文档内容
模块七 平面解析几何（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【解析】由题意可得 的半径 的半径
且 ，故两圆相交.
故选：
2．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵双曲线方程为 ， .
∵双曲线 的渐近线方程为 ，
，即 ，解得 .
故选：D.3．已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，一个焦点在抛物线 的准线上，
则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线渐近线的斜率为 ，则 ，
抛物线 的准线为： ，结合 ，
，不妨取顶点 ，渐近线 ，
故双曲线顶点到渐近线的距离为 ，
故选：C.
4．下列选项中的圆既与 轴相切又与直线 相切的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对A：圆心为 ，半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，所以圆不与 轴相切，故A错
误；
对B：圆心为 ，半径为1，圆心到直线 的距离为： ，所以圆与直线
不相切，故B错误；
对C：圆心为 ，半径为 ，圆心到 轴的距离为 ，到直线 的距离为：，所以所给的圆既与 轴相切又与直线 相切，故C正确；
对D：圆心为 ，半径为1，圆心到直线 的距离为 ，所以圆与直线
不相切，故D错误.
故选：C
5．已知圆 与直线 交于 两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【解析】因为圆 的圆心为 ，半径为 ；
且圆 与直线 交于 两点， ，
所以 为等腰直角三角形， ，则 ，
因此圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，解得 或 ；
故选：C
6．若直线 ： 与直线 ： 平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 ： 与直线 ： 平行，
所以 ，所以 ，所以直线 ： 即 ，
所以这两条直线间的距离为 .
故选：B.
7．已知 ，双曲线 的离心率为 ，若 ，则点 与椭圆
的位置关系为（ ）
A．点 在椭圆 内 B．点 在椭圆 上
C．点 在椭圆 外 D．不确定
【答案】A
【解析】由题意可得 ,因为 ，
所以 ,所以 ,
所以 ,则 ，从而 ，故点 在椭圆 内.
故选：A
8．设椭圆 的右焦点为 . 为 上一点， 的半径为 ，过 作 轴的垂线，
交 于 两点， 在 的左侧.记 的离心率为 ，点 轨迹的离心率为 ，点 轨迹的离心率为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，故 ，
故 带入有 ，
同理得 ，
由 有 ，
故 ， ，故 ，
故答案为：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 分别是双曲线 的上，下焦点， 上的点 在第一象限内，且 的渐近线
方程为 ，则（ ）
A． B． 的虚轴长为
C． 的焦距为 D．
【答案】AB
【解析】因为 的渐近线方程为 ，
所以 ，得 ，A正确；
则 的虚轴长为 ，B正确；焦距为 ，C错误；
因为 上的点 在第一象限内，
所以 ，即 ，D错误．
故选：AB.10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 称为黄金数.离心率等于黄金数的倒
数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线 的左，右顶点分别为 ，虚轴的上端点
为 ，左焦点为 ，离心率为 ，则（ ）
A．
B．
C．顶点到渐近线的距离为
D． 的外接圆的面积为
【答案】ABD
【解析】
设双曲线的半焦距为 ，则 ，
由题意知 ，A正确.
，B正确.
对于C，双曲线 的渐近线方程为 ，
所以顶点到渐近线距离 ，C错误.
对于D，因为 ，所以 ，所以 为直角三角形，且 ，所以 的外接圆半径为 ，故 外接球面积 ，D正
确.
故选：ABD.
11．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 相交于A，C，B，D
四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为
C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由已知可得圆心为 ，半径 ，
由圆的性质知：圆心与直线BD距离最大为 √2，
线段AO长度最大，则圆心与A，O共线且在它们中间，
此时 √2，故A错误；
由圆的性质知：当圆心与直线BD距离最大为 √2时弦BD的长度最小，
此时 ，故B正确；
若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点，则 且 ， 且 ，
又 ，易知：四边形 为矩形，而 ，
若圆心 到直线AC，BD的距离 且 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以点M在以 为直径， ， 的交点为圆心的圆上，故C正确；
由以上分析： ， ，
而 ，
所以 ，
令 ，则S ，
当 ，即 时， ，
当 或2，即 或 时， ，
所以 ，故D正确．
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 平分圆 ，则 .
【答案】2
【解析】 化为：，
所以 的圆心为 ，
因为直线 平分圆 ，
所以 经过 的圆心 ，
则 ，解得 ,经检验符合题意.
故答案为：2.
13．一只盛水的圆柱形茶杯倾斜后得到椭圆形水面，若水面与底面所成的二面角为 ，则水面椭圆的离
心率为 ．
【答案】
【解析】如图，AC为椭圆长轴， 为椭圆短轴，
因水面与底面所成的二面角为 ，则 ，则 ，
则 .
故答案为：
14．已知在棱长为3的正方体 中，点 是底面ABCD内的动点，点 为棱BC上的动点，
且 ，则 的最小值为 .【答案】
【解析】如图（一）， ， .
又 ， .
如图（二），建立平面直角坐标系，则 ， ， ，设点 .
，化简得： （ ， ）.
则圆心为 ， ，点 关于BC的对称点 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 ， 上存在两点关于直线 对
称.
(1)求 的半径；
(2)过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为2，求 的方程.
【解析】（1）圆 ，即 ，
则圆心为 ，半径 ，
因为 上存在两点关于直线 对称，所以点 在直线 上，所以 ，解得 ，
所以 的半径 ； （6分）
（2）由（1）可得 ，圆心为 ，
因为过坐标原点 的直线 被 截得的弦长为 ，所以圆心 到直线的距离 ，
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时圆心 到直线的距离 ，符合题意；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
综上可得直线 的方程为 或 . （13分）
16．（15分）
已知双曲线E： 与 有相同的渐近线，且过点 .
(1)求E的方程；
(2)已知O为坐标原点，直线 与E交于P，Q两点，且 ，求m的值.
【解析】（1）由题意，设E的方程为 ，又E过点 ，
所以 ，解得 ，
所以E的方程为 . （7分）（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，由 得 ，
1 1 2 2
因为 ，
所以 ， ， （9分）
所以
，
所以 ，
解得 或 . （15分）
17．（15分）
在平面内，动点M 到点 的距离和它到直线 的距离相等，记动点M 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并判断其形状；
(2)若点 在曲线C上，且
（i）证明：直线AB过定点：
（ii）记（i）中的直线AB过的定点为P，且过P作垂直于AB的直线l交曲线C于D、E两点，求四边
形 的面积的最小值.
【解析】（1）因为动点 到点 的距离和它到直线 的距离相等
所以动点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线.设 的方程为 ，则 ，即 .
所以 的轨迹方程为 ，抛物线开口向右 （4分）
（2）（i）设 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，得 ，
因此直线 ，故直线AB上经过定点 ， （8分）
（ii）由（i）可知 ，
同理设 ,
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，
可知 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，四边形 的面积的最小值为32. （15分）18．（17分）
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为 ，焦距为 ，且离心率为 .
a2 b2
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，点 为 的外心.
（i）若 为等边三角形，求点 的坐标；
（ii）若点 在直线 上，求点 到直线 的距离的取值范围.
【解析】（1）因为椭圆的焦距为 ，
又因为离心率为 ，所以 ，
由 得 ，
所以椭圆 的方程为 ； （4分）
（2）（i）因为 为等边三角形，所以 ，
由对称性可知 关于 轴对称，
可设直线 的方程为： ，当 时， ，
所以点 ，点 ， ，因为 ，所以 ，
化简整理有： ，解得 或- （舍去），
又因为点 为 的外心，即为 的重心，
设 ，则有 ，所以 ； （9分）
（ii）当直线 的斜率为0时，线段 的中垂线为 轴，不满足题意.
设直线 的方程为： ，则有： ，
所以 ，
设 ，则有： ，
设 、 为线段 ， 的中点，则 ， ，
可得线段 的中垂线方程为 ，即 ①，（12分）
同理可得线段 的中垂线方程为 ②，
联立①②解得
，由 ，可得 ，即 ，代入不等式 ，
解得 且 ，则 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
设函数 ， ，则 在 为减函数，
在 为增函数，可得 ，进而得 .
综上，点 到直线 的距离的取值范围为 . （17分）
19．（17分）
定义：对椭圆 及任意一点 ，称直线 为 关于点 的“极
线”.
结论1：若点 在椭圆 上，则 关于点 的极线就是 在点 处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦
点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知 是椭圆 的两个焦点， 关于点 的极线 与 相交于 两点.
(1)求 ；
(2)设 在点 处的切线为 ，在点 处的切线为 ，过在 上且在 外一点 作 的两条切线，切点
分别为 ,证明：直线 相交于一点；
(3)若 是 上除顶点以外的任意一点，直线 和 分别与直线 相交于点 ，
证明： 为定值.【解析】（1）根据定义，可得 的方程为 ，即 ，
将其代入 的方程得 ，解得 ，
不妨取 ，所以 . （4分）
（2）根据所给结论可知 分别是 关于点 的极线，
如图（1），取 ，则 .
由 解得 所以 和 交于点 ，
要证明直线 相交于一点，只需证明直线 过点 即可. （7分）
设 .
根据所给结论，可知直线 ，直线 .
因为直线 和 都经过点 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，将 代入，得 ，方程也成立，
所以直线 过点 ，故直线 相交于一点. （10分）（3）由题意， 在 点处的切线方程为 ，则 与 平行，且经过坐标原点.
如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知 .
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
过 作 ，与 交于点 ，则 ，所以 .
另一方面，因为 ，所以 ，
从而 ，所以 .
因此 ，故 为定值. （17分）
