文档内容
20.1 勾股定理及其应用（第 1 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课从《周髀算经》中关于勾股定理的记载出发，通过观察网格中以一般直角三角形的三边为边长
的正方形的面积，发现直角三角形三边长的数量关系，从而提出猜想，并介绍了赵爽的证明方法。
2. 内容分析
勾股定理是平面几何的核心定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的本质数量关系，是连接“数”
与“形”的重要桥梁，为后续解决直角三角形相关的计算、证明及实际应用问题奠定基础。本节课的知识
脉络是“历史情境引入—网格探究猜想—严格证明定理—例题练习应用”，既承载着数学知识的传递，也
蕴含着数形结合、转化与化归等重要数学思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明勾股定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）经历勾股定理的探究过程，体会数形结合思想，发展几何直观和推理能力。
（2）能用勾股定理解决一些简单问题，发展应用意识。
（3）了解关于勾股定理的文化历史背景和我国古代研究勾股定理的成就，培养学生的民族自豪感。
2. 目标解析
（1）学生能通过观察网格图形、计算正方形面积，自主发现直角三角形三边的数量关系，提出合理
猜想；在理解赵爽弦图证明的过程中，能初步运用“出入相补法”进行简单推理，体会图形分割与拼接背
后的数量关系，提升几何直观和逻辑推理素养。
（2）学生能准确识别直角三角形的直角边和斜边，熟练运用勾股定理及其变形公式，解决已知两边
求第三边的基础问题，以及平面直角坐标系中两点间的距离、正方形面积关联等简单综合问题，形成运用
定理解决问题的基本思路。
（3）通过了解《周髀算经》中商高的记载、赵爽的证明成就及国际数学家大会会标的设计背景，感
受勾股定理的历史厚重感和文化价值，增强对我国古代数学成就的认同感和民族自豪感。
三、教学问题诊断分析
可能出现的问题：
（1）探究网格中正方形的面积关系时，对于斜放的正方形，学生可能难以想到用“割补法”计算面
积，导致无法顺利发现三边关系。
（2）理解赵爽弦图的证明过程时，学生对“朱实”“黄实”与“弦实”的面积关系推导不清晰，难
1 / 9以将图形拼接与代数运算结合起来，阻碍对定理证明的理解。
（3）运用勾股定理时，学生可能混淆直角边和斜边，出现公式误用，或在解决综合问题时无法快速
构造直角三角形模型。
应对策略：
（1）探究环节中，通过追问“斜放的正方形面积怎么计算？”“能否把它分成我们熟悉的图形？”
进行引导，展示割补法的具体操作过程，帮助学生突破面积计算的难点。
（2）证明环节中，利用动画演示赵爽弦图的分割与拼接过程，标注“朱实”“黄实”的位置和面积
表达式，分步推导面积关系，将抽象的证明转化为直观的图形变化和简单的代数运算。
（3）例题和练习中，强调先判断直角三角形的直角边和斜边，通过标注图形、明确已知条件和所求
边，强化公式的正确应用；设计基础题、变式题梯度训练，帮助学生逐步掌握构造直角三角形的技巧。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索并证明勾股定理。
四、教学过程设计
（一）情境引入
通过对三角形边的特殊化，我们得到了等腰三角形，并研究了等腰三角形的定义，性质，判定和应用。
对三角形的角特殊化，可以得到直角三角形，类似的，我们也来研究直角三角形的定义，性质，判定和应
用。
直角三角形的定义：有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
从边的角度，直角三角形有哪些性质呢？
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学
典籍《周髀算经》记载：商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角
形。并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正
方形的面积。
2 / 9商高所指的面积关系可以用图形表示。红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边
向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边
满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系?
设计意图：类比等腰三角形的研究经验，帮助学生形成系统化的几何学习思路；引入我国古代数学典
籍和历史人物的记载，既激发学生的好奇心和探究欲，又渗透数学文化，为后续培养民族自豪感铺垫。
（二）合作探究
探究 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A，B，C 的面积之间有什么关系？A，B，C 呢？
1 1 1 2 2 2
A，B，C 呢？
3 3 3
正方形A 的面积是 1 ，正方形B 的面积是 4 ，正方形C 的面积是 5 .
1 1 1
正方形A 的面积是 4 ，正方形B 的面积是 9 ，正方形C 的面积是 1 3 .
2 2 2
正方形A 的面积是 9 ，正方形B 的面积是 2 5 ，正方形C 的面积是 3 4 .
3 3 3
结论 正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积.正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形
1 1 1 2 2
C 的面积.正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积.
2 3 3 3
追问1 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的
面积有什么关系？
3 / 9结论 以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.
追问2 你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
度量验证
勾股定理的证明
赵爽指出： 符号表达
按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四. 2ab
以勾股之差自相乘为中黄实. (a−b)2
加差实，亦成弦实. 2ab+(a−b)2=c2
简单推理：2ab+a2−2ab+b2=c2，
4 / 9a2+b2=c2.
直观证法
勾股定理 （西方人称毕达哥拉斯定理）
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
变形 c=√a2+b2，a=√c2 −b2，b=√c2 −a2.
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种
方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”。 “赵爽弦图”体现了我国古人
的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲。2002年在北京召开
的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的。
设计意图：通过网格中具体正方形的面积计算，从特殊到一般逐步引导学生发现规律，培养学生的观
察、归纳和猜想能力；追问 1 让学生通过自主画图、验证，强化规律的普遍性，为猜想的提出提供充分
依据；动画演示分割与拼接过程，增强证明的直观性；赵爽弦图的证明过程，既展示了我国古代数学的智
慧，又让学生体会数形结合思想和“出入相补法”的应用，突破教学难点。
（三）典例分析
例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62=100，
5 / 9所以AB=10.
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，
从而DE2=DF2−EF2=172−152=64，
所以DE=8.
设计意图：例题选取基础的“已知两边求第三边”问题，涵盖了直接求斜边和求直角边两种情况，既
巩固了勾股定理的核心公式，又让学生掌握定理变形的应用；解题过程规范书写，为学生提供清晰的答题
范例，培养学生严谨的数学表达习惯。
（四）巩固练习
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知b=15，c=25，求a.
解：（1）根据勾股定理，a2+b2=c2，
从而b2=c2−a2=102−62=64，
所以b=8.
（2）根据勾股定理，a2+b2=c2，
从而c2=a2+b2=52+122=169，
所以c=13.
（3）根据勾股定理，a2+b2=c2，
从而a2=c2−b2=252−152=400，
所以a=20.
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别
是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：根据勾股定理，
S =S +S =(S +S )+(S +S ) =122+162+92+122=625.
E M N A B C D
∴最大正方形E的面积是625.
6 / 93.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点间的距离.
解：根据勾股定理，
AB2=OA2+OB2=52+42=41.
∴AB=√41.
设计意图：巩固练习设计体现梯度性，第 1 题聚焦定理的直接应用，强化公式记忆和计算能力；第
2 题将正方形面积与勾股定理结合，培养学生的转化能力；第 3 题拓展到平面直角坐标系中的距离计算，
让学生体会定理的广泛应用；通过及时练习，既能强化学生对新知的理解和记忆，又能快速反馈学习效果，
帮助学生查漏补缺，同时让教师根据学情调整后续教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
7 / 91．（2023年湖南长沙）如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AE=6，CD=8，求BD的长．
解：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
¿，
∴△ABE≌△ACD(AAS)；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD=AE=6，
在Rt△ACD中，AC=√AD2+CD2=√62+82=10，
∵AB=AC=10，
∴BD=AB−AD=10−6=4．
2．（2024年四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的
“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将
这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ D ）
A．24 B．36 C．40 D．44
3．（2024年四川甘孜）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折叠△ABC，使点A与点
B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 3 ．
设计意图：引入中考真题，让学生提前感受中考题型和难度，明确知识的考查方向；真题涵盖了定理
的综合应用、与几何图形性质的结合等，既能检验学生的学习成果，又能提升学生的应考能力；同时，真
题中涉及赵爽弦图等文化元素，呼应前文的文化渗透，进一步激发学生的学习动力和兴趣。
8 / 9（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题20.1 第1，7，8题.
2.探究性作业：习题20.1 第10，13题.
五、教学反思
9 / 9
