第06讲一元一次不等式（组）（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_专项复习

第 06 讲 一元一次不等式（组）（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心 圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果 a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或 a b c ＞c ）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 a b c ＜c ）． 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式： ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以） 同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组 图示 解集 口诀 注：不 （其中a＞b） 等式有 xa xa （同大取大） 等号的  在数轴 xb b a 上用实 心圆点 xa xb （同小取小） 表示.  5 ． 一 xb b a 元一次 不等式 xa b xa （大小取中间） （组）  xb 的应用 b a 列 一元一 xa 无解 （大大、小小  次不等 xb b a （空集） 找不到） 式 （组） 解实际 应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求 的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟 出不等关系显得十分重要． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 y  kxb(k≠0) y 0 y＞0 一次函数 ，当函数值 时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值 或 y＜0 x 时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定 的取值范围. 【典型例题】 题型一、解不等式（组） 例1．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）2x﹣1＜3x+2； （2） ．x1 3x1 解不等式：  1 【变式】 2 3 . 3x52x,  x1 2x1   2 例2．解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来. 3x12(x1)  2(x1)4x 【变式1】解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 2（ x-1） +33x  x-2 4＞x   3 【变式2】解不等式组 ，并写出不等式组的整数解； 题型二、一元一次不等式（组）的特解问题 例3．若不等式组 的正整数解有3个，那么a必须满足（ ） A．5＜a＜6 B．5≤a＜6 C．5＜a≤6 D．5≤a≤6 4a1 a(3x4) x 【变式1】关于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于 4 3的解，求a的取值范围． 【变式2】若不等式-3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式-3x+n＜0的解集是_______． 题型三、一元一次不等式（组）的应用 例4.某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种 产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示， 那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？ 产 每件产品的产值 品 甲 4.5万元 乙 7.5万元 题型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用 例5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚， 2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的 兑换方案． 例6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用 甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能 载30人和20件行李． ⑴ 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？⑵ 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案 【中考过关真题练】 一．选择题（共1小题） 1．（2022•阜新）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 2．（2022•德州）不等式组 的解集是 ． 3．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次 不等式组的关联方程．若方程 x﹣1＝0是关于x的不等式组 的关联方程，则n的取值范围 是 ． 4．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．三．解答题（共6小题） 5．（2022•攀枝花）解不等式： （x﹣3）＜ ﹣2x． 6．（2022•菏泽）解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来． 7．（2022•湘西州）解不等式组： ． 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ． （Ⅱ）解不等式②，得 ． （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）所以原不等式组的解集为 ． 8．（2022•济南）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．9．（2022•西宁）解不等式组： ，并写出该不等式组的最大整数解． 10．（2022•荆门）已知关于x的不等式组 （a＞﹣1）． （1）当a＝ 时，解此不等式组； （2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围． 【中考挑战满分模拟练】 一．选择题（共1小题） 1．（2023•秀英区一模）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 2．（2023•碑林区校级模拟）不等 的解集为 ． 3．（2023•市南区校级一模）某工程队进行爆破时，为了安全，人要撤离到距爆破点50米以外的安全区域． 已知引线的燃烧速度为0.2米/秒，爆破者离开速度为3米/秒，点燃时引线向远离爆破点的方向拉直，则引线的长度应满足什么条件？设引线长x米，请根据题意列出关于x的不等式 ． 三．解答题（共8小题） 4．（2023•雁塔区一模）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来． 5．（2023•雁塔区校级模拟）解不等式组： ． 6．（2023•西安一模）解不等式组 并写出该不等式组的最小整数解． 7．（2022•定远县校级模拟）代数式 与 的值的差大于4时，求x的最大整数解．8．（2022•祁阳县模拟）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买 A、B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 月污水处理能力 200 160 （吨/月） 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨． （1）该企业有几种购买方案？ （2）哪种方案更省钱，说明理由． 9．（2022•自贡模拟）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造 A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用 农户数及造价见下表： 型号 占地面积 使用农户数 造价 （单位：m2/个） （单位：户/个） （单位：万元/个） A 15 18 2 B 20 30 3 已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户． （1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程； （2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？ 10．（2022•玉屏县一模）某乒乓球训练馆准备购买n副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）个乒 乓球．已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售， 而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题： （1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？ （2）当k＝12时，请设计最省钱的购买方案． 11．（2022•黄冈模拟）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过 3000元的资金购买一批篮球、 羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元． （1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？ （2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4 倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？ 【名校自招练】 一．选择题（共8小题） 1．（2021•西湖区校级自主招生）若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D． ＜ 2．（2022•荣昌区自主招生）不等式x≤﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2021•太仓市自主招生）若x＞y+1，a＜3，则（ ） A．x＞y+2 B．x+1＞y+a C．ax＞ay+a D．x+2＞y+a 4．（2021•宁波自主招生）已知关于x的不等式组 有四个整数解，则（ ） A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1 5．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a， b均为实数）（ ） A． B． C． D． 7．（2021•宁波自主招生）从甲地到乙地运送一批货物，可用卡车车型及运费如下表，根据交通法规，所 有卡车都不能超载，在总运费不超过25000元且车辆够用的前提下，最多可装载物资（ ） 车型 A B 载重（吨/辆） 4 7 运费（元/辆） 1000 1500 A．116吨 B．117吨 C．118吨 D．119吨 8．（2021•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为 a米， 后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）A． B． C． D．以上都不对 二．填空题（共8小题） 9．（2021•武进区校级自主招生）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为 ． 10．（2021•武进区校级自主招生）如果关于x的不等式组 的整数解仅有1，2，那么适合这个不 等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 个． 11．（2021•零陵区校级自主招生）已知a＞b，则﹣ a+c ﹣ b+c（填＞、＜或＝）． 12．（2021•和平区校级自主招生）关于x的不等式组 恰有三个整数解，则符合条件的所有 整数a的和为 ． 13．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组 恰有四个整数解，则a的取值范围是 ． 14．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶 飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周， 活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清 明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和． 由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香 增加的数量占总增加数量的 ，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的 ，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总 数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元． 清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的 供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总 利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的 ，则滴翠剑茗的单价最 低为 元． 15．（2021•太仓市自主招生）已知关于x的不等式组 的整数解有且只有2个，则m的取值范 围是 ．16．（2022•温江区校级自主招生）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ （其中a、b均 为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝ ＝b，已知T（1，﹣ 1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，则实数P的 取值范围是 ． 三．解答题（共2小题） 17．（2021•零陵区校级自主招生）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、 乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购 买机器所耗资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元/台） 7 5 每台日产量（个） 100 60 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 18．（2022•瓯海区校级自主招生）某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定 甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该 公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？