文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷（江苏专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，且 ，则集合 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
A中集合 显然不合题意；
B中集合为 或 ，也不合题意，
C中集合为 ，满足题意，
D中集合为 ，不合题意.
故选：C.
2．若 （i为虚数单位）是关于x的方程 的一个根，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为 （i为虚数单位）是关于x的方程 的一个根，所以， 也是关于x的方程 的一个根，
所以，由韦达定理得：
所以， .
故选：B
3．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得： ，故 ，而 ，所以 .
故选：B.
4．已知向量 ， 满足 ， ，且 在 上的投影向量为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在 上的投影向量为 ，所以 ，
代入 ， ，化简得 .
故选：A.
5．过双曲线C： （ ， ）的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与
双曲线C的另一条渐近线交于点N，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B【解析】因为 ，即 ，
所以点 为 的中点，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以
因为 ， ，所以 ，
所以 .
故选：B.
6．如图，圆台的上、下底面半径分别为 ， ，且 ，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条
母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，作出轴截面，分别为上下底面圆的圆心， 为侧面切点， 为内切球球心，
则 为 的中点，
，
因为 ，所以 ，
则
过点 作 ，垂足为 ，
则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ， ，故 ，
所以圆台的侧面积为 .
故选：D.
7．在 中， ， 为 内一点， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，设 ，令 ，
则 ， ，在 中，可得 ， ，
由正弦定理 ，
得 ，
所以 ，
可得 ，即 ．
故选：B．
8．已知 ， ，若关于 的不等式 在 恒成立．则 的最小值为
（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【解析】设 .
由已知 ， 在 单调递增，
当 时， ；当 时， .
由 图象开口向上， ，可知方程 有一正根一负根，
即函数 在 有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意 ，则当 时， ；当 时， .
所以 是方程 的根，则 ，即 ，且 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
则 的最小值是 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线准线
的垂线 ， ，垂足分别是 ， ，下列说法正确的是( ).
A．直线 过抛物线 的焦点
B．当 时， ， 两点横坐标的和为5
C．当 时，直线 截抛物线所得的弦长为8
D．以 为直径的圆与直线 相切
【答案】ACD
【解析】由题意知抛物线 的交点坐标为(1,0)，准线方程为 ，直线
过定点(1,0)，所以直线过抛物线的焦点，故A正确；
当 时，直线的方程为 ，联立 ，消去 得， ，
设 ，Q(x ,y )，则 ，所以 ， 两点横坐标的和为6，故B错误；
2 2
由抛物线的定义可知， ，故C正确；
设线段 的中点为 ，则 ，所以以 为直径的圆与直线 相切，故 正确.
故选：ACD.
10．已知函数 ， 的定义域均为 ，若存在函数 ，使得函数， 在 上有 ， ， ， 恒成立，则
称 ， 为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】BD
【解析】由题意可知： ， ，
等价于 ， ；
且 ， ，
等价于 ， .
对于选项A：因为 ， ，则 在 内的值域为 ，
可知不存在 ，使得 恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误；
对于选项B：因为 ，
对于 ，则 ，可知 在 内单调递减，
且当 趋近于 时， 趋近于0，可知 ；
对于 ，则 且 ，
可知当 ，满足题意，
所以符合“双向奔赴”函数，故B正确；对于选项C：因为 ， ，则 ，
对于 ， ， ，
取特值 ，可知 ，
不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误；
对于选项D：因为 ， ， ，
对于 ，此时 ，
可得 ，且 ；
对于 ，此时 ，
可得 ， ，
可知当 ，满足题意，
所以符合“双向奔赴”函数，故D正确；
故选：BD.
11．从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转.某苏州地区（经纬度约120°E，31°N）的地理兴趣小
组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的
轨迹是（ ）
A．半圆形 B．双曲线 C．直线 D．椭圆
【答案】BC
【解析】根据题意可知，杆影可能的轨迹即太阳的视运动轨迹.
为了得到太阳投影轨迹的表达式，首先先建立竿测影时的观测站坐标系，
再计算太阳每个瞬间在天球（与地球同球心，并具有相同的自转轴，半径无限大的球体）上的位置和观测
平面上的投影，为投影轨迹的整体推导做好单点公式计算.
苏州地区位于31°N，即太阳周年回归运动范围（23°26′N~0°~23°26′S）以北，全年太阳在正午时分位于该
地的正南方.
设地理兴趣小组所在的观测地的右手正交坐标系 ，立测竿处为原点 ，
令 分别是坐标轴 的单位矢量，正南为 轴，正东为 轴，向上为 轴（如下图）.那么当测竿指向天顶（杆的正上方）时，其太阳投影在 平面上.
结合苏州的纬度位置可知，正午时投影指向正北.
图中立竿测影观测站右手坐标系，黄色点为观测站的位置，纬度为 ；
轴指向正南， 轴指向正东， 轴指向天顶；
贯穿地球南北极的蓝色轴为地轴，从地心出发的红色轴与观测站的 轴平行，是以存在如坐标系描述的互
余赤经差计算方式.
球面三角形中，若已知两边弧角 和夹角 ，求对边的弧角c的大小，
由球面三角边的余弦定理可得： （1）
由天文知识可知，赤经差（赤经差是指在天球赤道坐标系统中，
两个天体之间的赤经之差.赤经是描述天体在天球赤道上的位置的一个坐标值，
类似于地球上的经度.赤经差用于确定两个天体之间的相对位置）是绕天轴（地轴的无限延伸）的二面角，
于是有以下替换关系： （2）
如果天球上相同赤经的 两点，赤纬分别为 ，点 绕天轴旋转 弧度到达 点，
令 两点间大圆弧角为 ，那么： （3）
如果太阳直射点纬度为 ，那么周日视运动即以地心为原点，围绕地轴以 的夹角做圆周运动.
当与观测点的经度差为 时，令太阳方向与观测点的 三个坐标轴的夹角分别为 ，
则观测站到太阳的单位矢量为： （4）
应用（2）式时参数系列可得如下的对应关系：
， ，
根据球面三角边的余弦定理的等价公式（3），代入上述对应关系，则有： （5），
（6），
（7），
令测竿投影 与测竿矢量 分别为： ， （8），
由于太阳距离地球距离较远，其光线可近似视作平行的直射光线，
从杆顶到投影点的指向： （9），
与太阳方向矢量 平行则有： ，
解得投影坐标： （10），
（11），
即立杆测影的太阳投影坐标表达式.
对立竿测影坐标计算公式（10）、（11），要得到这些坐标点 的整体曲线方程，
其关键在于消除 这个与时间相关参数，让投影轨迹只用测竿长度、观测站和太阳直射点的纬度来表示.
由（10）式可得： ，
再由（11）式并使用上式结果，可得：
，
通过三角恒等式 ，代入时角正余弦的计算式，
则有： ，
两边同时加上： ，
化简可得： （12），
即立竿见影时在观测平面上的太阳投影的轨迹公式.
苏州地区位于31°N，因此可以将 代入式（12）中，得到双曲线型的太阳投影（如下左图）.
当 ，即直射赤道（即二分日）时，会出现结果是直线（如下右图）的特殊情况.
故选：BC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则
【答案】
【解析】因为 是奇函数，且当 时, ，则 ．
又因为 ， ，
所以 ，将其化成对数式， ，解得 .
故答案为： .
13．已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小
球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，
若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，
乙袋中恰有4个小球的概率是 ．
【答案】
【解析】若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；
若第一次取球均取到红球，其概率为 ，
第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球，
第二次取到同色球概率为 ；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是 ；若第一次取球均取到白球，其概率为 ，
第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球，
第二次取到同色球概率为 ；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是 ；
所以乙袋中恰有4个小球的概率是 .
故答案为： .
14．已知函数 ，设曲线 在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于 ，
过 点作斜率为 的直线交x轴于 ，再过 点作斜率为1的直线交E于 ，过 点作斜率为 的直线
交x轴于 ，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论：
① 的长为 ；
②点 的坐标为 ；
③ 与 的面积之比是 ；
④在直线 与y轴之间有6个三角形．
其中，正确结论的序号是 ．
【答案】②④【解析】由 可得 ，
由 可得 ， ，
所以 ，故①错误
由 可得 ， ，故②正确
由 可得 ，
所以
，故③错误
同理可求
因为 ，所以共有6个三角形，故④正确
故答案为：②④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)判断 的形状；
(2)若 ，且 的面积为 ，求角 ．
【解析】（1）由正弦定理，
，
因B∈(0,π)，则 ， ，则 为等腰三角形；
（2）由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x，则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为 ，
则 ，即 为等边三角形，则角 为 .
16．（15分）
如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平面 ， ， ，
为等腰直角三角形，且 ， ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ．
因为 为等腰直角三角形，且 ，所以 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ，所以 ，又 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）由题可知 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、
轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设 ，则 ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则由 得
令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则由 得
令 ，得 ．
所以 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
17．（15分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上， 到 的焦点的最
大距离为 ， ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)若 ，判断点 与曲线 的位置关系；
(3)若椭圆 的右顶点为 ，经过点(1,0)的直线与 交于 两点， 的面积为 ，求直线 的
方程．
【解析】（1）因为 到 的焦点的最大距离为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）由（1）知椭圆 的方程为 ，
所以 ， ．
因为 ，设 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以点 在曲线 上．（3）当直线 斜率不存在时， ，
则 ，不符合题意；
当直线 斜率存在时，设直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由于直线过椭圆内的点，故必有 ，
设 ， ，由韦达定理得 ， ，
所以
．
因为 为椭圆的右顶点，所以 ，
由点到直线的距离公式得点 到直线 的距离为 ，所以 的面积为 ．
因为 的面积为 ，所以 ，
整理得 ，所以 ，或 （舍去），
所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．
18．（17分）
已知函数
(1)判断曲线 是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
(3)若函数 有两个零点 ，证明： ．
【解析】（1）令 ，等价于 ，解得 ，
可知 的定义域为(0,2)，
因为 ，
可知 具有中心对称，对称中心为点(1,0)，
显然 不为常函数，可知 不具有轴对称，
所以y=f (x)具有中心对称，对称中心为点(1,0).
（2）因为 ，
则 ，若 在定义域内单调递增，则f'(x)≥0在(0,2)内恒成立，
又因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（3）由题意可得： ，
令 ，解得 ，
可知 ， ，
令 ，则 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知F(x)在 内单调递增，在 内单调递减，则 ，
且当 趋近于0时，F(x)趋近于 ，当 趋近于 时，F(x)趋近于0，
若函数 有两个零点 ，可知 与 有两个交点，
则 ，即 ；
又因为 ，两式相减可得 ，两式相加可得 ，
不妨设 ，令 ，可得 ，
又因为 ，等价于 ，等价于 ，
构建 ，则 ，
构建 ，则 ，
可知 在(1,+∞)上单调递增，则 ，即 ，
可知 在(1,+∞)上单调递增，则 ，
即 ，所以 .
19．（17分）
若项数有限的数列 ，满足 ，且对任意的 ， 或
是数列 中的项，则称数列 具有性质 .
(1)判断数列 ，1，2是否具有性质 ；
(2)若 ，数列 具有性质 ， 是 中的任意一项，
①证明： 是 中的项；
②证明：当 时，数列 为等比数列.
【解析】（1）对于数列 ，1，2，
显然 或1或2，都是数列 ，1，2中的项，故数列 具有性质 .
（2）因为数列 具有性质 ，且 是 中的任意一项，
①令 ，则 或 是数列 中的项，
由于 ，且 ，则 ，
故 不是数列 中的项，则 是数列 中的项，
故 是数列 中的项，则 满足；
当 时， ，则 ，
故 不是数列 中的项，从而 是数列 中的项；
综上， 是数列 中的项.
②由①知 ，
由 ，则 ，
故 ，
即 ，（Ⅰ）
由于 ，则 时， ，
则 不是数列 中的项，故 为数列 中的项，
而 ，
故 ，即 ，
由于 ，故 ，故 （Ⅱ）由（Ⅰ）（Ⅱ）有 ，故 ，
所以当 时，数列 为等比数列.
