文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷（北京专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的充分条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ ”是“ ”的必要条件
4．已知等比数列 ，满足 ， ， 成等差数列，且 ，则数列 的公比为（ ）
A． B． C．2 D．35．已知 为定义在 上的函数， ，且 为奇函数，则 （ ）
A． 4 B． 2 C．0 D．2
6．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为
， ．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．正四棱四 中， ，二面角 的大小为 ，则该四棱锥的体积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物体的温度
（单位： ）可由公式 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常
数．现有 的物体，放在 的空气中冷却．1min后物体的温度是 ，那么该物体的温度降至
还需要冷却的时间约为（参考数据： ）（ ）
A．2.9min B．3.4min
C．3.9min D．4.4min
9．已知直线 过定点A， 过定点B， 与 交于点P（异于A，B两点），则 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
A B C D
10．正方体 的棱长为1，动点 在线段 上，动点 在平面 1 1 1 1上，且 平面
.线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 的展开式中含 的项的系数为 ．
12．已知函数 ，若 ，则 的一个取值为 ．
13．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼､万宁桥､景山､故宫､端
门､天安门､外金水桥､天安门广场及建筑群､正阳门､中轴线南段道路遗存､永定门，依次是自北向南位列轴
线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则
选取的3个中一定有故宫的概率为 ．
14．已知 为偶函数，当 时，
（1） ；（2）不等式 的解集为 .
15．设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 ，给出下列4个
结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）
在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ， ，
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
17．（13分）
如图，四棱柱 的底面 是边长为2的正方形， ，侧面 底面
，E是棱BC上一点， 平面 .
(1)求证： 是 的中点；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱 唯
一确定，
（i）求二面角 的余弦值；（ii）设直线 与平面 的交点为P，求 的值.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分.
18．（14分）
为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：
每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散
点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素
质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2
人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每
班中分别随机抽取1名同学，用“ ”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“ ”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀 .直接写出方差 ， ， ， 的大小关
系（无需过程）.
19．（15分）
已知椭圆 的右焦点为 ，左､右顶点分别为 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是坐标原点， 是椭圆 上不同的两点，且关于 轴对称， 分别为线段 的中
点，直线 与椭圆 交于另一点 .证明： 三点共线.
20．（15分）
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 的极大值为 ，求 的值；
(3)当 时，若 ， ，使得 ，求 的取值范围.
21．（15分）
给定正整数 ，已知项数为 且无重复项的数对序列 满足如下三个
性质：① ，且 ；
② ；
③ 与 不同时在数对序列A中．
(1)当 时，写出所有满足 的数对序列A；
(2)当 时，证明： ；
(3)当 为奇数时，记 的最大值为 ，求 ．
