文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷 02(新高考 I 卷专用)
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，则 .
由 ，得 ，则 ，
所以 .
故 选：C.
2．在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于虚轴对称，则复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 .故选：
3．已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
故选：C.
4．已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．54 B．55 C．56 D．57
【答案】C
【解析】由题意可知， ，
所以 ， ， ，……， ，
所以上面9个式子相加得 ，
所以 .
故选：C
5．函数 的图象大致为（ ）.
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】设 ，则 ，
∴函数 为奇函数，选项B错误.
当 时， ，
由 得， ，
∴ ，∴ ，CD错误，选项A符合要求.
故选：A.
6．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若函数
在区间 上单调递减，则 的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由题可知， ，
时， ．
因为 在区间 上单调递减，所以 ，所以 ，
的最大值为5．
故选：B
7．已知点 、 是椭圆 的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点 关于
的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若 ，则椭圆B的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可知， ，
且 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 即 ，
又 ，所以 ，
所以由余弦定理 得 ，
整理得 ，所以 即 .
故选：B.
8．若定义域均为 的函数 ， 满足： ，且 ，使得 ，
则称 与 互为“ 亲近函数”．已知 与 互为“ 亲近函
数”，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】因为函数 ， ， 均在R上为增函数，
所以 在 上为增函数，且 ，
故 是 的唯一零点，要使 和 互为“ 亲近函数”，
则存在 ，使得 ，即 在 内存在零点，
所以方程 有解，令 ，则 ，
故 ，易知 不是此方程的解；
当 时，有 ，由对勾函数的性质可知， ，
故 的取值范围是 ．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 且 ，则 D．若 ，则
【答案】AD
【解析】对于选项A，当 时， .
∵ ，当且仅当 时，取等号，∴ ，故A正确.
对于选项B，∵ 且 ，由糖水原理可知 ，故B错误；
对于选项C，当 时，结论不成立，故C错误；对于选项D， ，即 ，故D
正确.
故选：AD.
10．如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别为线段 ， 上的动点（包括端
点），点 在底面 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在唯一的 ， ，使得
B．存在唯一的 ， ，使得
C．若 为线段 的中点，且 平面 ，则动点 的轨迹的长度为
D．若 为线段 的中点，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，当 时，因为 平面 ，
所以 在平面 内或 与平面 平行，
故当且仅当 与 重合，且 与 重合时， ，A选项正确；
对于B选项，过 在平面 内作 的平行线，与底面 内（包括边界）没有公共点，
故不存在 ， ，使得 ，B选项不正确；
对于C选项，当 为线段 的中点时，过 作与平面 平行的截面，与底面 的交线为 中 的中位线，即为动点 的轨迹，其长度为 ，C选项正确；
对于D选项，设 关于平面 的对称点为 ，
则 ，D选项正确．
故选：ACD
11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图
形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆 的方程为 ，半椭圆 的方程为
．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆 上，点B在半椭圆 上，O为坐标原点，OA⊥OB，则 OAB面积的最大值为6
△
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若 ，P是半椭圆 上的一个动点，则cos∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中
心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆 扩充为整个椭圆 ： 后，椭
圆 的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为点A在半圆 上，点B在半椭圆 上，O为坐标原点，OA⊥OB，
则 ， ，则 ，
当 位于椭圆的下顶点时取等号，
所以 OAB面积的最大值为6，故A正确；
△
对于B，半圆 上的点到 点的距离都是 ，
半椭圆 上的点到 点的距离的最小值为 ，最大值为 ，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C， 是椭圆 的两个焦点，
在△PAB中， ，由余弦定理知：
，
当且仅当 时取等号，
所以cos∠APB的最小值为 ，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆 ： 中取两条切线：
和 ，它们交点为 ，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为： ，故D正确．
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，则直线 的方程为 ．【答案】 和
【解析】圆 的圆心和半径分别为 ，
当直线 无斜率时，此时： ，与圆相切，符合题意，
当直线有斜率时，设 ，
此时圆心 到直线的距离为 ，解得 ，
此时直线方程为 ，即 ，
综上可得 和
故答案为： 和
13．已知 ， ， 成等差数列，若直线 与曲线 相切，则 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，直线 ，
故直线 过定点 ，且曲线 过点 ，
故直线 与曲线 （无拐点）相切于点 .∵ ，
∴直线 的斜率 ，∴直线 的方程为 ，∴ ，
∴ .
故答案为： .
14．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为 ，乙每盘
获胜的概率为 .在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 .
【答案】
【解析】设 分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，
设 分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，
根据相互独立事件的概率公式可得 ，
，
则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为 ，
且 互斥，故
，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下
面问题中并解答.
问题：在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ， ， ，且
_____________，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】因为 ，可知角A是钝角，
又因为 ，则 ，可得 .
选择条件①：因为 ，即 ，
化简得 ，即 ，
由正弦定理得 .
由 ，解得 ，
由余弦定理可得 ，所以 .
选择条件②：
因为 ，由正弦定理可得 ，
整理可得 ，即 .
由正弦定理得 ，由 ，解得 ，
由余弦定理可得 ，所以 .
16．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， ，
为等边三角形，且平面 平面 ．
(1)作出点 在平面 的射影 ，并证明；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解析】（1）在 中，作 ，垂足为 ，点 即为点 在平面 的射影．下面证明
平面 ：因为四边形 为等腰梯形，所以 ，
在 ， 中，
，
，
解得 ， ．
又 ， ，∴ ，
∴ ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）连接点 与 的中点 ，则 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
如图，以 为原点，过点 且平行于 的方向为 轴，直线 ， 分别为 轴， 轴建立空间直
角坐标系，
则 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，易知 ， ，
则 取 ，则 ， ，则 ．
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 取 ，则 ， ，则 ．∴ ，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
17．（15分）
在平面直角坐标系 中，圆C的方程为： ，定点 ，B是圆C上任意一点，线
段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.
(1)求点T的轨迹W的方程；
(2)已知点 ，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与
直线 交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.
【解析】（1）由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则 ，可得
.
由椭圆定义可得，点T的轨迹是以 ，F(1,0)为焦点的椭圆，
且椭圆长轴长为 ，焦距为 ， ，
所以点T的轨迹W的方程为
（2）
由（1）知A(−2,0)，F(1,0)，设直线 ，P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立 消去x，整理得 ，则，
根据题意可设 ， ，则由 ，
可得 ，同理可得 ，
所以直线FM与直线FN的斜率之积，
.
所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值 .
18．（17分）
已知函数 与 为函数 的极值点．
(1)求 的值；
(2)求 在点 处的切线方程；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意可为， 的定义域为
因为 在 处取得极值，所以 ，解 ，
当x∈(0,1)时， 单调递增；当x∈(1,+∞)时， 单调递减，
经检验，符合题意,
所以 .
（2）
所以切线方程为 ．.
（3）若 恒成立，则 ，
由 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在区间(0,+∞)上单调递增，
因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
即 ，即
令 ，则 ，
所以函数 在(1,+∞)上单调递增，
因为 ，则 ， ，由 ，
则 ，所以 ，
当 时，g(x)<0，ℎ '(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当 时g(x)>0，ℎ '(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以 ，
则 ，
所以实数 的取值范围为19．（17分）
某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，
2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草
稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有 点积分，该同学用完 点积分的方式种数记为 ，求 表达式；
(3)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ．
【解析】（1）记用1积分购买签字笔为 ，用2积分购买草稿本为 ，用2积分购买便利贴为 ，
由枚举可知，该同学用完积分的方式如下：
，共有11种．
（2）对第一天使用积分购买的商品进行分类：
①第一天买签字笔，使用1积分，余下的 积分在以后用完，种数为 ，
②第一天买草稿本或便利贴，使用2积分，余下的 积分在以后用完，种数为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ．
（3）由题可知 ，
法一：易知当 时， ．当 时，因为 ，
所以 ，
所以 ．
法二：易知当 时， ．
当 时，因为 ，
所以 ．
