第06讲一元一次不等式（组）（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（解析版）_中考复习资料_语数英物化_专项复习

第 06 讲 一元一次不等式（组）（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心 圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果 a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或 a b c ＞c ）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 a b c ＜c ）． 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式： ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组 图示 解集 口诀 注：不 （其中a＞b） 等式有 xa xa （同大取大） 等号的  在数轴 xb b a 上用实 心圆点 xa xb （同小取小） 表示.  5 ． 一 xb b a 元一次 不等式 xa b xa （大小取中间） （组）  xb 的应用 b a 列 一元一 xa 无解 （大大、小小  次不等 xb b a （空集） 找不到） 式 （组） 解实际 应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求 的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟 出不等关系显得十分重要． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 y  kxb(k≠0) y 0 y＞0 一次函数 ，当函数值 时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值 或 y＜0 x 时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定 的取值范围. 【典型例题】 题型一、解不等式（组） 例1．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）2x﹣1＜3x+2； （2） ． 【思路点拨】 （1）先移项，再合并同类项、系数化为1即可； （2）先求两个不等式的解集，再求公共部分即可． 【答案与解析】 解：（1）移项得，2x﹣3x＜2+1， 合并同类项得，﹣x＜3，系数化为1得，x＞﹣3 在数轴上表示出来： . （2） ， 解①得，x＜1， 解②得，x≥﹣4.5 在数轴上表示出来： 不等式组的解集为﹣4.5≤x＜1. 【总结升华】解不等式（组）是中考中易考查的考点，必须熟练掌握． x1 3x1 解不等式：  1 【变式】 2 3 . （3 x1)2(3x1) 6 【答案】解：去分母，得 （不要漏乘！每一项都得乘） 3x36x26 去括号，得 （注意符号，不要漏乘!） 3x6x 632 移 项，得 （移项要变号） 3x 7 合并同类项，得 （计算要正确） 7 x   3 系数化为1， 得 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 3x52x,  x1 2x1   2 例2．解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来. 【思路点拨】分别解出两个不等式的解集，再求出公共的解集即可. 【答案与解析】 解： x 由（1）式得 ＜5， x 由（2）式得 ≥-1，x ∴ -1≤ ＜5 数轴上表示如图： 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 3x12(x1)  2(x1)4x 【变式1】解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为-3≤x＜1，数轴上表示如图： 2（ x-1） +33x  x-2 4＞x   3 【变式2】解不等式组 ，并写出不等式组的整数解； 【答案】不等式组的解集为1≤x＜5，故其整数解为：1，2,3,4． 题型二、一元一次不等式（组）的特解问题 例3．若不等式组 的正整数解有3个，那么a必须满足（ ） A．5＜a＜6 B．5≤a＜6 C．5＜a≤6 D．5≤a≤6 【思路点拨】首先解得不等式组的解集，然后根据不等式组只有三个正整数解即可确定a的范围． 【答案】C； 【解析】解不等式5≤2x﹣1≤11得：3≤x≤6． 若不等式组有3个正整数解则不等式组的解集是：3≤x＜a． 则正整数解是：3，4，5． ∴5＜a≤6．故选C． 【总结升华】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题． 4a1 a(3x4) x 【变式1】关于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于 4 3 的解，求a的取值范围．7 a＞ 18 【答案】 . 【变式2】若不等式-3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式-3x+n＜0的解集是_______． n n 3 3 【答案】∵-3x+n＞0，∴x＜ ，∴ =2 即n=6 代入-3x+n＜0得：-3x+6＜0， ∴x＞2. 题型三、一元一次不等式（组）的应用 例4.某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种 产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示， 那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？ 产 每件产品的产值 品 甲 4.5万元 乙 7.5万元 【答案】 解：设该公司安排生产新增甲产品x件，那么生产新增乙产品（20-x）件， 由题意得：110＜4.5x+7.5（20-x）＜120 40 3 ∴10＜x＜ ，依题意，得x=11，12，13 当x=11时，20-11=9；当x=12时，20-12=8；当x=13时，20-13=7． 所以该公司明年可安排生产新增甲产品 11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件，乙产品8件； 或生产新增甲产品13件，乙产品7件． 题型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用 例5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚， 2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的 兑换方案． 【思路点拨】题目中包含的相等关系有：①所有硬币的总价值是3．50元；②共有硬币150枚．不等关系 有：①2分的硬币的枚数不少于20枚；②5分的硬币要多于2分的硬币．且硬币的枚数为整数， 2分的硬币的数量是4的倍数．【答案与解析】 解：（法一）设兑换成1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意，得 x yz 150, (1)  x2y5z 350, (2)  z  y, (3)   y20, (4) 由（1），（2）得 z 2004z,  2004z20, 将y代入（3），（4）得 解得40＜z≤45，∵z为正整数，∴z只能取41，42，43，44，45，由此得出x，y的对应值， 共有5种兑换方案． x73, x76, x79, x82, x85,      y 36, y 32, y 28, y 24, y 20,      z 41. z 42. z 43, z 44. z 45.      （法二）：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意可得 x yz 150, (1)  x2y5z 350, (2)  z  y (3)  ∵y是4的倍数，可设y=4k（k为自然数）， ∵y≥20，∴4k≥20，即k≥5． 将y=4k代入（1），（2）可解得z=50-k， ∵z＞y，∴50-k＞4k，即k＜10． ∴5≤k＜10，又k为自然数，∴k取5，6，7，8，9．由此得出x，y的对应值，共有5种兑换方案： x73, x76, x79, x82, x85,      y 36, y 32, y 28, y 24, y 20,      z 41. z 42. z 43, z 44. z 45.      【总结升华】这是一道方案设计题，是涉及到方程和不等式的综合应用题． 例6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用 甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能 载30人和20件行李． ⑴ 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ ⑵ 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案【思路点拨】根据题意列出不等式组，解出未知数的取值范围，分类讨论各种方案. 【答案与解析】 x 解：（1）设安排 辆甲型汽车，安排（20-x）辆乙型汽车. 40x30(20x)680  10x20(20x)300 8 x 10 由题意得： 解得 ， x ∴整数 可取8、9、10. ∴共有三种方案： ①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆； ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆； ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆. w w 2000x1800(20x)  200x36000 （2）设租车总费用为 元，则 w x 随 的增大而增大， x 8 w  200836000 37600 ∴当 时， 最小 ， ∴最省钱的租车方案是：租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆． 【总结升华】考查不等式与方程综合应用问题，体现了分类讨论的思想. 【中考过关真题练】 一．选择题（共1小题） 1．（2022•阜新）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3， 由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣3≤x＜3， 故选：A． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 二．填空题（共3小题） 2．（2022•德州）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 4 ． 【分析】解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可． 【解答】解： ， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x＜4， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4， 故答案为：﹣1＜x＜4． 【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公共解集． 3．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次 不等式组的关联方程．若方程 x﹣1＝0是关于x的不等式组 的关联方程，则n的取值范围 是 1 ≤ n ＜ 3 ． 【分析】先解方程 x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到 ，然后解n的不等式组即可． 【解答】解：解方程 x﹣1＝0得x＝3， ∵x＝3为不等式组 的解， ∴ ， 解得1≤n＜3，即n的取值范围为：1≤n＜3， 故答案为：1≤n＜3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集， 再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解． 4．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是 0 ＜ ≤ ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3， 解不等式 ﹣3＜2﹣x，得：x＜2， ∵不等式组无解， ∴m﹣3≥2， ∴m≥5， ∴0＜ ≤ ， 故答案为：0＜ ≤ ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 三．解答题（共6小题） 5．（2022•攀枝花）解不等式： （x﹣3）＜ ﹣2x． 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集． 【解答】解： （x﹣3）＜ ﹣2x， 去分母，得3（x﹣3）＜2﹣12x， 去括号，得3x﹣9＜2﹣12x， 移项、合并同类项，得15x＜11． 化系数为1，得x＜ ． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 6．（2022•菏泽）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在 数轴上即可． 【解答】解：由①得：x≤1， 由②得：x＜6， ∴不等式组的解集为x≤1， 解集表示在数轴上，如图所示： ． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法 是解本题的关键． 7．（2022•湘西州）解不等式组： ． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 x ≤ 3 ． （Ⅱ）解不等式②，得 x ≥﹣ 2 ． （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ﹣ 2 ≤ x ≤ 3 ． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解： ． （Ⅰ）解不等式①，得x≤3， （Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2， （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3， 故答案为：（Ⅰ）x≤3；（Ⅱ）x≥﹣2； （Ⅲ）数轴表示见解答； （Ⅳ）﹣2≤x≤3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组 是解题的关键． 8．（2022•济南）解不等式组： ，并写出它的所有整数解． 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可． 【解答】解：解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥1， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜3， ∴整数解为1，2． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大； 同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 9．（2022•西宁）解不等式组： ，并写出该不等式组的最大整数解． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解： ， 解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＜﹣2， ∴不等式组的解集是x＜﹣2， ∴该不等式组的最大整数解为﹣3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式 组的解集．10．（2022•荆门）已知关于x的不等式组 （a＞﹣1）． （1）当a＝ 时，解此不等式组； （2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围． 【分析】（1）把a的值代入再求解； （2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解． 【解答】解：（1）当a＝ 时，不等式组化为： ， 解得：﹣2＜x＜4； （2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3， 解法一：令y ＝﹣2a﹣1，y ＝2a+3，（a＞﹣1） 1 2 如图所示： 当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意； 当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意； ∵不等式组的解集中恰含三个奇数， ∴0＜a≤1． 解法二：∵ ＝1，且不等式组的解集中恰含三个奇数， ∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3，∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5， 解得：0＜a≤1． 【点评】本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键． 【中考挑战满分模拟练】 一．选择题（共1小题） 1．（2023•秀英区一模）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求出解集，并在数轴上表示即可得出答案． 【解答】解：∵x+2≥3， ∴x≥1， 不等式x+2≥3的解集在数轴上表示为： ， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解不等式 的基本步骤是关键． 二．填空题（共2小题） 2．（2023•碑林区校级模拟）不等 的解集为 x ＞﹣ 1 ． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解： ， ﹣x﹣3＜2x， ﹣x﹣2x＜3，﹣3x＜3， x＞﹣1， 故答案为：x＞﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 3．（2023•市南区校级一模）某工程队进行爆破时，为了安全，人要撤离到距爆破点50米以外的安全区域． 已知引线的燃烧速度为0.2米/秒，爆破者离开速度为3米/秒，点燃时引线向远离爆破点的方向拉直，则 引线的长度应满足什么条件？设引线长x米，请根据题意列出关于x的不等式 ． 【分析】根据引线燃烧的时间＞人撤离到安全区域的时间，得出不等式即可． 【解答】解：设引线长x米， 由题意得： ， 故答案为： ． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出 不等式关系式是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 4．（2023•雁塔区一模）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来． 【分析】求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可． 【解答】解： ， 解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤4， 把不等式的解集表示在数轴上， ∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤4． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．5．（2023•雁塔区校级模拟）解不等式组： ． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即 可． 【解答】解： ， 解不等式①，得x＞﹣1， 解不等式②，得x≤6， 所以不等式组的解集是﹣1＜x≤6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题 的关键． 6．（2023•西安一模）解不等式组 并写出该不等式组的最小整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1， 由 ≥ ﹣1，得：x≥﹣2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜1， ∴该不等式组的最小整数解为﹣2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2022•定远县校级模拟）代数式 与 的值的差大于4时，求x的最大整数解． 【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可得答案． 【解答】解：根据题意得 ﹣ ＞4， 2（x+4）﹣3（3x﹣1）＞24， 2x+8﹣9x+3＞24， 2x﹣9x＞24﹣8﹣3，﹣7x＞13， x＜﹣ ， 则x的最大整数解为﹣2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要 注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 8．（2022•祁阳县模拟）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买 A、B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 月污水处理能力 200 160 （吨/月） 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨． （1）该企业有几种购买方案？ （2）哪种方案更省钱，说明理由． 【分析】（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元 购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． （2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案． 【解答】解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台， 根据题意，得 ， 解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5． ∵x是整数， ∴x＝3或x＝4． 当x＝3时，8﹣x＝5； 当x＝4时，8﹣x＝4． 答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备； 第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备； （2）当x＝3时，购买资金为12×3+10×5＝86（万元）， 当x＝4时，购买资金为12×4+10×4＝88（万元）．因为88＞86， 所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台． 答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为求不等式 组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键． 9．（2022•自贡模拟）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造 A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用 农户数及造价见下表： 型号 占地面积 使用农户数 造价 （单位：m2/个） （单位：户/个） （单位：万元/个） A 15 18 2 B 20 30 3 已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户． （1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程； （2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？ 【分析】（1）关系式为：A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B 型沼气池能用的户数≥492； （2）由（1）得到情况进行分析． 【解答】解：（1）设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池（20﹣x）个， 依题意得： ， 解得：7≤x≤9． ∵x为整数∴x＝7，8，9， 所以满足条件的方案有三种． （2） 解法①：设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则： y＝2x+3（20﹣x）＝﹣x+60， ∴y随x增大而减小， 当x＝9时，y的值最小，此时y＝51（万元）． ∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．解法②：由（1）知共有三种方案，其费用分别为： 方案一：建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个， 总费用为：7×2+13×3＝53（万元）． 方案二：建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个， 总费用为：8×2+12×3＝52（万元）． 方案三：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个， 总费用为：9×2+11×3＝51（万元）． ∴方案三最省钱． 【点评】此题是一道材料分析题，有一定的开放性， （1）先根据“A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能 用的户数≥492”列出不等式；然后根据实际问题中x取整数确定方案； （2）根据（1）中方案进行计算、比较即可得最省钱方案． 10．（2022•玉屏县一模）某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒 乓球．已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个 乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售， 而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题： （1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？ （2）当k＝12时，请设计最省钱的购买方案． 【分析】（1）本题可根据去超市花的总费用＝购买球拍的费用+购买乒乓球的费用，列出去A，B超市 所需的总费用，然后比较这两个总费用，分别得出不同的自变量的取值范围中哪个超市最合算． （2）可分别计算出只在A超市购买，只在B超市购买和在A，B超市同时购买的三种不同情况下，所需 的费用，然后比较出最省钱的方案． 【解答】解：（1）由题意，去A超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为0.9（20n+kn）元，去B超 市购买n副球拍和k个乒乓球的费用为[20n+n（k﹣3）]元， 由0.9（20n+kn）＜20n+n（k﹣3），解得k＞10； 由0.9（20n+kn）＝20n+n（k﹣3），解得k＝10； 由0.9（20n+kn）＞20n+n（k﹣3），解得k＜10． ∴当k＞10时，去A超市购买更合算； 当k＝10时，去A、B两家超市购买都一样； 当3≤k＜10时，去B超市购买更合算．（2）当k＝12时，购买n副球拍应配12n个乒乓球． 若只在A超市购买，则费用为0.9（20n+12n）＝28.8n（元）； 若只在B超市购买，则费用为20n+（12n﹣3n）＝29n（元）； 若在B超市购买n副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球， 则费用为20n+0.9×（12﹣3）n＝28.1n（元） 显然28.1n＜28.8n＜29n ∴最省钱的购买方案为：在B超市购买n副球拍同时获得送的3n个乒乓球，然后在A超市按九折购买 9n个乒乓球． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．本题要注意根 据A，B超市所需的总费用，分情况讨论分别得出合理的选择． 11．（2022•黄冈模拟）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过 3000元的资金购买一批篮球、 羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元． （1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？ （2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4 倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？ 【分析】（1）设单价比中的每一份为x，表示出其单价，根据单价和可求得x，进而求得相应单价即可； （2）关系式为：乒乓球拍的数量≤15，总价≤3000，把相关数值代入求得合适的整数解的个数即可． 【解答】解：（1）设篮球的单价为8x，则羽毛球拍的单价为3x，乒乓球拍的单价为2x． 8x+3x+2x＝130， 解得x＝10， ∴8x＝80；3x＝30；2x＝20， 答：篮球的单价为80元，羽毛球拍的单价为30元，乒乓球拍的单价为20元； （ 2 ） 设 篮 球 的 数 量 为 y ， 则 羽 毛 球 拍 的 个 数 为 4y ， 乒 乓 球 拍 的 数 量 为 80﹣ 5y ． ， 解得13≤y≤14， ∴y＝13或14， 答：有2种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为：13，52，15或14，56，10． 【点评】考查一元一次方程及二元一次不等式组的应用；得到所需关系式是解决本题的关键．【名校自招练】 一．选择题（共8小题） 1．（2021•西湖区校级自主招生）若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ） A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D． ＜ 【分析】根据不等式的性质解答． 【解答】解：A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意． B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意． C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意． D、若m＞n，则 ＞ ，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”， 此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向 才改变． 2．（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”表示即可得． 【解答】解：将不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示如下： 故选：D． 【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是 定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解 集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 3．（2021•太仓市自主招生）若x＞y+1，a＜3，则（ ） A．x＞y+2 B．x+1＞y+a C．ax＞ay+a D．x+2＞y+a 【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：A、不等式x＞y+1同时加上1，得x+1＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意； B、不等式x＞y+1同时加上1，得x+1＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不等式x＞y+1同时乘以a，当a是正数时得ax＞ay+a，当a是负数时得ax＜ay+a，原变形错误，故此 选项不符合题意； D、不等式x＞y+1同时加上2，得x+2＞y+3，因为a＜3，所以x+2＞y+a，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质及运用．不等式的基本性质：① 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两 边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变． 4．（2021•宁波自主招生）已知关于x的不等式组 有四个整数解，则（ ） A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1 【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式组 得：﹣3＜x＜a， ∵关于x的不等式组 有四个整数解，整数解是﹣2，﹣1，0，1， ∴1＜a≤2， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 5．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解， 根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：由于不等式组有解，则 ，必定有整数解0， ∵ ， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组 无解； 若三个整数解为0，1，2，则 ； 解得 ． 故选：B． 【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小 取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的 答案． 6．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a， b均为实数）（ ） A． B． C． D． 【分析】根据不等式的解集﹣2＜x＜2，推出﹣ x＜1和 x＜1．然后从选项中找出有可能的不等式组． 【解答】解：∵﹣2＜x＜2， ∴x＞﹣2且x＜2， ∴﹣ x＜1且 x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是 ， 而只有D的形式和 的形式相同， ∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D． 【点评】此题考查学生逆向思维，由解来判断不等式，是一道好题；用到的知识点为：大小小大中间找； 大大小小无解． 7．（2021•宁波自主招生）从甲地到乙地运送一批货物，可用卡车车型及运费如下表，根据交通法规，所 有卡车都不能超载，在总运费不超过25000元且车辆够用的前提下，最多可装载物资（ ） 车型 A B 载重（吨/辆） 4 7 运费（元/辆） 1000 1500 A．116吨 B．117吨 C．118吨 D．119吨 【分析】设用A型卡车x辆，B型卡车y辆，总运费为W元，装载的总物资为Q吨，由题意可知，W＝ 1000x+1500y，Q＝4x+7y，解不等式即可． 【解答】解：设用A型卡车x辆，B型卡车y辆，总运费为W元，装载的总物资为Q吨， 由题意可知，W＝1000x+1500y， ∵W≤25000，（x，y为整数）， ∴x≤ ， ∴Q＝4x+7y≤4×（ ）+7y＝100+y， ∴当y取最大时，Q最大，即当y＝16时，Q最大， 当y＝16时，x＝1或x＝0，Q分别为116或112， ∴当y＝16，x＝1时，最多可载重116吨． 故选：A． 【点评】本题主要考查一次不等式的应用，根据给出的运费求出可载物资与车辆之间的关系是解题关键． 8．（2021•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为 a米， 后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 【分析】根据已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案． 【解答】解：∵3a+2b＝2c+3d， ∵a＞d， ∴2a+2b＜2c+2d， ∴a+b＜c+d，∴ ＜ ， 即 ＞ ， 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形． 二．填空题（共8小题） 9．（2021•武进区校级自主招生）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为 a ＝ 0 ， b ＜ 0 ． 【分析】分a＝0，a≠0两种情况分析． 【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的， ∴a＝0，则左边式子ax＝0， ∴b＜0一定成立， ∴a，b的取值范围为a＝0，b＜0． 【点评】本题是利用了反证法的思想． 10．（2021•武进区校级自主招生）如果关于x的不等式组 的整数解仅有1，2，那么适合这个不 等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 6 个． 【分析】首先解不等式组 ，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为 1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解． 【解答】解： ， 由①得：x≥ ， 由②得：x≤ ， 不等式组的解集为： ≤x≤ ， ∵整数解仅有1，2， ， ∴0＜ ≤1，2≤ ＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6， ∴a＝1，2，3， b＝4，5， ∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有（1，4），（2，4），（3，4），（1，5），（2，5），（3， 5）即6个， 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定a，b的取值范围是解决问题的 关键． 11．（2021•零陵区校级自主招生）已知a＞b，则﹣ a+c ＜ ﹣ b+c（填＞、＜或＝）． 【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除 以同一个负数，不等号的方向改变． 【解答】解：∵a＞b，∴﹣ a＜﹣ b，∴﹣ a+c＜﹣ b+c． 【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 12．（2021•和平区校级自主招生）关于x的不等式组 恰有三个整数解，则符合条件的所有 整数a的和为 1 ． 【分析】表示出不等式组的解集，由整数解共有3个，确定出a的范围即可． 【解答】解：不等式组整理得： ， 故 ≤x＜4， ∵不等式组整数解有3个，即1，2，3， ∴0＜ ≤1． ∴﹣ ＜a≤1， ∴整数a为1，0，其和为1+0＝1，故答案为：1． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 13．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组 恰有四个整数解，则a的取值范围是 3 ≤ a ＜ 4 ． 【分析】首先解不等式组，根据解的情况列出关于a的不等式组，求解即可得出a的取值范围．特别是要 注意不等号中等号的取舍． 【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a， 解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1， ∴﹣a≤x＜1． ∵此不等式组恰有四个整数解， ∴这4个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0， ∴﹣4＜﹣a≤﹣3， ∴3≤a＜4， 故答案为：3≤a＜4． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解．求出原不等式组的解集后，根据该不等式组恰有四个整 数解列出关于a的不等式组是解题的关键． 14．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶 飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活 动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的 数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品 质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数 量占总增加数量的 ，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的 ，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相 等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为 500元、420元、380元．清明香的售价为 每盒640元，活动中将清明香的 供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为 16%，且 云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的 ，则滴翠剑茗的单价最低为 46 0 元． 【分析】设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为 （640+x）元，根据售价﹣成本＝利润列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的 2倍，云雾毛尖的数 量（盒）是另外两种茶叶的数量之和， ∴第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1， ∵第二批采制后清明香增加的数量占总增加数量的 ，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的 ，而云雾 毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等， 即云雾毛尖、滴翠剑茗的数量各占 ， ∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为 ： ： ＝8：5：5， 设总共有a盒茶叶， ∴成本为 ×500a+ ×420a+ ×380a＝ a（元）， 销售额应为 ×（1+16%）a＝ a（元）， 清明香的销售额为640× ×（1﹣ ）a＝ a（元）， 另外两种茶的销售总额为 a﹣ a＝ a（元）， 设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为 （640+x）元， 因此可建立方程 xa+ × （640+x）•a＝ a， 解得x＝460， 因此滴翠剑茗单价最低为460元， 故答案为：460． 【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，根据售价﹣成本＝利润列出方程是解题的关键． 15．（2021•太仓市自主招生）已知关于x的不等式组 的整数解有且只有2个，则m的取值范 围是 ﹣ 5 ≤ m ＜﹣ 4 ． 【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定m的范围．【解答】解： ， 解①得x＜﹣ ， 解②得x＞m， 则不等式组的解集是m＜x＜﹣ ． 不等式组有2个整数解，则整数解是﹣3，﹣4． 则﹣5≤m＜﹣4． 故答案是：﹣5≤m＜﹣4． 【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵 循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16．（2022•温江区校级自主招生）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ （其中a、b均 为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝ ＝b，已知T（1，﹣1） ＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，则实数P的取值范 围是 ﹣ 2 ≤ P ＜﹣ ． 【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根 据已知即可得出P的范围． 【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1， ∴ ＝﹣2， ＝1， 解得：a＝1，b＝3， T（2m，5﹣4m）＝ ≤4，解得m≥﹣ ， T（m，3﹣2m）＝ ＞P，解得m＜ ，∵关于m的不等式组 恰好有3个整数解， ∴2＜ ≤3， ∴﹣2≤P＜﹣ ， ∴实数P的取值范围是﹣2≤P＜﹣ ， 故答案为：﹣2≤P＜﹣ ． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 三．解答题（共2小题） 17．（2021•零陵区校级自主招生）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、 乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买 机器所耗资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日产量（个） 100 60 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 【分析】（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台，根据买机器所耗资金不能超过 34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求 出x的范围． （2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数 +乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择 出合适的方案． 【解答】解：（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台． 依题意，得7x+5×（6﹣x）≤34． 解这个不等式，得x≤2，即x可取0，1，2三个值． ∴该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台． 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台．方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台． （2）根据题意，100x+60（6﹣x）≥380， 解之，可得：x≥ ， 由上题解得：x≤2，即 ≤x≤2， ∴x可取1，2两个值， 即有以下两种购买方案： 方案一购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金为1×7+5×5＝32万元； 方案二购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为2×7+4×5＝34万元． ∴为了节约资金应选择方案一． 故应选择方案一． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案是 解决本题的关键． 18．（2022•瓯海区校级自主招生）某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广 告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3万元和0.2万元．问该公司如何 分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 【分析】先列不等式求在甲电视台做广告时间的取值范围，再求最大收益． 【解答】解：设公司在甲电视台时间为x min，在乙电视台做广告的时间为（300﹣x）min，总收益为z万 元， 依题意得：500x+200（300﹣x）≤900000， 解得：x≤100， 又因为x≥0， 所以0≤x≤100， 由题意得：z＝0.3x+0.2（300﹣x） 即：z＝0.1x+60， ∵0.1＞0， ∴z随x的增大而增大， ∴当x＝100时，z有最大值，值为：0.1×100+60＝70（万元）， 答：公司在甲电视台的时间为100min，在乙电视台做广告的时间为200min，最大收益为70万元．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据一次函数求最值是解题的关键．