文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷 01（新高考Ⅱ卷专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ，又 ，
则 .
故选：C
.
2．函数 的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 时 ，不是对称轴；时 ，不是对称轴；
时 ，是对称轴；
时 ，不是对称轴；
故选：C
3．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则
又 ，得到 ，
所以 ，所以 或 ，得到 ，
所以 .
故选：B.
4．已知平面向量 ， ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，
由 在 方向上的投影向量
故选:C.
5．设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
【解析】由 ，可得
又 是是双曲线 上的一点，则 ，
则 ， ，又
则 ，则
则 的面积等于
故选：A
6．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，设 在底面的投影为 ，易知正四棱锥 的外接球球心在 上，
由题设，球体半径 ，则 ，
所以 ， ， ，
中边 上的高为 ，故正四棱锥的侧面积为 .
故选：C7． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 ， ，则AB边
上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，解得 ，
1
设AB的中点为D，则⃗CD= (⃗CA+⃗CB)，
2
则
，
则 ，
故AB边上的中线长为 .
故选：D.
8．已知 ，当 时， 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，原不等式化为 恒成立，
令 ， ，求导得 ，
由 得， ；由 得， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上有两个零点，记为 ，
显然当 或 时， ，当 时 ，
要使 恒成立，则 也是 的两个零点，
于是 ，由 ，得 ，即 ，因此 ，
令 ，求导得 ，由 ，得 ，由 得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 在抛物线 上，若 ，则（ ）
A． 的坐标为 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由抛物线 ，可得 ，所以 ，且焦点在y轴正半轴上，
则焦点 ，所以A错误；
由抛物线的定义,可得 ，解得 ，所以B正确；
由 ，可得 ，所以 ，则 ，所以C不正确；由 ，所以D正确．
故选：BD．
10．如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类
似双曲函数的图像．常见的有双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ．下列结论正确的
是（ ）
A．
B．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
C．若点P在曲线 上， 为曲线在点P处切线的倾斜角，则
D．
【答案】ABC
【解析】选项A中：左边 ，A对；
选项B中： 关于 对称且有 .
恒成立，所以双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数，B对；
选项C中：设 ，则 ，即 ，所以 ，C对；
选项D中：左边 ，右边，左边≠右边，D错
故选：ABC
11．聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是： ， ，若 ，存在异于 的 ，使得
，则称 为集合 的“聚点”，集合 的所有元素与E的聚点组成的集合称为 的“闭包”，
下列说法中正确的是（ ）
A．整数集没有聚点 B．区间 的闭包是
C． 的聚点为0 D．有理数集 的闭包是
【答案】ABD
【解析】对于A，根据定义， ， ，若存在 ，使得 ，
所以， ，当 时，这样的 不存在，
所以不存在符合不等式且异于 的 ，故整数集无聚点，故A正确；
对于B，若 ，对于 ，
因为 ，所以存在异于 的 ，使得 ，
故 ，故 为集合 的“聚点”， 即区间 的闭包是 ，B正确；
对于C，因为 ，
所以对于 ，都存在 ，使得 ，
所 ，故 的聚点为1，故C错误；
对于D，对于 ， ，都存在 ，使得 ，所以 为集合 的“聚点”，所以有理数集 的闭包是 ，D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在等比数列 中， 是函数 的极值点，则
【答案】4
【解析】 ，
因为 是函数 的极值点，
所以 是方程 的两根，
由韦达定理可得 ，所以 都是正数，
在等比数列 中， 同号，且 ，
所以 .
故答案为： .
13．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵
族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中
开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为
.
【答案】 /
【解析】从“六艺”知识讲座中任选两门，基本事件总数 ，
其中“礼”和“书”至少有一门被选出，包含的基本事件个数 ，
其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率 ．
故答案为：14．过曲线 上一点 作该曲线的切线 ， 分别与直线 ， ， 轴相交于点 ， ，
.设 ， 的面积分别为 ， ，则 ， 的取值范围是 .
【答案】 2 (0，2)
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ，
曲线在 处的切线方程为 ．
分别与 与 联立，可得 ， ， ， ，
取 ，可得 ，又 ，
的面积 ；
，
点 到直线 的距离 ．
的面积 ．
故答案为：2； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
近年来，因使用手机过久､工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问
题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：
9 非 合
0后 90后 计
23：00前 3 8
入睡 0 0
23：00后入睡
1 2
合计
00 00
(1)完成列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90
后”有关联？
(2)随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到
消费者推崇，记 年的年份代码 依次为1，2，3，4，5，下表为 年中国睡眠经济市
场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测，
年份
1 2 3 4 5
代码
市场 3 4 4 5 5
规模 .8 .2 .5 .0 .3
根据上表数据求 关于 的回归方程.
参考公式： ，其中 .回归方程 ，
其中
参考数据： .
【解析】（1） 列联表如下：
9 非 合
0后 90后 计
前 3 8
50
入睡 0 0
后 7 1
50
入睡 0 20
1 2
合计 100
00 00
零假设 ：“23：00前入睡”与“是90后”无关联，因为 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为“ 前入睡”与“是90后”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）由 的取值依次为 ，
得 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 关于 的回归方程为 .
16．（15分）
已知数列 的前 项和为 .
(1)求证： 是等比数列 ；
(2)求数列 的通项公式：
(3)若 ，数列 的 项和为 ，求证： .
【解析】（1）由 ，可得 ，即 ，
则 ，所以 ，
因此 是首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知 ，
当 时， ，
当 时， ， 时也适合，
所以 .
（3）因为 ，
①
②
①-②得 ，
所以 .
因为 ，所以 .
17．（15分）
设函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；(3)当 时， ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
则 ，又 ，
故 在 处的切线方程为 ．
（2）因为 ，则 ，
若 ，即 时， 恒成立，故 在R上单调递增；
若 ，即 或 时，
．
0 0
递 递 递
增 减 增
则 在 和 上为增函数；
在 上为减函数．
综上所述，当 时， 在R上单调递增；
当 或 时， 在 和 上为增函数；
在 上为减函数．
（3）因为 时， ，即 ，
当 时，上式成立，而当 时，即 恒成立，记 ，
则 ．
记 ，则 ，
则 在 为减函数，则 ，即 恒成立，
则当 时， 则 在 上递减，
当 时， ，则 在 上递增，
，则 ，所以 的取值范围为 ．
18．（17分）
如图，已知椭圆的标准方程为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，点 为椭圆上一动点，
且在 轴上方，延长 ， 分别交椭圆于点 ， .
(1)证明： 的周长大于 ；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)求 面积的最大值.
【解析】（1）连接 ，注意到 ，故 的周长为 .
（2）设A(x ,y )， ， ，
0 0
由 ，且 ，故 ，
又 ，则 ，即 ，
因此 ，故直线 的方程为： ，即 ，
直线 的方程为： ，联立 ，得 ，
则 ，即 ，因此 ，
而 ，因此 ，
故直线 的方程为： ，即 .
（3）因为点A在x轴上方，所以直线 斜率不为0，
设直线 ，直线 ，A(x ,y )， ， ， ，
0 0
联立 ，可得 ，则 ，
注意到 ，故 .联立 ，可得 ，则 ，
注意到 ，故 .
则 ， .
注意到 ，因为 ， ，
所以 ，
则 ，
设 ， ，则 ，则 单调递增，
故 ，
则 面积的最大值为 .
19．（17分）
如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ．(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)若棱 的中点为 ，求 的长；
(3)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值．
【解析】（1）取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面 ⊥平面 时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥 的体积取得最大值，
此时PG⊥平面 ，且 ，
底面 为梯形，面积为 ，
则四棱锥 的体积最大值为
（2）取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为 PAB的中位线，
△
所以NQ∥AB且 ，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且 ，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，所以 .
（3）连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为 的平面角，即 ，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
设平面PAM的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设平面PBC的法向量为 ，
因为 ，
则
令 ，可得： ，
设两平面夹角为 ，
则
令 ， ，所以 ，所以 ，所以当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为
