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专题 4.5 三角形中角度计算压轴大题精选 30 道
【人教版】
1．（2023•榆林一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图 1中，
△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根
据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 11 0 °．
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，
求∠BED的度数．
【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC＝
180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，进而得到∠1+∠3＝60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出
∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
【解答】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠C+∠D＝110°；
故答案为：110；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，
∴2∠1+2∠3＝120°，
∴∠1+∠3＝60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE﹣∠BED＝6°②，
{∠ADE+∠BED=60°)
联立①②得 ，
∠ADE−∠BED=6°
{∠ADE=33°)
解得： ，
∠BED=27°
∴∠BED＝27°．
2．（2024春•宿城区期末）已知：△ABC中，记∠BAC＝ ，∠ACB＝ ．
（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△AαBC的外角∠βCBM和∠BCN，BD⊥AP于点D．
①用 的代数式表示∠BPC的度数；
②用α的代数式表示∠PBD的度数；
（2）如β 图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D．
①请补全图形；
②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论．
1 1
【分析】（1）①如图1根据角平分线的定义得到∠PBC＝∠PBM= ∠CBM= （ + ）根据三角形的
2 2
α β
内角和即可得到结论；
②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据题意画出图形即可；②根据角平分线的定义和三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1∵BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
1 1
∴∠PBC＝∠PBM= ∠CBM= （ + ）
2 2
α β
1 1
∠1= ∠BCN= （180°﹣ ）
2 2
β
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠1
1 1
＝180°− （ + ）− （180°﹣ ）
2 2
α β β
1
＝90°− ；
2
α
②在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣∠BPD，
∵∠BPD＝∠PBM﹣∠2
1 1
= （ + ）−
2 2
α β α
1
=
2
β
1
∴∠PBD＝90°− ；
2
β
（2）①如图2所示，
②中的两个结论发生了变化，
∵∠BAC＝ ，
∴∠ABC+∠αACB＝180°﹣ ，
∵点P为△ABC的三条内角α 平分线的交点，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB），
2
1 1
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°− （∠ABC+∠ACB）＝90°+ ；
2 2
α
1 1 1
∵∠BPD＝∠BAP+∠ABP= （∠ABC+∠BAC）= （180°﹣∠ACB）＝90°− ，
2 2 2
β
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，1 1
∴∠PBD＝90°﹣（90°− ）= β．
2 2
β
3．（2023秋•和平县期末）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于
点D，过点D作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．
（1）问题解决：如图1，若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝3：2：1，求∠DAC的度数．
1
（2）如图1，若∠BED＝128°，∠DAF= ∠BAD，试猜想∠DAF与∠C之间的数量关系，并说明理
2
由．
（3）问题拓展：如图2，若过点D作DG∥AB交BC于点G，连接EG，交BD于点O，试探究DO是否
平分∠EDG，并说明理由．
【分析】（1）设∠ACB＝x，则∠ABC＝2x，∠BAC＝3x，根据三角形内角和定理求出x＝30°，然后根
据角平分线定义以及直角三角形两锐角互余求出∠BAD，进而可得∠DAC的度数；
（2）根据平行线的性质求出∠ABC，进而可得∠ABD和∠BAD的度数，然后再求出∠DAF和∠C的度
数即可；（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EBD＝∠EDB，再根据平行线的性质得出∠EBD＝
∠BDG，等量代换求出∠EDB＝∠BDG即可．
【解答】解：（1）设∠ACB＝x，则∠ABC＝2x，∠BAC＝3x，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠ABC＝2x＝60°，∠BAC＝3x＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝30°，
∵AD⊥BD，
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠DAF＝∠C；
理由：∵EF∥BC，∠BED＝128°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BED＝180°﹣128°＝52°，
∵BD平分∠ABC，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC= ×52°=26°，
2 2
∵AD⊥BD，
∴∠BAD＝90°﹣26°＝64°，
1 1
∵∠DAF= ∠BAD= ×64°=32°，
2 2
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAF＝64°+32°＝96°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣96°﹣52°＝32°，
∴∠DAF＝∠C；
（3）DO平分∠EDG；
理由：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBG，
∴∠EBD＝∠EDB，﹣
∵DG∥AB，∴∠EBD＝∠BDG，
∴∠EDB＝∠BDG，
∴DO平分∠EDG．
4．（2023秋•法库县期末）在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一
动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ ．
【问题初探】 α
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠ ＝60°，则∠1+∠2＝ 10 0 °；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，α则∠1，∠2，∠ 之间的数量关系为 ∠ 1+ ∠ 2 ＝ 40°+ ；
【问题再探】 α α
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠ 之间的数量关系；
（4）如图4，若点P运动则△ABC的内部，求∠1，∠2，∠ 之间α的数量关系；
【问题解决】 α
（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，
∠2，∠ 之间的数量关系．
α
【分析】（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B 和∠APD+∠BPE，再根据
∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，从而求出答案
即可；
（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°，从而
求出答案即可；
（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠
＝540°，从而得到答案即可； α（5）分两种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，画出图形进行解答即
可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵∠APD+∠ +∠BPE＝180°，∠ ＝60°，
∴∠APD+∠αBPE＝120°， α
∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，
∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°，
故答案为：100°；
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵∠APD+∠ +∠BPE＝180°，
∴∠APD+∠αBPE＝180°﹣∠ ，
∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠α2+∠BPE＝180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，
∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣180°+∠ ＝40°+∠ ，
故答案为：∠1+∠2＝40°+∠ ； α α
（3）如图所示： α
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∵∠3+∠2+∠ ＝180°，
∴∠3＝∠4＝1α80°﹣∠2﹣∠ ，
α∵∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°，
∴140°+∠1+180°﹣∠2﹣∠ ＝360°，
∴∠1﹣∠2＝40°+∠ ； α
（4）∵∠A+∠B+∠Cα＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵五边形ABEPF的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠ ＝540°，
∴∠1+∠2＝540°﹣140°﹣α ∠ ，
即∠1+∠2＝400°﹣∠ ； α
（5）分两种情况讨论α：①点P在线段AB上，如（3），则∠1﹣∠2＝40°+∠ ；
②点P不在线段AB的延长线上，（1）如图所示： α
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵∠3+∠2+∠ ＝180°，
∴∠3＝∠4＝1α80°﹣∠2﹣∠ ，
∵∠A+∠B+∠1+∠4＝360°，α
∴140°+∠1+180°﹣∠2﹣∠ ＝360°，
∴∠1﹣∠2＝40°+∠ ； α
（2）如图所示： α
∵∠1＝∠C+∠DFC，∠2＝∠P+∠PFE，
∴∠1﹣∠2＝∠C+∠DFC﹣∠P﹣∠PFE，
∵∠C＝40°，∠DFC＝∠PFE，∠P＝∠ ，
α∴∠1﹣∠2＝40°﹣∠ ；
如图所示： α
延长PC至点F，∵∠1+∠PDC＝∠2+∠PEC＝180°，
∴∠PDC＝180°﹣∠1，∠PEC＝180°﹣∠2，
∵∠ACF＝∠PDC+∠DPC，∠BCF＝∠PEC+∠EPC，
∴∠ACF+∠BCF＝∠PDC+∠DPC+∠PEC+∠EPC，
∴∠ACB＝180°﹣∠1+∠DPC+180°﹣∠2+∠EPC，
40°＝360°﹣∠1﹣∠2+∠ ，
∴∠1+∠2＝320°+∠ ，α
∴若点P运动到△ABαC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，∠1，∠2，∠ 之间的数量
关系为：∠1﹣∠2＝40°+∠ 或∠1﹣∠2＝40°﹣∠ 或∠1+∠2＝320°+∠ ． α
5．（2024春•农安县期末）（问α 题背景） α α
∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（问题思考）
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ 135 °
．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ 4 5 °．②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON＝ ，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝
α
1
α ．（用含 的代数式表示）
2
α
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②由①的思路可得结论；
（3）在②的基础上，将90°换成 即可．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90α°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
1 1
∴∠BAE= ∠BAO，∠ABE= ∠ABO，
2 2
1
∴∠BAE+∠ABE= （∠BAO+∠ABO）＝45°，
2
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝70°，
∴∠ABO＝20°，∠ABN＝160°，
∵BC是∠ABN的平分线，
1
∴∠OBD＝∠CBN= ×160°＝80°，
2
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝35°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣80°﹣35°﹣20°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2x，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+x，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°；
（3）设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝ ，
∴∠ABN＝1α80°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝ +2x，
∵BC平分∠ABN， α
1
∴∠ABC= α+x，
2
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
1 1
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD= α+x﹣x= α；
2 2
1
故答案为： α．
2
6．（2024春•曲阳县期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于
1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可
知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 3 倍角三角形．
（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动
点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出
∠BAC的度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的
角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的
度数．【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结
果．
（3）首先证明∠EAF＝90°，分四种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，
∴∠D＝3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵∠POM＝30°，
∴∠OAB+∠OBA＝150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
1 1
∴∠CBA+∠CAB= ∠OAB+ ∠OBA＝75°，
2 2
∴∠C＝105°．
①当∠CBA＝2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，
∴∠BAC＝25°；
②当∠CAB＝2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，
∴∠BAC＝50°；
③当∠C＝2∠CAB时，∵∠C＝105°，
1
∴∠BAC= ∠C＝52.5°；
2
④当∠C＝2∠CBA时，∵∠C＝105°，1
∴∠CBA= ∠C＝52.5°，
2
∴∠BAC＝22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；
（3）解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝90°，
∴∠E+∠F＝90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ＝∠E+∠EAO＝45°①，
∠BOQ＝∠ABO+∠BAO＝90° ②；
①×2﹣②得：∠ABO＝2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i）若∠F＝3∠E，∵∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，
∴∠ABO＝45°；
ii）若∠E＝3∠F，
∴∠E＝67.5°，
∴∠ABO＝135°（不符合题意，舍去）；
iii）若∠EAF＝3∠E，∴∠E＝30°，
∴∠ABO＝60°；
iv）若∠EAF＝3∠F，∴∠F＝30°，∠E＝60°，
∴∠ABO＝120°（不符合题意，舍去）；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
7．（2024春•内乡县期末）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．
如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】
如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交
线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 30 ° ，△AOB 不是 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使
∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝
3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；
（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，
所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；
（3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD//EF，得到
∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD
是“和谐三角形”，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30°，不是；
（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB＝∠O+∠OAC，
又∠O＝60°，∠ACB＝84°∴∠OAC＝24°，
∠ACO＝180°﹣84°＝96°，
∴∠ACO＝4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
（3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
而∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°
∴∠B＝30°或者∠B＝80°．
8．（2023秋•平原县期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
（1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相
交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
（2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的
平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和
∠CFE的度数；
（3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE
的度数．
【分析】（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求
解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠GAF＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，
∵AF为∠BAG的角平分线，
1
∴∠GAF＝∠DAF= ×130°＝65°，
2
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，
又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；
（3）证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．9．（2024春•南昌期末）【课本再现】（1）如图1，在△ABC中，线EF经过点A且EF∥BC．求证：
∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【变式演练】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝50°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于点F．若∠1＝
125°，求∠B的度数．
【方法应用】（3）如图3，直线l 与直线l 相交于点O，夹角的锐角为 ，点B在直线l 上且在点O右
1 2 1
侧，点C在直线l 上且在直线l 上方，点A在直线l 上且在点O左侧运动α，点E在射线CO上运动（不
2 1 1
与点C、O重合）．当 ＝70°时，EF平分∠AEC，AG平分∠EAB交直线EF于点G，求∠G的度数．
α
【分析】【课本再现】（1）如图1中，根据平行线的性质可得结论；
【变式演练】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝50°，点D在BC边上，DE∥AB交AC于点F．若∠1＝
125°，求∠B的度数．
【方法应用】（3）分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；
【解答】解：【课本再现】（1）如图1中，∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【变式演练】（2）如图2中，∵∠1＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC＝125°﹣50°＝75°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝75°；
【方法应用】当点E在点O的上方时，∵ ＝70°，
∴α∠AOE＝110°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+110°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝110°，即∠AGE＝55°．
1
当点 E 在点 O 的下方时，如图 2﹣1 中，可得∠AGE＝180°﹣（∠GAE+∠GEA）＝180°−
2
（∠OAE+∠OEA）＝125°
综上所述，∠AGE＝55°或125°．
10．（2024春•鼓楼区校级月考）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这
一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝ 4 0 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，则∠DCE＝ 9 0 °；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G ，G …，G ，若∠BDC＝140°，∠BG C＝77°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，相加即可得结论；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可
得到∠ABX+∠ACX的值．
②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到
1
∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
2
③由（2）的方法，进而可得答案．
【解答】解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，
所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；
故答案为：40．②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；
1
而∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠A，
2
代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；
故答案为：90°．
1
③∠BG C= （∠ABD+∠ACD）+∠A，
1 10
∵∠BG C＝77°，
1
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°
1
∴ （140﹣x）+x＝77，
10
1
14− x+x＝77，
10
x＝70
∴∠A为70°．
11．（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图
1，AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：
①∠DOC＝∠AOB（对顶角相等）；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图2，∠E与∠D，∠B
之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交
于点E．
（1）如图2，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2
请你完成后续的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ 2 ∠ E + ∠ 3+ ∠ 2
∵CE，AE分别是∠BCD，∠BAD的平分线
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠E＝ ∠ B + ∠ D
又∵∠D＝30°，∠B＝50°
∴∠E＝ 4 0 度．
（2）在总结前面问题的基础上，借助图 2，直接写出∠E与∠D，∠B之间的数量关系是： ∠ E
1
= (∠D+∠B)
2
【类比应用】（3）如图3，∠BAD 的平分线AE与∠BCD 的平分线CE交于点E．
1
已知：∠D＝ ，∠B＝ ，（ ＜ ）则∠E＝ （ ﹣ ） ° ．（用 、 表示）
2
α β α β β α α β
【分析】【解决问题】
（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，两式相加
后，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据（1）可得结论；
【类比应用】
（3）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线
的性质，即可求得答案．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图2，∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝∠D+∠B，
1
∴∠E= (∠D+∠B)，
2
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝40度．
故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；1
（2）由（1）得：∠E= (∠D+∠B)，
2
1
故答案为：∠E= (∠D+∠B)；
2
【类比应用】
如图3，延长BC交AD于F，
∵∠BFD＝∠B+∠BAD，
∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
1 1
∴∠ECD＝∠ECB= ∠BCD，∠EAD＝∠EAB= ∠BAD，
2 2
∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
1 1 1
∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE− ∠BCD＝∠B+∠BAE− （∠B+∠BAD+∠D）= （∠B
2 2 2
﹣∠D），
∵∠D＝ °、∠B＝ °，
1α β
即∠E= （ ﹣ ）°．
2
β α
1
故答案为： （ ﹣ ）°．
2
β α
12．（2023秋•佛山期末）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与
点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝
45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM
交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数．【分析】（1）利用直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的
和的性质解答即可得出结论；
（2）利用（1）的方法求得∠CED＝135°，再利用三角形的外角的性质计算得到∠GED＝∠EDF，根据
内错角相等，两直线平行即可得出结论；
1
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠MCN＝3∠N时，计算得到∠N= ∠MCN
3
＝30°，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义解答即可；②当∠M＝3∠N
时，计算得到∠N＝22.5°，∠M＝67.5°，利用与①同样的方法解答即可．
【解答】（1）解：∵∠OCD＝40°，∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝50°，
∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
1 1
∴∠DCE＝∠OCE= ∠DCO，∠CDE＝∠ODE= ∠CDO，
2 2
∴∠DCE＝20°，∠CDE＝25°，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝135°；
（2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
1 1
∴∠DCE＝∠OCE= ∠DCO，∠CDE＝∠ODE= ∠CDO，
2 2
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE
1
＝180°− （∠DCO+∠CDO）
2
1
＝180°− （180°﹣∠O）
2
1
＝180°﹣90°+ ∠O
2
＝90°+45°＝135°．
∵∠CED＝∠CFD+∠EDF，∠CFD＝180°﹣∠CFO，
∴∠CED＝180°﹣∠CFO+∠EDF，
∵∠CFO﹣∠GED＝45°，
∴∠CFO＝∠GED+45°，
∴∠CED＝180°﹣（∠GED+45°）+∠EDF，
∴135°＝∠180°﹣∠GED﹣45°+∠EDF，
∴∠GED＝∠EDF，
∴GE∥DO；
（3）解：①当∠MCN＝3∠N时，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
1
∴∠N= ∠MCN＝30°，
3
∴∠M＝60°．
∵∠COD＝90°，
∴∠DON＝45°，
∴∠COM＝45°．
∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝75°．
∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝15°．
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝30°，
∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝60°，
∵DE平分∠CDO，
1
∴∠CDE= ∠CDO＝30°；
2
②当∠M＝3∠N时，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
∴∠M+∠N＝90°，
∴∠N＝22.5°，∠M＝67.5°，
∵∠COD＝90°，∴∠DON＝45°，
∴∠COM＝45°．
∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝67.5°．
∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝22.5°．
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝45°，
∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝45°，
∵DE平分∠CDO，
1
∴∠CDE= ∠CDO＝22.5°．
2
综上，在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，∠CDE的度数为30°或22.5°．
13．（2024春•雁江区期末）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上
一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝ ．
α
（1）如图1，若点P在线段BA上，且 ＝30°，则∠PEB+∠PDA＝ 7 5 °；
（2）当点P在线段BA上运动时，依题α意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含 的
式子表示），并证明； α
（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含 的
式子表示）． α
【分析】（1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；
连接PC，如图1所示∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+30°＝75°；
故答案为：75；
（2）补全图形如图2所示；
∠PEB+∠PDA＝45°+ ，证明如下：
连接PC，如图3所示α：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB＝∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角，
∴∠PDA＝∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+ ；
∴∠PEB+∠PDA＝45°+ ； α
α（3）分三种情况：
①如图4所示：
连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPD+∠DPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPD，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠DPE＝45°+ ，
即∠PEB﹣∠PDA＝45°+ ； α
②如图5所示： α
连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE+∠DPE，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠DPE＝45°﹣ ，
即∠PEB﹣∠PDA＝45°﹣ ； α
③如图6所示：P、D、Eα在同一条直线上，连接PC，由三角形的外角性质得：
∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE，
∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝45°；
综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动，
∠PEB与∠PDA之间的数量关系是45°+ 或45°﹣ 或45°．
14．（2023秋•鄱阳县校级月考）（1）如图α 1，在△αABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交
于点P．
①当∠A与∠ABC满足的 ∠ A ＝∠ ABC 关系时，PC∥AB；
②当∠A＝70°时，求∠P的度数．
知识运用
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A+∠D＞∠ABC+∠BCD，∠ABC的平分线与∠BCD的外角的平分
线交于点P，求∠A、∠D与∠P之间的数量关系．
拓广探索
（3）如图3，在五边形ABCDE中，∠ABC+∠BCD＞180°，∠ABC的平分线所在的直线与∠BCD的外
角平分线所在的直线交于点P，若∠P＝20°，求∠A+∠D+∠E的度数．
【分析】（1）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出∠A＝∠ABC；
②根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB＝110°，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠ACB+∠ACP），根据角
平分线的定义，进而代入数据，即可求解．1
（2）延长BA，CD交于点E，同（1）②的方法得出∠P=90°− ∠E，进而根据三角形的外角的性
2
质，即可求解；
1 1
（3）根据题意可得∠2= ∠ABC，∠1= (180°−∠BCD)，根据三角形的内角和定理可得∠P＝
2 2
∠2﹣∠1，进而根据∠P＝20°，即可求解．
【解答】解：（1）①∵PC是∠ACM的角平分线，
∴∠PCM＝∠ACP，
∵PC∥AB，
∴∠PCM＝∠ABC，∠PCA＝∠A，
∴∠A＝∠ABC，
故答案为：∠A＝∠ABC．
②∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交于点P，
1 1 1 1
在△PBC中，∠PBC= ∠ABC，∠PCA= ∠ACM= (180°−∠ACB)=90°− ∠ACB，
2 2 2 2
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠ACB+∠ACP）
1 1
=180°−( ∠ABC+∠ACB+90°− ∠ACB)
2 2
1
=90°− (∠ACB+∠ABC)
2
1
=90°− ×110°
2
＝35°，
（2）如图所示，延长BA，CD交于点E，
在△EBC中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB），
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线交于点P，1 1 1 1
在△PBC中，∠PBC= ∠ABC，∠PCE= ∠ECM= (180°−∠ECB)=90°− ∠ECB，
2 2 2 2
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠ECB+∠ECP）
1 1
=180°−( ∠EBC+∠ECB+90°− ∠ECB)
2 2
1
=90°− (∠ECB+∠EBC)
2
1
=90°− ∠E，
2
1
即∠P=90°− ∠E，则∠E＝2∠P+180°，
2
又∵∠BAD+∠ADC＝∠EAD+∠EDA+2∠E＝180°+∠E，
∴∠E＝∠BAD+∠ADC﹣180°，
∴∠BAD+∠ADC＝2∠P+180°，
（3）如图所示，∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠ABC+∠BCD＝540°﹣（∠A+∠D+∠E），
又∵∠P是∠ABC的平分线所在直线与外角∠DCE的平分线所在直线构成的锐角，
1 1
∴∠2= ∠ABC，∠1= (180°−∠BCD)，
2 2
∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP
＝180°﹣（180°﹣∠2）﹣∠1
＝∠2﹣∠1
1 1
= ∠ABC− (180°−∠BCD)
2 2
1
= (∠ABC+∠BCD)−90°
2
1
= [540°−(∠A+∠D+∠E)]−90°，
2∵∠P＝20°．
即∠A+∠D+∠E＝320°．
15．（2023秋•瑶海区校级月考）（1）【判断】如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，作∠BAC的
平分线AD交BC于点D，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，则∠DFE＝ 15 ° ；
（2）【迁移】如图2，将（1）中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”，其他条件
不变，则∠DFE＝ 15 ° ；
（3）【拓展】如图3，在△ABC中，∠B＝ ，∠C＝ （ ＞ ），AD是∠BAC的平分线，在直线AD
上任取点F，过点F作EF⊥AD与直线BC交α于点E，β请直β 接α写出∠DEF与 ， 之间的数量关系
α β
β−α
．
2
【分析】（1）由三角形内角和得到∠BAC＝70°，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互
余求解即可得到答案；
（2）由三角形内角和得到∠BAC＝70°，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即
可得到答案；
（3）对于图3，由三角形内角和得到∠BAC＝180°﹣ ﹣ ，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形
两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内α 角β和得到∠BAC＝180°﹣ ﹣ ，再由角平分线定
义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． α β
【解答】解：（1）如图所示：
∵在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
1
∴∠BAD= BAC＝35°，
2
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+35°＝75°，
∵FE⊥BC，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADC＝15°；
故答案为：15°；
（2）如图2中，
由（1）可知，∠B＝40°，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+35°＝75°，
∵FE⊥BC，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADC＝15°；
故答案为：15°；
（3）如图所示：
∵在△ABC中，∠B＝ ，∠C＝ ，
α β∴∠BAC＝180°﹣ ﹣ ，
∵AD是∠BAC的平α分β线，
1 α+β
∴∠BAD= ∠BAC＝90°− ，
2 2
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
α+β α−β
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝ +90°− =90+ ，
2 2
α
∵FE⊥AD，
α−β β−α
∴∠DEF＝90°﹣（90°+ ）= ；
2 2
16．（2023春•叙州区校级期末）【问题探究】
将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处
（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；
（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位
置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．
【分析】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题；
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题；
（4）根据三角形的内角和和四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A；
（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2；
（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，
理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，
∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，
∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，
∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，
∴∠1﹣∠2＝2∠A；
（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，
理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，
∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，
∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，
∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，
∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．
17．（2023春•嘉定区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为
“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为
80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点
A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 3 0 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC 是 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．18．（2024春•鲤城区校级期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形
分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角
形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
① △ ABC 与△ CBD ；② △ ACD 与△ CBD ．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割
线．
【应用概念】：
（3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；
1
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB= ∠ACB＝40°，
2
根据“等角三角形”的定义证明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情
况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△CBD是“等角三角形”；
故答案为：△ABC与△CBD，△ACD与△CBD；
（2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CD为角平分线，
1
∴∠ACD＝∠DCB= ∠ACB＝40°，
2
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，
在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，
∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°；
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°，
∠BCD＝∠A＝40°，
∴∠ACB＝70°+40°＝110°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°；
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
180°−40° 140
∴∠B= =( )°，
3 3
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+40°＝x，
220
解得x=( )°，
3
100
∴∠B＝180°﹣2x＝（ ）°，
3
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
140 100
综上，∠B的度数为60°；30°；（ ）°；（ ）°．
3 319．（2023秋•八步区期中）在△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点（不与A，
B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上）．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，
∠DPE＝∠ ．
（1）若点Pα在边AB上，如图（1）所示，且∠ ＝40°，则∠1+∠2＝ 12 0 °；
（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，α则∠ ，∠1，∠2之间有何关系？说明理由．
（3）若点P在△ABC边BA的延长线上运动（CE＜CαD），直接写出∠ 、∠1、∠2之间关系．
α【分析】（1）根据∠AEP＝180°﹣∠2，∠ADP＝180°﹣∠1和四边形AEPD的内角和为360°，表示出
∠ ，∠1，∠2之间的关系；
（α2）根据三角形外角的性质，∠2﹣∠ ＝∠1﹣80°，求出∠ ，∠1，∠2之间的关系；
（3）画出符合条件的图形，根据图形和α（2）的结论解答即可α．
【解答】解：（1）∵∠CEP＝180°﹣∠2，∠CDP＝180°﹣∠1，
∴180°﹣∠2+180°﹣∠1+∠ +80°＝360°，
即∠1+∠2＝80°+∠ ＝80°+α40°＝120°，
故答案为：120°； α
（2）根据三角形外角的性质可知，
∠2﹣∠ ＝∠1﹣80°，
则∠2﹣α∠1＝∠ ﹣80°；
（3）如图1， α
①∵∠2＝80°+∠3+∠ +∠4，
∠1＝∠3+∠4， α
∴∠2＝80°+∠ +∠1，
则∠2﹣∠1＝∠α +80°；
如图2， α
②∵∠2＝80°+∠3+∠4，∠1＝∠3+∠4+∠ ，
∴∠2﹣∠1＝80°﹣∠ ． α
α
20．（2023秋•鲁山县期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与
点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠A的度数是 70 ° ；∠EFB的度数是 20 ° ．
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（2）若点E在线段DC上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠BGE与∠A之间的数量关
系．
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB＝∠FBC，再利用角平分线的定义即
可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C＝∠DEF，再根据三角形内角和定理及角平
分线的定义即可解答；
180°−∠C
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到∠EHG= ，再根据角平分线的定义及外角
2
的性质即可解答．
【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠FBC= ∠ABC=20°，
2
∴∠EFB＝∠FBC＝20°，
故答案为：70°、20°；
②∵∠BGE是△EGF是一个外角，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠DEF，
∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，1 1
∴∠CBD= ∠ABC，∠FEG= ∠≝¿，
2 2
1 1 1 1
∴∠CBD+∠FEG= ∠ABC+ ∠≝= ×(180°−∠A)=90°− ∠A，
2 2 2 2
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBD，
1
∴∠EFG+∠FEG=90°− ∠A，
2
1
∴∠BGE=90°− ∠A；
2
（2）∵EF∥BC，
∴∠FEH＝∠EHC，
∵GH是∠FEG的平分线，
∴∠FEH＝∠HEG，
∴∠HEG＝∠EHC，
180°−∠C
∴∠EHG= ，
2
∵BG平分∠ABC，
1
∴GBC= ∠ABC，
2
180°−∠C 1 180°−∠C−∠ABC ∠A 1
∴∠BGE=∠EHG−∠GBC= − ∠ABC= = = ∠A，
2 2 2 2 2
21．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在△ABC中，∠BAC＝66°，三个内角平分线交于点O，
△ABC的外角∠ACE的角平分线交BO的延长线于点F．
【问题初探】：（1）∠OCF的度数为 90 ° ，∠F的度数为 33 ° ；
【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODB＝∠AOB．（可直接使用问题（1）中的结论）
①求∠BOD的度数；
②试判断线段OD和CF之间的位置关系，并说明理由；【拓展探究】：（3）若∠ABC＝ ，将△OCD绕点C顺时针旋转一定角度 （0°＜ ＜360°）后得到
△O′CD′，当CD′所在直线与BαF平行时，请直接写出此时旋转角度 与 β之间的关β系．
β α
1
【分析】（1）已知OC与CF是∠ACB和∠ACE的平分线，因此可以推导出∠OCF= ∠BCE＝90°，由
2
1
于∠FCE＝∠FBC+∠F＝∠ABO+∠BAO，所以可以推导出∠F= ∠BAC＝33°；
2
1
（2）①已知∠ODB＝∠AOB，可以推导出∠BOD= ∠BAC＝33°，
2
②OD∥CF，利用平行线的性质可以证明；
1 1 1
（3）当CD′所在直线与BF平行时，∠D′CE= ，此时 ＝180°− 或者 ＝360°− ．
2 2 2
α β α β α
【解答】解：（1）①∵∠ACB+∠ACE＝180°，OC与CF是∠ACB和∠ACE的平分线，
1
∴∠OCF= （∠ACB+∠ACE）＝90°，
2
②∵∠FBC+∠F＝∠FCE，
∵∠ABC+∠BAC＝∠ACE，
又∵OA，OB，CF平方∠BAC，∠ABC，∠ACE，
1 1 1
∴ ∠ABC+ ∠BAC= ∠ACE，
2 2 2
1
∴∠FBC+ ∠BAC＝∠FCE，
2
1
∴∠F= ∠BAC＝33°，
2
故答案为：∠OCF＝90°，∠F＝33°；
（2）①∵∠ODB＝∠AOB，∠ABO＝∠OBD，
1
∴∠BOD＝∠BAO= ∠BAC＝33°，
2
②OD∥CF，
证明：∵∠F＝33°，∠BOD＝33°，∴OD∥CF，
答：∠BOD＝33°，OD∥CF；
（3）若∠ABC＝ ，将△OCD绕点C顺时针旋转一定角度 （0°＜ ＜360°）后得到△O′CD′，
α 1 1 β β
∵CD′∥BF，∠FBC= ∠ABC= ，
2 2
α
1
∴∠D′CE= ，
2
α
1 1
∴ ＝180°− 或者 ＝360°− ，
2 2
β α β α
1 1
答： ＝180°− 或者 ＝360°− ．
2 2
β α β α
22．（2023秋•东湖区校级期末）课本再现：
（1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
如图1，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD ＝ ∠A+∠B，所以∠ACD ＞ ∠B．（填“＞”、
“＜”或“＝”）
（2）实验与探究：
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角
所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样
呢？大边所对的角也大吗？
智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图 2，在△ABC中，AC＞AB，求证：∠B＞∠C．”并作
出了辅助线：作∠BAC的平分线AD，在AC上截取AE＝AB，连接DE．请你结合智慧小组的探究思路
完成该问题的证明过程．
（3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．
并且他们还提出了一个新问题：如图3，在△ABC中，∠B＝2∠C，那么AC，2AB之间有怎样的数量关
系？你的猜想是AC ＜ （填“＞”、“＜”或“＝”）2AB．请证明你的猜想．
【分析】（1）根据三角形外角的定义即可判断；
（2）先证明△ABD≌△AED，再由外角定义即可证得；（3）在线段BC上取点E，使得AB＝AE，再证AB＝AE＝EC，得到AE+AC＞AC，从而得出结论．
【解答】（1）解：由三角形外角的定义可知，
∠ACD＝∠A+∠B，∠ACD＞∠B，
故答案为：＝；＞；
（2）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE＝AB，
在△ABD和△AED中，
{
AB=AE
)
∠BAD=∠EAD ，
AD=AD
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，
∵∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＞∠C，
∴∠B＞∠C；
（3）解：如图
在线段BC上取点E，使得AB＝AE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C，
故AE＝EC，
∴AB＝AE＝EC，
∴AE+EC＞AC，
即AC＜2AB，
故答案为：＜．
23．（2023秋•张北县期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，动点E在射线BD上（不与点D重合），过点E作EF∥BC交线段AC于点F（不与点A，C重合），∠AFE的平分线所在
的直线与射线BD交于点G．
（1）当点E在线段BD上时．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，∠FED的度数为 20 ° ；∠FGD的度数为 50 ° ；
1
②求证∠FGD=90°− ∠A；
2
（2）当点E在线段BD的延长线上时，直接写出∠FGD与∠A之间的数量关系．
【 分 析 】 （ 1 ） ① 根 据 平 行 线 的 性 质 与 角 平 分 线 的 定 义 求 解 ∠ FED ＝ ∠ CBD ，
1 1
∠GFE= ∠AFE= ∠C即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠FGD＝
2 2
∠GFE+∠FED即可解答；
1 1
（2）先证明∠CBD= ∠ABC，∠FED=∠CBD= ∠ABC，∠EFC＝∠ACB，∠AFE＝180°﹣
2 2
1 1
∠ACB．由角平分线的定义可得∠EFH= ∠AFE=90°− ∠ACB，结合三角形的外角的性质可得
2 2
∠FGD＝∠EFH﹣∠FED，可得结论．
【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵EF∥BC，
∴∠FED＝∠CBD，∠DFE＝∠C＝60°，
∵BD平分∠ABC，FG平分∠AFE，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC=20°，∠GFE= ∠AFE=30°，
2 2
∴∠FED＝∠EBC＝20°，∠FGD＝∠GFE+∠FED＝30°+20°＝50°；
②∵BD平分∠ABC，
1
∴∠CBD= ∠ABC．
2
∵EF∥BC，1
∴∠FED=∠CBD= ∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
2
∵FG平分∠AFE，
1 1
∴∠EFG= ∠AFE= ∠ACB，
2 2
1 1 1 1
∴∠FGD=∠EFG+∠FED= ∠ACB+ ∠ABC= (180°−∠A)=90°− ∠A；
2 2 2 2
1
（2）∠FGD= ∠A，理由如下：如图，点E在线段BD的延长线上．
2
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠CBD= ∠ABC．
2
∵EF∥BC，
1
∴∠FED=∠CBD= ∠ABC，∠EFC＝∠ACB，
2
∴∠AFE＝180°﹣∠EFC＝180°﹣∠ACB．
∵FH平分∠AFE，
1 1
∴∠EFH= ∠AFE=90°− ∠ACB，
2 2
1 1 1 1
∴∠FGD=∠EFH−∠FED=90°− ∠ACB− ∠ABC=90°− (180°−∠A)= ∠A．
2 2 2 2
24．（2023秋•南关区期末）将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C'．
（1）当C'落在AC上时（如图1），可得∠1与∠2的关系为 ∠ 1 ＝ 2 ∠ 2 ；
（2）当C'点落在CA和CB之间（如图2）时，探究∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；（3）当C'落在CB，CA的同旁（如图3）时，直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【分析】（1）当点C'落在AC上时，由折叠的性质可知：∠C＝∠2，再由三角形的外角定理得∠1＝
∠C+∠2＝2∠2，由此可得∠1与∠2的关系；
（2）当C'点落在CA和CB之间时，连接CC'，由三角形的外角定理得：∠1＝∠DCC'+∠DC'C，∠3＝
∠ECC'+∠EC'C，即∠1+∠3＝∠DCE+∠DC'E，再由折叠的性质可知：∠DCE+∠DC'E＝∠2，由此可
得∠1与∠2的关系；
（3）当C'落在CB，CA的同旁时，设C'D与AC交于点H，由三角形的外角定理得∠EHD＝∠2+∠3，
∠1＝∠C+∠EHD，进而得∠1＝∠C+∠2+∠3，再由折叠的性质可知：∠C＝∠2，由此可得∠1与∠2
的关系．
【解答】解：（1）当点C'落在AC上时，如图1所示：
由折叠的性质可知：∠C＝∠2，
由三角形的外角定理得：∠1＝∠C+∠2＝2∠2；
故答案为：∠1＝2∠2．
（2）当C'点落在CA和CB之间时，连接CC'，如图2所示：
则∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1+∠3＝2∠2，理由如下：
由三角形的外角定理得：∠1＝∠DCC'+∠DC'C，∠3＝∠ECC'+∠EC'C，
∴∠1+∠3＝∠DCC'+∠DC'C+∠ECC'+∠EC'C，
即∠1+∠3＝∠DCE+∠DC'E，
由折叠的性质可知：∠DCE+∠DC'E＝∠2，
∴∠1+∠3＝2∠2；
（3）当C'落在CB，CA的同旁时，设C'D与AC交于点H，如图3所示：则∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1＝2∠2+∠3，理由如下：
∵∠EHD是△C'HE的一个外角，
∴∠EHD＝∠2+∠3，
∵∠1是△CHD的一个外角，
∴∠1＝∠C+∠EHD，
即∠1＝∠C+∠2+∠3，
由折叠的性质可知：∠C＝∠2，
∴∠1＝2∠2+∠3．
25．（2023秋•阜平县期中）如图1，点P在△ABC内，连接BP，CP，且∠BPC＝90°．
（1）若∠A＝60°，则∠ABC+∠ACB的度数为 120 ° ；
（2）求证：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）将题干中“点P在△ABC内”改成“点P在△ABC外”，其他条件不变，点P的位置如图2所
示．
①若∠A＝60°，则∠ACP﹣∠ABP的度数为 30 ° ；
②如图3，若BO，CO分别平分∠ABP，∠ACP，直接写出∠O与∠A的数量关系．
【分析】（1）直接利用三角形内角和定理计算；
（2）分别得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A和∠PBC+∠PCB＝90°，再利用∠ABP+∠ACP＝∠ABC﹣
∠PBC+∠ACB﹣∠PCB变形整理可得；
（3）①利用三角形内角和得出∠A+∠AOC+∠ACP＝180°，∠P+∠POB+∠ABP＝180°，结合对顶角相
等，可得60°+∠ACP＝90°+∠ABP，移项即可得解；②同理可得∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，利用角平1 1
分线的定义得到∠OBA= ∠ABP，∠OCP= ∠ACP，再利用三角形内角和列出∠O＝180°﹣
2 2
（∠OBC+∠OCB），再逐步代换可得结果．
【解答】（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°；
（2）证明：由题意可知：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°．
∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC，∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB，
∴∠ABP+∠ACP＝∠ABC﹣∠PBC+∠ACB﹣∠PCB
＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣∠A﹣90°
＝90°﹣∠A．
（3）解：①∵∠A+∠AOC+∠ACP＝180°，∠P+∠POB+∠ABP＝180°，
且∠AOC＝∠BOP，
∴∠A+∠AOC+∠ACP＝∠P+∠POB+∠ABP，
∴60°+∠ACP＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°；
②与（3）①同理可得∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
∵BO，CO分别平分∠ABP，∠ACP，
1 1
∴∠OBA= ∠ABP，∠OCP= ∠ACP．
2 2
由题意可得：
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCP+∠PCB）
1 1
=180°−( ∠ABP+∠ABC+ ∠ACP+∠ACB−∠ACP)
2 2
1 1
=180°−( ∠ABP− ∠ACP+∠ABC+∠ACB)
2 2
1
=180°−[ (∠A−90°)+(180°−∠A)]
2
1
= ∠A+45°，
2
1
即∠O= ∠A+45°．
2
26．（2023春•川汇区期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD；
操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上．
完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是 ∠ ABD ＝∠ CBD ，直线
BC，AE的位置关系是 BC ⊥ AE ．
（2）深入探究
操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平．
根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由．
（3）结论应用
如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的度数．
【分析】（1）根据折叠的性质进行求解即可；
（2）由折叠的性质可得DF∥BC，则有∠DBC＝∠BDF，从而可求解；
（3）由三角形的内角和可求∠BAC＝74°，再由折叠可求得∠ABD＝29°，利用三角形的外角性质即可求
解．【解答】解：（1）∠ABD和∠CBD的大小关系是：∠ABD＝∠CBD，直线BC，AE的位置关系是：
BC⊥AE．
故答案为：∠ABD＝∠CBD，BC⊥AE；
（2）∠DBF＝∠BDF，理由如下：
由（1）得：∠CBD＝∠FBD，AE⊥BC，AE⊥DF，
∴DF∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠DBF＝∠BDF；
（3）∵∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝74°，
∵∠ABD＝∠CBD，
1
∴∠ABD= ∠ABC＝29°，
2
∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝103°．
27．（2023秋•花都区期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于
点E．
（1）若∠BDE＝60°，∠DCE＝25°，求∠A的度数．
（2）若∠BDE﹣∠DCE＝n°，解答以下问题：
①若n＝30，求∠A的度数；
②试用含n的式子表示∠A，请说明理由．
【分析】（1）由DE⊥BC，可得出∠BED＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠DBE的度数，由
BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，利用角平分线的定义，可求出∠ABC，∠ACB的度数，再在△ABC
中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数；
（2）①由DE⊥BC，可得出∠BED＝90°，结合三角形内角和定理，可得出∠DBE＝90°﹣∠BDE，由
BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，利用角平分线的定义，可得出∠ABC＝180°﹣2∠BDE，∠ACB＝
2∠DCE，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数；②由DE⊥BC，可得出∠BED＝90°，结合三角形内角和定理，可得出∠DBE＝90°﹣∠BDE，由BD平
分∠ABC，CD平分∠ACB，利用角平分线的定义，可得出∠ABC＝180°﹣2∠BDE，∠ACB＝2∠DCE，
再在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠A＝2（∠BDE﹣∠DCE）＝2n°．
【解答】解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBE＝2×30°＝60°，∠ACB＝2∠DCE＝2×25°＝50°．
在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°；
（2）①∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBE＝2（90°﹣∠BDE）＝180°﹣2∠BDE，∠ACB＝2∠DCE．
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣2∠BDE，∠ACB＝2∠DCE，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2∠BDE）﹣2∠DCE＝180°﹣180°+2∠BDE﹣2∠DCE
＝2（∠BDE﹣∠DCE）＝2×30°＝60°；
②∠A＝2n°，理由如下：
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE＝90°﹣∠BDE．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBE＝2（90°﹣∠BDE）＝180°﹣2∠BDE，∠ACB＝2∠DCE．
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣2∠BDE，∠ACB＝2∠DCE，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2∠BDE）﹣2∠DCE＝180°﹣180°+2∠BDE﹣2∠DCE
＝2（∠BDE﹣∠DCE）＝2n°．
28．（2024春•衡阳期末）（概念学习）
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互
为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝ 22 5 °；（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与
钝角∠BCD之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 2 ；（用含 的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BαC交于点Q，α延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB
的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°；
直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．
【分析】（1）根据组角的定义直接得答案；
（2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论；
（3）根据（2）的结论可直接得出答案；
（4）由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+∠AQM+∠APM＝∠PMQ，在镖形APCQ中，有
∠A+2∠AQM+2APM＝∠QCP，再根据等式的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，
∴∠2＝360°﹣135°＝225°；
故答案为：225；
（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
理由：∵优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，
∴优角∠BCD＝360°﹣钝角∠BCD，
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴优角∠BCD＝360°﹣（∠A+∠B+∠D），
∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；
（3）由（2）得，在镖型ABOC中，∠BOC＝∠A+∠B+∠C，
在镖型FDOE中，∠DOE＝∠F+∠E+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2 ，
故答案为：2 ； α
（4）∵∠APα D、∠AQB的平分线交于点M，
∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM，
令∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．
由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+∠AQM+∠APM＝∠PMQ，
在镖形APCQ中，有∠A+2∠AQM+2∠APM＝∠QCP，
于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A＝2∠PMQ，
而∠A+∠QCP＝180°，
∴∠PMQ＝90°，即PM⊥QM．
29．（2023秋•惠州校级月考）在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图①，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠DAE＝ 10 ° ；
（2）如图②（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B，∠C之间的数量关系；
（3）拓展：如图③，在四边形ABDC中，AE是∠BAC的平分线，DA是∠BDC的平分线，连接BC交
AD于点F．若∠ACB＞∠ABC且∠DCB＞∠DBC，猜想：∠DAE与∠ABD，∠ACD之间的数量关系，
并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利
用三角形的高线可求∠CAE的度数，进而求解∠DAE的度数；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（ 3 ） 过 点 A 作 AM⊥ BC 于 M ， 过 点 D 作 DN⊥ BC 于 N ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 到
1 1
∠EAM= (∠ACB−∠ABC)，同理，∠ADN= (∠BCD−∠CBD)，求得∠MAD＝∠ADN，根
2 2
据角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，1
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=40°，
2
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°，
故答案为：10°；
1
（2）解：∠DAE= (∠C−∠B)，理由如下：
2
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC，
2
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE
1
= ∠BAC−(90°−∠C)
2
1
= (180°−∠B−∠C)−90°+∠C
2
1 1
= ∠C− ∠B，
2 2
1
即∠DAE= (∠C−∠B)；
2
1
（3）解：∠DAE= (∠ACD−∠ABD)，理由如下：
2
如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
1
∴∠EAM= (∠ACB−∠ABC)，
2
1
同理，∠ADN= (∠BCD−∠CBD)，
2
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD
＝∠EAM+∠ADN
1 1
= (∠ACB−∠ABC)+ (∠BCD−∠CBD)
2 2
1
= (∠ACD−∠ABD)．
2
30．（2023秋•青岛期末）【基础探究】
（1）如图1，AB∥CD，点E是CD上的点，点P是AB和CD之间的一点，连接PB、PE．若∠B＝
25°，∠PEC＝32°，则∠P的度数为 57 ° ；
（2）如图2，BE∥DF，∠DBE的平分线与∠CDF的平分线交于点G，当∠BGD＝65°时，则∠BDC的
度数为 50 ° ；
（3）如图3，DH∥EG，点A、点C分别是DH、EG上的点，点B和点F是DH和EG之间的点，连接
AB、AF、CB、CF．若∠B＝94°，∠F＝92°，AF、CB分别平分∠HAB、∠GCF，则∠BAH的度数为
64° ；
【问题迁移】
（4）如图4，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC与∠A的数量关系为：∠BOC
1
＝ 90 °+ ∠ A ；
2
【拓展深化】
如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设∠AED＝m°，∠C＝n°（m＜n）．
1
（5）如图5，BO、DO分别平分∠ABC、∠BDE．用含m、n的式子表示∠BOD的度数为 90 °+
2
（ n ° ﹣ m ° ） ；
（6）如图6，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，射线CO与∠ADE的平分线DH相交于点H，点H在1
△ABC内部，用含m、n的式子表示∠DHC﹣∠BOC的度数为 （ n ° ﹣ m ° ） ．
2
【分析】（1）过点P作PN∥AB，证AB∥PN∥CD，则∠BPN＝∠B，∠EPN＝∠PEC，由此得∠BPE
＝∠B+∠PEC，再根据∠B＝25°，∠PEC＝32°可得∠BPE的度数；
（2）设∠EBG＝ ，∠FDG＝ ，根据角平分线的定义得∠DBG＝∠EBG＝ ，∠CDG＝∠FDG＝ ，再
根据BE∥DF，由α（1）可知∠βBGD＝∠EBG+∠FDG＝ + ＝65°，则∠DBGα+∠CDG＝ + ＝65°，β然后
根据三角形的内角和定理可得出∠BDC的度数； α β α β
（3）设∠HAF＝ ，∠GCB＝ ，根据角平分线的定义得∠BAF＝∠HAF＝ ，∠BAH＝2∠HAF＝2 ，
∠GCF＝∠GCB＝α ，∠GCFβ＝2∠GCB＝2 ，根据DH∥EG，由（1）可α知∠B＝∠HAB+∠GCBα＝
2 + ，∠F＝∠HAFβ+∠GCF＝ +2 ，据此得β2 + ＝94°， +2 ＝92°，由此解出 可得∠BAH的度数；
（α4）β 先由三角形内角和定理得α∠βABC+∠ACBα＝β180°﹣∠αA，β再根据角平分线的α定义得∠OBC+∠OCB
1 1 1
= （∠ABC+∠ACB）＝90°− ∠A，则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A，据此可得
2 2 2
∠BOC与∠A的数量关系；
（5）延长DE与BC的延长线交于点 F，则∠FEC＝∠AED＝m°，再根据三角形外角定理得∠F＝
1
∠ACB﹣∠FEC＝n°﹣m°，根据（4）可知∠BOD＝90°+ ∠F，据此可得∠BOD的度数；
2
1 1
（6）根据角平分线的定义得∠FCE= ∠ACB= n°，由三角形外角定理可得∠CFE＝∠AED﹣∠FCE＝
2 21 1
m°− n°，则∠DFH＝∠CFE＝m°− n°，然后根据DH平分∠ADE及三角形的内角和定理得∠DHC＝
2 2
1 1 1 1
180°﹣∠HDF﹣∠DFH＝90°+ ∠A+ n°− m°，再根据（4）可知∠BOC＝90°+ ∠A，据此可得
2 2 2 2
∠DHC﹣∠BOC的度数．
【解答】解：（1）过点P作PN∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠BPN＝∠B，∠EPN＝∠PEC，
∴∠BPN+∠EPN＝∠B+∠PEC，
即∠BPE＝∠B+∠PEC，
∵∠B＝25°，∠PEC＝32°，
∴∠BPE＝∠B+∠PEC＝25°+32°＝57°；
故答案为：57°．
（2）设∠EBG＝ ，∠FDG＝ ，如图2所示：
α β
∵∠DBE的平分线与∠CDF的平分线交于点G，
∴∠DBG＝∠EBG＝ ，∠CDG＝∠FDG＝ ，
∵BE∥DF， α β
由（1）可知：∠BGD＝∠EBG+∠FDG＝ + ，
∵∠BGD＝65°， α β
∴ + ＝65°，
∴α∠DβBG+∠CDG＝ + ＝65°，
α β由三角形的内角和定理得：∠BGD+∠DBG+∠BDG＝180°，
∴∠BGD+∠DBG+∠CDG+∠BDC＝180°，
∴65°+65°+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝50°；
故答案为：50°．
（3）设∠HAF＝ ，∠GCB＝ ，如图3所示：
α β
∵AF、CB分别平分∠HAB、∠GCF，
∴∠BAF＝∠HAF＝ ，∠BAH＝2∠HAF＝2 ，∠GCF＝∠GCB＝ ，∠GCF＝2∠GCB＝2 ，
∵DH∥EG， α α β β
由（1）可知：∠B＝∠HAB+∠GCB＝2 + ，
∠F＝∠HAF+∠GCF＝ +2 ， α β
∵∠B＝94°，∠F＝92°，α β
∴2 + ＝94°， +2 ＝92°，
解得α：β ＝32°，α ＝β30°
∴∠BAαH＝2 ＝β64°，
故答案为：6α4°．
（4）如图4所示：
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB
2 21 1
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）＝90°− ∠A，
2 2
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
1 1
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°− ∠A）＝90°+ ∠A，
2 2
1
∴∠BOC与∠A的数量关系是：∠BOC＝90°+ ∠A；
2
1
故答案为：90°+ ∠A．
2
（5）延长DE与BC的延长线交于点F，如图5所示：
∵∠AED＝m°，
∴∠FEC＝∠AED＝m°，
∵∠ACB＝∠FEC+∠F，∠ACB＝n°（m＜n），
∴∠F＝∠ACB﹣∠FEC＝n°﹣m°，
∵BO、DO分别平分∠ABC、∠BDE，
1
由（4）可知：∠BOD＝90°+ ∠F，
2
1
∴∠BOD＝90°+ （n°﹣m°）；
2
1
故答案为：90°+ （n°﹣m°）．
2
（6）设CH与DE相交于点F，如图6所示：
∵CO分别平分∠ACB，∠ACB＝n°，1 1
∴∠FCE= ∠ACB= n°，
2 2
∵∠AED＝∠FCE+∠CFE，∠AED＝m°，
∴∠CFE＝∠AED﹣∠FCE＝m°﹣1/2n°，
1
∴∠DFH＝∠CFE＝m°− n°，
2
∵DH平分∠ADE，
1
∴∠HDF= ∠ADE，
2
∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，
∴∠ADE＝180°﹣（∠A+∠AED）＝180°﹣（∠A+m°）
1
∴∠HDF＝90°− （∠A+m°），
2
1 1 1 1 1
∴∠DHC＝180°﹣∠HDF﹣∠DFH＝180°﹣[90°− （∠A+m°）]﹣（m°− n°）＝90°+ ∠A+ n°−
2 2 2 2 2
m°，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
1
由（4）可知：∠BOC＝90°+ ∠A，
2
1 1 1 1 1
∴∠DHC﹣∠BOC＝（90°+ ∠A+ n°− m°）﹣（90°+ ∠A）= （n°﹣m°）．
2 2 2 2 2
故答案为：（n°﹣m°）．
