文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷（天津专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
1．全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题 ， ，则 是（ ）.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该
国企的生产利润约为千万元（参考公式及数据： ， ）
年号
年生产利润 （单位：千万元）
A． B． C． D．
4．若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单
位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．6．已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7． 如图所示，已知双曲线 ： 的右焦点为 ，双曲线的右支上一点 ，它关于
原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率是
A． B． C． D．
8．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单
位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按
照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据： ）
A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元
9．艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相
互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两
个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（ ）A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．复数 的共轭复数为 ，则 .
11．若 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为 ．
12．从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到红
球的条件下第4次摸到红球的概率为 .
13．已知点 ，抛物线 ： （ ）的准线为 ，点 在 上，作 于点 ，
， ，则 .
14．如图，已知正方形 的边长为2，过中心 的直线 与两边 ， 分别交于点 ， ，若 是
的中点，则 的取值范围是 ；若 是平面内一点，且满足 ，
则 的最小值是 .15．已知函数 ， 均为周期为2的函数， ，
，若函数 在区间 有10个零点，则实数 的取值范围是
.
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
在 中，内角 ， ， ，所对的边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ．
17．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ，
，点E在线段 上，满足 ，点F为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 所成角的余弦值．18．（15分）
已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，离心率 ，点 、 分别是椭圆的
右顶点和上顶点， 的边 上的中线长为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆上顶点 的直线交椭圆于点 ，且 ，求直线 的方程;
(3)直线 、 过右焦点 ，且它们的斜率乘积为 ，设 、 分别与椭圆交于点 、 和 、 .若 、
分别是线段 和 的中点，求 面积的最大值.
19．（15分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件
的数组 ；若不存在，请说明理由.
20．（16分）已知 ，其中 ， .
(1)若 与 相切，求实数 的值；
(2)当 时，证明： ；
(3)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
