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模块二 函数与导数（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
【答案】C
【解析】作出函数图象如图：
由于 ，所以函数图象不关于原点对称，
由图可知函数函数图象不关于 轴对称，
故 为非奇非偶函数，
故选：C2．若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在区间 上是减函数，设 ，所以
区间 上是减函数且恒大于 ，
且 ，且 ，解得实数 的取值范围是 .
故选：C
3．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 的定义域为R， ，故 为偶函数，排除B，D；当
时， ，排除C.
故选：A.
4．函数 在点 处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1【答案】B
【解析】因为 ，则 ，可得 ，
即切点坐标为 ，切线斜率为2，
则切线方程为 ，其与x轴交点为 ，
所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 .
故选：B.
5．函数 ，若存在 ，使 有解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若存在 ，使得 有解，即 ．
设 ， ，则 ．
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，所以 ．
故 的取值范围为 ．
故选：A
6．若函数 在 上有小于0的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】函数 的定义域为R，求导得 ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
因此 为 的极值点，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
7．已知函数 ，曲线y=f (x)与y=g(x)有两个交点
A(x ,y ),B(x ,y )，则 （ ）
1 1 2 2
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当x>0时， ， ，
当 时， ， ，
所以当 时， ，
所以函数 为奇函数，
所以函数 的图象关于点(0,1)对称，
函数 ，所以函数 为奇函数，
函数 的图象也关于点(0,1)对称.
则 两点也关于点(0,1)对称，所以 ，
则 ，
故选：D.
8．若定义域均为 的函数 ， 满足： ，且 ，使得 ，
则称 与 互为“ 亲近函数”.已知 与 互为“ 亲近
函数”，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ， ， 均在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，且 ，
故 是 的唯一零点，要使 和 互为“ 亲近函数”，
则存在 ，使得 ，即 在 内存在零点，
所以方程 有解，令 ，则 ，
故 ，易知 不是此方程的解；
当 时，有 ，由对勾函数的性质可知， ，
故 的取值范围是 ．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 ，函数 ，则下列说法正确的有（ ）A．当 时，函数 为增函数 B．点 为函数 图象的对称中心
C．存在a，使得函数 有且仅有一个极值点 D．函数 至少有一个零点
【答案】BD
【解析】由题意， ， ，
因为对 ，有 ，
所以点 为函数 图象的对称中心，故B正确；
函数 的导函数 ， ，
①当 时， 恒成立，此时函数 是 上的减函数，
则函数 没有极值点，又 ， ，
所以由零点存在性定理可知，此时函数 有一个零点；
②当 时， ，则方程 有唯一解 ，
当 时， ，当 时， ，所以函数 是 上的减函数，
则函数 没有极值点，又 ， ，
所以由零点存在性定理可知，此时函数 有一个零点；
③当 时，由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以方程 有两个不相等的根，不妨设 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，此时，函数 有两个极值点，
又 时， ， 时， ，
所以由零点存在性定理可知，此时函数 至少有一个零点；
综上所述，当 时，函数 为减函数，故A错误，
当 时，函数 没有极值点，且有一个零点，当 时，函数 有两个极值点，且至少有
一个零点，故C错误，D正确；
故选：BD.
10．设 ，定义在R上的函数 满足 ，且 ， ，则
（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令 ， ，得 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，代入可得 ，
因为 ， ，所以 ，
从而 ，故B正确；
对于C，令 ，代入得 ，
又因为对 ， 恒成立且不恒为0，
所以 ，从而得 为奇函数，
又 不恒等于0，故C错误；对于D，因为 ，所以 ，
所以 为 的周期，
所以 ，故D正确．
故选：ABD．
11．已知函数 ，下面关于 的方程 的实数根的个数，说法正确的是
（ ）
A．当 时，原方程有6个根
B．当 时，原方程有6个根
C．当 时，原方程有4个根
D．不论 取何值，原方程都不可能有7个根
【答案】ABC
【解析】令 ，则方程 实数根的个数等价于函数 的图象与直线 交点的个数，
由于 ，所以作出函数 的图象如下，
当 时，函数 的图象与直线 交点只有1个，故方程 实数根的个数为1个；
当 或 时，函数 的图象与直线 交点有2个，故方程 实数根的个数为2个；
当 时，函数 的图象与直线 交点有3个，故方程 实数根的个数为3个；
方程 ，可化为 ，对AB，当 时， ，
方程 有3个不等实数根，分别记为 ，且 ，
从而 有1个实数根， 有3个不等实数根， 有2个不等实数根，
所以方程 有6个不等实数根，AB正确；
当 时， 有2个实数根，分别为 ，
从而方程 有1个实数根，方程 有3个不等实数根，
所以方程 有4个不等实数根，C正确；
当 时， ，方程 有3个不等实数根，分别为 ，
方程 有2个不等实数根，方程 有3个不等实数根，方程 有2个不等实数根，
则方程 有7个不等实数根，D错误；
故选:ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数 是偶函数，当 时， ，则当 时， .
【答案】
【解析】当 时，可得 ，
又因为当 时， ，所以 ，
因为 是偶函数，所以 ，
所以当 时， .
故答案为： .13．已知函数 的图象关于直线 对称，则 .
【答案】3
【解析】由 知 ，即 ，
所以函数的定义域为
由函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，且 恒成立，
即 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，故
故答案为：3
14．已知函数 及其导函数f'(x)在定义域均为R且 是偶函数，其函数图象为不间断
曲线且 则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
又因为 ，用 代替 得： .
所以，当 时， ，所以 .
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.又F(x)为偶函数，其图象关于 轴对称，在 上单调递减.
设 ，则 ，则 ，又 ，
所以 ，根据函数为偶函数，且图象不间断，在 上单调递减，在
(0,+∞)上单调递增，所以 .
即 .
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知定义域为 的单调减函数 是奇函数，当 时， .
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为函数 是定义在 的奇函数，所以 .
（2）因为当 时， ，
所以当 时， ， ，
所以 .（3）由题，函数 是定义域为 单调减函数，且为奇函数，
所以由 ，可得 ，
即 ，所以 ，
所以 恒成立，
因为 在 时有最小值，最小值为 ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
16．（15分）
某公园有一块如图所示的区域 ，该场地由线段 、 、 及曲线段 围成.经测量，
， 米，曲线 是以 为对称轴的抛物线的一部分，点 到 、 的距离都
是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场 ，其中点 在曲线段 上，点 、 分别在线段 、
上，且该游乐场最短边长不低于30米.设 米，游乐场的面积为 平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段 的方程；
(2)求面积 关于 的函数解析式 ；
(3)试确定点 的位置，使得游乐场的面积 最大.
【解析】（1）以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ，设曲线 所在的抛物线方程为 ， ，点 ， 在抛物线上，
则 ，解得 ， ，
所以曲线段 所在的抛物线方程为 .
（2）因为点 在曲线段 上， ， ，所以 ，
∴ ， .
（3）∵ ， ，
令 ，解得 ，
当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以 时，函数 单调递增， 时，函数 单调递减，
因此，当 时， 是极大值也是最大值，
即当点 在曲线段 上且到 的距离为 米时，游乐场的面积最大.
17．（15分）已知函数 的极小值为2， ， .
(1)求 的值；
(2)比较并证明 与0的大小；
(3)求 的零点个数并进行证明.
【解析】（1） ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，所以函数无极值；
当 时，则 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极小值为 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ；（3） ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以函数 在 上有唯一零点，
因为 ，
所以 ，所以 ，
由（2）得 ，
所以函数 在 上有唯一零点，
综上所述，函数 有 个零点.18．（17分）
已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若 ，证明对任意 ， 恒成立．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
，则 ，
则曲线 在点 处切线的方程为 ，
整理得 ；
（2） ，
令 ，有 ， ，
由 且 ，
当 时， ，则当 时， ，
当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，则当 时， ，
当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减；综上，当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
（3）由 ，故 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， 单调递减，
若 ，则 ，符合要求；
若 ，则 ，则 ，
则要证 ，只需证 ，
即只需证 ，
令 ， ， ，
则 ，
由 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
由 ，由对勾函数性质可知 ，
故 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ，即有 ，即得证.
19．（17分）
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值.(2)若正项数列 的前 项和为 ，且 ， ，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） .
【解析】（1） ，
由题意可得 ，则 ，
又 ，切点 在切线 上，
所以 ，则 ，所以 ，解得 ；
（2）（ⅰ）因为 ，所以要证 ，即证
又 ，所以即证 ，
因为数列 为正项数列，所以可设 ，不等式化为 ，
设 ，则 恒成立，
故函数 在 上单调递增，则 恒成立，
即 在 上恒成立，则原命题得证；
（ii）先证明 ，即证 ，
设 ，
则 ，又设函数 ，则 ，所以 时， ，
则函数在 上单调递增，故 ，
即当 时， 恒成立，所以 ，
所以 ，
所以 ，则 在 上单调递增，
所以 ，则所证不等式 成立，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以当 时， ，
又当 时， ，
故 .
