文档内容
八下数学第一次月考复习五大类型 25 个必考点
【人教版】
【类型1 基础题篇·24题】........................................................................................................................................2
【必考点1 二次根式的定义】..................................................................................................................................2
【必考点2 最简二次根式的定义】..........................................................................................................................2
【必考点3 同类二次根式的定义】..........................................................................................................................2
【必考点4 二次根式有意义条件】..........................................................................................................................3
【必考点5 根据二次根式的性质化简】..................................................................................................................3
【必考点6 勾股数】..................................................................................................................................................3
【必考点7 直角三角形的判定】..............................................................................................................................4
【必考点8 判断命题的逆命题真假】......................................................................................................................4
【类型2 计算题篇·25题】........................................................................................................................................5
【必考点9 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................5
【必考点10 先化简再求值】....................................................................................................................................6
【必考点11 求代数式的值】....................................................................................................................................7
【类型3 作图题篇·8题】..........................................................................................................................................7
【必考点12 利用勾股定理构三角形】....................................................................................................................7
【类型4 中档题篇·30题】......................................................................................................................................10
【必考点13 化简含字母的二次根式】..................................................................................................................10
【必考点14 根据赵爽弦图求值】..........................................................................................................................10
【必考点15 利用勾股定理求面积】......................................................................................................................11
【必考点16 勾股定理与网格】..............................................................................................................................12
【必考点17 规律问题】..........................................................................................................................................13
【必考点18 求立体图形的最短路径问题】.........................................................................................................13
【必考点19 勾股定理逆定理的应用】..................................................................................................................14
【必考点20 勾股定理的实际应用】......................................................................................................................15
【必考点21 二次根式相关阅读材料题】..............................................................................................................18
【类型5 压轴题篇·20题】......................................................................................................................................19
【必考点22 几何求最值问题】..............................................................................................................................19
【必考点23 几何多结论问题】..............................................................................................................................20
【必考点24 构造辅助线求线段长】......................................................................................................................21
【必考点25 勾股定理与几何综合题】..................................................................................................................22
【类型1 基础题篇·24题】
【必考点1 二次根式的定义】
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A．❑√a B．❑√a2+1 C．√32 D．❑√−2
2．下列各式中❑√15、❑√3a、❑√b2−1、❑√a2+b2、❑√m2+20、❑√−144，二次根式的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．已知❑√189n为整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．3 B．9 C．18 D．21
【必考点2 最简二次根式的定义】
√1
4．下列二次根式：❑√5，❑ ，❑√0.5a，−2❑√a2b，❑√x2+ y2中，是最简二次根式的有（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
√1
5．关于下列二次根式：①❑√x2+1；②❑√x2y5；③❑√2；④2❑√3；⑤❑ ；⑥❑√6．小红说：“最简二次
2
根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（ ）
A．小红说得对
B．小亮说得对
C．小红和小亮合在一起对
D．小红和小亮合在一起也不对
√a
6．在❑√24，❑ ，❑√x2−y2，❑√a2−2a+1，❑√3x中，最简二次根式的个数为（ ）
b
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【必考点3 同类二次根式的定义】
√ 1 √ 1 √ 1
7．根式❑√45，❑ ，❑√12，❑ ，❑√3，❑ 中，与❑√2是同类二次根式的有（ ）个．
27 50 10
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．❑√8与❑√12 B．❑√3x3与❑√27x
√2
C．2b❑√b与b❑ D．❑√a2b与❑√ab3
b
9．如果最简二次根式b−√a3b和❑√2b−a+2是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2【必考点4 二次根式有意义条件】
❑√x−1
10．使代数式 有意义的自变量x的取值范围是（ ）
2−x
A．x≥1 B．x＞1且x≠2 C．x≥1且x≠2 D．x＞1
x
11．使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
❑√4−x
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
√ x ❑√x
12．如果❑ = ，那么（ ）
1−x ❑√1−x
A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1
【必考点5 根据二次根式的性质化简】
13．已知1＜p＜2，化简❑√(1−p) 2+（❑√2−p）2＝（ ）
A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p
14．若❑√b2−6b+9=3﹣b，则b的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥3
15．化简(❑√1−a) 2 −❑√a2−4a+4+|3−a|的结果是（ ）
A．6﹣3a B．2﹣a C．﹣a D．a﹣4
【必考点6 勾股数】
16．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，3，4
C．0.3，0.4，0.5 D．18，24，30
17．下列四组数中，勾股数是（ ）
A．2，3，5 B．6，8，10
C．0.3，0.4，0.5 D．❑√3，❑√6，3
18．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格
中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．162 B．200 C．242 D．288
【必考点7 直角三角形的判定】
19．在下列由线段a，b，c的长为三边的△ABC中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5 3
C．a= ，b＝1，c=
4 4
D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）
20．若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝5：12：13；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④b2＝（a+c）（a﹣c）中不能判定△ABC是直角三角形的个数有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，下列各组条件：
①∠B＝∠A﹣∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
1 1 1
③a： b：= c： ： ；
3 4 5
④a2＝（b+c）（b﹣c）．
其中能判断△ABC是直角三角形的组数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【必考点8 判断命题的逆命题真假】
22．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．两直线平行同位角相等
B．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
C．全等三角形的对应角相等
D．对顶角相等
23．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形D．如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数
24．下列各命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．若 ＝b，则|a|＝|b|
B．如果α两个实数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
【类型2 计算题篇·25题】
【必考点9 二次根式的混合运算】
1．计算：
❑√2
（1）❑√(−3) 2+❑√18−6× ；
2
1 −2
（2）−12024+( ) −|4−❑√12|+(π−3) 0−❑√27．
2
2．计算
√1
（1）❑√24÷❑√3−❑ ×❑√18+❑√32
2
（2）(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)+(❑√5−1) 2
3．计算：
（1）❑√27−3❑√12+❑√48；
❑√16
（2）(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)+ ．
❑√2
4．计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3−❑√8×❑ +❑√12；
2
（2）(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2．
5．化简：
（1）−2❑√27×3❑√6；
❑√20+❑√5 √1
（2） −❑ ×❑√6−(❑√2−1)(❑√2+1)．
❑√5 3
6．（1）❑√8+2❑√3−（❑√27−❑√2）√1
（2）（❑√2−❑√3）2+2❑ ×3❑√2．
3
7．计算
（1）❑√6×❑√2+❑√24÷❑√3−|−2❑√3|；
（2）(3+2❑√2)(3−2❑√2)−❑√54÷❑√6．
√3
8．计算：(2❑√3−❑√2)(2❑√3+❑√2)−(❑ +2❑√6)÷❑√2
2
9．计算
1 1 √3
（1）2❑√12÷ ❑√50× ❑ ；
2 2 4
√x 1 √ 1
（2）5❑ + ❑√20x−5x❑ ．
5 2 5x
10．计算：
√8 √1
（1）❑ +❑ +❑√0.125−❑√6+❑√32；
3 2
（2）(❑√5+❑√3) 2 −(2❑√5+❑√3)(2❑√5−❑√3)．
【必考点10 先化简再求值】
2x+6 x−2 1
11．先化简，后求值： ⋅ ÷ ，当x=❑√3代入求值．
x2−4x+4 x2+3x x−2
a+b a b2
12．先化简，再求（ + ）÷ 的值，且a、b满足|a−❑√3|+❑√b+1=0．
a−b b−a a2−ab
x−1 x+1
13．先化简，再求值： ÷( +1)，其中x=❑√2+1．
x2−2x+1 x−1
x2−y2 xy−y2
14．先化简，再求值： ÷ ，其中x=❑√3−❑√2，y=❑√3+❑√2．
x2+xy x+ y
2
15．先化简，再求值：(a−1+ )÷(a2+1)，其中a=❑√5−1．
a+1
2m 1 1
16．先化简，再求值：( − )÷(1− )，其中m=❑√2−1．
m2−4 m−2 m+2
x2−4x+4 3
17．先化简，再求值： ÷（ −x﹣1），其中x=❑√2−2．
x−1 x−1
√ y √ x 1 1
18．先化简，再求值：❑√25xy−x❑ −4 y❑ + ❑√x y3，其中x= ，y＝27．
x y y 32 √ x √1 √ y 1
19．先化简，再求值： x❑√9x+y2❑ −（x2❑ −5x❑ ），其中x= ，y=4．
3 y3 x x 2
a❑√b+b❑√a 1 1
20．先化简： ⋅❑√ab，再求当a= ，b= 时的值．
❑√a+❑√b ❑√2+1 ❑√2−1
【必考点11 求代数式的值】
1 1
21．已知x= ，y= ，求下列代数式的值：
2+❑√3 2−❑√3
（1）x2﹣xy+y2；
y x
（2） + ．
x y
2 1
22．已知实数x，y满足关系式y=❑√2x−6+❑√3−x−2，求 ÷ 的值．
❑√x+ y ❑√x−y
23．已知a＝3+❑√2，b＝3−❑√2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
24．已知x=❑√3+2，y=❑√3−2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
25．已知x+1=❑√3，y﹣1=❑√3，试求下列代数式的值．
（1）（x﹣1）2+4（x﹣1）+4；
（2）x2﹣y2．
【类型3 作图题篇·8题】
【必考点12 利用勾股定理构三角形】
1．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．
（1）在图1中画出一个三条边长分别为❑√10，3，❑√13的三角形，使它的顶点都在格点上；
（2）在图2中画一个面积为5的直角三角形，使它的顶点都在格点上．2．设正方形网格的每个小正方形的边长为1．
（1）请在图1的正方形网格中画出长度为❑√10的线段；
（2）请在图2中画出格点△ABC，使AB=2❑√2、BC=❑√13、AC=❑√17．
（3）在第（2）的条件下，请直接写出点B到AC的距离是 ．
3．图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1．线段AB的端点均在格点
上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以AB为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
（2）在图②中以AB为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为1：2；
（3）在图③中以AB为边画一个钝角三角形，使它的钝角为135°．
4．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点A已在网格中标
出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．
（1）在图中画一个△ABC，使其三边长分别为AB=❑√2，AC＝2❑√2，BC=❑√10；
（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC ＝ ；BC边上的高为 （直接写出结果）；
（3）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a，b及h，
1 1 1
+ =
求证： ．
a2 b2
ℎ
25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．（要
求用无刻度直尺画图，不需要写画法）
（1）在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10；
（2）在图2中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使它的三边长分别为AB=❑√5，BC＝5，AC=❑√10，
并计算BC边上的高为 ；（直接写出计算结果）
（3）若三角形有两条边分别为❑√5，❑√10，面积为3.5，请直接写出第三边的长度．
6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．
（1）如图1，直接写出AC的长为 ，△ABC的面积为 ；
（2）请在图1中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹，BD＝ ．
（3）如图2，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°．
7．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在网格的格点上，且AB=❑√26，AD=❑√17
．
（1）请在图中标出点A位置，补全四边形ABCD，并求其面积；（2）判断∠BCD是直角吗？请说明理由．
8．如图，每个小正方形的边长都是1，请按下列要求作图．
（1）在图1中，作出三角形，使它的三边长分别为❑√5、❑√29、4❑√2；
（2）在图2中，画△ABC的角平分线BF；
（3）在图2中，点M在BC上，在AB上找点N，使BN＝BM；
（4）在图3中，过点M画线段MH，使MH⊥AC．
【类型4 中档题篇·30题】
【必考点13 化简含字母的二次根式】
√ 1
1．把−a❑− 中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
a
A．❑√−a B．−❑√a C．−❑√−a D．❑√a
1
2．化简二次根式
❑√−x3
的正确结果是（ ）
x
A．❑√−x B．❑√x C．−❑√x D．−❑√−x
√ 1
3．把(1−x)❑ 根号外面的因式移到根号内得（ ）
x−1
A．❑√1−x B．❑√x−1 C．−❑√1−x D．−❑√x−1【必考点14 根据赵爽弦图求值】
4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（
）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的
直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是 13，小正方形
的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．169 B．25 C．19 D．13
6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为 49，小
正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝
2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
【必考点15 利用勾股定理求面积】
7．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1，2，3，正放置的四个正
方形的面积依次是S ，S ，S ，S ，则S +2S +2S +S ＝（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若
S +S ＝100，S ﹣S ＝28，则S ＝（ ）
1 4 2 3 2
A．128 B．72 C．64 D．59
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，
已知S甲 ＝8，S乙 ＝6，S丙 ＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．11 C．17 D．22
【必考点16 勾股定理与网格】
10．如图，△ABD和△ABC的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
11．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C、D四点均在格
点上，则∠ABC+∠ADC的度数为（ ）A．75° B．60° C．45° D．30°
12．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，
则AD的长为（ ）
14❑√10 14❑√10 7❑√10 7❑√10
A． B． C． D．
30 10 20 10
【必考点17 规律问题】
13．小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等
√ 1 √1 √ 2 √2 √ 3 √ 3 √ 4 √ 4
式 如 下 ❑1− =❑ ； ❑2− =2❑ ， ❑3− =3❑ ； ❑4− =4❑ ；
2 2 5 5 10 10 17 17
√ a √13
⋯若❑a− =13❑ (a，b均为正整数），则（a2﹣b）2024的值为（ ）
170 b
A．2024 B．﹣1 C．1572024 D．1
14 ． 通 过 “ 由 特 殊 到 一 般 ” 的 方 法 探 究 下 面 二 次 根 式 的 运 算 规 律 ： 特 例 1 ：
√ 1 √3+1 √ 1 √1 √ 1 √8+1 √ 1 √1
❑1+ =❑ =❑4× =2❑ ； 特 例 2 ： ❑2+ =❑ =❑9× =3❑ ； 特 例 3 ：
3 3 3 3 4 4 4 4
√ 1 √15+1 √ 1 √1 √ 1
❑3+ =❑ =❑16× =4❑ ⋯⋯应用发现的运算规律求值❑2022+ ×❑√4048= ．
5 5 5 5 2024
15．如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解题，
❑√1
(❑√1) 2+1=2，S = ；
1 2
❑√2
(❑√2) 2+1=3，S = ；
2 2❑√3
(❑√3) 2+1=4，S = ；
3 2
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述各式的变化规律；
（2）求OA 的长；
2024
（3）求s2+s2+s2+⋯+s2 的值．
1 2 3 100
【必考点18 求立体图形的最短路径问题】
16．如图，长方体的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么
它爬行的最短路程为 cm．
17．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部
6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B
处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
18．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB＝5cm．一只蚂蚁要沿长方
体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程为 cm．【必考点19 勾股定理逆定理的应用】
19．如图，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝3，AD=❑√17，∠B＝90°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝2
❑√5，BD＝4❑√5．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求DE的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6．
（1）求证：∠CDB＝90°；
（2）求AC的长．【必考点20 勾股定理的实际应用】
22．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从 C移动到
E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）在（1）的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从
A处移动到岸边点F的位置？
23．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，
B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，
半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，
请说明理由．
24．校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下
检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD
与l垂直，测得CD长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）；
（2）已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
25．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小
亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离
BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身
高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
26．综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙
上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那
么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出
BB′的长度．
问题解决：（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙
1
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提
5
下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
【必考点21 二次根式相关阅读材料题】
27．阅读材料：像(2−❑√3)(2+❑√3)=1，……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，
我们称这两个代数式互为有理化因式．例如❑√5与❑√5，❑√2+1与❑√2−1，2❑√3+❑√6与2❑√3−❑√6等都是
互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
1 ❑√2 ❑√2 7 7(2❑√3−❑√5)
例如： = = ； = =2❑√3−❑√5．
3❑√2 3❑√2×❑√2 6 2❑√3+❑√5 (2❑√3+❑√5)(2❑√3−❑√5)
解答下列问题：
（1）3−❑√5与 互为有理化因式；
6 ❑√2
（2）计算： − ；
❑√3 ❑√6+2
a b
（3）已知有理数a，b满足 − =3−❑√2，求a，b的值．
❑√2−1 ❑√2
1
28．在课外学习活动中，小明遇到一道题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．
2+❑√3
1 2−❑√3
他是这样解答的：a= = =2−❑√3，所以a−2=−❑√3．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
小明的解题过程运用了二次根式化简的方法和整体思想，请你参考他的解题过程，解决如下问题：
2
（1） = ；
❑√5−❑√31 1 1 1
（2）化简： + + +⋅⋅⋅+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√2022+❑√2021
1
（3）若a= ，求a4﹣4a3﹣4a+4的值．
❑√5−2
29 ． 定 义 ： 我 们 将 (❑√a+❑√b)与 (❑√a−❑√b)称 为 一 对 “ 对 偶 式 ” ． 因 为
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2−(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对
偶式”来解决．
例如：已知❑√12−x−❑√8−x=2，求❑√12−x+❑√8−x的值，可以这样解答：
因为(❑√12−x−❑√8−x)×(❑√12−x+❑√8−x)=(❑√12−x) 2 −(❑√8−x) 2=12−x−8+x=4，
所以❑√12−x+❑√8−x=2．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
（1）已知：❑√18−x+❑√6−x=6，则❑√18−x−❑√6−x= ；
1
（2）化简： = ；
❑√5+❑√3
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ．
❑√1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
30．阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10这样，我们不用求出a，b，就可以得到最
后的结果．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
（1）计算： + = ．
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2＝2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
（3）已知❑√21+x2−❑√17−x2=4，求❑√21+x2+❑√17−x2的值．
【类型5 压轴题篇·20题】
【必考点22 几何求最值问题】
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的横坐标为3，且∠AOB＝1
30°，C点坐标为( ，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
2
❑√13 ❑√31 3+❑√19
A． B． C． D．2❑√7
2 2 2
2．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（16，0），OC＝20，且点C的纵坐标为5，P为线段OC上一
动点，连接AP、PB；则PA+PB的最小值为（ ）
A．❑√219 B．❑√239 C．16 D．❑√229
3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，以BC为斜边在BC上方作等腰直角△BDC，连接AD，则AD的
最大值为 ．
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝75°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则
❑√3
BP+CP的最小值是 ．
2
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE＝BD，
连接AE、CD，则AE+CD的最小值为 ．【必考点23 几何多结论问题】
6．在 Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边
❑√2 1
AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=
2
AB，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDF =
2
S△ABC ，
④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
7．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，AC＝BC，EC＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边
DE上．下列结论：①∠ACD＝∠ABD；②AC2+AD2＝CD2；③AD+BD=❑√2CD；④BC2﹣AE2＝
AD2﹣AC2．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为
E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CE=❑√2ME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=❑√2：1；
正确的有 ．（只填序号）【必考点24 构造辅助线求线段长】
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若AD＝4，CD＝2，则BD的长为（ ）
A．6 B．2❑√7 C．5 D．2❑√5
10．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE
于M，QN⊥GF于N，EF=4❑√3，则QM+QN的长是（ ）
A．4❑√3 B．3❑√2 C．4 D．2❑√3
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，CF=❑√7，则EF＝（ ）
A．4 B．2❑√3 C．3❑√2 D．2❑√5
12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC=❑√14，则CD的长为（
）A．4 B．2❑√7 C．5 D．❑√10
13．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝45°，BC＝1，AB=❑√5，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则CE的长为 4 ．
【必考点25 勾股定理与几何综合题】
14．已知，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD＝
AE．
（1）如图1，AB⊥AC，AD⊥AE，连接CE，求证：BC⊥CE；
（2）如图2，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=2❑√2，取AC边中点F，连接EF．当D点从B点运动到
C点过程中，求线段EF长度的最小值；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，DC＝1，连接AC，已知AC=4❑√2
，求AB的长．
15．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，4）．
（1）如图1，若点C在第一象限，∠BCO＝45°，求证：CB⊥CA；
（2）如图2，若点C在第二象限，∠BCO＝75°，CO＝m，CB＝n，则CA2＝ ；
（3）如图3，若点C（﹣1，0），点D在y轴的负半轴上，满足∠ADO＝2∠CDO，求点D的坐标．16．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5❑√2，BC=4❑√2，分别以△ABC的边
BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，连接DE，求DE的长．
17．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD
于E，∠CFA＝∠BAC＝ ．
α
（1）如图1，当 ＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当 ＝90°，αAB＝AC＝16时，
①如图2α．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD=10❑√2，求CF的长．
18．我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠ABC＝45°，连结AC、BD，若∠DAC＝90°，AC＝AD，求BD的长．
（1）布丁思考后，如图2，以AB以边向外作等腰直角△ABE，并连结CE，他认为：△ABD≌△AEC．
你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出BD的长．
【探索二】如图3，在四边形ABCD中，AC＝AD，∠DAC＝100°，∠ABD＝10°，∠DBC＝70°，若BC
＝4，求BD的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b
❑√a2−1+❑√1−a2
满足b= −❑√3．
a+1
（1）如图1，则点A坐标 ，点B坐标 ，∠ABC＝ ；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的
长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE
之间的数量关系，并证明．
20．如图，等腰△ABC和等腰△ADE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝ ．
α（1）如图1， ＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，CD＝8，求线段BD的长度；
（2）如图2，α＝120°，点M、N在线段BC上，∠MAN＝60°，BM＝MN，求证：MN＝CN；
（3）如图3，αa＝90°，连接BE和CD，若AC＝6，AD＝4，BE＝5，直接写出CD的长为 ．
