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第 21 章 一元二次方程全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+2y+3＝0 B．x2+1＝（x﹣2）x
1 x2−1
C．x− =0 D． =3
x 2
2．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx＝3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
3．（3分）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x ＝﹣3，x ＝2（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a
1 2
（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝2 B．x ＝﹣5，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣4 D．无法求解
1 2
4．（3分）太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，净化水的过程中，每增加一次过滤可减
少水中的杂质x%，经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的36%，根据题意可列方程为（ ）
A．1﹣2x＝36% B．（1﹣x）2＝36%
C．2（1﹣x%）＝36% D．（1﹣x%）2＝36%
5．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个
三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，则方程cx2+bx＝a一定有实数
根（ ）1 1
A．2024 B． C．﹣2024 D．−
2024 2024
7．（3分）m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）
的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．（3分★★★）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
9．（3分★★★）已知关于y的多项式（n+2）y|n|+2+（n﹣1）y+3是四次三项式，关于x的一元二次方程x2
﹣x﹣m+n＝0有实数根为a，则3a2﹣3a+m的最小值为（ ）
3 7
A．1 B． C．2 D．
2 4
10．（3分★★★★）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的序号有（ ）
①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1；
②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；
⑤若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ．
0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）关于x的方程 3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
(m−2)xm2−2+
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不等的实数根，则实数m的取值范围
是 ．
13．（3分）若关于 x的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0的解为x ＝1，x ＝4，则关于y的一元二次方程
1 2
y+1
a( ) 2+3(y+1)=4的解为 ．
2
14．（3分）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了
45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
2024
15．（3分★★★）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0一个根，则a2﹣2023a+ 的值为 ．
a2+116．（3分★★★★）定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．则下列四个结论：①如
5
果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则c=− ；②如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒
4
方程也无解；③如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等
的实数根．其中正确的结论是 .（填序号）
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程．
（1）x2﹣2❑√2x+2＝0（公式法）；
（2）2x2+3x﹣3＝0（配方法）；
（3）（y+2）2＝（2y+1）2（因式分解法）．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以
2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、
Q两点同时停止运动，设运动时间为t s．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
20．（8分）请阅读下面材料，并解答问题：
阅读材料：利用多项式乘法法则可知（x+a）（x+b）＝x2+bx+ax+ab＝x2+（a+b）x+ab，
所以因式分解x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
例如：x2+7x+12＝x2+（3+4）x+3×4＝（x+3）（x+4）．
利用以上的因式分解可以求出方程x2+7x+12＝0的解，如：x2+7x+12＝（x+3）（x+4）＝0，所以可知
x+3＝0或者x+4＝0，解得x＝﹣3或者x＝﹣4，所以方程x2+7x+12＝0的解是x＝﹣3或者x＝﹣4．
（1）因式分解：①x2+5x+6．
②x2﹣7x+12．
（2）利用因式分解求方程x2﹣8x﹣65＝0的解．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+a＝1．
（1）当a＝5时，试判断此方程根的情况．
（2）若x ，x 是该方程不相等的两实数根，且（ 4x ﹣2）（ 4x +2）＝45，求a的值．
1 2 x2+ 1 x2+ 2
1 2
（3）若a为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求a的值．
22．（8分★★★）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案 T恤
衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发
现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
（1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
（3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；
利润
若不能，请说明理由．（利润率= ×100%）
成本
23．（10分★★★★★）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的
关系，提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x ，x 有如下的关系（韦达定理）：
1 2
b c
x +x =− ，x •x = ；
1 2 1 2
a a
材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方
程x2﹣x﹣1＝0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：a2+3a﹣5＝0，b2+3b﹣5＝0（a≠b）则a+b＝ ，ab＝ ；
（2）若x ，x 是方程x2﹣6x+k+3＝0两个不等实数根，且满足5|x |＝x +6，求k的值；
1 2 1 2
1 1
（3）已知实数 m、n、t 满足：m2﹣4m＝7+t， n2−n= （7+t），且 m＜0＜n，求（n2+1）
4 4
（4m+8+t）的取值范围．
