3 ． P 2023·山东聊城·中考真题 24．如图①，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C，连接AC， BC.点P是x轴上任意一点． 资60料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的 坐标. 【答案】(1) (2)点Q坐标 ，或 或 ． 【分析】（1）将 ， 代入 ，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数 ，求得点 ，设点 ，点 ，分类讨 论：当 为边， 为对角线时，当 为边， 为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分 性质，构建方程求解． 【详解】（1）将 ， 代入 ，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）二次函数 ，当 时， ∴点 设点 ，点 ， 当 为边， 为对角线时， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， 互相平分 ∴ 解得， （舍去）或 资61料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点Q坐标 ； 当 为边， 为对角线时， 同理得， 解得， 或 ， ∴ ∴点Q坐标 或 综上，点Q坐标 ，或 或 2023·四川巴中·中考真题 25．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和 ，其顶点的横坐标 为 ． 资62料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的表达式． (2)若点 为抛物线 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 个单位长度后， 为平移后抛物线上一动点．在（ ）的条件下求得的点 ，是否能与 、 、 构成平行四边形？ 若能构成，求出 点坐标；若不能构成，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）由（1）知， 向左平移后的抛物线为 ，由（2）知 ， 设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分 类讨论即可求解，①当以 为对角线时，②当以 为对角线时，③当以 为对角线时． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为 对称轴为 与x轴另一交点为 ∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 （2）由（1）知， 向左平移后的抛物线为 设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形． 资63料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①当以 为对角线时， 平行四边形对角线互相平分 ，即 在抛物线 上 的坐标为 ②当以 为对角线时 同理可得 ，即 则 的坐标为 ③当以 为对角线时 ，即 则 的坐标为 综上所述：存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形． 的坐标为 2023-2024 学年武汉市洪山区九年级统考 yx22x3 x A B y C 26．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点． 资64料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为 30，求E点坐标； 【答案】(1)点 A 、 B 、C的坐标分别为： (1,0) 、 (3,0) 、 (0,3) (2)点E的坐标为： (1,8) 【分析】（1）对于yx22x3，当x0时，y3，当yx22x30时，x=1或3，即可 求解； （2）①当BC是边时，用数形结合的方法求出点T(0,7) ，即可求解；当DE在BC上方时，同理可 1 解；②当 是对角线时，由S 15 DHOB，即可求解． BC BCD 2 【详解】（1）对于yx22x3，当x0时，y3， 当yx22x30时，x=1或3， 即点 A 、 B 、C的坐标分别为： (1,0) 、 (3,0) 、 (0,3) ； （2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx3，BC 3 2， ①当BC是边时，如下图， 当DE在BC下方时， 设DE交 y 轴于点T，过点T作TGBC于点G， 资65料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积BCTG3 2GT 30， 10 则GT  ， 2 由OBOC 3知，TCG45， 则CT  2GT 10， 则点T(0,7)， 则直线DE的表达式为：yx7， 联立yx22x3和yx7并解得：x5（舍去）或2， 即点D(2,5) ； 点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B， 则点D向右平移3个单位向下平移3个单位得到点E， 故点E(1,8)； 当DE在BC上方时， 同理可得：直线DE的表达式为：yx13， 经验证，该方程和抛物线无交点， 即无解； ②当BC是对角线时，如下图： 则S 15， △BCD 设点D ( x,x22x3 ) ，则点H(x,x3)， 则DH x23x， 则S 15 1 DHOB 3  ( x23x ) ， BCD 2 2 该方程无解； 综上，点E的坐标为： (1,8) 题型五 正方形存在性问题 例 5.1：两动点：构造等腰直角定第 3 点 27．如图，抛物线 yx2 bxc 与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点． 资66料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方 形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． y A O B x M 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3； （2）已知A（-1，0）、B（3，0），故构造以AB为斜边的等腰直角△APB，如下： y y P Q A O B x A O B x Q P M M 若四边形APBQ是正方形，易得P点坐标为（1，2）或（1，-2）， 1 当P点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为y (x1)2 2； 2 1 当P点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为y (x1)2 2． 2 1 1 综上所述，抛物线解析式为y (x1)2 2或y (x1)2 2． 2 2 【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角形确定第 3个点，再求得第4个点． 例 5.2：两定两动：抛物线+抛物线 28．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A yax2 ax2 （0，2）、点B（1，0），抛物线 经过点C． （1）求点C的坐标； 资67料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点 P、Q两点坐标，若不存在说明理由． y D A C O B x 【分析】 （1）C（3，1）； 1 1 （2）抛物线：y x2  x2； 2 2 （3）考虑A、B、P构成等腰直角三角形且∠B为直角，故可作出点P如下： y y y D D D A A A M C Q C Q C O B x O B x O B x P P N P 构造三垂直全等：△AMB≌△BNP， 即可求得P点坐标为（-1，-1），将点P代入抛物线解析式，成立， 即点P在抛物线上． 根据点P构造点Q，通过点的平移易得点Q坐标为（-2，1）， 代入抛物线解析式，成立，即点Q也在抛物线上， 故存在，点P坐标为（-1，-1），点Q坐标为（-2，1）． 【小结】本题数据设计得巧妙，由A、B确定的点P恰好在抛物线上，由A、B、P确定的点D恰 好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答案完全可以变成不存在． 南充中考真题 29．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B． （1）求抛物线的解析式． （2）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是 否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在， 请说明理由． 资68料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y P C A O B x 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3； （2）由题意可得：MN∥BC，四边形MNED是矩形，若要变为正方形，可考虑①对角线互相垂直； ②有一组邻边相等． 思路1：考虑对角线 连接ME，则△MDN为等腰直角三角形，∠MED=45°， 即ME⊥x轴， 设M点坐标为 ( m,m2 2m3 ) ， 则E点坐标为 (m,m3) ， m2 5m m2 m6 ①当M点在E点上方时，可推得N点坐标为 , ，  2 2  y M C D N E A O B x 将点N坐标代入抛物线：y(x1)(x3) ， m2 5m2m2 5m6 m2 m6 得：   ，  2  2  2 1 化简得： ( m2 5m2 )(m2)(m3)(m3)(m2) 2 1 ( m3 7m2 8m4 ) m2， 2 解得：m 1，m 6（舍） 1 2 此时ME=2，正方形边长为 2 ； ②当M点在E点下方时，同理可解：m=6． 此时ME=18，正方形边长为9 2． 综上，正方形边长为 2 或9 2． 思路2：考虑邻边相等 资69料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考虑M、N两点均未知，但MN∥BC， 故可设直线MN解析式为y=-x+b， y M C D N E A O B x 联立方程：x2 2x3xb， 化简为：x2 3x(b3)0， MN= 2 x x  2 (x x )2 4xx  428b 1 2 1 2 1 2 2 2 MD ME b3 2 2 ∵MN=MD， 2 ∴ 428b  b3 2 解得：b 5，b 15 1 2 代入得边长为 2 或9 2． 【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都能解决问 题． 2023·黑龙江绥化中考真题 30．如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三点，且一次函数 的图象经过点 ． (1)求抛物线和一次函数的解析式． 资70料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧． 这样的 ， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标：如果不存在，请 说明理由． 【答案】(1) ， (2)满足条件的E、F两点存在， ， ， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ， 连 接 、 ， 证 明 ， 得 出 ， ，则 同理可得， ；②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四边形 为正方形，过点 作 轴于 点 ， 过 点 作 于 点 ， 证 明 ， 得 出 ， 在 中， ，解得 或4，进而即可求解； 【详解】（1）解：把 ， ， 代入 得 ，解得 ∴ ，把 代入 得 ，∴ （2）满足条件的 、 两点存在， ， ， 解：①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ， ，连接 、 . 过点 作 轴于 . ∵ ， 资71料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 同理可得， ②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四 边形 为正方形， 过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ∵ ， 又 ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∴ 在 中， ∴ 解得 或4 当 时， ，此时点 在点 右侧故舍去； 当 时， . 综上所述： ， ， 资72料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川凉山·中考真题 31．如图，已知抛物线与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．直线 过抛 物线的顶点 ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ,当 是等腰三角形时，求 点 的坐标． 【答案】(1) ，(2) 或 或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线 与x轴交于H，先证明 是等腰直角三角形，得到 ；再 分如图3-1所示，当 时， 如图3-2所示，当 时， 如图3-3所示，当 时， 三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 和 两点， ∴抛物线对称轴为直线 ， 在 中，当 时， ， ∴抛物线顶点P的坐标为 ， 设抛物线解析式为 ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 （2）设直线 与x轴交于H， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ； 资73料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图3-1所示，当 时， 过点C作 于G，则 ∴点G为 的中点， 由（2）得 ， ∴ ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ； 如图3-2所示，当 时，则 是等腰直角三角形， ∴ ，即 ， ∴点E的纵坐标为5， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ 如图3-3所示，当 时，过点C作 于G， 同理可证 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， 资74料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， ∴ ， ∴ 综上所述，点E的坐标为 或 或 2022·四川遂宁·中考真题 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其 中点A的坐标为 ，点C的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线 AM的同侧，若M到x轴的距离为d， 面积为 ，当 为等腰三角形时，求点N的坐 标． 【答案】(1) (2)N的坐标为 或 或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； 资75料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）连接BM，表示出 ，可证 ，再求出直线BC的解析式为 ，直线 AM的解析式为 ，可得M的坐标 ，设N的坐标为 ，过点M作x轴的平行线l， 过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，则得 ， ， ，根据等腰三角形的性质，分类讨论① 时，② 时，③ 时，分别计算即可． 【详解】（1）∵ ， 在 上， ∴ ，∴ ，∴抛物线的解析式为 ． （2）∵M到x轴的距离为d， ，连接BM， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴B、N到AM的距离相等． 又∵B、N在AM的同侧， ∴ ． 设直线BC的解析式为 ，则 ， ∴ ∴直线BC的解析式为 ， ∴设直线AM的解析式为 ． ∵ ， ∴设直线AM的解析式为 ， ，解得 ， ， ∴M的坐标 ． ∵点N在射线BC上， ∴设N的坐标为 ． ∵ ， ， ， 过点M作x轴的平行线l， 过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q， 资76料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则易得 ， ， ， ∵ 为等腰三角形 ① 时， ， 解得 ， ． ② 时， ， 解得 ， ． ③ 时， ，解得 ． ∵N在第一象限， ∴ ，∴t 的取值为 ， ， ，∴N 的坐标为 或 或 ． 2023 年广西钦州市一模 33．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月 C :yx22x3 C :yax22axc 牙线”．如图①，抛物线 1 与抛物线 2 组成一个开口向下的 C C “月牙线”，抛物线 1与抛物线 2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的 B(0,1) 交点分别为点A， ． 资77料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C (1)求出点M，N的坐标和抛物线 2的解析式； (2)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在点F，使得 △ADF 是以AD为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1 2 【答案】(1) M(1,0) ，N(3,0)；y 3 x2 3 x1 ( ) (2)在 x 轴上存在点 F，使得△ADF 是以 AD 为腰的等腰三角形，点 F 的坐标为 2 7,0 或 ( ) 2 7,0 【分析】（1）先由x22x30求得x 1，x 3，可得点 M，N的坐标，将点M(1,0)， 1 2 B(0,1) 代入抛物线yax22axc，利用待定系数法即可求抛物线C 的解析式； 2 13 （2）由抛物线 ： 可得点 ，两条抛物线的对称轴均为直线x 1，进 C yx22x3 A(0,3) 2 1 而求得D(2,1)，连接BD，由于等腰直角三角形可知 AD 2AB2 2，分两种情况讨论：当 ADFD时，FD2 2，当ADAF时，AF 2 2，分别进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线yx22x3与x轴交于点M、N，且当x22x30时， 解得x 1，x 3， 1 2 ∴M(1,0)，N(3,0)； 将点M(1,0)，B(0,1) 代入抛物线yax22axc，  1 a 得a2ac0 ，解得 3  c1  c1 1 2 ∴抛物线C 的解析式为y x2 x1； 3分 2 3 3 （2）存在． 13 由抛物线 ： 可得点 ，两条抛物线的对称轴均为直线x 1， C yx22x3 A(0,3) 2 1 ∵点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，B(0,1)， ∴D(2,1)， 如解图，连接BD， 资78料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ABBD2， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AD 2AB2 2， 假设存在，设点F(m,0)，分两种情况讨论： ①当ADFD时，FD2 2，如解图①，过点D作DC x轴于点C，连接AF ，DF， 则CD1，CF 2m，由勾股定理可知CD2CF2 DF2， ∴12(2m)2 (2 2)2，解得：m 2 7，m 2 7， 1 2 ( ) ( ) ∴F 2 7,0 ，F 2 7,0 ； 1 2 ②当ADAF时，AF 2 2，如解图②，由勾股定理可得OF2 OA2  AF2， ∴m232 (2 2)2，此方程无解 ，∴此种情况不存在． 综上所述，在x轴上存在点F，使得△ADF 是以AD为腰的等腰三角形，点F的坐标为 ( ) ( ) 2 7,0 或 2 7,0 ． 2020·四川德阳·中考真题 34．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC， BC．已知 ABC的面积为2． （1）求抛物线△的解析式； （2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别 为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长； 资79料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）是，3NE+NF为定值4 【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC 的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数 的解析式； （2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣ x2+ x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得 G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1）， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=4， ∵△ABC的面积为2，即 ， ∴OC=1， ∴C（0，1）， 将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1， ∴a=﹣ ， ∴该二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+1； （2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣ x2+ x+1=m， 资80料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得：x=1+ ，x=1﹣ ， 1 2 ∴点P的坐标为（1﹣ ，m），点Q的坐标为（1+ ，m）， ∴点G的坐标为（1﹣ ，0），点H的坐标为（1+ ，0）， ∵矩形PGHQ为正方形， ∴PQ=PG， ∴1+ ﹣（1﹣ ）=m， 解得：m=﹣6﹣2 ，m=﹣6+2 ， 1 2 ∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2 或2 ﹣6 题型六 菱形存在性问题 例 6.1 35．综合与探究 yx2 bxc 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和 BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． y y A B A B O x O x C C 备用图 【分析】 资81料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）抛物线：yx2 x6； （2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形： ①当CA=CM时， ( ) ( ) 即CM=CA=2 10，M点坐标为 0,62 10 、 0,62 10 ， ( ) ( ) 对应N点坐标为 2,2 10 、 2,2 10 ． ②当AC=AM时， 即AM=AC=2 10，M点坐标为（0，6）， 对应N点坐标为（2，0）． ③当MA=MC时，  8 勾股定理可求得M点坐标为0, ，  3  10 对应N点坐标为2, ．  3   10 综上，N点坐标为( 2,2 10 )、( 2,2 10 )、（2，0）、2, ．  3  如下图依次从左到右． y y N M A B O x y y A M B A N B A B O x O x O x N C M N C C C M 例 6.2 综合与探究 yx2 bxc 如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线 经过点 A，C． （1）求抛物线的解析式 （2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别 交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是 否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标； 若不存在，请说明理由． 资82料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y N y C C P A O B x A M O B x 图1 图2 【分析】 （1）抛物线解析式：yx2 3x4； （2）设M点坐标为（m，0）（-4未知数个量，可能会无解． 特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有 1个动点还是有2个动点，都是由其图形 本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求可以有 3个半动点 资85料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无解的情况． 不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正方形，只 能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，甚至是4个半动点． 2023·湖南邵阳市·中考真题 36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ，且与直线 交于 两点（点 在点 的右侧），点 为直线 上的一动点，设点 的横坐 标为 ． (1)求抛物线的解析式． (2)抛物线与 轴交于点 ，点 为平面直角坐标系上一点，若以 为顶点的四边形是菱 形，请求出所有满足条件的点 的坐标． 【答案】(1) (2) 点 为 或 或 或 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分别求得 ，①当 为对角线时， ，②当 为边时，分 ， ，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和点 ， ∴ ，解得： ，∴抛物线解析式为： ； 资86料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）∵抛物线与 轴交于点 ， ∴ ，当 时， ，即 ， ∵ ， ∴ , ， ， ①当 为对角线时， ， ∴ ，解得： ，∴ ， ∵ 的中点重合，∴ ，解得： ，∴ ， ②当 为边时， 当四边形 为菱形， ∴ ， 解得： 或 ， 资87料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 或 ， ∴ 或 ， 由 的中点重合， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴ 或 ， 当 时； 如图所示，即四边形 是菱形， 点 的坐标即为四边形 为菱形时， 的坐标， ∴ 点为 或 ， 综 上 所 述 ， 点 为 或 或 或 或 ． 2023·四川广安·中考真题 37．如图，二次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 的坐标为 ， 资88料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 对称轴是直线 ，点 是 轴上一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点 在 轴上运动，则在 轴上是否存在点 ，使以 、 为顶点的四边形是菱形？ 若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ,(2) 或 或 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出 ，再把 代入二次函数解析式中进行求解 即可； （2）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示， 为对角线和边，利用菱形的性 质进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，∴ ，∴ ， ∵二次函数经过点 ，∴ ，即 ，∴ ， ∴二次函数解析式为 ； （2）解：设 ，则 ， ， ∵ 轴， ∴ 轴，即 ， ∴ 是以 、 为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当 为对角线时， 资89料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 轴， ∴ 轴，即 轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为 ， ∴ ， ∴ ； 如图3-2所示，当 为边时，则 ， ∵ ， ， ∴ ， 资90料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， ∴ ； 如图3-3所示，当 为边时，则 ， 同理可得 ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， ∴ ； 如图3-4所示，当 为边时，则 ， 同理可得 ， 解得 （舍去）或 （舍去）； 如图3-5所示，当 为对角线时， 资91料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 轴， ∴ 轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当 为对角线时，设 交于S， ∵ 轴， ∴ ， ∵ ， ∴ ，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述， 或 或 ． 资92料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型七 矩形存在性问题 【例 7.1】 38．如图，抛物线 yax2 bxc 与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0），且OB=OC． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M、N之 间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E． ①求DE的最大值； ②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形． y B A O x C 【分析】 （1）抛物线：yx2 4x3； （2）①像DE这样的线段的最大值，就是当D点在MN水平位置的中点处时最大，假如我们知道 这个结论的话． 如果不知道，就只能一步步算了， 由题意可知：M ( m,m2 4m3 ) 、N ( m4,m2 12m35 ) ， m2 12m35 ( m2 4m3 ) 点斜式求直线MN：k  (2m8) MN m4m 直线MN：y(2m8)(xm)m2 4m3， 整理得：y(2m8)xm2 4m3 设D点坐标为 ( d,d2 4d 3 ) ，则E点坐标为 ( d,(2m8)d m2 4m3 ) ， DE d2 4d 3(2m8)d m2 4m3   d2 (2m4)d m2 4m d (m2) 2 4   故当d=m+2时，DE取到最大值为4． 资93料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②若四边形MDNF是矩形，根据对角线互相平分，则E点必为MN中点， 故E点横坐标为m+2，则D点横坐标也为m+2， 且由①可知，此时DE=4， 又矩形对角线相等，因此只要满足MN=8，则有矩形MDNF． MN  (m4)m 2 ( m2 12m35 )  ( m24m3 ) 2      42 (8m32)2 8 3 3 解得：m 4 ，m 4 ． 1 2 2 2 3 3 故当m的值为4 或4 时，四边形MDNF是矩形． 2 2 考虑到第①问中已经得到了DE=4，故本题优先考虑利用对角线相等求解，事实上，构造三垂直使 △MDN是直角三角形，也可以解决问题． 构造△MED∽△DFN， 2 D 2 E F -4m-12 M 4m+20 N ME DE 4m12 2  ，即  ， DF NF 2 4m20 3 3 同样可解得：m 4 ，m 4 ． 1 2 2 2 【例 7.2】两定两动 1 y x2 bxc 39．如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线 4 经过点B，与直线y=x-3交 于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩 形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 资94料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y E E A A D O C x D O C x B B 备用图 【分析】 1 （1）抛物线：y x2 x3； 4 （2）B、C为定点，P在抛物线上，Q在平面中，即为“2定+1半动+1全动”类型． 先确定P点使得由P、B、C构成的三角形为直角三角形，  1  设P点坐标为m, m2 m3，  4  ①当∠PBC=90°时，构造三垂直相似：△PEB∽△BFC y P E A D O C x E F B 1 1 PE m2 m3(3) m2 m， 4 4 BE m，BF 606，CF 0(3)3， 1 m2 m 由相似可知： PE EB ，即 4 m，   BF CF 6 3 解得：m 4，m 0（舍），代入得P点坐标为（-4，5）， 1 2 根据点的平移可知对应的Q点坐标为（2，8）． ②当∠PCB=90°时，同理可构造相似： 6m 1  1 2，解得： ， （舍） m2 m3 4 m 10 m 6 1 2 代入得P点坐标为（-10，32），根据点的平移可知对应的Q点坐标为（-16，29）． 另外以BC为直径作圆，与抛物线并无交点，故不存在以P点为直角顶点的情况． 综上所述，Q点坐标为（2，8）或（-16，29）． 资95料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·海南·中考真题 40．如图1，抛物线 交x轴于A， 两点，交y轴于点 ．点P是抛物线 上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当动点P在直线 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四 边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点 Q的坐标 为 或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当 为矩形的边时，画出符合题意的矩形， 交y轴于点E， 交x轴于点F，连接 ， 过点P作 轴于点M，过点Q作 轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形 的判定与性质得到 ，利用待定系数法求得直线 的解析式与抛物线的解析式 联立方程组求得点P的坐标，则 ，进而得到 、 的长度，即可得出结果；当 为对 角线时，画出相应的图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： 如图，当 为边时，四边形 为符合条件的矩形， 交y轴于点E， 交x轴于点F，连接 资96料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，过点P作 轴于点M，过点Q作 轴于点N， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ 和 为等腰直角三角形， ∴ ， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 和 为全等的等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ，∴ ， ∴直线 的解析式为 ， 联立方程组得 ， 解得 或 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 资97料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ； 如图，当 为对角线时，四边形 为矩形，过点Q作 轴于点D， 轴于点E， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设点P的坐标为： ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 整理得： ， 分解因式得： ， 解得： （舍去）， （舍去）， ， ∴此时点Q的坐标为： ． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q 的坐标为 或 资98料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考真题 41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点分别为 和 （点 在 点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是直线 上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，设点 为抛物线对称轴上一动点，当点 ，点 运动时，在坐标轴上确定点 ，使四 边形 为矩形，求出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】(1) (2)符合条件的 点坐标为： 或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得抛物线的顶点 ，对称轴为 ，分当点 在 轴上和点 在 轴负半轴上时， 两种情况讨论，当点 在 轴负半轴上时，证明 ，求得 ，再证明 ，求得点 的坐标为 ，由点 在抛物线上，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 解得 抛物线的解析式为： ； （2）解： ， 则抛物线的顶点 ，对称轴为 ， 资99料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 情况一：当点 在 轴上时， 为抛物线的顶点， ∵四边形 为矩形， ∴ 与 纵坐标相同， ∴ ； 情况二：当点 在 轴负半轴上时，四边形 为矩形， 过 作 轴的垂线，垂足为 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵抛物线对称轴为 ，点 在对称轴上， ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 资10料0 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点 的坐标为 ， ∵点 在抛物线上， ∴ ， 解得 ， （舍去）， ∴ ， 综上所述：符合条件的 点坐标为： 或 ． 2022·贵州黔西·中考真题 42．如图，在平面直角坐标系中，经过点 的直线AB与y轴交于点 ．经过原点O的抛 物线 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线 的表达式； (2)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形 是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或 或 或 资10料1 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角 形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的表达式为 ． （2）存在．满足条件的点Q的坐标有4个． ， ， ， ． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当 时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点 ． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴点 与点D重合． 当 时，四边形 是矩形． ∵ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ． ∴ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ． 此时直线 的解析式为 ． 资10料2 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵直线 与 平行且过点 ， ∴直线 的解析式为 ． ∵点 是直线 与拋物线 的交点， ∴ ． 解得 ， （舍去）． ∴ ．当 时，四边形 是矩形． ∵ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ． ∴ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当 时．过点 作 轴，垂足为H，过点C作 ，垂足为K． 可得 ， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵点P不与点A，C重合， ∴ 和 ． ∴ ． ∴ ． ∴如图，满足条件的点P有两个．即 ， ． 资10料3 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当 时，四边形 是矩形． ∵ 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ． ∴ 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ． 当 时，四边形 是矩形． ∵ 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ． ∴ 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ． 综上，满足条件的点Q的坐标为 或 或 或 ． 2022·贵州黔东南·中考真题 43．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，连接 ． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点 资10料4 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 的坐标为（4，1）或（-2，1）或 或 ． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线 ，可得a=-1，再把点 代入，即可求解； （2）先求出 ，设点N（m，-m+3），可得 ， ， 再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即 可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴是直线 ， ∴ ，解得：a=-1， ∵抛物线过点 ， ∴ ，解得：c=3， ∴抛物线解析式为 ； （2）解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC ， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位 向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， 资10料5 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，解得： 或 ， ∴此时点F的坐标为 或 ； 综上所述，存在点 的坐标为（4，1）或（-2，1）或 或 ． 2022·湖北随州·中考真题 44．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴分则点A和点 ， 与y轴交于点C，对称轴为直线 ，且 ，P为抛物线上一动点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由． 资10料6 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1) (2) 存 在 ， ， ； ， ； ， 【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可； （2）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设 ，用t表示 出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∵ ，对称轴为直线 ， ， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为： ． （2）存在点N． ①当N在y轴上时， ∵四边形PMCN为矩形， 此时， ， ； ②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P 作x轴的垂线，垂足为E，设 ，则 ， 资10料7 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵四边形PMCN为矩形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵点M在对称轴上， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴P点的坐标为 ， ∵P点在抛物线 上， ∴ 解得 ， （舍）， ∴ ， ； ③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P 作x轴的垂线，垂足为E，设 ，则 ， 资10料8 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵四边形PMCN为矩形时， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵点M在对称轴上， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴P点的坐标为 ， ∵P点在抛物线 上， ∴ 解得 （舍）， ， ∴ ， ， 综上： ， ； ， ； ， 资10料9 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型八 相似三角形存在性问题 【例 8.1】 45．如图，抛物线 yax2 bxc 与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过 yax2 bxc 点D（2，-3）．点Q是抛物线 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． y y A B A B O x O x E Q C D C D 图1 图2 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3； （2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角． ∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得： BE BA BE BC  或  ． BO BC BO BA 9 解得： 或BE  2， BE2 2 4 3 9 故E点坐标为(1,2)或 4 , 4   ． 当E点坐标为 (1,2) 时，直线OE解析式为y2x， 联立方程：2xx2 2x3，解得：x = 3，x  3， 1 2 ( ) ( ) 此时Q点坐标为 3,2 3 或  3,2 3 ； 3 9 当E点坐标为 , 时，直线OE解析式为 ， 4 4 y3x 1 13 1 13 联立方程： ，解得：x  ，x  ， 3xx2 2x3 1 2 2 2 资110料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 13 33 13 1 13 33 13 此时Q点坐标为  ,  或  ,  ． 2 2 2 2     Q Q 4 2 y y A B A B O x O x E E C C Q 1 Q 3 1 13 33 13 1 13 33 13 综上所述，Q点坐标为( 3,2 3 )或(  3,2 3 )或  2 , 2  或  2 , 2  ．     说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果． 【例 8.2】 yx2 bxc 46．如图1，在平面直角坐标系中，直线 y=x-1与抛物线 交于A、B两点，其中A （m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与 △ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． y y B B D O A D x O A x C C 图1 图2 【分析】 （1）m=1，n=3， 抛物线解析式为yx2 6x5； （2）思路：平行得相等角，构造两边成比例 由题意得D（5，0），故直线CD解析式为：y=x-5， ∴CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， 考虑到点Q在线段CD上， 资111料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DA AB DA AD ∴  或  ， DQ AD DQ AB 8 2 解得：DQ 或 ， 3 DQ3 2 7 8 故Q点坐标为 3 , 3   或(2,3)． y y B B A D A D O x O x Q Q C C △ADQ∽△BAD △ADQ∽△DAB 【例 8.3】 yax2 2xc 如图，已知抛物线 经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10）， AC∥x轴． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求tan∠ABC的值； （3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标． y B A C O x 【分析】 1 （1）y x2 2x1； 3 1 （2）tanABC  ； 2 （3）思路：平行得相等角，构造两边成比例 资112料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 若点D为抛物线的顶点，则D点坐标为（3，-2）， ∴直线CD解析式为：y=x-5， 又直线AB解析式为：y=x+9， 故CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD， y B A C O x D 故点E在点C左侧， 考虑∠BAC的两边AB、AC与CE、CD成比例： CD AC CD AB  或  CE AB CE AC 解得：CE=9或2， 故E点坐标为（-3，1）或（4，1）． y y B B A E A C C E O O x x D D 【练习 1】 47．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C． 动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、 线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理 由． 资113料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】△BPF与△ABC有公共角∠B，那么我们梳理两个三角形中夹∠B的两条边． △ABC是确定的．由 ，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)． 于是得到BA＝4，BC＝ ．还可得到 ． △BPF中，BP＝2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以 ． 因此 ． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当 时， ．解得 （如图1-2）． ②当 时， ．解得 （如图1-3）． 图1-2 图1-3 【练习 2】 48．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上 的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标． 【解析】△ABC与△AOM中相等的一组角在哪里呢？ 本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求 ∠AOM的大小作铺垫；求得了∠AOM的大小，第（3）题暗示了要在△ABC中寻找与∠AOM相 等的角． 资114料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）如图，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．容易得到A ． 再由A 、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为 ． （2）由A 、B(2,0)，可得∠ABO＝30°． 因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． 所以△ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①当 时， ．此时C(4,0)（如图2-3）． ②当 时， ．此时C(8,0)（如图2-4）． 【练习 3】 49．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三 角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】△AMN是直角三角形，因此必须先证明△BCD是直角三角形．一般情况下，根据直角边 对应成比例分两种情况列方程． （1）抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3． （2）由y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，得D(0,－3)，C(2, 1)． 如图3-2，由B(3, 0)、D(0,－3)、C(2, 1)，可知∠CBO＝45°，∠DBO＝45°． 所以∠CBD＝90°，且 ． 资115料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 图3-2 图3-3 图3-4 设点M、N的横坐标为x，那么NM＝－yM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此 列方程要“两次分类”： 当N在A右侧时，NA＝x－1，分两种情况列方程： ①当 时， ．解得 ．此时M （如图3-3）． ②当 时， ．解得x＝6．此时M(6,－15)（如图3-5）． 当N在A左侧时，NA＝1－x，也要分两种情况列方程： ①当 时， ．解得 ＞1，不符合题意（如图3-4）． ②当 时， ．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）． 图3-5 图3-6 2022·湖南张家界·中考真题 yax2bx3(a0) x A(1,0) B(4,0) y 50．如图，已知抛物线 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 C，点D为抛物线的顶点． 资116料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标； (2)若四边形BCEF为矩形，CE3．点M 以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点 N 以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E、 N 为顶点的三角形与BOC相似时，求运动时间t的值； 3 15 5 27 【答案】(1)y x2 x3；顶点为D( , ) 4 4 2 16 9 6 (2)t 或t 11 5 【分析】（1）设二次函数表达式为：yax2bx3，将A(1,0)、B(4,0)代入yax2bx3，进行 3 15 计算即可得y x2 x3，根据二次函数的性质即可得； 4 4 （2）依题意，t秒后点M 的运动距离为CM t，则ME3t，点N 的运动距离为EN 2t，分情 况讨论：①当ΔEMN∽ΔOBC时，②当ΔEMN∽ΔOCB时，进行解答即可得； 【详解】（1）解：设二次函数表达式为：yax2bx3，  3 a   4 将 、 代入 得： ，解得， ， ab30 15  b A(1,0) B(4,0) yax2bx3 16a4b30  4 3 15 抛物线的函数表达式为：y x2 x3，  4 4 15 3 15  4 3( )2 b 4 5 4acb2 4 4 27 又    ，   ， 顶点为 ； 2a 3 2 4a 3 16 5 27 2 4 D( , )  4 4  2 16 （2）解：依题意，t秒后点M 的运动距离为CM t，则ME3t，点N 的运动距离为EN 2t． 3t 2t 9 ①当 时，  ，解得t ； ΔEMN∽ΔOBC  4 3 11 资117料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3t 2t ②当 时，  ， ΔEMN∽ΔOCB  3 4 6 9 6 解得t ；综上得，当t 或t 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似 5 11 5 M E N BOC 题型九 角的存在性问题之转化为相似或全等三角形 2023 厦门一中模拟 yx2mxn (0,3),(2,3) x A、B 51．如图，抛物线 经过 两点，与 轴交于 两点． (1)求抛物线的解析式： (2)点C为第四象限抛物线上一动点，点C横坐标为t，直线AC与 y 交于点D，连接BC．如图， 若ACB90时，求t的值： 【答案】(1)y=x22x3 ( ) (2) 1 3，1 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出A、B两点坐标；作CH x轴于点H，证明HAC∽HCB，得出CH2AHBH ，设 C ( t,t22t3 ) ，用含t的代数式表示出CH，AH，BH ，代入 CH2AHBH 求出t值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线yx2mxn经过 (0,3),(2,3) 两点， 3n n3 ∴ ，解得： ， 3222mn m2 ∴抛物线的解析式为y=x22x3． （2）解：①由（1）知y=x22x3， 令y0，则x22x30，解得x 1，x 3， 1 2 ∵点A在点B的左侧， ∴A(1，0)，B(3，0) ． 如图，作CH x轴于点H， 资118料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 若ACB90，则HCBHCA90， ∵CH x轴， ∴HACHCA90， ∴HAC HCB， 又∵AHC CHB90， ∴HAC∽HCB， AH CH ∴  ， CH BH ∴CH2AHBH ， ∵点C为在抛物线y=x22x3的第四象限上， ∴设C ( t,t22t3 ) ， ∴AH t(1)t1，BH 3t,CH  ( t22t3 ) ， ∴ ( t22t3 )2 (t1)(3t)，化简得 t22t20 ，解得 t1 3 ， ∵点C在第四象限上， ∴t 0， ∴t 1 3， ( )2 ( ) ∴t22t3 1 3 2 1 3 31， ( ) ∴点C的坐标为 1 3，1 2023-2024 学年福建省福州屏东中学月考 y(xm)(x1) m0 x A,B 52．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （其中 ），交 轴于 两点（点 A在点B的左侧），交 y 轴负半轴于点C． 资119料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求点A的坐标； (2)如图，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得ACOBCD，当AB4时，求点D的坐 标； 【答案】(1)A(1,0) (2)D(4,5) 【分析】（1）由题意即可求解； （2）过点A作AK  AC，过点K作KH x轴，可得ACD=BCO，再根据AB4可得抛物线解 析式，进而证明△OAC≌△HKA(AAS)，可得K(2,1)，进而求出直线CD的解析式，即可求解； （3）设直线 PQ的解析式为： yaxn， P(x,y ),Q(x ,y )，联立 抛物线解析式可得 1 1 2 2 x 1 x 2 am1,x 1 x 2 amm2，作PS x轴，QT x轴，可得AMO∽APS即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y(xm)(x1)（其中m0），交x轴于A,B两点（点A在点B的左 侧）， ∴点 的坐标为A(1,0) ； A （2）解：过点A作AK  AC，过点K作KH x轴，如图， ∵ACOBCD， ACODCOBCDDCO，即ACD=BCO， ∵AB4，由（1）得，AO1， ∴OB3， ∴抛物线解析式为y(x3)(x1)，即y=x22x3， 资12料0 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 令x0，解得y=3， ∴C(0,3) ， ∴OBOC 3， ACDBCO45， AC  AK ， AOC KHA90， ∴ACO90OAC KAH ， OAC≌HKA(AAS)， AH CO3,KH OA1， K(2,1)， 设直线CD的解析式为：ykxb，  b3 b3 把 C(0,3)， K(2,1) 代入得： 2kb1 ，解得 k 2 ， ∴直线CD的解析式为：y2x3， yx22x3 联立 ，解得 （舍）或 ，  y2x3 x0 x4 D(4,5) 2023-2024 学年湖北天门市九年级月考 y x2 mxm2 B(3，3) 53．如图，已知抛物线 的顶点为A，且经过点 ． (1)求顶点A的坐标； (2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得PAB45，求点P坐标； 【答案】(1) (1,1) (2) (2,8) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）根据全等三角形的判定与性质可得点Q的坐标，根据待定系数法求出直线AP的解析式，与抛 资12料1 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 物线联立求出点P的坐标即可； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根 据勾股定理，可得答案． 【详解】（1）解：把B(3，3) 代入y x2 mxm2得： 393mm2， 解得m2， ∴yx22x(x1)21， ∴顶点A的坐标是 (1,1) ； （2）过点B的BQBA交AP于点Q，过点B作GH∥y轴，分别过点A ，Q作AGGH 于点 G，QH GH 于点H，则AGBABQBHQ90， ∵ABGQBH ABGBAG90， ∴QBH BAG， ∵BAP45， ∴ABQ是等腰直角三角形， ∴ABBQ， 在Rt△ABG和RtBQH 中， AGBBHQ  ABGBQH ，   BABQ ∴RtABG≌RtBQH(AAS) ， ∴AGBH 312,BGQH 1(3)4， ∴点Q的坐标是 (1,5) ， 设直线 AP 的解析式为ykxb，把点A (1,1) ，Q (1,5) 代入得， kb5  ，  kb1 资12料2 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  k 3 解得 ， b2 ∴直线AP的解析式为y3x2， 把直线 的解析式与y x2 2x联立得， AP x22x3x2， 解得x 2,x 1（不合题意，舍去）， 1 2 当x2时，y3x28，∴点P的坐标是 (2,8) 2024 届福州市晋安区统考 yx2bxc A(1,0) B(3,0) 54．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于 点C． (1)求二次函数解析式； (2)如图，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得ACOBCD，求点D的坐标； 【答案】(1)y=x22x3，(2)D(4,5) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过A作AK  AC交CD于点K，作KH x轴于点H ，证明OAC≌HKA，可得K，用待定 系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立解交点即可得出D的坐标； 【详解】（1）∵抛物线yx2bxc交x轴于A(1,0) ，B(3,0) 两点， 1bc0 b2 ∴ 解得 ∴ ； 93bc0 c3 y=x22x3 （2）∵y=x22x3 当x0时，y=3， ∴点C(0,3)， 资12料3 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 过A作AK  AC交CD于点K，作KH x轴于点H ， ACOBCD， ACODCOBCDDCO，即ACD=BCO， OBOC 3， ACDBCO45， AC  AK ， AOC KHA90，ACO90OAC KAH ， OAC≌HKA(AAS) ， AH CO3，KH OA1， K(2,1)，设直线CD的解析式为ykx3，2k31，k 2， yx22x3 直线 的解析式为 ，联立 ，解得 （舍去），或 ，  CD y2x3 y2x3 x0 x4 D(4,5) 深圳福田区模拟 55．如图，抛物线 yax2 bxc 的图象，经过点 A(1,0) ， B(3,0) ， C(0,3) 三点，过点 C， D(3,0) 的直线与抛物线的另一交点为E． （1）请你直接写出： yx2 4x3 ①抛物线的解析式 ； ②直线CD的解析式 ； ( ) ③点E的坐标 ， ； （2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE ，则当点P位于何处时，可使得CPE 45， 请你求出此时点P的坐标； 资12料4 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解答】解：（1）抛物线经过A(1,0)，B(3,0)， 可以假设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)， 把C(0,3)代入得到a1，抛物线的解析式为yx2 4x3， b3 k 1 设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ， CD ykxb 3kb0 b3 yx3 x0 x5 直线 的解析式为 ，由 ，解得 或 ， ．  CD yx3 yx2 4x3 y3 y8 E(5,8) 故答案为：yx2 4x3，yx3，5，8． （2）如图1中，过点E作EH x轴于H ． C(0,3)，D(3,0)，E(5,8)， OC OD3，EH 8， PDE45，CD3 2，DE 8 2，EC 5 2， 当CPE 45时，PDE EPC，CEPPED， ECP∽EPD， EC EP  ， ，  EP ED PE2 ECED80 在RtEHP中，PH  PE2 EH2  8064 4， 把点H 向左或向右平移4个单位得到点P，P(1,0)，P(9,0)． 1 2 资12料5 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型十 角的存在性问题之转化为等腰三角形问题 2023 年湖北省武汉市外国语学校中考模拟 yx22mxm22m m0 56．抛物线 ，（ ）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线 的顶点． (1)当m2时，直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图，点D是对称轴右侧抛物线上一点，COBOCD，求线段CD长度： 20 【答案】(1)A(0,0)，B(4,0)，C(2,4)，(2) 9 【分析】（1）把m2代入函数解析式，令y0，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为 顶点式可求C的坐标； （2）延长CD交x轴于点E，先求出顶点C(m,2m) ，根据等边对等角得出CE OE，设E(e,0) ， 5 利用两点间距离公式可得 e2 (em)2(2m)2，解得e m，利用待定系数法求 解析式为 2 CD  4 10 y x m 4 10 ，联立方程组 3 3 求出点D的坐标，最后再利用两点间距离公 y 3 x 3 m  yx22mxm22m 式求解即可； 【详解】（1）解：当m2时，函数解析式为yx24x， 当y0时，x24x0，解得x 0，x 4， 1 2 ∴A(0,0) ，B(4,0) ， ∵yx24x(x2)24， ∴C(2,4) ， （2）解：延长CD交x轴于点E， 资12料6 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵yx22mxm22m(xm)22m， ∴C(m,2m) ， ∵COBOCD，∴CE OE，设E(e,0)，则e2 (em)2(2m)2 ，  4 k  5   3 解得 ，∴ ，设 解析式为 ，则 mkb0，解得 ， e 5 2 m E    5 2 m,0    CD ykxb   m 2 kb2m   b 1 3 0 m  4 xm  4 10   3 ∴ ，联立方程组y x m ，解得 或 ， y 4 3 x 1 3 0 m   yx 3 22m 3 xm22m    x y   m 2m   y2m 1 9 6  4 16  4  2  16  2 20 ∴Dm ,2m  ，∴CD m m 2m 2m   3 9   3   9  9 武汉·中考真题 57．抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0）， ① 求该抛物线的解析式； ② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标． 【答案】（1）①y＝ x2- ；②点D的坐标为（-1，-3）或（ ， ）. 资12料7 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】（1）将P（1，－3）、B（4，0）代入y＝ax2＋c得 ， 解得 ，∴抛物线的解析式为： ； ②如图：D在P左侧，由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称， 由P（1，－3）得D（-1，-3）； 如图，D在P右侧，即图中D，则∠DPO＝∠POB，延长PD 交x轴于Q，则QO＝QP， 2 2 2 设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2， 解得：q＝5，∴Q（5，0），易得直线PD 为 ， 2 再联立 得：x＝1或 ， ∴ D（ ） 2 ∴点D的坐标为（-1，-3）或（ ）. 题型十一 角的存在性问题之化为正切值或斜率 【例 11.1】 5 ymx2  mx4 A(x,0) B(x ,0) 58．如图，抛物线 2 与 x轴交于 1 ， 2 两点，与 y 轴交于点 C，且 11 x x  2 1 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上一点 D（1，-5），直线 BD 与 y 轴交于点 E，动点 M 在线段 BD 上，当 ∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标． 资12料8 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y A O B x C D E 【分析】  5  2  m 4m(4) （1）  2  11，解得： 2． x x   m 2 1 m 2 3 2 5 抛物线：y m2  m4． 3 3 （2）思路：化角度正切值为“k” 2 5 3 令 m2  m40，解得：m  ， ， 3 3 1 2 m 4 2  3  即A点坐标为 ,0，B点坐标为（4，0）．  2  考虑C（0，-4）、D（1，-5），连接BC，易证△BCD是直角三角形， y A O B x M C D E BC 4 2 tanBDC   4， CD 2 1 若∠MCE=∠BDC，则tan∠MCE=4，k  ． CE 4 1 设CE解析式为：y x4， 4 5 20 又BD解析式为：y x ， 3 3 1 5 20 32 联立方程： x4 x ，解得：x ， 4 3 3 23 资12料9 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 32 100 故M点坐标为 , ． 23 23  【例 11.2】 yax2 bxc 59．如图，抛物线 与两坐标轴相交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是 抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点： ①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标． y D F C A O E B x 【分析】 （1）抛物线：yx2 2x3，D点坐标为（1，4）； （2）①铅垂法可解，当F坐标为（2，3）时，△BDF面积最大，最大值为1； ②思路1：构造平行线． 考虑到A、E、B三点均在x轴上，故可构造EF∥BD即可得角相等． y D C F F A O E B x 过点E作EF∥BD交抛物线与F点， 考虑到BD解析式：y2x6， 故可求EF的解析式为：y2x2， 联立方程：x2 2x32x2， 解得：x 2 5，x 2 5 （舍）． 1 2 ( ) 故F点坐标为 2 5,22 5 ． 将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点， 资13料0 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y D F C F x A O E B x F 且翻折后的直线解析式为：y2x2， 联立方程：x2 2x32x2， 解得：x  5，x  5（舍）． 1 2 ( ) 故F点坐标为  5,2 52 ． ( ) ( ) 综上，F点坐标为 2 5,22 5 或  5,2 52 ． 思路2：三角函数值． 设F点坐标为 ( m,m2 2m3 ) ， 过F点作FH⊥x轴交x轴于H点，则H点坐标为 (m,0) ， FH  m2 2m3 ，EH  m1 ， FH m2 2m3 m2 2m3 tanAEF    2 EH m1 m1 解得：x 2 5，x 2 5 （舍），x  5，x  5（舍）． 1 2 3 4 ( ) ( ) 故F点坐标为 2 5,22 5 或  5,2 52 ． 题型十二 角的存在性问题之与特殊角结合 【例 12.1】 60．如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）． （1）求抛物线的解析式； C PABCAC （2）点C和点 1关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且 1，求点P的横坐 标． 资13料1 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B O A x C C 1 【分析】 1 （1）抛物线：y x2 x4； 2 （2）由题意得：C 坐标为（2，-4）， 1 考虑到A、C、C 三点坐标均已知，故可求CAC 的三角函数值． 1 1 思路1：构造直角三角形 过点C 作CH ⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3）， 1 1 故HC  2 ，HA3 2， 1 1 1 ∴tanCAC  ，则tanPAB ． 1 3 3 y y P 2 B O A x B O A x P H 1 H C C C C 1 1 1 1 1 转化“tanPAB ”为“ k  ”，即k  ． 3 PA 3 PA 3 1 1 ①当k  时，设PA解析式为y xb， PA 3 3 1 4 将A（4，0）代入，得：y x ， 3 3 1 1 4 4 联立方程： x2 x4 x ，解得： ，x  ， 2 3 3 x 4 2 3 1  4 16 故 坐标为 , ； P  3 9  1 1 1 ②当k  时，设PA解析式为y xb， PA 3 3 资13料2 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 4 将A（4，0）代入，得：y x ， 3 3 1 1 4 8 联立方程： x2 x4 x ，解得： ，x  ， 2 3 3 x 4 2 3 1  8 20 故 坐标为 , ． P  3 9  2 4 8 综上所述，P点坐标为 或 ． 3 3 思路2：发现特殊角． y B O A x C C M 1 如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4）， 故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°， 1 1 考虑tanMAC  ，可知tanCAC  ， 1 2 1 3 下同思路1求解P点坐标． 【例 12.2】 1 y x2 bxc 61．如图，直线 yx3 与坐标轴交于 A、 B两点，抛物线 4 经过点 B，与直线 yx3 交于点 E(8,5) ，且与x轴交于C，D两点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M ，当MBE 75时，求点M 的横坐标. 资13料3 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解答】解：（1）直线yx3与坐标轴交于A、B两点， 则A(3，0)B(0，3)， 把B、E点坐标代入二次函数方程，解得： 1 抛物线的解析式y x2 x3①， 4 则：C(6,0)； （2）符合条件的有M 和M，如下图所示， 当MBE 75时， OAOB，MBO30， 此时符合条件的M 只有如图所示的一个点， MB直线的k为 3，所在的直线方程为：y 3x3②， 联立方程①、②可求得：x44 3， 即：点M 的横坐标44 3； 当MBE75时，OBM120， 3 3 直线 的 值为 ，其方程为y x3， MB k 3 3 将MB所在的方程与抛物线表达式联立， 124 3 124 3 解得：x ，故：即：点 的横坐标 或 ． 3 M 44 3 3 2023·浙江湖州·统考一模 yx2＋bx＋c x2 62．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，其中A（1，0），连结BC． 资13料4 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求点C的坐标及此抛物线的表达式； (2)点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15，求线段CD的长度 【答案】(1)点C（0，3）；y＝x24x3 (2)1n2 【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据BOC是等腰直角三角形，直线 BD和直线 BC的夹角为 15，推出DBO30或 DBO60，进行分类讨论即可解答； 【详解】（1）∵对称轴为直线 x2， b ∴ 2， 2a b4， ∵抛物线 yx24xc与y轴交于C点，A（1，0）代入得： c3， ∴抛物线的解析式为yx24x3， 由抛物线的表达式知，点C（0，3）； （2） B（3，0），C（0，3）， BOC是等腰直角三角形， 则CBO45， ∵直线BD和直线BC的夹角为 15， DBO30 或DBO60， 在RtBOD中，DOBOtanDBO，  BO3， 当DBO30 时，如图1所示： 资13料5 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 ∵tan30  ， 3 则DO 3， 则CDOCDO3 3； 当DBO60时，如图2所示： tan60  3DO3 3， CDDOOC 3 33， ∴CD的长度为 3 3 或 3 33 题型十三 角的存在性问题之2倍角半角 2024 届·武汉市武珞路中学期中 1 1 63．已知过点D(0,2)的直线 AD ： y 2 x2 与抛物线G 1 ： y 4 x2bxc 的图象交于点 A ， B ， 点A在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 C(0,2) ． 资13料6 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 G 1 (1)求抛物线 的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作 y 轴的平行线，交直线AB于点H ， 交x轴于点E．当BAC 2PDH 时，求m的值． 1 1 【答案】(1)y x2 x2 4 2 8 (2) 或 或 或 1 17 1 17 6 3 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得C，D两点关于 x轴对称，推出PDH CAOBAO，分两种情况讨论，当 PD∥x轴和当PDH BAO时，利用一次函数的性质求解即可； 1 【 详 解 】 （ 1 ） 解 ： 由 0 x2得 ， 为 (4,0)， 将 为 (4,0)， C(0,2)代 入 得 ： 2 x4 A A 044bc   200c  1 b 解得， 2， 抛物线 的解析式为 1 1 ；  c2  G y 4 x2 2 x2 1 1 1 （2）解： 二次函数y x2 x2．与 轴交于点 ，  4 2 y C C(0,2) ， ∵D(0,2) ， OC OD， C，D两点关于x轴对称， CAOBAO， CAB2CAO2BAO， BAC 2PDH ， PDH CAOBAO， 如图，当PDH BAO时，PD∥x轴， 资13料7 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P(m,2) ， 1 1 由 m2 m22， 4 2 解得m1 17， 如图，当PDH BAO时，设PD交x轴于F ， PDH BAO， AF DF ， 设OF n，则AF DF 4n， 在Rt△ODF 中，OD2OF2 DF2， 22n2 (4n)2 ， 3  4  st 0 s 解得 ， 3 ，设直线 的解析式为 ，∴2 ，解得 3 ， n 3 2 F 2 ,0  DF ysxt   t 2  t 2 4  1 1  ∴直线 的解析式为y x2，将Pm, m2 m2代入直线 得， DF 3  4 2  DF 1 1 4  m2 m2 m2， 4 2 3 8 8 解得 或 ，综上所述，点 的坐标 为 或 或 或 m6 3 P m 1 17 1 17 6 3 2022 年长沙市雅礼教育集团中考一模 64．如图，二次函数 的图象经过点 ，且与直线 相交于坐标 资13料8 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 轴上的 、 两点． （1）求 、 、 的值； （2）求证： ； （3）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，则求出直线 的解析式及 点坐 标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）针对于二次函数 ，令 ，则 ， ，将点 代入直线 中，得 ， 直线 的解析式为 ， 令 ，则 ， ， ， 抛物线过点 ， ， 设抛物线的解析式为 ， 将点 代入抛物线解析式中，得 ， ， 抛物线的解析式为 ， ，即 ， ， ； （2）由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）Ⅰ、当点 在直线 下方时，延长 至点 使得 ，连接 ， 由（2）知， ， 是以 为底边的等腰三角形， 资13料9 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 平分 ，即点 在射线 上，且满足 ， 点 ， ， ， 直线 的解析式为 ①， 由（1）知，抛物线的解析式为 ②， 联立①②解得， 或 ， ， ； Ⅱ、当点 在直线 上方时， 直线 与直线 关于 轴对称， 直线 的解析式为 ③， 联立②③解得， 或 ， ， ， 即满足条件的点 的坐标为 ， 或 ， ． 锦州中考真题 65．如图1，二次函数 的图象经过点 ，并且与直线 相交于 坐标轴上的 、 两点，动点 在直线 下方的二次函数图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，过点 作 于点 ，是否存在点 ，使得 中的某个角恰好等于 的2倍？若存在，直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令 ，得 ，则 ， 资14料0 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 令 ，得 ，解得 ，则 ， 把 ， ， 代入 中，得 ，解得， ， 抛物线的解析式为： ； （2）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，过 点作 于 ，如图2所示， 设点 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ①当 时，即 ， 资14料1 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ，即， ， 解得， 点的横坐标），或 ， 此时 点的横坐标为2； ②当 时，即 ， ， ， ，即， ， ， ， ， 整理得， ， 即 ， 解得， （舍去），或 ， 此时 点的横坐标为 ； 综上，存在点 ，使得 中的某个角恰好等于 的2倍．其 点的横坐标为2或 ． 江苏盐城中考真题 1 y x2 66．如图，在平面直角坐标系中，直线 2 与 x轴交于点 A，与 y 轴交于点C，抛物线 1 y x2 bxc 2 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D作DF  AC，垂足为点F ，连接CD，是否存 在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在 请说明理由． 资14料2 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 【解答】解：（1）根据题意得 ， ， 抛物线y x2 bxc经过 、 两点， A(4,0) C(0,2)  2 A C  1  3 0 164bc b  2 ，  2， ；   2c   c2 （2） A(4,0)，B(1,0)，C(0,2)，AC 2 5，BC  5 ，AB5， 3 ， 是以 为直角的直角三角形，取 的中点 ，P( ， ， AC2 BC2  AB2 ABC ACB AB P 2 0) 5 4 PAPC PB ， ，tanCPOtan(2BAC) ， 2 CPO2BAC 3 过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC 的延长线于G， 情况一：如图，DCF 2BAC DGCCDG， 1 RC 1 ，tanCDGtanBAC  ，即  ， CDGBAC 2 DR 2 1 3  a2  a 令 D(a, 1 a2  3 a2) ， ， RC  1 a2  3 a ， 2 2  1 ， 2 2 DRa 2 2  a 2 a 0（舍去），a 2， 1 2 x 2， D 4 情况二， ，tanFDC  ， FDC 2BAC 3 设FC 4k ， DF 3k ，DC 5k， 3k 1  tanDGC   ， FG 2 FG6k， CG2k ，DG3 5k ， 2 5 4 5 RC  k ，RG k ， 5 5 4 5 11 5 DR3 5k k  k， 5 5 资14料3 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 11 5 k DR 5 a   ， （舍去）， ，点 的横坐标为 或 ． RC 2 5 k  1 a2  3 a a  29  29  5 2 2 a 0 2 11 D 2 11 1 题型十四 角的存在性问题之动点是角的顶点——构造圆 【例 14】内蒙古赤峰·中考真题：一题四法 67．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线 经过点 ， 与 轴另一交点为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不 存在，请说明理由． y y B B C O A x C O A x 【分析】（（1） ；（2）（1，2＋2 ）或（1，−2−2 ）． （2） 【法一：构造圆】 分析：在角的存在性问题中，当角的顶点是动点时，一般考虑构造圆 解析：以AC为底，构造等腰三角形ADC，且∠ADC=90°(此角为圆心角）再以D为圆心，AD为 资14料4 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 半径作圆，交对称轴于Q，易知∠AQB= ∠ADB=45° 计算：不难得到D点坐标为（1，3），圆的半径 ，Q点在E点正上方，距离为r，则Q点 坐标为 ，当P点下x轴下方时，由对称性得到此时P点坐标为 综上，P点坐标为 或 Q y B D C O A x 【法二：倍半角模型】 简析：由对称性可知AQ=CQ ∠AQD= ∠AQC=22.5° ⇒ 延长OB至点E，使 ，连接AE交对称轴于Q 易知∠AEO= ∠ABO=22.5° 由相似可知⇒QD= EO= ⇒ 同时我们也可以通过三角函数来求QD， y E Q 3 2 B 3 3 2 C O D 3 A x 【法三：转化为等腰直角三角形】 资14料5 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解． ① 当点 在 轴上方时，如下图， Q y B H C O A x ∵ ，则 ， 过点 作 ，设 ，则 ， 由勾股定理得： ， ，解得：m2＝8＋4 ， 则AQ2＝2m2＝16＋8 则y ＝ P ∴Q（1， ） ② 当点Q在x轴下方时， 则y ＝−（2＋2 ）；故点Q的坐标为（1，2＋2 ）或（1，−2−2 ）． P 【法四：K型图找2组相似】 y y Q Q D D B B C O H A x C O H A x E G F E G F ， 资14料6 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 山东日照中考真题 68．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上． （1）求抛物线解析式； （2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可； （2）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则 ∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外 心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标 以及⊙M的半径可得到点Q的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解 得： ，∴抛物线的解析式为 ． （2）存在． ∵A（﹣1，0），C（0，1）， ∴OC＝OA＝1 ∴∠BAC＝45°． ∵∠BQC＝∠BAC＝45°， ∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点． 设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°． 设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝ （负值已舍去）， 资14料7 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1， ∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1）， ∴Q的坐标为（1，﹣1﹣ ）． 甘肃兰州·中考真题 69．二次函数 的图象交 轴于 两点，交 轴于点 .动点 从点 出 发，以每秒2个单位长度的速度沿 方向运动，过点 作 轴交直线 于点 ，交 抛物线于点 ，连接 .设运动的时间为 秒. (1)求二次函数 的表达式: (2)当 时，在直线 上存在一点 ，使得 ，求点 的坐标 【答案】（1） （2） 或 【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可； （2）当 时， ，此时 点在二次函数的对称轴上，以 点为圆心， 长为半径作圆， 交 于 两点，得出 ，再根据 （同弧 所对圆周角），即可解答 【详解】（1）将点 代入 ，得： ，解得： 所以，二次函数的表达方式为： （2）当 时， ，此时 点在二次函数的对称轴上， 以 点为圆心， 长为半径作圆，交 于 两点 资14料8 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点在该圆上 （同弧所对圆周角） 或 四川资阳·中考真题 70．如图，抛物线 过点 ，且与直线 交于B、C两点，点B的坐标 为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使 ？若存在，求点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式 ；（2）点Q的坐标： 、 ． 【分析】（1）将点B的坐标为 代入 ， ，B的坐标为 ，将 资14料9 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 代 入 ， 解 得 ， ， 因 此 抛 物 线 的 解 析 式 ； （2）作 轴于点 H，连接 、 、 、 、 ，由 ， ，可得 ， 因为 ， ，所以 ，可知 外接圆的圆心为 H，于是 设 ，则 ， 或 ，求得符合题意的点Q的坐标： 、 ． 【详解】解：（1）将点B的坐标为 代入 ， ，∴B的坐标为 ，将 ， 代入 ， 解得 ， ，∴抛物线的解析式 ； （2）作 轴于点H，连接 、 、 、 、 ， ∵抛物线的解析式 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 可知 外接圆的圆心为H， 资15料0 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 设 ， 则 ， 或 ∴符合题意的点Q的坐标： 、 ． 资15料1 整理【淘宝店铺：向阳百分百】