文档内容
模块五 数列（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知 ， 均为等差数列，且 ， ，则数列 的前9项和为（ ）
A．45 B．50 C．54 D．60
4．若数列 相邻两项的和依次构成等差数列，则称 是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，
7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列 是“邻和等差数列”， 是其前 项和，且 ， ，
，则 （ ）
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
5．已知等比数列 的前n项积为 ，若 ，则 （ ）A． B．2 C． D．4
6．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，记 ，则使得
的最小正整数 的值为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
7．已知 为数列 的前 项和，且 ，若 对任意正整数 恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
8．已知数列 满足对任意正整数 恒有 ，且 ， ，
则 的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则11．对于数列 ，若存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称数列 是有界的，若这
样的正数 不存在，则称数列 是无界的.记数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是无界的
B．若 ，则数列 是有界的
C．若 ，则数列 是有界的
D．若 ，则数列 是有界的
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知递增的等比数列 满足 ， ，则 的前3项和 ．
13．欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知
，其中 ， 是 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质
数）.例如 .若数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则
.
14．设数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 .给出如下4个结论：
① 可能为等差数列；
② 可能为等比数列；③ 均能写成 的两项之差；
④对任意 ，总存在 ，使得 .
其中正确命题的序号是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列 是由正数组成的等比数列，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
16．（15分）
已知数列 的首项为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前 项和为 ；
(3)求数列 的前 项和.
17．（15分）已知数列 是等差数列，设 为数列 的前 项和，数列 是等比数列， ，若
， ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和；
(3)若 ，求数列 的前 项和．
18．（17分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，请求出所有符合
条件的数组 ；若不存在，请说明理由.19．（17分）
集合 为集合 的子集，若数列 满足： 恒为 的倍数，则称 与 “
相关”.
(1)若 ，请写出一个不同于数列 且首项为1的等差数列 ，使得 与 “ 相
关”.（无需证明）;
(2)若数列 满足： .
（i）证明：数列 为等比数列，并求出 ;
（ii）若 与 " 相关"，求所有满足条件的集合 .
