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2025 年高考一轮复习第二次月考卷 03
（满分150分，考试用时120分钟）
测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+平面向量+复数
一､选择题
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解分式不等式求出集合 ，再化简集合 ，最后根据交集的定义计算可得.
【解析】由 ，等价于 ，解得 或 ，
所以 或 ，
又 ，
所以 .
故选：C
2．设 是虚数单位，则复数 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方运算，结合共轭复数的意义求解即得.
【解析】复数 ，所以 .
故选：A3．已知 为单位向量，且 则 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，得到 ，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得
到答案.
【解析】设 的夹角为 ，因为 ， 为单位向量，
所以 ，所以 .
故选：B.
4．若 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．27
【答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.
【解析】根据题意可得 ；
当且仅当 ，即 时，等号成立；
此时 的最小值为9.
故选：A.
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦函数奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.【解析】 .
故选：D.
6．已知火箭在 时刻的速度为 （单位：千米/秒），质量为 （单位：千克），满足
（ 为常数）， 、 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量
千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为 ，经过 秒后的速度 千米/秒，
此时火箭质量 千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ ， ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，得到 和 ，结合对数的运算性质，即可求解.
【解析】由题意知，火箭在 时刻的速度为 ，质量为 ，满足 ，
因为经过 秒后的速度 千米/秒，此时火箭质量 千克，
可得 ，火箭耗尽燃料时速度为 ，
两式相除得 .
故选：C．
7．若至少存在一条直线与曲线 和 均相切，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.
【解析】 ，设公切线与曲线y=f (x)相切于点 ，与曲线y=g(x)相切于点
，
则切线方程分别为 ， ，
所以
由①得 ，
代入②得 ．
令 ，
则 ，
所以当 时，ℎ ′(x)<0，当 时，ℎ ′(x)>0，
所以ℎ(x)在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
所以 ，
又当 时， ，
所以ℎ(x)的值域为 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
8．已知函数 的定义域为 ，对定义域内任意的 ，当 时，都有 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．函数 和 在 上有相同的单调性
【答案】C
【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.
【解析】对于A： ，
，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 恒成立，
又因为 不相等，所以 ，A选项错误；
对于B： ，
所以 恒成立，
所以 ，又因为 不相等， ，
所以 ，
又 ， ，
， ，
所以 ，
所以 ，B选项错误；对于C: 因为 不相等，不妨设 ，
因为 ，
所以
，
所以 ，C选项正确，
对于D：不妨设 在 上单调递增，任取 ，满足 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 单调递减，D选项错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数 （ 且 ）的图象恒过定点
B．若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是
C．将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象
D． 的零点所在的一个区间为
【答案】ACD【分析】对A，根据对数函数的定义即可求解；对B，由二次函数的性质可判断；对C，根据三角函数的平
移原则即可判断；对D，根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断.
【解析】对于A，令 ，解得 ， ，
所以 恒过定点 ，故选项A正确；
对于B，因为 ， ，为真命题，则 ，解得 ，故B错误；
对于C，函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图
象，故C正确；
对于D，因为 在 上均单调递增，
则 在 上单调递增，
又 ， ，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为 ，故D正确.
故选：ACD
10．已知 的三边长分别为 为 内一点，且满足 .设
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】假设 ，然后根据向量的运算及余弦定理、三角形面积公式计算即可.【解析】对于A， ，故A错误；
对于B，不妨设 ，
由余弦定理可知 ，故 ，
，
设 ，
则 ，
又因为 ，
故 ，所以 ，故B正确；
对于C，由余弦定理可知， ，
同理 ，
故
，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：BCD.
11．已知 ，且 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最大值为C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】选项A，根据条件得到 ，利用 的性质，即可求解；选项B，根据条件，
利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，得到 ，从而有
，得到 ，即可求解；选项D，利用 ，得
，即可求解.
【解析】对于选项A，由 得， ，又 ，可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故选项A正确；
对于选项B，易知， ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A知 ，所以 ，得到 ，
所以 ，所以 ，整理得 ，所以选
项C正确；
对于选项D，由 得到， ，得 ，所以选项D正确.
故选：ACD.三、填空题
12．“函数 是奇函数”的充要条件是实数 ．
【答案】0
【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.
【解析】若函数 是奇函数，
则当且仅当 ，
也就是 恒成立，从而只能 .
故答案为：0.
13．已知 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，保证 有意义，再代入函数解不等式即可.
【解析】 ， ，解得 ，所以 的定义域为(−1,1)，
将 代入 ，
得 ，
即 ，
即 ，则 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ．故答案为： .
14．已知 ，若 ， ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】设 ，作出 和 的图象，数形结合得出
，由余弦函数图象的对称性得出 ，结合 得出
，构造函数 ，利用导数求出最
大值即可求解．
【解析】设 ，则 ， 的图象如图所示，
即 的图象与 的图象有3个交点，横坐标依次为 ，且 ，
由余弦函数图象的性质可知， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，
则 ，令 ，解得 或 ，
当 时， 在 单调递增，当 时， 在 单调递减，
当 时， 在 单调递增，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
四、解答题
15． 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的角平分线与 交于点 ，求 .
【答案】(1) .
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.
【解析】（1）依题意，由正弦定理可得
所以 ，
又
所以 ，因为B∈(0,π)，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）解法一：如图，由题意得， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
解法二：如图， 中，因为 ，
由余弦定理得， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
16．已知函数 ， .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，求 的值；(2)若 ，求函数 的极值.
【答案】(1) ；
(2)极小值 ，无极大值.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得.
（2）把 代入，利用导数求出函数的极值.
【解析】（1）函数 ，求导得 ，则 ，
依题意， ，所以 .
（2）当 时，函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值.
17．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太
阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度 （E为入射光能
量且 为入射光入射有效面积），电池板转换效率 与入射光功率密度 成反比，且比
例系数为k．
(1)若 平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量 ，锂离子蓄电
池的放电量 ．设 ，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，
应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量 ；②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；
（2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.
【解析】（1） ，
若 平方米，则 ；
（2）由 ，即 ，
铅酸蓄电池的放电量为： ，
锂离子蓄电池的放电量为： ，
则
，
令 ，可得 ，
即 时， ，此时应选择铅酸蓄电池，
当 时， ，此时应选择锂离子蓄电池，
当 时， ，两种电池都可以.18．已知函数 ， .
(1)求函数 的值域；
(2)设函数 ，证明： 有且只有一个零点 ，且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 ，首先判断 的奇偶性，再利用换元法求出函数在
时的取值范围，结合偶函数的性质得解.
（2）结合零点的存在性定理分类讨论可证 有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得
.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 为偶函数，
当 时 ，
令 ，则 ，令 ， ，
，又 ， ，
所以 ，即当 时 ，根据偶函数关于 轴对称，所以当 时 ，
综上可得 .
（2）因为 ，
当 时，函数 与函数 均在 上单调递增，
故 在 上单调递增，
又 ， ，
故 存在唯一零点 ，
当 时， ， ，故 ，
当 时， ， ，故 ，
故当 时， 无零点，
综上所述， 有且只有一个零点，且该零点 ；
由上可知 ，且有 ，
则 ，
即 ，
由函数 在区间 上单调递增，
故 .【点睛】关键点睛：本题二问关键在于借助零点的存在性定理判定 有且只有一个零点，借助零点
得到 ，将 转化为 ，结合函数单调性，得到
.
19．阅读以下材料：
①设 为函数 的导函数.若 在区间D单调递增；则称 为区 上的凹函数；若 在区
间 上单调递减，则称 为区间 上的凸函数.
②平面直角坐标系中的点 称为函数 的“ 切点”，当且仅当过点 恰好能作曲线 的 条切
线，其中 .
(1)已知函数 .
（i）当 时，讨论 的凹凸性；
（ii）当 时，点 在 轴右侧且为 的“3切点”，求点 的集合；
(2)已知函数 ，点 在 轴左侧且为 的“3切点”，写出点 的集合（不需要写出求解过
程）.
【答案】(1)（i）答案见解析；（ii） 或
(2)点 的集合为 或 或
【分析】（1）（i）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数 的单调性，可得其凹凸性；
（ii）根据“ 切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点 的集合；（2）根据函数 利用“ 切点”的定义，得出单调性即可得出结论.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，
所以 .
（i）当 时， ，令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
故 为区间 上的凹函数，为区间 上的凸函数；
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
故 为区间 上的凹函数，为区间 和 上的凸函数；
当 时， ，故 为区间 上的凸函数；.
当 时，令 ，
解得 ，
令 ，解得 或 ，
故 为区间 上的凹函数，为区间 和 上的凸函数；
综上所述，当 时， 为区间 上的凹函数，为区间
和 上的凸函数；当 时， 为区间 上的凸函数；
当 时， 为区间 上的凹函数，为区间 和
上的凸函数；
当 时， 为区间 上的凹函数，为区间 上的凸函数；
（ii）当 时， ，
故在点 处的切线方程为 .
设 为 的“3切点”，
则关于 的方程 有三个不同的解，
即关于 的方程 有三个不同的解，
令 ，
所以直线 与曲线 恰有三个不同的交点.
.
当 时， 随 变化情况如下：
1
0 0
减 极小值 增 极大值 减
故 ；
当 时， 单调递减，不符合题意；
当 时， 随 变化情况如下：1
0 0
减 极小值 增 极大值 减
故 ；
综上所述，点 的集合为
或
（2）点 的集合为 或 或
【点睛】关键点点睛：本题在求解“ 切点”问题时，关键是利用其定义将切线问题转化成求解方程根的
个数，再利用导数求得函数单调性即可得出结论.
