文档内容
模块三 平面向量（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知点 ， ，向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，由定比分点公式得 ，
所以 ，即 ,
所以 ，
故选:B
2．若两个单位向量 满足 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ．因为 为单位向量，所以化简可得： ，解得 ，
则 与 夹角的余弦值为 ．
故选：D.
3．已知 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 ，
又 ，则 ，
整理得到 ，解得 ，
故选：C.
4．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足 ，记 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ．
故选：A
5．已知向量 ，满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 在 方向上的投影向量为 ．
故选：C．
6．在 中，角B，C所对的边分别为b，c，D为边BC上的点.已知
： ， ： 平分 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：因为 ，
所以 ，
可得 ，
所以 .
假设点D到边AB与边AC的距离分别为 ， ，
则 ，所以 ，所以AD平分 .
必要性：因为AD平分 ，则 ，
所以 ，所以 ，从而 ， .
所以 是 的充要条件.
故选：B.
7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形 ，
其中 ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由题知八边形 为正八边形，则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
8．已知 ， 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， 为单位向量，且 ，则 ，解得
，
设 的夹角为 ，则 ，解得 ，
不妨设 ， ， ，
由 ，则 ，整理可得 ，易知圆心(2,0)，半径为 ，
设 ，由 ，则 ，
易知当直线 与圆 相切时， 取得最值，
可得 ，整理可得 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 是两个相互垂直的单位向量.若向量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC【解析】由题 是两个相互垂直的单位向量，且 .
对于A， ，
所以 ，故A正确；
对于B， ，所以 不垂直，故B错误；
对于C， ，所以 ，故C正确；
对于D， ，
所以 ，故D错误.
故选：AC.
10．如图，在四边形 中， ， 为 的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，
设 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 ，则
【答案】AC
【解析】对于选项A，因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，故选项A正确，对于选项B，若 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，
所以 ，与 相交于点 矛盾，故选项B错误，
对于选项C，因为 为 的中点，所以 ，故选项C正确，
对于选项D，解法一：由题意可设 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，所以 ，故选项D错误，
解法二：因为 三点共线，所以 ，且 ，
又 ， ，所以 ， ， ，故选项D错误，
故选：AC.
11．定义： 两个向量的叉乘 的模 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若平行四边形 的面积为4，则
B．在正 中，若 ，则
C．若 ， ，则 的最小值为12
D．若 ， ，且 为单位向量，则 的值可能为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为平行四边形 的面积为4，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以B正确；
对于C，因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当时 等号成立，所以 的最小值为 ，所以C错误；
对于D，若 ， ，且 为单位向量，
则当 ， ， ， 时， ，
，
此时 ，所以D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知平面向量 ， 满足 ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
13．已知点 均在 所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．①若动点 满足 ，则点 为 的重心；
②若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的内心；
③若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的重心；
④若动点 满足 ，则动点 的轨迹一定经过 的垂心．
【答案】①②③④
【解析】对于①，因为动点 满足 ，所以 ，则点 是 的重心，①正
确．
对于②， ，所以 ，
所以点 在 的平分线所在直线上，所以动点 的轨迹一定经过 的内心，②正确．
对于③， ，所以 ，
过点 作 ，垂足为 ，如下图：
则 ，所以 ，
则点 在 边上的中线所在直线上，因此动点 的轨迹一定经过 的重心，③正确．
对于④， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以动点 的轨迹一定经过 的垂心，④正确．
故所有正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④.
14．在 中， 是 边上靠近 点的三等分点， 是 边上的动点，
则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ，解得 ，
设 ，
则
.故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为向量 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，且 ，
所以 ，解得 .
（3）因为 与 的夹角是钝角，
则 且 与 不共线，
即 且 ，
所以 且 .
16．（15分）
如图，在 中， ， ．设 ， ．(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 为 内部一点，且 ．求证： ， ， 三点共线．
【解析】（1）由题可知，
，
（2）
，且有公共点M
， ， 三点共线.
17．（15分）
在 中，已知 .
(1)求 ；
(2)记 为 的重心，过 的直线分别交边 于 两点，设 .
（i）求 的值；
（ii）若 ，求 和 周长之比的最小值.
【解析】（1）由题可知 ，
又 ，所以 ；
（2）（i）设 为 的中点，则 ，
又因为 ，所以 ，
因为 三点共线，所以 ，所以 ；（ii）由 ， ，可得 为等边三角形，
设 的边长为1， 与 周长分别为 ，则 ，
，所以 ，
所以 ，
由 可得， （当且仅当 时等号成立），
解得 ，易知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 和 的周长之比的最小值为 .
18．（17分）
如图，设 、 是平面内相交成 的两条射线， 、 分别为 、 同向的单位向量，
定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记 .
(1)在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ， ， 、分别为 、 中点，求 的最大值.
【解析】（1）由题意可知， 、 的夹角为 ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
因为 ，则 ，.
则 ，所以 .
（2）由 ， ，得 ， ，
且 ，
所以， ，
，则 ，
，
因为 与 的夹角为 ，则 ，解得 .
（3）依题意设 、 ，
且 ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，
因为 为 中点，同理可得 ，所以， ，
由题意可知， ， ，
则 ，
在 中依据余弦定理得 ，所以 ，
代入上式得， .
在 中，由正弦定理 ，
设 ，则 ，且 ，
所以， ， ，
，
为锐角，且 ，
因为 ，则 ，
故当 时， 取最大值 ，
则
19．（17分）
已知平面直角坐标系中，点A(a,0)，点 （其中 ， 为常数，且 ），点 为坐标原点．(1)设点 为线段 上靠近 的三等分点， ，求 的值；
(2)如图所示，设点 ， ， ，…， 是线段 的 等分点，其中 ， ，
①当 时，求 的值（用含 ， 的式子表示）；
②当 ， 时，求 的最小值．
（说明：可能用到的计算公式： ， ）．
【解析】（1）因为
而点 为线段 上靠近点 的三等分点，
则 ，可得 ，所以 .
（2）①由题意得， ，
， ，
所以 ，
事实上，对任意正整数 ，且 时，
， ，
有 ，
所以 ，所以 .
②当 ， 时，
， ，
，
令 ，
当 ，2，3时，
当 或3时，上式有最小值为
当 时，
当 ，6，7时， ，当 或6时，上式有最小值为
综上， 的最小值为 .
