文档内容
模块五 数列（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的公比为 ，则 ，从而 ，
则 ，
故选：D.
2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】如果数列 是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有 ，
反之 成立，不一定有数列 是等差数列.
故选：A.3．已知 ， 均为等差数列，且 ， ，则数列 的前9项和为（ ）
A．45 B．50 C．54 D．60
【答案】C
【解析】因 ， 均为等差数列，且 ， ，可得 的公差为 ，
则 ，
而 的前9项和为
.
故选：C.
4．若数列 相邻两项的和依次构成等差数列，则称 是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，
7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列 是“邻和等差数列”， 是其前 项和，且 ， ，
，则 （ ）
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
【答案】A
【解析】设 ，由 ，得 ，则 ，
故
．
故选：A
5．已知等比数列 的前n项积为 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B【解析】根据题意，等比数列 的前n项积为 ，
则 ，所以 .
故选：B．
6．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，记 ，则使得
的最小正整数 的值为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】C
【解析】由 ，所以 ，
所以 或
又 ，所以0 ，又 ，所以 ，
所以 ，
则使得 的最小正整数 的值为27.
故选:C.
7．已知 为数列 的前 项和，且 ，若 对任意正整数 恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由 ，令 ，解得 ，
当 时，由 得 ，即 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，由 ，即 恒成立，令 ，则 ，
而 ，所以 ，即数列 单调递减，故 ，
所以 ，所以 的最小值为 .
故选：D.
8．已知数列 满足对任意正整数 恒有 ，且 ， ，
则 的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
令 ， ，得 ，可得 ，
所以 ，得 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
故 ， ，所以 ，
所以 的前30项的和为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】AC
【解析】由 ， ，可得
，故A正确；B错误；
对于C，由上可知，数列 是以3为周期的周期数列，
则 ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：AC.
10．已知等比数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
对于A选项，在等比数列 中， ，又 ，所以 ，所以A选项正确；
对于B选项，若 ，则数列递增， ，即 ，所以 ，所以B选项正确；对于C选项，若 ，则数列递减， ，即 ，所以 ，所以C选项不正确；
对于D选项，若 ，则数列递减， ，又 ，
所以 ，所以D选项正确，
故选：ABD.
11．对于数列 ，若存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称数列 是有界的，若这
样的正数 不存在，则称数列 是无界的.记数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是无界的
B．若 ，则数列 是有界的
C．若 ，则数列 是有界的
D．若 ，则数列 是有界的
【答案】BCD
【解析】对于选项A：因为 ，所以 ，所以存在正数 ，
使得 恒成立，所以数列 是有界的，故A错误；
对于选项B：因为 ，所以 ，
所以，
所以存在正数 ，使得 恒成立，所以数列 是有界的，故B正确；
对于选项C：因为 ，所以当 时， ；
当 时， ；所以 ，
所以存在正数 ，使得 恒成立，所以数列 是有界的，故C正确；
对于选项D：因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以存在正数 ，使得 恒成立，所以数列 是有界的，故D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知递增的等比数列 满足 ， ，则 的前3项和 ．
【答案】21
【解析】因为 是等比数列，
所以 ．又 ，
所以 或 （舍去），
则 的公比 ， ，
从而 ．故答案为：21
13．欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知
，其中 ， 是 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质
数）.例如 .若数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则
.
【答案】
【解析】由题意可得 ，
则 ，
当 时， ，
则 .
故答案为：
14．设数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 .给出如下4个结论：
① 可能为等差数列；
② 可能为等比数列；
③ 均能写成 的两项之差；
④对任意 ，总存在 ，使得 .
其中正确命题的序号是 .
【答案】①③【解析】对于①，取等差数列 ，易验证其满足要求，①正确.
对于②，若 为等比数列，设公比为 ，显然 不满足要求，
考虑 的情况，依题意，应有 ，
即
，
两式相除，得 .
若 ，则取 为奇数，那么 ，所以 ，
所以 .
当 足够大时，显然不成立；
若 ，则 ，
因为 ，所以当足够大时，
可以使 ，故也不成立.从而知②错误；
对于选项③，取 ，则 ，所以 ，
当 时， ，故③正确.
对于选项④， 取数列 ， 显然不存在 ，使得 ，故④错误.
故答案为：①③
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列 是由正数组成的等比数列，且 ， ．(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，由 ，
得 ，∵ 是由正数组成的等比数列，则 ， ，
则 ，解得 或 （舍），又 ，所以 ，
解得 ，所以
（2） ，
所以
16．（15分）
已知数列 的首项为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和为 ；
(3)求数列 的前 项和.
【解析】（1）因为 ， ，
若 ，则 ，与 矛盾，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以数列 是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知 ，
数列 的前 项和为 .
（3）因为 ，
设数列 的前n项和为 ，
当n为偶数时， ，
因为 ，
所以 ，
当 为奇数时， 为偶数.
，
所以 .
17．（15分）
已知数列 是等差数列，设 为数列 的前 项和，数列 是等比数列， ，若
， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；(2)求数列 的前 项和；
(3)若 ，求数列 的前 项和．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，则由 ，
即 ，得 ，
解得 或 ，因为 ，故舍去 ，
所以 ， ．
（2）由（1）得 ， ，所以 ，
令数列 的前 项和为 ，则 ，
即 ①，
②，
两式相减得：
，
所以 .
（3）设数列 的前 项和为由 ， ，得 ，
则 ，即 ；
故
.
18．（17分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，请求出所有符合
条件的数组 ；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，解得 ；
由 ，得 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是等差数列，又 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
又 ，所以 是递增数列.
当 时，若 对任意的 恒成立，则 ；
当 时，若 对任意的 恒成立，则 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
（3）由（1）知 ，假设存在正整数 ，使得 成等差数列，
则 ，即 ，其中 ，故 ，即 .
设 ，则 ，
故数列 为递减数列，而 ，故 的正整数解为 ，
此时 ，故 即 ，由 的单调性可得 ，
所以符合条件的数组 为(2,3).
19．（17分）
集合 为集合 的子集，若数列 满足： 恒为 的倍数，则称 与 “
相关”.
(1)若 ，请写出一个不同于数列 且首项为1的等差数列 ，使得 与 “ 相
关”.（无需证明）;
(2)若数列 满足： .（i）证明：数列 为等比数列，并求出 ;
（ii）若 与 " 相关"，求所有满足条件的集合 .
【解析】（1） ，（满足要求即可）
（2）（ⅰ） ．
是以6为首项，2为公比的等比数列，
即 ．
两边同除以 ，有 ．而 ．
因此 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ．
（ⅱ）当 时， 不是9的倍数
当 时，
故只需
为整数．
① 时， ，不是整数．
② 时， ，不是整数．
③ 时， ．
而 ．
当 为偶数， ，即 ．此时 ．
当 为奇数， ．
综上，满足条件集合 是 的子集．
