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专题强化01：一元二次方程的解法归纳
【题型归纳】
题型一：配方法
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程 ，步骤如下：① ，
② ，③ ，④即 ， ．其中开始错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先两边乘以4，再开方，移项，合并同类项得出解并判
断即可．
【详解】解： ，
两边乘以4，得 ，
开方，得 ，
即 ，
∴ ．
其中开始错误得步骤是③．
故选：C．
2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的形
式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把 移项，配方，化为 ，即可．
【详解】解：∵ ，
移项得， ，配方得， ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键：
（1）配方法解方程即可；
（2）配方法解方程即可；
（3）配方法解方程即可；
（4）配方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴ ；
（2）
∴ ；
（3）
∴ ；
（4）
，
∴ ．
题型二：公式法4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式 求一元二次方程的根时，小珺正确
地代入了a，b，c得到 ，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式 中字母所表示
的意义．根据求根公式 解答．
【详解】解：由 知： ， ， ．
所以该一元二次方程为： ．
故选：A．
5．（2024·河北石家庄·一模）若 是一元二次方程 的根，则
（ ）
A． B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可
【详解】解：∵ 是一元二次方程方程 的根，
∴ ， ， ，
∴ ，故选：D
6．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2) ，
(3)方程无解
(4)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．
（1）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（4）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵
∴ ，
∴ ，
∴原方程无解．
（4）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型三：因式分解法
7．（2024·河南洛阳·一模）方程 的根是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键；根据因式分解
法解方程即可．
【详解】解： ，，
；
故选：C．
8．（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题
的关键．
（1）先提取公因式 ，再根据解一元一次方程的方法即可求解；
（2）移项得 ，再提取公因式 ，最后根据解一元一次方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2）解：
，
∴ 或 ，∴ ， ．
9．（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) (2) (3) (4) ，
【详解】（1）解： ， ， ，
， ；
（2） 原方程可化为 ，
， 或 ， ；
（3） ， ， ；
（4） 原方程可化为 ， 或 ， ，
．
题型四: 换元法解一元二次方程
10．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． 或1 D．3或
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设 ，则此方程可化
为 ，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：设 ，则此方程可化为 ，∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ，
∴ 的值是1或 ．
当 时， ，
∵ ，
∴此方程无解，
∴ 的值是1．
故选：B．
11．（2023·广东湛江·模拟预测）若方程 （b，c是常数）的解是 ，则方程
的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即
可求解即可．
【详解】解：∵方程 （b，c是常数）的解是 ，
∴方程 的解是 或 ，
解得： ．
故选：A．
12．（23-24九年级上·云南昆明·期中）阅读下面的材料：
为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后可设 ，则 ，原方程可化为 ，解得 ， ．
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ．
综上所述，原方程的解为 ， ， ， ．
(1)根据材料解方程： ；
(2)已知实数 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1)原方程的解为 ，
(2) 的值为7
【分析】本题考查了换元法，直接开平方法解一元二次方程，代数式求值．熟练掌握换元法，直接开平方
法解一元二次方程是解题的关键．
（1）设 ，则原方程可化为 ，解得 ， ．然后求 的值即可；
（2）令 ，则原方程可化为 ，计算求解可得 的值，即 的值，然后根据
，计算求解即可．
【详解】（1）解：设 ，则原方程可化为 ，
解得 ， ．
当 时， ，无实数根；
当 时， ，解得 ．
综上所述，原方程的解为 ， ．
（2）解：令 ，则原方程可化为 ，，
解得 ，即 ．
∴ ．
∴ 的值为7．
题型五：合适的方法解方程
13．（23-24九年级上·四川南充·期末）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）将方程进行整理，再利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
14．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用因式分解的方法解方程即可；
（4）利用配方法解方程即可；
【详解】（1）解： ，
化简得 ，
解得： ；
（2）解： ，
化简得 ，
配方得 ，
解得： ；
（3）解：
移项得 ，
化简得 ，
故 或 ，
解得： ；
（4）解：
配方得 ，
即 ，
故 或 ，解得： ．
15．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【答案】(1) (2) ， (3)无解(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法是解题的关键；
（1）直接利用因式分解法即可求解；
（2）左边先展开，再利用配方法求解即可；
（3）利用公式法求解；
（4）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ， ，所以 ；
（2）解： ；展开，得： ， 配方，得 ，即 ，
两边开平方根，得： ，所以 ， ；
（3）解： ，∵ ， ∴ ，所以原方程无实数根；
（4）解： ，即 ， 或 ，所以 ．
【专题强化】
一、单选题
16．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）用配方法解方程 ，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答．【详解】解：∵ ，
，
，
，
故选：A．
17．（2024·宁夏银川·模拟预测）在数 、 、 和 中，是方程 的根的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基
础题型．根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解： ，
，
或 ，
故选：B．
18．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式 的两解为a、b，
且 ，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
利用公式法即可求解．
【详解】解： ，
∴ ，
，
，
∵一元二次方程式 的两解为 、 ，且 ，∴ 的值为 ．
故选：A．
19．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：A． ，
∴ ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，
∴ ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，
∴ ，故该选项正确，符合题意；
D． ，
∴ ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
20．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程 的解是 ， ，则给出另一个方程
，它的解是（ ）A． 或3 B．1或3 C． 或 D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方程
中的 相当于第1个方程中的x，从而得到 和 ，解方程即
可．
【详解】解：∵方程 的解是 ， ，
∴方程 中 ， ，
， ，
， ，
故选：C．
21．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足 ，则代数式 的值为
（ ）
A．7 B． C．7或 D． 或1
【答案】A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将 看作一个整体，再用换元法解方程求出 的值即
可，解题的关键是掌握换元法解方程．
【详解】解：设 ，则原方程可化为： ，
解得 ；
当 时， ，即 ， ，原方程没有实数根，故 不合题意，舍去；
当 时， ，即 ， ，故 的值为6；
∴ ．
故选：A．
二、填空题22．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程 ，若配方后结果为 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一
半得平方，配成完全平方式，即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
23．（2024·河南南阳·模拟预测）方程 的根为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法进行计算是解题的关键．利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
， ．
故答案为： ，
24．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的正数填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．1
【答案】 4 2 8 4 / /0.2
5
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）根据完全平方公式计算即可；
（4）根据完全平方公式计算即可．
此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
【详解】（1） ，
故答案为：4，2；
（2） ，
故答案为：8，4；
（3） ，
故答案为： ；
（4）
故答案为： ， ．
25．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数 ， 满足 ，求 的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将 看成一个整体，令
，转换成一个关于 的一元二次方程，利用因式分解法求出 的值，再结合平方的非负性，即
可得到答案．
【详解】解：令 ，，
，
，
，
或 ，
或 ，
，
，即 ，
故答案为：3
三、解答题
26．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法：配方法，公式法，因式分
解法，直接开方法，是解答本题的关键．
（1）利用因式分解法求解方程即可；
（2）利用公式法求解方程即可．
【详解】（1）解： ，即 ，
，， ；
（2）解： ，
， ， ，
，
，
， ．
27．（24-25九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是银题的关
键．
（1）先将方程化简，再用因式分解法求解即可；
（2）先将方程变形为 ，再用因式分解法求解；
（3）用平方差公式分解，即可求解；
【详解】（1）解：原方程可化为 ．移项，得 ．
因式分解，得 ．
于是得 或 ，
∴ ， ．
（2）解：原方程可化为 ．
因式分解，得 ，
即 ．
于是得 或 ，
∴ ．
（3）解：因式分解，得 ，
即 ．
于是得 或 ，
∴ ，
28．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)原方程没有实数根(3) ，
【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 ， ．
（1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；
（2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案；
（3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得 ．
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴原方程没有实数根；
（3）解：将方程化为一般形式，得 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ， ．
29．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）解方程：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴ ；
（2）
或 ，
∴ ．
30．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)(4) (因式分解法)
【答案】(1)
(2) ，
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1） ，
，
，
∴ ；
（2） ，
，
，
，
∴ ， ；
（3） ，
a=2， ， ，
，∴ ，
即 ；
（4） ，
，
，
∴ ．
31．（20-21九年级上·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：
（1） （公式法）
（2） （配方法）
（3） （因式分解法）
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ，
【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；
（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：（1） ，
∴ ，
，
， ．
（2）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ；
（3）
解得： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．
32．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）先移项得到 ，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：移项得， ，配方得， ，
即 ，
，
解得 ；
（2）解：两边开方得： ，
解得： ；
（3）解：因式分解得： ，
解得： ；
（4）解：移项得： ，
提公因式得： ，
化简得： ，
解得： ；
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
33．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）解下列方程：
(1) ；(2) ；(3) （用配方法）；(4) ．
【答案】(1) (2) (3) ， (4) ，
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，∴ ，
∴ 或 ，
∴ ；
（3） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（4） ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
