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专题 4.9 圆中最值问题必考五大类型
【人教版】
【类型1 经过定点的弦】..........................................................................................................................................1
【类型2 定点定长型隐圆】......................................................................................................................................3
【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】........................................................................................................................5
【类型4 遇定弦定角构外接圆】..............................................................................................................................7
【类型5 利用圆的切线求最值】..............................................................................................................................9
【类型1 经过定点的弦】
【问题提出】
M是半径为r的 O内一定点，OM=d（0<d<r），经过点M的弦EF=m，探究m的取值范围.
⊙
【模型建立】
（1）经过点M的直径AB是最长的弦；
（2）过点M作弦CD⊥AB，则弦CD最短.
【结论】
2 ≤m≤2r.
❑√r2−d2
【必刷题型】
1．（2024秋•邳州市校级月考）如图，AB是 O直径，点C在 O上，CD⊥AB垂足为D，点E是 O上
动点（不与C重合），点F为CE的中点，⊙若AD＝3，CD＝6⊙，则DF的最大值为 ． ⊙2．（2023秋•江阳区校级月考）如图， O的直径AB＝8，弦CD＝3，且弦CD在圆上滑动（CD的长度
不变，点C、D与点A、B不重合），⊙过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则PM的最大值是
．
3．（2024秋•建邺区校级月考）如图，已知 O的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，∠AOC
＝96°，∠BOD＝36°，动点P在AB上，则⊙PC+PD的最小值为 ．
4．（2024秋•锡山区校级月考）如图，AB是 O的直径，AB＝8，点M在 O上，∠MAB＝20°，N是弧
MB的中点，P是直径AB上的一动点．若M⊙N＝1，则△PMN周长的最小值⊙为 ．
5．（2023秋•游仙区期末）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB=8❑√2，D是线段BC上的一个动点，以
AD为直径画 O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
⊙
6．（2023秋•安次区校级期中）已知，在半圆 O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝
5．M为CD的中点，点C从点A开始运动，到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点 M到
AB距离的最大值是 ，点M到AB距离的最小值是 ．【类型2 定点定长型隐圆】
【模型总结】
条件：M是半径为r的 O上的一动点（OM=r定值），P是定点（OP=d定值），直线PO与 O交于M
1
，M 两点，PM <PM⊙. ⊙
2 1 2
结论：PM的最小值=PM =|d−r|，PM的最大值=PM =d+r.
1 2
【必刷题型】
1．（2024•岳阳县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，
BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
2．（2024秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，则BC
＝ ；若以点C为圆心，半径为2作 C，点E是 C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则
线段DF的最小值是 ． ⊙ ⊙
3．（2023•江阳区校级模拟）如图，AB是 O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°， O的半径为
4，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则⊙CQ长度的最大值是 ． ⊙4．（2024•乌鲁木齐二模）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），
M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是 M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
⊙ ⊙
5．（2024春•石景山区校级月考）如图，A，B为 O上两点，∠AOB＝90°，C为 O上一动点（不与
A，B重合），D为AC的中点．若 O的半径为2⊙，则BD的最大值为 ． ⊙
⊙
6．（2024•江安县校级模拟）点P在△PAB平面内一动点，∠APB＝90°，AB＝6，点M是PB上一点，且
BM＝PA，连接AM，则AM的最小值为 ．
7．（2024•镇海区校级模拟）如图，AB、CD是 O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点
H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE⊙＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 ．【类型3 遇90度圆周角构辅助圆】
【模型总结】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．
应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【必刷题型】
1．（2024秋•兴化市月考）如图，∠MON＝45°，点A、B分别在OM、ON上，且AB＝6，以AB为边在
AB右侧作正方形ABCD，连接OD，则OD的最大值是 ．
2．（2024秋•亭湖区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点E是AC边上的
动点，以CE为直径作 F，连接BE交 F于点D，则AD的最小值＝ ．
⊙ ⊙3．（2024•济宁二模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝12，AD＝10，AD＜BC，点
E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
4．（2024秋•铜山区校级月考）如图，E是正方形ABCD的边BC上一动点（点E不与点B，C重合），连
接DE，过点A作AF⊥DE交CD于点F，垂足为P，连接PC，已知正方形ABCD的边长为4，则PC长
的最小值为 ．
5．（2024•黄山一模）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，
连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．
（1）∠APB＝ ；
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ．
6．（2024•榕城区校级三模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边
AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为 ．7．（2024•潢川县三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝12，P为CD的中点，连接BP．在矩形
ABCD内部找一点E，使得∠BEC＝∠BPC，则线段DE的最小值为 ．
【类型4 遇定弦定角构外接圆】
【模型总结】
固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．
如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧
（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的 大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当
°时，点C在优弧上运动；当 °时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当
°时，点C在劣弧上运动．
【必刷题型】
1．（2023•武侯区校级三模）△ABC中，∠A＝45°，BC＝4❑√2，点D为AC上的一点，且AB＝2CD，则
BD的最小值为 ．2．（2023•惠城区一模）如图，四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=2❑√3，E为平面内一点，且∠AED
＝30°，连接BE，则BE的最大值是 ．
3．（2023秋•和平区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝2，点P为△ABC的内心，点O
为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为 ．
4．（2023秋•汕尾期末）如图，在△ABC中，BC＝4，∠A＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
5．（2024•徐州二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝
150°，则线段PB长度的最小值为 ．6．（2024•子洲县校级模拟）如图，在平面内有四点 A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若
∠BDC＝90°，则AD的最大值是 ．
7．（2024•东莞市三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6❑√3，D为平面内一点，连接AD，
CD，∠ADC＝30°，连接BD．则线段BD的最小值为 ．
【类型5 利用圆的切线求最值】
【模型总结】
模型1
条件：OP=a，Q是一动点，且OQ=b（a，b是定值，且a>b）.
结论：点Q在以b为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，∠OPQ最大.
模型2
条件：O是直线l上的一定点，P是l上的一动点，OQ=m（定长），且∠OPQ=α（定角）.
结论：点Q在以m为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，OP最大.
【必刷题型】1．（2024•济南模拟）如图，在平面直角坐标系中， O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0），B
（0，4）的直线上，PQ与 O相切于点Q，则切线长⊙PQ的最小值为 ．
⊙
2．（2023秋•江阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3． C的半径为1，点P是
AB边上的动点，过点P作 C的一条切线PD，点D为切点，则线段PD长的最⊙小值为 ．
⊙
3．（2024•陕西模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝8，以点B为圆心，半径为2作 B，点D是AC边上
的一个动点，过点D作DE与 O相切于点E，则线段DE的最小值为 ． ⊙
⊙
4．（2023•永寿县二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当
∠APM的度数最大时，CP的长为 ．
5．（2023秋•兴化市月考）在Rt△ABC中∠C＝90°，且AC＝BC＝6cm，点E是BC上一动点，连接AE，
过点E作AE的垂线，交边AB于点F，则BF的最大值为 ．
