文档内容
八下数学第一次月考复习五大类型 25 个必考点
【人教版】
【类型1 基础题篇·24题】........................................................................................................................................2
【必考点1 二次根式的定义】..................................................................................................................................2
【必考点2 最简二次根式的定义】..........................................................................................................................2
【必考点3 同类二次根式的定义】..........................................................................................................................3
【必考点4 二次根式有意义条件】..........................................................................................................................4
【必考点5 根据二次根式的性质化简】..................................................................................................................5
【必考点6 勾股数】..................................................................................................................................................6
【必考点7 直角三角形的判定】..............................................................................................................................7
【必考点8 判断命题的逆命题真假】......................................................................................................................9
【类型2 计算题篇·25题】......................................................................................................................................10
【必考点9 二次根式的混合运算】........................................................................................................................10
【必考点10 先化简再求值】..................................................................................................................................15
【必考点11 求代数式的值】..................................................................................................................................18
【类型3 作图题篇·8题】........................................................................................................................................20
【必考点12 利用勾股定理构三角形】..................................................................................................................20
【类型4 中档题篇·30题】......................................................................................................................................30
【必考点13 化简含字母的二次根式】..................................................................................................................30
【必考点14 根据赵爽弦图求值】..........................................................................................................................31
【必考点15 利用勾股定理求面积】......................................................................................................................33
【必考点16 勾股定理与网格】..............................................................................................................................36
【必考点17 规律问题】..........................................................................................................................................38
【必考点18 求立体图形的最短路径问题】.........................................................................................................40
【必考点19 勾股定理逆定理的应用】..................................................................................................................43
【必考点20 勾股定理的实际应用】......................................................................................................................45
【必考点21 二次根式相关阅读材料题】..............................................................................................................50
【类型5 压轴题篇·20题】......................................................................................................................................56
【必考点22 几何求最值问题】..............................................................................................................................56
【必考点23 几何多结论问题】..............................................................................................................................61
【必考点24 构造辅助线求线段长】......................................................................................................................66
【必考点25 勾股定理与几何综合题】..................................................................................................................71
【类型1 基础题篇·24题】
【必考点1 二次根式的定义】
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A．❑√a B．❑√a2+1 C．√32 D．❑√−2
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
【解答】解：A．当a＜0时，❑√a无意义，故此选项不合题意；
B．❑√a2+1是二次根式，故此选项符合题意；
C．√32是三次根式，故此选项不合题意；
D．❑√−2的被开方数是负数，该式子无意义，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列各式中❑√15、❑√3a、❑√b2−1、❑√a2+b2、❑√m2+20、❑√−144，二次根式的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可．
【解答】解：3a，b2﹣1，都有可能是负数，﹣144是负数，不能作为二次根式的被开方数，
∴二次根式有❑√15、❑√a2+b2、❑√m2+20，共3个．
故选：B．
3．已知❑√189n为整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．3 B．9 C．18 D．21
【分析】根据被开方数是整数，可得被开方数能开尽方，可得答案．
【解答】解：❑√189n是整数，则正整数n的最小值是21，
故选：D．
【必考点2 最简二次根式的定义】
√1
4．下列二次根式：❑√5，❑ ，❑√0.5a，−2❑√a2b，❑√x2+ y2中，是最简二次根式的有（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
√1
【解答】解：❑√5，❑ ，❑√0.5a，−2❑√a2b，❑√x2+ y2中是最简二次根式的有❑√5，❑√x2+ y2，
3
故选：A．
√1
5．关于下列二次根式：①❑√x2+1；②❑√x2y5；③❑√2；④2❑√3；⑤❑ ；⑥❑√6．小红说：“最简二次
2
根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（ ）A．小红说得对
B．小亮说得对
C．小红和小亮合在一起对
D．小红和小亮合在一起也不对
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析判断即可解答．
√1
【解答】解：①❑√x2+1，③❑√2，④2❑√3，⑥❑√6是最简二次根式；②❑√x2y5，⑤❑ 不是最简二次
2
根式．
故小红和小亮合在一起对．
故选：C．
√a
6．在❑√24，❑ ，❑√x2−y2，❑√a2−2a+1，❑√3x中，最简二次根式的个数为（ ）
b
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
√a
【解答】解：❑√24=2❑√6，❑ 被开方数中含有分母，❑√a2−2a+1=❑√(a−1) 2=|a﹣1|，
b
√a
在❑√24，❑ ，❑√x2−y2，❑√a2−2a+1，❑√3x中，
b
最简二次根式有❑√x2−y2，❑√3x，共有2个，
故选：B．
【必考点3 同类二次根式的定义】
√ 1 √ 1 √ 1
7．根式❑√45，❑ ，❑√12，❑ ，❑√3，❑ 中，与❑√2是同类二次根式的有（ ）个．
27 50 10
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
√ 1 ❑√3 √ 1 ❑√2 √ 1 ❑√10
【解答】解：❑√45=3❑√5，❑ = ，❑√12=2❑√3，❑ = ，❑ = ，
27 9 50 10 10 10
√ 1
∴与❑√2是同类二次根的有❑ ，共1个，
50
故选：A．
8．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．❑√8与❑√12 B．❑√3x3与❑√27x√2
C．2b❑√b与b❑ D．❑√a2b与❑√ab3
b
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次
根式，由此判断即可．
【解答】解：A、❑√8=2❑√2，❑√12=2❑√3，所以❑√8与❑√12不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、❑√3x3=x❑√3x，❑√27x=3❑√3x，所以❑√3x3与❑√27x是同类二次根式，故此选项符合题意；
√2 ❑√2b √2
C、b❑ =b⋅ =❑√2b，所以2b❑√b与b❑ 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
b b b
D、❑√a2b=|a|❑√b，❑√ab3=|b|❑√ab，所以❑√a2b与❑√ab3不是同类二次根式，故此选项不符合题
意；
故选：B．
9．如果最简二次根式b−√a3b和❑√2b−a+2是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
【分析】根据同类二次根式的定义得到b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，然后解两个方程组成的方程组即可．
【解答】解：根据题意得b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，
解得a＝0，b＝2．
故选：D．
【必考点4 二次根式有意义条件】
❑√x−1
10．使代数式 有意义的自变量x的取值范围是（ ）
2−x
A．x≥1 B．x＞1且x≠2 C．x≥1且x≠2 D．x＞1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x﹣1≥0且2﹣x≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：C．
x
11．使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
❑√4−x
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
x
【解答】解：使得式子 有意义，则：4﹣x＞0，
❑√4−x解得：x＜4，
即x的取值范围是：x＜4．
故选：D．
√ x ❑√x
12．如果❑ = ，那么（ ）
1−x ❑√1−x
A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1
【分析】二次根式的被开方数是非负数，且分式的分母不等于零．
【解答】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则
{ x≥0 )
，
1−x＞0
解得，0≤x＜1．
故选：C．
【必考点5 根据二次根式的性质化简】
13．已知1＜p＜2，化简❑√(1−p) 2+（❑√2−p）2＝（ ）
A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故选：A．
14．若❑√b2−6b+9=3﹣b，则b的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥3
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：❑√b2−6b+9=❑√(b−3) 2=|b﹣3|＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，
∴b≤3，
故选：C．15．化简(❑√1−a) 2 −❑√a2−4a+4+|3−a|的结果是（ ）
A．6﹣3a B．2﹣a C．﹣a D．a﹣4
【分析】先根据二次根式的性质把原式化为（1﹣a）﹣|a﹣2|+|3﹣a|，再根据绝对值的性质进行化简即
可．
【解答】解：∵(❑√1−a) 2=(1−a)，❑√a2−4a+4=❑√(a−2) 2=|a−2|，
∴(❑√1−a) 2 −❑√a2−4a+4+|3−a|
＝（1﹣a）﹣|a﹣2|+|3﹣a|，
∵1﹣a≥0，
∴a≤1，
∴原式＝1﹣a﹣2+a+3﹣a＝2﹣a，
故选：B．
【必考点6 勾股数】
16．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，3，4
C．0.3，0.4，0.5 D．18，24，30
【分析】利用勾股定理进行计算分析即可．
【解答】解：A、72+122≠132，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、32+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、0.3、0.4、0.5不是正整数，则不是勾股数，故此选项不合题意；
D、182+242＝302，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
17．下列四组数中，勾股数是（ ）
A．2，3，5 B．6，8，10
C．0.3，0.4，0.5 D．❑√3，❑√6，3
【分析】根据勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【解答】解：A、22+32≠52，故该选项是错误的；
B、62+82＝102，故该选项是正确的；
C、0.3，0.4，0.5不是正整数，故该选项是错误的；
D、❑√3，❑√6不是正整数，故该选项是错误的；故选：B．
18．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格
中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．162 B．200 C．242 D．288
【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝20求出b、c的值，进而可得答案．
【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，
则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，
解得：b＝99，
则c＝99+2＝101，
∴b+c＝200，
故选：B．
【必考点7 直角三角形的判定】
19．在下列由线段a，b，c的长为三边的△ABC中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5 3
C．a= ，b＝1，c=
4 4
D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，故能构成直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
5
∴∠C= ×180°＝75°，
12
∴△ABC是锐角三角形，故不能构成直角三角形，
3 5
C、（ ）2+12＝（ ）2，故能构成直角三角形；
4 4
D、（3k）2+（4k）2＝（5k）2，故能构成直角三角形．故选：B．
20．若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝5：12：13；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④b2＝（a+c）（a﹣c）中不能判定△ABC是直角三角形的个数有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的定义，三角形内角和定理、勾股定理的逆定理一一判断即可．
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形；
②a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，
故△ABC是直角三角形；
5
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角∠C= ⋅180°=75°，
3+4+5
故△ABC不是直角三角形；
④b2＝（a﹣c）（a+c）＝a2﹣c2，
即b2＝a2﹣c2，
故△ABC是直角三角形；
∴不能判定△ABC是直角三角形的有1个．
故选：A．
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，下列各组条件：
①∠B＝∠A﹣∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
1 1 1
③a： b：= c： ： ；
3 4 5
④a2＝（b+c）（b﹣c）．
其中能判断△ABC是直角三角形的组数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理逐项判定即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝180°；
①∵∠B＝∠A﹣∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
5
∴最大角∠C= ×180°=75°，即△ABC不是直角三角形；
3+4+5
1 2 1 2 1 2
③∵( ) +( ) ≠( ) ，
5 4 3
∴△ABC不是直角三角形；
④∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
综上分析可知，能判断△ABC是直角三角形的组数为2组．
故选：B．
【必考点8 判断命题的逆命题真假】
22．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．两直线平行同位角相等
B．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
C．全等三角形的对应角相等
D．对顶角相等
【分析】根据已学知识进行判断即可．
【解答】解：根据已学知识进行判断如下：
A．两直线平行同位角相等，逆命题是同位角相等两直线平行，逆命题成立，故选项符合题意；
B．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实
数都是正数，逆命题不成立，故选项不符合题意；
C．全等三角形的对应角相等，逆命题是如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形全
等，逆命题不成立，故选项不符合题意；
D．对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题不成立，故选项不符合题
意．
故选：A．
23．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形D．如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数
【分析】利用全等三角形的性质、实数的性质、等边三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选
项．
【解答】解：A、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立，不符合题意；
C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为如果两个数都是正数，那么它们的积也是正数，成立，符合题意．
故选：D．
24．下列各命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．若 ＝b，则|a|＝|b|
B．如果α两个实数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析
各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、若 ＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|则， ＝b，是假命题；
B、如果两个实数相等α ，那么它们的平方相等的逆命题是如果α两个实数的平方相等，那么这两个实数相
等，是假命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题；
D、如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形的逆命题是如果这个三
角形是直角三角形，那么这三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，是真命题．
故选：D．
【类型2 计算题篇·25题】
【必考点9 二次根式的混合运算】
1．计算：
❑√2
（1）❑√(−3) 2+❑√18−6× ；
2
1 −2
（2）−12024+( ) −|4−❑√12|+(π−3) 0−❑√27．
2
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．❑√2
【解答】解：（1）❑√(−3) 2+❑√18−6×
2
=3+3❑√2−3❑√2
＝3；
1 −2
（2）−12024+( ) −|4−❑√12|+(π−3) 0−❑√27
2
=−1+4−(4−2❑√3)+1−3❑√3
=−1+4−4+2❑√3+1−3❑√3
=−❑√3．
2．计算
√1
（1）❑√24÷❑√3−❑ ×❑√18+❑√32
2
（2）(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)+(❑√5−1) 2
【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
√1
【解答】解：（1）❑√24÷❑√3−❑ ×❑√18+❑√32
2
=❑√8−❑√9+❑√32
=2❑√2−3+4❑√2
=6❑√2−3；
（2）(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)+(❑√5−1) 2
=3−2+5−2❑√5+1
=7−2❑√5．
3．计算：
（1）❑√27−3❑√12+❑√48；
❑√16
（2）(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)+ ．
❑√2
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据平方差公式和二次根式的除法法则运算即可．
【解答】解：（1）原式＝3❑√3−6❑√3+4❑√3
=❑√3；√16
（2）原式＝3﹣2+❑
2
＝1+2❑√2．
4．计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3−❑√8×❑ +❑√12；
2
（2）(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则先计算，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式对二次根式进行混合运算即可求解．
√1
【解答】解：（1）❑√48÷❑√3−❑√8×❑ +❑√12
2
√ 1
=❑√48÷3−❑8× +2❑√3
2
=❑√16−❑√4+2❑√3
=4−2+2❑√3
=2+2❑√3；
（2）(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2
=(❑√2x) 2 −(❑√y) 2 −[(❑√2x) 2 −2❑√2x⋅❑√y+(❑√y) 2 ]
=2x−y−2x+2❑√2xy−y
=2❑√2xy−2y．
5．化简：
（1）−2❑√27×3❑√6；
❑√20+❑√5 √1
（2） −❑ ×❑√6−(❑√2−1)(❑√2+1)．
❑√5 3
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解
【解答】解：（1）−2❑√27×3❑√6
=−6❑√3×3❑√6
=−18❑√3×6
=−54❑√2；❑√20+❑√5 √1
（2） −❑ ×❑√6−(❑√2−1)(❑√2+1)
❑√5 3
=❑√4+1−❑√2−(2−1)
=2+1−❑√2−1
=2−❑√2．
6．（1）❑√8+2❑√3−（❑√27−❑√2）
√1
（2）（❑√2−❑√3）2+2❑ ×3❑√2．
3
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类项即可；
（2）根据二次根式的化简、完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2❑√2+2❑√3−3❑√3+❑√2
＝3❑√2−❑√3；
（2）原式＝5﹣2❑√6+2❑√6
＝5．
7．计算
（1）❑√6×❑√2+❑√24÷❑√3−|−2❑√3|；
（2）(3+2❑√2)(3−2❑√2)−❑√54÷❑√6．
【分析】（1）先算乘除，再算加减，即可求解；
（2）利用平方差公式展开，再算除法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）❑√6×❑√2+❑√24÷❑√3−|−2❑√3|
原式=❑√12+❑√8−2❑√3
=2❑√3+2❑√2−2❑√3
=2❑√2
（2）(3+2❑√2)(3−2❑√2)−❑√54÷❑√6
原式=32−(2❑√2) 2 −❑√9
＝9﹣8﹣3
＝﹣2
√3
8．计算：(2❑√3−❑√2)(2❑√3+❑√2)−(❑ +2❑√6)÷❑√2
2
【分析】化简二次根式，利用平方差公式去括号，再计算除法，最后计算加减即可．❑√6
【解答】解：原式=(2❑√3) 2 −(❑√2) 2 −( +2❑√6)÷❑√2，
2
❑√3
=12−2− −2❑√3，
2
5
=10− ❑√3．
2
9．计算
1 1 √3
（1）2❑√12÷ ❑√50× ❑ ；
2 2 4
√x 1 √ 1
（2）5❑ + ❑√20x−5x❑ ．
5 2 5x
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
1 1 √3
【解答】解：（1）2❑√12÷ ❑√50× ❑
2 2 4
5❑√2 ❑√3
=4❑√3÷ ×
2 4
❑√2 ❑√3
=4❑√3× ×
5 4
3
= ❑√2；
5
√x 1 √ 1
（2）5❑ + ❑√20x−5x❑
5 2 5x
=❑√5x+❑√5x−❑√5x
=❑√5x．
10．计算：
√8 √1
（1）❑ +❑ +❑√0.125−❑√6+❑√32；
3 2
（2）(❑√5+❑√3) 2 −(2❑√5+❑√3)(2❑√5−❑√3)．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可求解；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解．
√8 √1
【解答】解：（1）❑ +❑ +❑√0.125−❑√6+❑√32
3 22 1 1
= ❑√6+ ❑√2+ ❑√2−❑√6+4❑√2
3 2 4
2 1 1
=( −1)❑√6+( + +4)❑√2
3 2 4
1 19
=− ❑√6+ ❑√2；
3 4
（2）(❑√5+❑√3) 2 −(2❑√5+❑√3)(2❑√5−❑√3)
=5+3+2❑√15−(20−3)
=8+2❑√15−17
=−9+2❑√15．
【必考点10 先化简再求值】
2x+6 x−2 1
11．先化简，后求值： ⋅ ÷ ，当x=❑√3代入求值．
x2−4x+4 x2+3x x−2
【分析】先根据分式的乘除混合运算法则化简，再把x=❑√3代入进行分母有理化，即可得到答案．
2x+6 x−2 1
【解答】解： ⋅ ÷
x2−4x+4 x2+3x x−2
2(x+3) x−2
= ⋅ ⋅(x−2)
(x−2) 2 x(x+3)
2
= ，
x
2 2❑√3
当x=❑√3时，原式= = ．
❑√3 3
a+b a b2
12．先化简，再求（ + ）÷ 的值，且a、b满足|a−❑√3|+❑√b+1=0．
a−b b−a a2−ab
【分析】先化简原式，然后将a与b的值代入即可求出答案．
a+b a a(a−b)
【解答】解：原式=( − )×
a−b a−b b2
b a(a−b)
= ×
a−b b2
a
=
b
∵|a−❑√3|+❑√b+1=0
∴a=❑√3，b＝﹣1a ❑√3
∴原式= = =−❑√3
b −1
x−1 x+1
13．先化简，再求值： ÷( +1)，其中x=❑√2+1．
x2−2x+1 x−1
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x=❑√2+1时，
x−1 x−1
=
原式 •
(x−1) 2 2x
1
=
2x
❑√2−1
=
2
x2−y2 xy−y2
14．先化简，再求值： ÷ ，其中x=❑√3−❑√2，y=❑√3+❑√2．
x2+xy x+ y
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再将值代入计算即可得出答案．
x2−y2 xy−y2
【解答】解：原式= ÷
x2+xy x+ y
(x+ y)(x−y) x+ y
= ⋅
x(x+ y) y(x−y)
x+ y
= ，
xy
∵x=❑√3−❑√2，y=❑√3+❑√2，
∴x+ y=2❑√3，xy＝1，
2❑√3
∴原式= =2❑√3．
1
2
15．先化简，再求值：(a−1+ )÷(a2+1)，其中a=❑√5−1．
a+1
【分析】先将分式化简，然后代入求解即可．
2
【解答】解：(a−1+ )÷(a2+1)
a+1
a2−1 2
=( + )÷(a2+1)
a+1 a+1a2+1 1
= ×
a+1 a2+1
1
= ，
a+1
.当a=❑√5−1时，
❑√5
原式= ．
5
2m 1 1
16．先化简，再求值：( − )÷(1− )，其中m=❑√2−1．
m2−4 m−2 m+2
【分析】先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
2m 1 1
【解答】解：( − )÷(1− )
m2−4 m−2 m+2
2m−(m+2) m+2
= ×
(m+2)(m−2) m+2−1
m−2 m+2
= ×
(m+2)(m−2) m+1
1
= ；
m+1
1 1 ❑√2
当m=❑√2−1时，原式= = = ．
❑√2−1+1 ❑√2 2
x2−4x+4 3
17．先化简，再求值： ÷（ −x﹣1），其中x=❑√2−2．
x−1 x−1
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
(x−2) 2 3 x2−1
【解答】解：原式= ÷（ − ）
x−1 x−1 x−1
(x−2) 2 4−x2
= ÷
x−1 x−1
(x−2) 2 x−1
= •
x−1 −(x+2)(x−2)
x−2
=−
x+2
2−x
= ，
2+x
把x=❑√2−2 代入得：2−(❑√2−2)
原式=
2+❑√2−2
4−❑√2
=
❑√2
＝2❑√2−1．
√ y √ x 1 1
18．先化简，再求值：❑√25xy−x❑ −4 y❑ + ❑√x y3，其中x= ，y＝27．
x y y 3
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=❑√xy，然后把x、y的值代入计算．
1
【解答】解：∵x= ＞0，y＝27＞0，
3
∴原式＝5❑√xy−❑√xy−4❑√xy+❑√xy
=❑√xy，
1 √1
当x= ，y＝27时，原式=❑ ×27=❑√9=3．
3 3
2 √ x √1 √ y 1
19．先化简，再求值： x❑√9x+y2❑ −（x2❑ −5x❑ ），其中x= ，y=4．
3 y3 x x 2
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式＝x❑√x+6❑√xy，接着把x、y的值代入，
然后进行二次根式的加减运算．
【解答】解：原式＝2x❑√x+❑√xy−x❑√x+5❑√xy
＝x❑√x+6❑√xy，
1 1 √1 √1 ❑√2 25❑√2
当x= ，y＝4时，原式= ❑ +6❑ ×4= +6❑√2= ．
2 2 2 2 4 4
a❑√b+b❑√a 1 1
20．先化简： ⋅❑√ab，再求当a= ，b= 时的值．
❑√a+❑√b ❑√2+1 ❑√2−1
【分析】首先将原式分子提取公因式❑√ab，进而分子分母约分得出化简即可，进而将a，b代入即可．
❑√ab(❑√a+❑√b)
【解答】解：原式= ⋅❑√ab
❑√a+❑√b
＝ab，
1 1
当a= =❑√2−1，b= =❑√2+1时，原式=(❑√2−1)(❑√2+1)=1
❑√2+1 ❑√2−1
【必考点11 求代数式的值】
1 1
21．已知x= ，y= ，求下列代数式的值：
2+❑√3 2−❑√3
（1）x2﹣xy+y2；y x
（2） + ．
x y
【分析】（1）根据题意可得x=2−❑√3，y=2+❑√3，进而可得x−y=−2❑√3，xy＝1，然后将原式整理
为（x﹣y）2+xy，然后代入求值即可；
(x−y) 2+2xy
（2）将原式整理为 ，然后代入求值即可．
xy
1 1
【解答】解：（1）∵x= =2−❑√3，y= =2+❑√3，
2+❑√3 2−❑√3
∴x−y=2−❑√3−2−❑√3=−2❑√3，xy=(2−❑√3)×(2+❑√3)=22−(❑√3) 2=4−3=1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
=(−2❑√3) 2+1
＝12+1
＝13；
y x
（2） +
x y
x2+ y2
=
xy
(x−y) 2+2xy
=
xy
(−2❑√3) 2+2
=
1
＝12+2
＝14．
2 1
22．已知实数x，y满足关系式y=❑√2x−6+❑√3−x−2，求 ÷ 的值．
❑√x+ y ❑√x−y
【分析】先利用二次根式的非负性求出x，y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2x﹣6≥0，3﹣x≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x＝3，
∴y＝﹣2，2 1
∴原式= ÷
❑√3−2 ❑√3+2
2
= ×(❑√3+2)
❑√3−2
2×(❑√3+2) 2
= ，
(❑√3−2)×(❑√3+2)
=−2(3+4❑√3+4)
=−14−8❑√3．
23．已知a＝3+❑√2，b＝3−❑√2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
【分析】（1）先由a、b计算出a+b、a﹣b，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得；
（2）将a﹣b代入（a﹣b）2﹣ab，计算可得．
【解答】解：（1）∵a＝3+❑√2，b＝3−❑√2，
∴a+b＝3+❑√2+3−❑√2=6，a﹣b＝3+❑√2−3+❑√2=2❑√2，ab＝（3+❑√2）（3−❑√2）＝7，
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝6×2❑√2
＝12❑√2；
（2）由（1）知a﹣b＝2❑√2，ab＝（3+❑√2）（3−❑√2）＝7，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab，
=(2❑√2) 2−7
＝8﹣7
＝1．
24．已知x=❑√3+2，y=❑√3−2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）2
＝（❑√3+2+❑√3−2）2＝12；
（2）原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（❑√3+2+❑√3−2）（❑√3+2−❑√3+2）
＝2❑√3×4
=8❑√3．
25．已知x+1=❑√3，y﹣1=❑√3，试求下列代数式的值．
（1）（x﹣1）2+4（x﹣1）+4；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）先将原式利用完全平方公式化简，然后代入求解即可；
（2）将原式利用平方差化简，然后代入求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+4（x﹣1）+4
＝（x﹣1+2）2
＝（x+1）2，
∵x+1=❑√3，
∴原式＝（❑√3）2＝3；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y），
∵x=❑√3−1，y=❑√3+1，
∴原式=(❑√3−1+❑√3+1)(❑√3−1−❑√3−1)=2❑√3×(−2)=−4❑√3
【类型3 作图题篇·8题】
【必考点12 利用勾股定理构三角形】
1．在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．
（1）在图1中画出一个三条边长分别为❑√10，3，❑√13的三角形，使它的顶点都在格点上；
（2）在图2中画一个面积为5的直角三角形，使它的顶点都在格点上．
【分析】（1）❑√10是直角边分别为1，3的直角三角形的斜边；❑√13是直角边分别为2，3的直角三角
形的斜边；（2）首先根据勾股定理画出三角形，利用割补法求三角形的面积画出图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，
AB=❑√12+32=❑√10，AC＝3，BC=❑√22+32=❑√13，
∴△ABC为所求；
（2）如图所示，
∵DE2＝12+22＝5，DF2＝22+42＝20，EF2＝32+42＝25，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是直角三角形，
1 1 1
∴△DEF的面积为4×4− ×1×2− ×3×4− ×2×4=5，
2 2 2
∴△DEF为所求．
2．设正方形网格的每个小正方形的边长为1．
（1）请在图1的正方形网格中画出长度为❑√10的线段；
（2）请在图2中画出格点△ABC，使AB=2❑√2、BC=❑√13、AC=❑√17．
（3）在第（2）的条件下，请直接写出点B到AC的距离是 ．
【分析】（1）根据勾股定理作出图形即可求解；
（2）根据勾股定理作出图形即可求解；
（3）设点B到AC的距离为h，利用分割法及等面积法列出等式即可求解；【解答】解：（1）由勾股定理得：
图中线段的长度为：❑√12+32=❑√10，
如图1所示，即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2所示，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）设点B到AC的距离为h，
1 1
依题意得：S =3×4− (2×2+2×3+1×4)= ×❑√17⋅ℎ，
△ABC 2 2
10❑√17
解得：ℎ = ，
17
10❑√17
∴点B到AC的距离是 ，
17
10❑√17
故答案为： ．
17
3．图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．线段AB的端点均在格点
上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以AB为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
（2）在图②中以AB为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为1：2；（3）在图③中以AB为边画一个钝角三角形，使它的钝角为135°．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，AB可能是腰或底两种情况，考虑所做线段AC也是有小正方形
组成的矩形的斜边，点C的位置不唯一，找到一个符合条件的点C，连结AC即可．
（2）根据网格可知AB得长度为❑√10，根据直角边之比为1：2及勾股定理可知AD=❑√2，为一个小正
方形的对角线，BD=2❑√2，为边长为2两个网格的正方形的对角线，即可得出交点即为所求，
（3）以B为顶点的一个小正方形对角线得到45°，再加一个正方形的角，故点E在B为顶点的一个小正
方形对角线即为所求．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：△ABD即为所求；
（3）如图所示：△ABE即为所求；
4．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点A已在网格中标
出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．
（1）在图中画一个△ABC，使其三边长分别为AB=❑√2，AC＝2❑√2，BC=❑√10；（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC ＝ ；BC边上的高为 （直接写出结果）；
（3）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a，b及h，
1 1 1
+ =
求证： ．
a2 b2
ℎ
2
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可．
（2）过点A作AH⊥BC于H．首先证明∠BAC＝90°，再利用面积法解决问题即可．
1 1
（3）设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=❑√a2+b2，由 ab= ch，可得ab=❑√a2+b2×h，即a2b2＝
2 2
a2h2+b2h2，再变形可得结论．
【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求作．
（2）解：过点A作AH⊥BC于H．
∵AB=❑√2，AC＝2❑√2，BC=❑√10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
1 1
∴S△ABC =
2
•AB•AC =
2
×❑√2×2❑√2=2，
1
∵ •BC•AH＝2，
2
2❑√10
∴AH= ，
52❑√10
故答案为：2， ．
5
（3）证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=❑√a2+b2，
1 1
∵ ab = ch，
2 2
∴ab=❑√a2+b2×h，即a2b2＝a2h2+b2h2，
a2b2 a2
ℎ
2 b2
ℎ
2
∴ = + ，
a2b2
ℎ
2 a2b2
ℎ
2 a2b2
ℎ
2
1 1 1
+ =
∴ ．
a2 b2
ℎ
2
5．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．（要
求用无刻度直尺画图，不需要写画法）
（1）在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10；
（2）在图2中，画一个顶点都在格点上的△ABC，使它的三边长分别为AB=❑√5，BC＝5，AC=❑√10，
并计算BC边上的高为 ；（直接写出计算结果）
（3）若三角形有两条边分别为❑√5，❑√10，面积为3.5，请直接写出第三边的长度．
【分析】（1）根据要求作出正方形ABCD即可；
（2）利用勾股定理，数形结合的思想作出三角形即可；
（3）利用数形结合的思想作出三角形即可．
【解答】解：（1）如图1中，正方形ABCD即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一），设BC边上的高为h．
1 1 1
∵△ABC的面积＝3×4− ×3×4− ×1×2− ×1×3﹣1×1＝2.5，
2 2 2
1
∴ ×5×h＝2.5，
2
∴h＝1．
故答案为：1；
（3）如图3中，△ABC即为所求，第三边BC的长=❑√12+42=❑√17．
6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．
（1）如图1，直接写出AC的长为 ，△ABC的面积为 ；
（2）请在图1中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹，BD＝ ．
（3）如图2，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°．
【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，再利用割补法求出对应三角形面积计算；
（2）如图所示，取格点E，连接BE交AC于D，BD即为所求；再利用三角形面积公式求解即可；
（3）如图所示，取格点H，连接AH交BC于P，点P即为所求．
【解答】解：（1）由网格的特点和勾股定理可得AC=❑√22+52=❑√29；
1 1 1
S =4×5− ×1×4− ×2×4− ×2×5=9，
△ABC 2 2 2故答案为：❑√29；9；
（2）如图所示，取格点E，连接BE交AC于D，BD即为所求；
1
∴S = AC⋅BD=9，
△ABC 2
2×9 18❑√29
∴BD= = ；
❑√29 29
（3）如图所示，取格点H，连接AH交BC于P，点P即为所求，
易证明△BAH是等腰直角三角形，则∠BAH＝45°．
7．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在网格的格点上，且AB=❑√26，AD=❑√17
．
（1）请在图中标出点A位置，补全四边形ABCD，并求其面积；
（2）判断∠BCD是直角吗？请说明理由．
【分析】（1）由AB=❑√26，AD=❑√17，利用勾股定理以及网格特点即可确定A点位置，从而补齐四边形ABCD；根据四边形ABCD的面积等于正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积以及梯形的面
积，即可求解；
（2）利用勾股定理求出BC2，CD2，BD2，根据勾股定理的逆定理得出∠BCD＝90°．
【解答】解：（1）如图所示：
1 1 1 1
S四边形ABCD ＝5×5−
2
×5×1−
2
×4×2−
2
×4×1−
2
×（1+3）×1
＝25﹣2.5﹣4﹣2﹣2
＝14.5；
（2）是，理由：
∵BC2＝42+22＝20，CD2＝12+22＝5，BD2＝42+32＝25，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
8．如图，每个小正方形的边长都是1，请按下列要求作图．
（1）在图1中，作出三角形，使它的三边长分别为❑√5、❑√29、4❑√2；
（2）在图2中，画△ABC的角平分线BF；
（3）在图2中，点M在BC上，在AB上找点N，使BN＝BM；
（4）在图3中，过点M画线段MH，使MH⊥AC．【分析】（1）根据格点与勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理可得△ABC是直角三角形，根据角平分线的性质定理即可求解；
（3）以点B为圆心，以BM为半径画弧交AB于点N，即可求解；
（4）过点M作MH∥AB，交AC于点H，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
∵MN=❑√12+22=❑√5，NP=❑√22+52=❑√29，MP=❑√42+42=4❑√2，
∴△MNP是所求图形；
（2）解：∵AB=❑√32+32=3❑√2，BC=❑√12+72=5❑√2，AC=❑√42+42=4❑√2，
∴AB2＝18，BC2＝50，AC2＝32，
∴AB2+AC2＝BC2，即△ABC是直角三角形，
根据角平分线的线到角两边的距离相等，作图如下，
∴线段BF即为所求线段；
（3）如图所示，∴点N即为所求点的位置；
（4）如果所示，
∴点H即为所求点的位置．
【类型4 中档题篇·30题】
【必考点13 化简含字母的二次根式】
√ 1
1．把−a❑− 中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
a
A．❑√−a B．−❑√a C．−❑√−a D．❑√a
【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解．
1
【解答】解：根据被开方数非负数得，− ＞0，
a
解得a＜0，
√ 1 √ 1
﹣a❑− =❑− ×(−a) 2=❑√−a．
a a
故选：A．
1
2．化简二次根式
❑√−x3
的正确结果是（ ）
x
A．❑√−x B．❑√x C．−❑√x D．−❑√−x
【分析】根据分母不等于0和被开方数大于等于0，得到x是负数，然后化简即可．
【解答】解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，∴x＜0，
1
∴原式= ❑√x2 ⋅(−x)
x
1
= •|x|❑√−x
x
1
= •（﹣x）❑√−x
x
=−❑√−x．
故选：D．
√ 1
3．把(1−x)❑ 根号外面的因式移到根号内得（ ）
x−1
A．❑√1−x B．❑√x−1 C．−❑√1−x D．−❑√x−1
【分析】根据二次根式有意义，可知x﹣1＞0，则1﹣x＜0，再根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1＞0，则1﹣x＜0，
√ 1
∴原式＝﹣（x﹣1）❑
x−1
√ 1
=−❑√(x−1) 2 ⋅❑
x−1
√ 1
=−❑(x−1) 2 ⋅ =−❑√x−1．
x−1
故选：D．
【必考点14 根据赵爽弦图求值】
4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（
）
A．7 B．8 C．9 D．10
1
【分析】根据大正方形的面积＝4× ab+(a−b) 2=a2+b2，结合ab＝24即可求解
2【解答】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴小正方形的边长为a﹣b，
∵大正方形的面积为129，
∴a2+b2＝129，
1
∵大正方形的面积＝4× ab+(a−b) 2 ，
2
1
∴4× ab+(a−b) 2=129，
2
∴（a﹣b）2＝129﹣2ab＝129﹣2×24＝81，
∵a﹣b＞0，
∴a﹣b＝9，
即小正方形的边长为9．
故选：C．
5．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的
直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是 13，小正方形
的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．169 B．25 C．19 D．13
【分析】根据大正方形的面积即可求得 c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的
面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：如图，∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是（13﹣1）÷4＝3，
1
又∵直角三角形的面积是 ab＝3，
2
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故选：B．6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小
正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝
2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE=❑√4=2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
1
列出等式为4× ×xy+4＝49，
2
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．【必考点15 利用勾股定理求面积】
7．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正
方形的面积依次是S ，S ，S ，S ，则S +2S +2S +S ＝（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用正方形的性质，易证△ACB≌△BDE（AAS），得到BC＝ED，再利用勾股定理，得到
S +S ＝1，同理可得，S +S ＝2，S +S ＝3，即可得到答案．
1 2 2 3 3 4
【解答】解：由正方形的性质可知，AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
{∠ACB=∠BDE
)
∠BAC=∠EBD ，
AB=BE
∴△ACB≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S +S ，
1 2
∴S +S ＝1，
1 2
同理可得，S +S ＝2，S +S ＝3，
2 3 3 4
∴S +2S +2S +S ＝1+2+3＝6，
1 2 3 4
故选：A．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若
S +S ＝100，S ﹣S ＝28，则S ＝（ ）
1 4 2 3 2A．128 B．72 C．64 D．59
【分析】连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：S ＝AB2，S ＝BC2，S ＝CD2，S ＝AD2，
1 2 3 4
如图，连接BD，在Rt△ABD和Rt△BCD中，
BD2＝AB2+AD2＝CD2+BC2，
即S +S ＝S +S ，
1 4 3 2
∵S ﹣S ＝28，
2 3
∴2S ＝100+28，
2
∴S ＝64，
2
故选：C．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，
已知S甲 ＝8，S乙 ＝6，S丙 ＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．11 C．17 D．22
【分析】由图形得到S△ABC ＝S△ABD ﹣S丙 ﹣（S△ACE ﹣S甲 ）﹣（S△BCF ﹣S乙 ），设直角三角形的三边长为
❑√3
a、b、c，由等边三角形面积公式 边长2代入求解即可．
4
【解答】解：由图可知：S△ABC ＝S△ABD ﹣S丙 ﹣（S△ACE ﹣S甲 ）﹣（S△BCF ﹣S乙 ），
过点D作DH⊥AB于点H，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
1 ❑√3
∴AH= AB，DH= AB，
2 2
1 1 ❑√3 ❑√3
∴S = AB⋅DH= AB⋅ AB= AB2 ，
△ABD 2 2 2 4
❑√3 ❑√3
同理可得S = AC2，S = BC2 ，
△ACE 4 △BCF 4
❑√3 ❑√3 ❑√3
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则有a2+b2＝c2，S = c2，S = b2，S = a2 ，
△ABD 4 △ACE 4 △BCF 4
❑√3 ❑√3 ❑√3
∴S = c2−3−( b2−8)−( a2−6)=11；
△ABC 4 4 4
故选：B．
【必考点16 勾股定理与网格】
10．如图，△ABD和△ABC的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【分析】延长BA到E，连接CE，先利用勾股定理的逆定理证明△AEC是直角三角形，从而可得∠AEC
＝90°，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得∠EAC＝∠ECA＝45°，最后利用邻补角互补即
可得出答案．
【解答】解：如图，延长BA到点E，连接CE，由图可知，CE2＝12+22＝5，AE2＝22+12＝5，AC2＝12+32＝10，
∵5+5＝10，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠AEC＝90°，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
1
∴∠EAC=∠ECA= (180°−∠AEC)=45°，
2
∴∠BAC＝180°﹣∠EAC＝135°，
故选：B．
11．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C、D四点均在格
点上，则∠ABC+∠ADC的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】取格点E，可证△ABC≌△DAE（SAS），得到∠ABC＝∠DAE，又由等腰直角三角形可得
∠DCE＝45°，即得∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝45°，进而即可求解．
【解答】解：如图，取格点E，
由条件可知△ABC≌△DAE（SAS），
∴∠ABC＝∠DAE，∵DE＝CE，∠CED＝90°，
∴∠DCE＝45°．
∴∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝45°，
∴∠ABC+∠ADC＝45°，
故选：C．
12．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，
则AD的长为（ ）
14❑√10 14❑√10 7❑√10 7❑√10
A． B． C． D．
30 10 20 10
【分析】根据题意利用割补法求得△ABC的面积，利用勾股定理算出BC的长，再利用等面积法即可求
得AD的长．
【解答】解：由题可得：
1 1 1 7
S△ABC=3×3−1×3× −2×3× −1×2× = ，
2 2 2 2
BC=❑√12+32=❑√10，
1 7
∴AD×❑√10× = ，
2 2
7❑√10
解得：AD= ，
10
故选：D．
【必考点17 规律问题】
13．小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等
√ 1 √1 √ 2 √2 √ 3 √ 3 √ 4 √ 4
式 如 下 ❑1− =❑ ； ❑2− =2❑ ， ❑3− =3❑ ； ❑4− =4❑ ；
2 2 5 5 10 10 17 17
√ a √13
⋯若❑a− =13❑ (a，b均为正整数），则（a2﹣b）2024的值为（ ）
170 bA．2024 B．﹣1 C．1572024 D．1
【分析】观察规律求出a，b的值，再代入计算即可．
√ a √13
【解答】解：观察规律可得，若❑a− =13❑ (a，b均为正整数），则a＝13，b＝170，
170 b
∴（a2﹣b）2024＝（132﹣170）2024＝（169﹣170）2024＝（﹣1）2024＝1；
故选：D．
14 ． 通 过 “ 由 特 殊 到 一 般 ” 的 方 法 探 究 下 面 二 次 根 式 的 运 算 规 律 ： 特 例 1 ：
√ 1 √3+1 √ 1 √1 √ 1 √8+1 √ 1 √1
❑1+ =❑ =❑4× =2❑ ； 特 例 2 ： ❑2+ =❑ =❑9× =3❑ ； 特 例 3 ：
3 3 3 3 4 4 4 4
√ 1 √15+1 √ 1 √1 √ 1
❑3+ =❑ =❑16× =4❑ ⋯⋯应 用 发 现 的 运 算 规 律 求 值 ❑2022+ ×❑√4048=
5 5 5 5 2024
2023❑√2 ．
√ 1 √ 1
【分析】根据题意找到规律❑n+ =(n+1)❑ ，据此规律代值计算即可．
n+2 n+2
√ 1 √3+1 √ 1 √1
【解答】解：特例1：❑1+ =❑ =❑4× =2❑ ；
3 3 3 3
√ 1 √8+1 √ 1 √1
特例2：❑2+ =❑ =❑9× =3❑ ；
4 4 4 4
√ 1 √15+1 √ 1 √1
特例3：❑3+ =❑ =❑16× =4❑ ；
5 5 5 5
……，
√ 1 √ 1
以此类推，可知❑n+ =(n+1)❑ ，
n+2 n+2
√ 1 √ 1
∴❑2022+ ×❑√4048=(2022+1)❑ ×❑√4048=2023❑√2，
2024 2022+2
故答案为：2023❑√2．
15．如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解题，
❑√1
(❑√1) 2+1=2，S = ；
1 2
❑√2
(❑√2) 2+1=3，S = ；
2 2
❑√3
(❑√3) 2+1=4，S = ；
3 2
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述各式的变化规律；（2）求OA 的长；
2024
（3）求s2+s2+s2+⋯+s2 的值．
1 2 3 100
【分析】（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就
是❑√n，然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA =❑√1，OA =❑√2，OA =❑√3，即可得OA ；
1 2 3 2024
（3）s2+s2+s2+⋯+s2 的值就是把面积的平方相加就可．
1 2 3 100
【解答】解：（1）由题意可知，(❑√n) 2+1=n+1，
❑√n
∴S = （n是正整数）．
n 2
（2）∵OA2=1，
1
OA2=(❑√1) 2+1=2，
2
OA2=(❑√2) 2+1=3，
3
OA2=(❑√3) 2+1=4，
4
∴OA =❑√1，
1
OA =❑√2，
2
OA =❑√3，
3
OA =❑√4，
4∴OA =❑√n，
n
∴OA =❑√2024=2❑√506，
2024
n
（3）由题可知，S2=
，
n 4
∴s2+s2+s2+⋯+s2
1 2 3 100
1 2 3 100
= + + +⋯+
4 4 4 4
1+2+3+⋯+100
=
4
5050
=
4
2525
= ．
2
【必考点18 求立体图形的最短路径问题】
16．如图，长方体的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么
它爬行的最短路程为 cm．
【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即
可．
【解答】解：如图，
（1）AB=❑√62+(6+9) 2=❑√261=3❑√29；
（2）AB=❑√(6+6) 2+92=15，
由于15＜3❑√29；
则蚂蚁爬行的最短路程为15cm．故答案为：15．
17．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部
6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B
处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作 A关于EF
的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数
据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了．
【解答】解：如图：∵高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此
时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，
∴底部7厘米，所以AE＝9cm，BD＝9+1＝10厘米，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=❑√A′D2+BD2=❑√42+102=2❑√29（cm）．
故答案为：2❑√29．18．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B在棱CD上，CB＝5cm．一只蚂蚁要沿长方
体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程为 cm．
【分析】将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可．
【解答】解：将长方体按下列三种方案展开：
如图3，一直角边为10cm，另外一条直角边为20+5＝25（cm），
根据勾股定理得AB=❑√102+252=❑√725（cm）．
如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为10+5＝15（cm），
根据勾股定理得AB=❑√202+152=25（cm）．
如图5，AC＝20+10＝30（cm），BC＝5cm，
根据勾股定理得AB=❑√302+52=❑√925（cm）．
因为25＜❑√725＜❑√925，
所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是25cm，
故答案为：25．【必考点19 勾股定理逆定理的应用】
19．如图，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝3，AD=❑√17，∠B＝90°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利
用勾股定理的逆定理判断得到三角形 ACD为直角三角形，再由等腰直角三角形的性质，根据∠BCD＝
∠ACB+∠ACD即可求出；
（2）四边形ABCD面积＝三角形ABC面积+三角形ACD面积，求出即可．
【解答】解：（1）连接AC，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝2，
根据勾股定理得：AC=❑√AB2+BC2=2❑√2，∠ACB＝45°，
∵CD＝3，AD=❑√17，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，则∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°；
1 1
（2）根据题意得：S =S +S = ×2×2+ ×2❑√2×3=2+3❑√2．
四 边 形ABC△DABC △ACD 2 2
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝2
❑√5，BD＝4❑√5．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求DE的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理求出△ABD是直角三角形；
（2）由三角形的面积即可求出DE的长．
【解答】解：（1）△ABD是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
∵AD2+BD2＝（2❑√5）2+（4❑√5）2＝100＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
（2）∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
1 1
∴△ABD的面积= AB•DE= AD•BD，
2 2
AD⋅BD 2❑√5×4❑√5
∴DE= = =4．
AB 10
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6．
（1）求证：∠CDB＝90°；
（2）求AC的长．【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，再结合勾股定理得出AC的长，即可得
出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝10，CD＝8，BD＝6，
∴BD2+DC2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB＝90°；
（2）∵AB＝AC，
∴设AC＝x，则AD＝x﹣6，
∴x2＝（x﹣6）2+82，
25
解得：x= ，
3
25
故AB＝AC= ．
3
【必考点20 勾股定理的实际应用】
22．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从 C移动到
E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）在（1）的条件下，此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从
A处移动到岸边点F的位置？
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，∴AC=❑√242+72=25（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=❑√CF2+BF2=❑√72+62=❑√85（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25−❑√85）米，
答：此人需向右移动的距离为（25−❑√85）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
18
∴收绳时间 =36＞30，
0.5
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
23．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，
B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，
半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，
请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；利用勾股定理得出CD以及CF
的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√3002+4002=500（km），
答：监测点A与监测点B之间的距离为500km；
（2）海港C受台风影响，
理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，1 1
∴S△ABC =
2
AC•BC =
2
CE•AB，
∴300×400＝500CE，
∴CE＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C会受到此次台风的影响．
以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F，
则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口，
在Rt△CDE中，
∵ED=❑√CD2−CE2=❑√2602−2402=100（km），
∴DF＝200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷25＝8（小时）．
答：海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时．
24．校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某校八年级数学活动小组设计了如下
检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD
与l垂直，测得CD长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）；
（2）已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说
明理由．
【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即
可求得BC与BD的长，从而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与30千米/小时的大小，即可确定这辆校车
是否超速．
【解答】解：（1）由题意得，∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，
∴AB＝BC，BC＝2BD，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，BD2+CD2＝BC2，即BD2+152＝（2BD）2，
解得BD=5❑√3，BC=10❑√3，
∴AB=10❑√3≈17.3（米），
即AB的长为17.3米；
（2）超速了，理由如下：
∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为17.3÷2＝8.65（米/秒），
25
∵30千米/小时= 米/秒＜8.65（米/秒），
3
∴这辆校车在本路段超速了．
25．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小
亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离
BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身
高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM=❑√DM2+BD2=❑√82+152=17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
26．综合与实践问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙
上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那
么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出
BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙
1
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提
5
下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
【分析】（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离
线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为
252﹣72＝242，所以梯子顶端到地为24米；
（2）求出BB'的长度即可；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24.3比较即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√252−72=24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m．
（2）云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20m．
在Rt△A′CB′中，∴B′C=❑√A′B′2−A′C2=❑√252−202=15m，
∴BB′＝CB′﹣BC＝15﹣7＝8m．
1
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ，
5
√ 1 2
则能够到达墙面的最大高度为❑252−( ×25) =❑√600m．
5
∵24.32＝590.49＜600，
∴24.3＜❑√600，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【必考点21 二次根式相关阅读材料题】
27．阅读材料：像(2−❑√3)(2+❑√3)=1，……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，
我们称这两个代数式互为有理化因式．例如❑√5与❑√5，❑√2+1与❑√2−1，2❑√3+❑√6与2❑√3−❑√6等都是
互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
1 ❑√2 ❑√2 7 7(2❑√3−❑√5)
例如： = = ； = =2❑√3−❑√5．
3❑√2 3❑√2×❑√2 6 2❑√3+❑√5 (2❑√3+❑√5)(2❑√3−❑√5)
解答下列问题：
（1）3−❑√5与 互为有理化因式；
6 ❑√2
（2）计算： − ；
❑√3 ❑√6+2
a b
（3）已知有理数a，b满足 − =3−❑√2，求a，b的值．
❑√2−1 ❑√2
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）∵(3−❑√5)×(3+❑√5)=9−5=4，
∴3−❑√5与3+❑√5互为有理化因式，
故答案为：3+❑√5；
6 ❑√2
（2） −
❑√3 ❑√6+26❑√3 ❑√2(❑√6−2)
= −
❑√3×❑√3 (❑√6+2)(❑√6−2)
6❑√3 2❑√3−2❑√2
= −
3 2
=2❑√3−❑√3+❑√2
=❑√3+❑√2；
a b
（3）∵ −
❑√2−1 ❑√2
a(❑√2+1) b❑√2
= −
(❑√2−1)(❑√2+1) 2
b❑√2
=❑√2a+a−
2
b
＝a+（a− ）❑√2
2
＝3−❑√2，
b
∴a＝3，a− =−1，
2
∴a＝3，b＝8．
1
28．在课外学习活动中，小明遇到一道题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．
2+❑√3
1 2−❑√3
他是这样解答的：a= = =2−❑√3，所以a−2=−❑√3．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
小明的解题过程运用了二次根式化简的方法和整体思想，请你参考他的解题过程，解决如下问题：
2
（1） = ；
❑√5−❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋅⋅⋅+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√2022+❑√2021
1
（3）若a= ，求a4﹣4a3﹣4a+4的值．
❑√5−2
【分析】（1）根据已知材料的方法分母有理化即可；（2）将每个加数分母有理化，再合并即可；
（3）仿照材料的方法解答即可．
2 2(❑√5+❑√3) 2(❑√5+❑√3)
【解答】解：（1） = = =❑√5+❑√3，
❑√5−❑√3 (❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3) 5−3
故答案为：❑√5+❑√3；
1 1 1 1
（2） + + +⋅⋅⋅+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√2022+❑√2021
1×(❑√2−1) 1×(❑√3−❑√2) 1×(2−❑√3) 1×(❑√2022−❑√2021)
= + + +⋅⋅⋅+
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (2+❑√3)(2−❑√3) (❑√2022+❑√2021)(❑√2022−❑√2021)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+2−❑√3+⋅⋅⋅+❑√2022−❑√2021
=❑√2022−1；
1 1×(❑√5+2)
（3）∵a= = =❑√5+2，
❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2)
∴a−2=❑√5，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a＝1，
∴a4﹣4a3﹣4a+4
＝（a2﹣4a）2+4a3﹣16a2﹣4a+4
＝1+4a3﹣16a2﹣4a+4
＝4a（a2﹣4a）﹣4a+5
＝4a﹣4a+5
＝5．
29 ． 定 义 ： 我 们 将 (❑√a+❑√b)与 (❑√a−❑√b)称 为 一 对 “ 对 偶 式 ” ． 因 为
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2−(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对
偶式”来解决．
例如：已知❑√12−x−❑√8−x=2，求❑√12−x+❑√8−x的值，可以这样解答：
因为(❑√12−x−❑√8−x)×(❑√12−x+❑√8−x)=(❑√12−x) 2 −(❑√8−x) 2=12−x−8+x=4，
所以❑√12−x+❑√8−x=2．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：（1）已知：❑√18−x+❑√6−x=6，则❑√18−x−❑√6−x= ；
1
（2）化简： = ；
❑√5+❑√3
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ ．
❑√1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
【分析】（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；
（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ∵
(❑√18−x+❑√6−x)×(❑√18−x−❑√6−x)=(❑√18−x) 2 −(❑√6−x) 2=18−x−6+x=12，
∴❑√18−x−❑√6−x=2．
故答案为：2；
❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
（2）原式= = ，
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2
❑√5−❑√3
故答案为： ；
2
（ 3 ） 原 式
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 ❑√2025−1
= + + +⋯+ = =
(❑√3−1)(❑√3+1) (❑√5−❑√3)(❑√5+❑√5) (❑√7−❑√5)(❑√7+❑√5) (❑√2025−❑√2023)(❑√2025+❑√2023) 2
22．
30．阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10这样，我们不用求出a，b，就可以得到最
后的结果．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
（1）计算： + = ．
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2＝2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
（3）已知❑√21+x2−❑√17−x2=4，求❑√21+x2+❑√17−x2的值．
【分析】（1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；（2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出a+b，ab，从而求出a2+b2，
然后根据3a2+1711ab+3b2＝2005列出关于m的方程，解方程即可；
（3）设❑√21+x2=a，❑√17−x2=b，根据已知条件求出a﹣b，再求出ab，然后利用完全平方公式求出
a2+b2，最后根据完全平方公式求出a+b即可．
(❑√7+❑√6) 2 (❑√7−❑√6) 2
【解答】解：（1）原式= +
(❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6) (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6)
7+6+2❑√42 7+6−2❑√42
= +
7−6 7−6
=13+2❑√42+13−2❑√42
＝26；
❑√m+1−❑√m
（2）a=
❑√m+1+❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2
=
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
m+1+m−2❑√m+1⋅❑√m
=
m+1−m
=2m+1−2❑√m+1⋅❑√m，
❑√m+1+❑√m
b=
❑√m+1−❑√m
(❑√m+1+❑√m) 2
=
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
m+1+m+2❑√m+1⋅❑√m
=
m+1−m
=2m+1+2❑√m+1⋅❑√m，
∴a+b=2m+1−2❑√m+1⋅❑√m+2m+1+2❑√m+1⋅❑√m=4m+2，
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
ab= ⋅ =1，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（4m+2）2﹣2×1
＝16m2+16m+4﹣2＝16m2+16m+2，
∵3a2+1711ab+3b2＝2005，
∴3a2+3b2+1711ab＝2005，
3（a2+b2）+1711ab＝2005，
3[（4m+2）2﹣2]+1711×1＝2005，
3（4m+2）2﹣6+1711＝2005，
3（4m+2）2＝300，
（4m+2）2＝100，
4m+2＝±10，
解得：m＝2或﹣3（舍去）；
（3）设❑√21+x2=a，❑√17−x2=b，
∵❑√21+x2−❑√17−x2=4，
∴a﹣b＝4，
∵(❑√21+x2−❑√17−x2
)
2=42，
21+x2+17−x2−2❑√21−x2 ⋅❑√17−x2=16，
−2❑√21−x2 ⋅❑√17−x2=−22，
❑√21−x2 ⋅❑√17−x2=11，
∴ab＝11，
∴a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝42+2×11
＝16+22
＝38，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝38+2×11
＝38+22＝60，
∴a+b=±❑√60，
∵❑√21+x2≥0，❑√17−x2≥0，
∴❑√21+x2+❑√17−x2=❑√60=2❑√15．
【类型5 压轴题篇·20题】
【必考点22 几何求最值问题】
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的横坐标为3，且∠AOB＝
1
30°，C点坐标为( ，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
2
❑√13 ❑√31 3+❑√19
A． B． C． D．2❑√7
2 2 2
【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时
PA+PC的值最小，求出AM，进而得到AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD即可．
【解答】解：如图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵PA＝PD，
∴PA+PC＝PD+PC＝CD，
∵顶点B的横坐标为3，
∴OA＝3，
∵在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB，∠B＝60°，设AB＝x，则OB＝2x，
在Rt△OAB中，根据勾股定理得：OB2﹣AB2＝OA2，即（2x）2﹣x2＝32，
解得：x=❑√3（负值已舍去），
则AB=❑√3，OB=2❑√3，
1 1
由三角形的面积公式得： OA⋅AB= OB⋅AM，
2 2
1 1
即 ×3×❑√3= ×2❑√3⋅AM，
2 2
3
∴AM= ，
2
3
∴AD=2AM=2× =3，
2
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
1 3 √ 3 2 3
∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN=❑√AD2−AN2=❑32−( ) = ❑√3，
2 2 2 2
1
∵C点坐标为( ，0)，
2
1 3
∴CN=OA−OC−AN=3− − =1，
2 2
√ 3 ❑√31
在Rt△DNC中，由勾股定理得：CD=❑√CN2+DN2=❑12+( ❑√3)= ，
2 2
❑√31
即PA+PC的最小值为 ，
2
故选：B．
2．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（16，0），OC＝20，且点C的纵坐标为5，P为线段OC上一
动点，连接AP、PB；则PA+PB的最小值为（ ）A．❑√219 B．❑√239 C．16 D．❑√229
【分析】作点B关于OC的对称点B′，连接BB′交OC于点E，过点B′作B′D⊥x轴于点D，过点
C作CF⊥x轴于点F，利用等面积法得到BE＝4，然后求出BB′＝8，设OD＝x，则BD＝16﹣x，利用
勾股定理求出OD＝14，AB′=❑√229，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，作点B关于OC的对称点B′，连接BB′交OC于点E，过点B′作B′D⊥x
轴于点D，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴PA+PB＝PA+PB′≤AB′，
∴当A，P，B′三点共线时，PA+PB有最小值，即AB′的长度，
∵点C的纵坐标为5，
∴CF＝5，B（16，0），
1 1 1 1
∴S = OB⋅CF= OC⋅BE，即 ×16×5= ×20BE，
△OBC 2 2 2 2
解得BE＝4，
∵点B关于OC的对称点B′，
∴B′E＝BE＝4，OB′＝OB＝16，
∴BB′＝8，
∴设OD＝x，则BD＝16﹣x，
∵B′D⊥x，
∴OB′2﹣OD2＝BB′2﹣BD2＝B′D2，
∴162﹣x2＝82﹣（16﹣x）2，
解得x＝14，
∴OD＝14，
∴B′D2＝AB′2﹣OD2＝60，
∴AD＝OD﹣OA＝13，∴AB′=❑√AD2+B′D2=❑√229．
∴PA+PB的最小值为❑√229．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，以BC为斜边在BC上方作等腰直角△BDC，连接AD，则AD的
最大值为 ．
【分析】以AD为直角边构造等腰直角三角形ADE，∠ADE＝90°，连接BE，证明△DAC≌△DEB，得
到BE＝AC＝3，根据AE≤BE+AB，求出AE的最大值，进而得到AD的最大值即可．
【解答】解：以AD为直角边构造等腰直角三角形ADE，∠ADE＝90°，AD＝DE，连接BE，
∵以BC为斜边在BC上方作等腰直角△BDC，
∴CD＝BD，∠CDB＝90°＝∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADB，
又∵CD＝BD，AD＝DE，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
∴AE≤BE+AB＝8，
∴AE的最大值为8，
∵AE=❑√AD2+DE2=❑√2AD，
∴AD的最大值为4❑√2；
故答案为：4❑√2．
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝75°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则❑√3
BP+CP的最小值是 ．
2
❑√3
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE= BP，继而证明当C、P、E三点共线，且
2
❑√3
CE⊥AB时， BP+PC=PE+PC的值最小为CE．由等腰三角形腰上的高相等，解出BD的长，即
2
为CE的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝60°．
❑√3
过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE= BP．
2
❑√3
∴ BP+PC=PE+PC．
2
❑√3
当C、P、E三点共线，且CE⊥AB时， BP+PC=PE+PC的值最小为CE．
2
∵△ABC中，AB＝AC＝8，BD⊥AC，CE⊥AB，
由等腰三角形腰上的高相等，
∴BD＝CE，
1
在Rt△ABD中，BD= AB=4．
2❑√3
故 BP+PC=PE+PC=CE=4．
2
故答案为：4．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE＝BD，
连接AE、CD，则AE+CD的最小值为 ．
【分析】过点C作CN∥AB且使CN＝BC，连接EN，AN，证明△CEN≌△BDC（SAS）得EN＝DC，进
而可得AE+CD＝AE+EN，再由两点之间线段最短可得：AE+EN≥AN，所以当点E在AN上时，AE+EN
有最小值，即AE+CD有最小值为AN，利用勾股定理计算即可．
【解答】解：过点C作CN∥AB且使CN＝BC，连接EN，AN，
∵CN∥AB，
∴∠ECN＝∠ABC，ACN＝180°﹣∠BAC＝90°，
在△CEN和△BDC中，
{
EC=BD
)
∠ECN=∠DBC ，
CN=BC
∴△CEN≌△BDC（SAS），
∴EN＝DC，
∴AE+CD＝AE+EN，
由两点之间线段最短可得：AE+EN≥AN，
当点E在AN上时，AE+EN有最小值，即AE+CD有最小值为AN，
∵AC＝6，BC＝CN＝10，
∴Rt△ACN中，AN=❑√AC2+CN2=❑√62+102=2❑√34，
∴AE+CD最小值为：2❑√34．
故答案为：2❑√34．【必考点23 几何多结论问题】
6．在 Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边
❑√2 1
AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=
2
AB，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDF =
2
S△ABC ，
④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE＝CF，进而
得出CE＝BF，就有AE+BF＝AC，由勾股定理就可以求出结论．
【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，
1
∴AD＝CD＝BD= AB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．
2
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，
∴∠ADE＝CDF．
{
∠A=∠DCB
)
在△ADE和△CDF中， AD=CD ，
∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE ＝S△CDF ．
∵AC＝BC，
∴AC﹣AE＝BC﹣CF，∴CE＝BF．
∵AC＝AE+CE，
∴AC＝AE+BF．
∵AC2+BC2＝AB2，
❑√2
∴AC= AB，
2
❑√2
∴AE+BF= AB．
2
∵DE＝DF，∠GDH＝90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE2+CF2＝EF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
∵S四边形CEDF ＝S△EDC +S△EDF ，
1
∴S四边形CEDF ＝S△EDC +S△ADE =
2
S△ABC ．
∴正确的有①②③④．
故选D．
7．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，AC＝BC，EC＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边
DE上．下列结论：①∠ACD＝∠ABD；②AC2+AD2＝CD2；③AD+BD=❑√2CD；④BC2﹣AE2＝
AD2﹣AC2．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据SAS证明△ACE≌△BCD得∠CDB＝∠E＝45°，AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，结合三角形
外角的性质可判断①；根据勾股定理逆定理可判断②；根据AD+BD＝AD+AE＝DE可判断③；根据勾股定理可判断④．
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠CDE＝∠ABC＝45°，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即：∠ECA＝∠DCB，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CDB＝∠E＝45°，AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACD＝∠CAE﹣∠CDE，∠ABD＝∠CBD﹣∠ABC
∴∠ACD＝∠ABD，故①正确；
若AC2+AD2＝CD2，则∠CAD＝90°，而∠CAD＝90°不一定成立，故②不正确；
AD+BD=AD+AE=DE=❑√2CD，故③正确；
∵∠CDE＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°．
∵BC2+AC2＝AB2，AD2+AE2＝AD2+BD2＝AB2，
∴BC2+AC2＝AD2+AE2，
∴BC2﹣AE2＝AD2﹣AC2，故④正确．
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为
E，F，连接EM．则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CE=❑√2ME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=❑√2：1；
正确的有 ．（只填序号）
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF
为等腰直角三角形，得到EF=❑√2EM，可判断③，同时得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；再证明△DFM≌ONEM，得到ODMN为等腰直角三角形，得到DN=❑√2 DM，可判断④；根据角平分线的
定 义 可 逐 步 推 断 出 DE ＝ EM ， 再 证 明 △ ADE≌ △ ACE ， 得 到 DE ＝ CE ， 则 有
EF EF EF ❑√2EM
= = = =❑√2．
BF CE DE DE
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE （AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
1
∴CM= AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
2
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM （SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF=❑√2EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM （ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN=❑√2DM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN＝2DM2，故④正确；
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，
∵∠DEM＝45°，
∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，
∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADE≌△ACE （ASA），
∴DE＝CE，
∴△MEF为等腰直角三角形，
∴EF=❑√2EM，
EF EF EF ❑√2EM
∴ = = = =❑√2，故⑤正确．
BF CE DE DE
故答案为：①②③④⑤．
【必考点24 构造辅助线求线段长】
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若AD＝4，CD＝2，则BD的长为（ ）
A．6 B．2❑√7 C．5 D．2❑√5【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，
根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴∠BAC＝∠DAD'＝90°，AC＝AB，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
{
BA=CA
)
∠BAD=∠CAD′ ，
AD=AD′
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′，
∵AD＝AD'＝4，∠DAD'＝90°，
∴DD'=❑√AD❑ 2+D′ A❑ 2=❑√16+16=4❑√2，∠ADD'＝45°，且∠ADC＝45°
∴∠D'DC＝90°，
∴CD'=❑√CD❑ 2+D′D❑ 2=❑√32+4=6，
∴BD＝6
故选：A．
10．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE
于M，QN⊥GF于N，EF=4❑√3，则QM+QN的长是（ ）A．4❑√3 B．3❑√2 C．4 D．2❑√3
【分析】连接QG．解直角三角形求出DF，再证明QM+QN＝DF，即可解决问题．
【解答】解：连接QG．
∵DG：GE＝1：3，
∴可以假设DG＝k，EG＝3k，
∵GF＝EG，∠D＝90°，
∴FG＝3k，DF=❑√FG2−DG2=2❑√2k，
∵EF＝4❑√3，EF2＝DE2+DF2，
∴48＝16k2+8k2，
∴k=❑√2或−❑√2（舍弃），
∴DF＝4，
1 1 1
∵S△EFG =
2
•EG•DF =
2
•EG•QM +
2
•GF•QN，
∴QM+QN＝DF＝4，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，CF=❑√7，则EF＝（ ）A．4 B．2❑√3 C．3❑√2 D．2❑√5
【分析】如图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 BG，EG，证明△BDG≌△CDF（SAS），则
BG=CF=❑√7，∠BGD＝∠CFD，由四边形内角和，邻补角可求∠EBG＝90°，由勾股定理得，
EG=❑√BE2+BG2=4，证明△EDG≌△EDF（SAS），则EF＝EG，然后作答即可．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接BG，EG，
∵DG＝DF，∠BDG＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG=CF=❑√7，∠BGD＝∠CFD，
∵∠AED+∠AFD＝360°﹣∠BAC﹣∠EDF＝180°，∠CFD＝180°﹣∠AFD，∠BED＝180°﹣∠AED，
∴∠BED+∠BGD＝180°，
∴∠EBG+∠EDG＝360°﹣（∠BED+∠BGD）＝180°，
∵∠EDG＝90°，
∴∠EBG＝90°，
由勾股定理得，EG=❑√BE2+BG2=4，
∵ED＝ED，∠EDG＝∠EDF＝90°，DG＝DF，
∴△EDG≌△EDF（SAS），
∴EF＝EG＝4，
故选：A．
12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC=❑√14，则CD的长为（
）A．4 B．2❑√7 C．5 D．❑√10
【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EF⊥CD于F，则AC＝AE=❑√14，
结合旋转的性质求得∠ADE+∠ADC＝240°，在Rt△EDF中，∠DEF＝30°，然后利用含30°角的直角三
角形性质及勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90度，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长
线于点F，
根据旋转可知：AE＝AC=❑√14，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
根据四边形ABCD的内角和＝360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC+∠ADC＝240°，
∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
在Rt△EDF中，DE＝2，
∴DF＝1，EF=❑√3，
在Rt△AEC中，CE=❑√2AC＝2❑√7
∴CF=❑√CE2−EF2=❑√28−3=5，∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．
故选：A．
13．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝45°，BC＝1，AB=❑√5，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则CE的长为 4 ．
【分析】首先根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，然后根据全等三角形的性质得到△BAD是等腰直角
三角形，进而可求出BD的长度，然后根据勾股定理求出CE的长度，即可求出CE的长度．
【解答】解：连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，则△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，DE＝BC＝1，
∵C，D，E三点恰好在同一条直线上，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴△BAD是等腰直角三角形，
∴BD=❑√AB2+AD2=❑√2AB=❑√10，
∵∠ACB＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴CD=❑√BD2−BC2=3，
∴CE＝CD+DE＝4．
故答案为：4．【必考点25 勾股定理与几何综合题】
14．已知，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD＝
AE．
（1）如图1，AB⊥AC，AD⊥AE，连接CE，求证：BC⊥CE；
（2）如图2，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=2❑√2，取AC边中点F，连接EF．当D点从B点运动到
C点过程中，求线段EF长度的最小值；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，DC＝1，连接AC，已知AC=4❑√2
，求AB的长．
【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，结合全等三角形的性质可得∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝
90°，即可证明结论；
（2）取AB中点G，连接DG、CE，结合全等三角形的性质易得GD＝EF，由“垂线段最短”的性质可
知当DG⊥BC时，DG最短，即此时EF最短，证明△BDG为等腰直角三角形，在Rt△BDG中，设BD
＝DG＝x，利用勾股定理列方程并解得x的值，即可获得答案；
（3）过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥BC交CB于点F，证明△ABE≌△ACD，
由全等三角形的性质可得AE=AC=4❑√2，BE=CD=1，进而证明△AEF为等腰直角三角形，在
Rt△EAF中，设AF＝EF＝x，利用勾股定理列方程并解得x的值，易得BF＝3，然后利用勾股定理求解
即可．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BC⊥CE；
（2）解：取AB中点G，连接DG、CE，如图2，
由①可得△ABD≌△ACE，
∵点F是AC中点，
∴GD＝EF，
∴当DG⊥BC时，DG最短，即此时EF最短，
∵AB⊥AC，AB＝AC，
1
∴∠B=∠ACB= ×90°=45°，
2
∴∠BGD＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，
∴BD＝DG，
1
在Rt△BDG中，BG= AB=❑√2，设BD＝DG＝x，
2
∴x2+x2=(❑√2) 2，
解得x＝1，
∴DG＝1，即EF的最小值为1；
（3）解：过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥BC交CB于点F，如图3，∴∠EAC＝∠BAD＝90°，即∠BAE+∠BAC＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AE⊥AC，∠BCD＝90°，
∴∠E+∠ACB＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
{∠BAE=∠CAD
)
∠E=∠ACD ，
AD=AB
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AE=AC=4❑√2，BE=CD=1，
1
∴∠E=∠ACB= ×90°=45°，
2
∵AF⊥BC，
∴∠EAF＝90°﹣∠E＝45°，
∴∠EAF＝∠E＝45°，
∴AF＝EF，
在Rt△EAF中，AE=4❑√2，设AF＝EF＝x，
∴x2+x2=(4❑√2) 2，
解得x＝4，
∴BF＝EF﹣BE＝4﹣1＝3，
∴AB=❑√AF2+BF2=❑√32+42=5．
15．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，4）．
（1）如图1，若点C在第一象限，∠BCO＝45°，求证：CB⊥CA；
（2）如图2，若点C在第二象限，∠BCO＝75°，CO＝m，CB＝n，则CA2＝ ；（3）如图3，若点C（﹣1，0），点D在y轴的负半轴上，满足∠ADO＝2∠CDO，求点D的坐标．
【分析】（1）过点O作OD⊥OC，交CB的延长线于D，证明△BOD≌△AOC（SAS），由全等三角形
的性质得出∠D＝∠ACO＝45°，则可得出结论；
（2）过点 O 作 OD⊥OC，且使 OD＝OC，过点 B 作 BE⊥CD，交 DC 的延长线于点 E，证明
△BOD≌△AOC（SAS），得出BD＝AC，根据直角三角形的性质及勾股定理可得出答案；
（3）在x轴上取点C关于y轴对称点E（1，0），连接DE．证明△EDO≌△EDF（AAS），由全等三
角形的性质得出OD＝DF，设OD＝DF＝x，由勾股定理求出x即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点O作OD⊥OC，交CB的延长线于D，
∴∠COD＝90°＝∠AOB，
∴∠COD﹣∠COB＝∠AOB﹣∠COB，
∴∠BOD＝∠AOC，
在Rt△COD中，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BCO＝45°，
∴∠D＝∠BCO，BCO
∴OD＝OC，
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，在 △BOD和△AOC中，
{
OD=OC
)
∠DOB=∠COA ，
OB=OA
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠D＝∠ACO＝45°，
∴∠BCA＝90°，
∴CB⊥CA；
（2）如图2，过点O作OD⊥OC，且使OD＝OC，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
又∵OA＝OB，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，
∵OC＝m，
∴CD=❑√2OC=❑√2m，
∵∠BCO＝75°，∠DCO＝45°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠BCE＝60°，
∵BC＝n，
1 ❑√3
∴CE= n，BE= n，
2 2
∵BD2＝DE2+BE2，
1 ❑√3
∴AC2=(❑√2m+ n) 2+( n) 2=2m2+❑√2mn+n2．
2 2
故答案为：2m2+❑√2mn+n2；（3）如图3，在x轴上取点C关于y轴对称点E（1，0），连接DE．
∴∠CDO＝∠EDO，
∵∠ADO＝2∠CDO，
∴∠EDO＝∠EDF，
作EF⊥DA于F，
∴OE＝OC＝1，AE＝4﹣1＝3，
∴AF=❑√AE2−EF2=❑√32−12=2❑√2，
∵∠DOE＝∠EFD＝90°，ED＝ED，
∴△EDO≌△EDF（AAS），
∴OD＝DF，
设OD＝DF＝x，
在Rt△ADO中，∠AOD＝90°，
∴OD2+OA2＝AD2，
∴x2+42=(x+2❑√2) 2，
解得x=❑√2，
∴点D（0，−❑√2）．
16．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5❑√2，BC=4❑√2，分别以△ABC的边
BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，连接DE，求DE的长．【分析】（1）运用勾股定理可得：AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝
OB2+OC2，即可证得结论；
（2）如图2，过点D作DM⊥BE，交EB的延长线于点 M，利用勾股定理可得 AC＝3❑√2，再证得
△ABC≌△DBM（AAS），得出MD＝AC＝3❑√2，BM＝BC＝4❑√2，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，垂足为O，如图1，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解：如图2，过点D作DM⊥BE，交EB的延长线于点M，
则∠BMD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC=❑√AB2−BC2=3❑√2，∵△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠ABD＝90°，BE＝BC＝4，BD＝BA，
∴∠CBM＝180°﹣∠CBE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝90°，
∵∠DBM+∠ABM＝90°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，
∴△ABC≌△DBM（AAS），
∴MD＝AC＝3❑√2，BM＝BC＝4❑√2，
∴ME＝BE+BM＝4❑√2+4❑√2=8❑√2，
在Rt△BMD中，DE=❑√DM2+M E2=❑√146．
17．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD
于E，∠CFA＝∠BAC＝ ．
α
（1）如图1，当 ＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当 ＝90°，αAB＝AC＝16时，
①如图2α．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD=10❑√2，求CF的长．
【分析】（1）由平行线的性质求解∠BED＝70°，再利用三角形的外角的性质可得答案；
1
（2）①证明△BEF≌△AFC，可得FC=EF=AE= AF，再利用勾股定理求解即可；
2
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理 ，可
DM=❑√AD2−AM2=6❑√2
56 42
得 BD=8❑√2+6❑√2=14❑√2，与等面积法可得 BE= ❑√2，可得 DE=❑√BD2−BE2= ❑√2，
5 542 8
AE=AD−DE=10❑√2− ❑√2= ❑√2，证明△BAE≌△ACF，从而可得答案；当D在M的左边时，
5 5
如图，同理可得答案．
【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝ ＝70°，
∴∠BED＝70°， α
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝ ＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝α∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
1
∴FC=EF=AE= AF，
2
∵AB＝AC＝16，
∴CF2+（2CF）2＝256，
16❑√5
解得：CF= （负根舍去）；
5
②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝16，
∴BC=❑√162+162=16❑√2，AM=MC=BM=8❑√2，
∵AD=10❑√2，∴DM=❑√AD2−AM2=6❑√2，
∴BD=8❑√2+6❑√2=14❑√2，
1
BD⋅AM
2 56
∴BE= = ❑√2，
1 5
AD
2
42
∴DE=❑√BD2−BE2= ❑√2，
5
42 8
∴AE=AD−DE=10❑√2− ❑√2= ❑√2，
5 5
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
8❑√2
∴CF=AE= ，
5
当D在M的左边时，如图，
同理可得：AM=8❑√2，DM=6❑√2，CD=14❑√2，
1
CD⋅AM
2 56
∴CF= = ❑√2；
1 5
AD
2
8❑√2 56
综上：CF= 或CF= ❑√2．
5 5
18．我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠ABC＝
45°，连结AC、BD，若∠DAC＝90°，AC＝AD，求BD的长．
（1）布丁思考后，如图2，以AB以边向外作等腰直角△ABE，并连结CE，他认为：△ABD≌△AEC．
你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出BD的长．【探索二】如图3，在四边形ABCD中，AC＝AD，∠DAC＝100°，∠ABD＝10°，∠DBC＝70°，若BC
＝4，求BD的长．
【分析】【探索一】（1）根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质得出BD＝CE，由勾股定理可求出答案；
【探索二】作∠BAE＝100°，且使AE＝AB，证明△ABD≌△AEC（SAS），由全等三角形的性质得出
BD＝CE，∠ABD＝∠AEC＝10°，求出BC＝BE＝4，过点B作BF⊥EC于点F，则EF＝CF，得出BF
1
= BC=2，由勾股定理可得出答案．
2
【解答】解：【探索一】（1）同意．
理由：∵以AB为边向外作等腰直角三角形ABE，AE＝AB，∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AE
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AC
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵BE=❑√2AB＝4❑√2，
∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝90°，
∴CE=❑√BE2+BC2=❑√32+16=4❑√3，
∴BD＝4❑√3；
【探索二】作∠BAE＝100°，且使AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝40°，
∵∠CAD＝100°，
∴∠BAD＝∠EAC，
又∵AE＝AB，AC＝AD，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠AEC＝10°，
∴∠BEC＝∠BEA﹣∠AEC＝40°﹣10°＝30°，
∵∠ABD＝10°，∠DBC＝70°，∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠BCE＝30°，
∴BC＝BE＝4，
过点B作BF⊥EC于点F，则EF＝CF，
1
∴BF= BC=2，
2
∴CF=❑√BC2−BF2=2❑√3，
∴CE＝2CF＝4❑√3，
∴BD＝4❑√3．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b
❑√a2−1+❑√1−a2
满足b= −❑√3．
a+1（1）如图1，则点A坐标 ，点B坐标 ，∠ABC＝ ；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的
长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE
之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先根据二次根式的性质求出a的值，然后再求出b的值，取AB的中点M，连接OM，
证明△OAM为等边三角形，得出∠OAB＝60°，求出∠ABC＝90°﹣60°＝30°，即可得出答案；
（2）求出AC=❑√AO2+OC2=2，即AB＝AC，可得∠ABD＝∠ADB，接着求出∠BAG＝120°，证明
△BAO≌△CAO，即有∠BAO＝60°＝∠CAO，可得∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°，得出∠BAD
＝∠BAG+∠GAD＝150°，进而有∠ABD＝∠ADB＝15°，可得∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°，即有
∠GBO＝∠BGO＝45°，问题随之得解；
（3）由（2）可知：∠ADB＝15°，可得∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°，进而有∠BEC＝∠BDC＝60°，
延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，根据∠OAB＝∠OAC＝60°，即有
∠BAC＝120°，进一步有∠BAC+∠BEC＝180°，即可证明∠ABF＝∠ACE，接着证明△ABF≌△ACE
（SAS），问题随之得解．
【解答】解：（1）∵❑√a2−1+❑√1−a2有意义，
{a2−1≥0)
∴ ，
1−a2≥0
∴a2＝1，
解得：a＝±1，
∵点A在y轴的正半轴上，
∴a＝1，∴A（0，1），
❑√a2−1+❑√1−a2
∴b= −❑√3=−❑√3，
a+1
∴点B(−❑√3，0)，
∴OB=OC=❑√3，
∴C(❑√3，0)，
∴AB=❑√12+(❑√3) 2=2，
取AB的中点M，连接OM，如图1所示：
❑√3 1 1
M(− ， )，AM= AB=1，
2 2 2
√ ❑√3 2 1 2
则OM=❑ (− ) +( ) =1，
2 2
∴OM＝AM＝OA，
∴△OAM为等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°．
（2）∵OC=❑√3，AO＝1，
∴在Rt△ACO中，AC=❑√AO2+OC2=2，即AB＝AC，
∵AD＝AC，
∴AD＝2，
∴AD＝2＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠BAO＝60°，即∠BAG＝120°，
∵OB＝OC，AB＝AC＝2，AO＝AO，
∴△BAO≌△CAO（SSS），
∴∠BAO＝60°＝∠CAO，
∵∠DAC＝90°，
∴∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°，
∵∠BAG＝120°，
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝150°，
∴∠ABD＝∠ADB＝15°，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°，
∴∠GBO＝∠BGO＝45°，
∴BO＝OG，
∵BO=❑√3，
∴BO=OG=❑√3，
∴在△BOG中，BG=❑√BO2+OG2=❑√6；
（3）BE+CE=❑√3AE，理由如下：
由（2）可知：∠ADB＝15°，
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°，
∴∠BEC＝∠BDC＝60°，
延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，如图3，
∵∠OAB＝∠OAC＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABF+∠ABE＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
又∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∴∠FAE＝∠BAC＝120°，
∴∠F＝∠AEF＝30°，
∵AM⊥EF，AF＝AE，
1 1
∴AM= AE，ME= EF，
2 2
❑√3
∴ME=❑√AE2−AM2= AE，
2
∴FE=❑√3AE，
∴BE+CE=BE+BF=FE=❑√3AE，
即BE+CE=❑√3AE．
20．如图，等腰△ABC和等腰△ADE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝ ．
α
（1）如图1， ＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，CD＝8，求线段BD的长度；
（2）如图2，α＝120°，点M、N在线段BC上，∠MAN＝60°，BM＝MN，求证：MN＝CN；
（3）如图3，αa＝90°，连接BE和CD，若AC＝6，AD＝4，BE＝5，直接写出CD的长为 ．
【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，得出 DE＝AD＝6，∠EDA＝60°，根据勾股定理求出
CE=❑√DE2+CD2=❑√62+82=10，证明△ACE≌△ABD（SAS），得出BD＝CE＝10；1
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB= (180°−120°)=30°，将△ACN绕点A顺时针
2
旋转 120°得到△ABP，连接 PM，根据旋转的性质，求出∠PBM＝∠ABP+∠ABC＝60°，证明
△APM≌△ANM（SAS），得出MP＝MN，证明△PBM为等边三角形，得出BM＝BP＝CN，即可求出
结果；
（3）根据勾股定理得出 BC2＝AB2+AC2＝72，DE2＝AD2+AE2＝32，连接BD，CE交于点O，根据
△ABD≌△ACE，得出∠ACE＝∠ABD，证明∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝∠BOC＝90°，根据勾股定理
得出 OB2+OC2＝BC2＝72，OE2+OD2＝DE2＝32，OB2+OE2＝BE2＝52＝25，CD2＝OC2+OD2，求出
OC2+OD2＝79，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵ ＝60°，AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形α，
∴DE＝AD＝6，∠EDA＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠EDC＝60°+30°＝90°，
根据勾股定理得：CE=❑√DE2+CD2=❑√62+82=10，
∵∠BAC＝∠DAE＝ ，
∴∠EAD+∠DAC＝∠αBAC+∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE＝10；
（2）证明：∵∠BAC＝ ＝120°，AB＝AC，
1α
∴∠ABC=∠ACB= (180°−120°)=30°，
2
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，
将△ACN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM，如图所示：
则BP＝CN，∠ABP＝∠ACB＝30°，∠BAP＝∠CAN，AP＝AN，
∴∠PBM＝∠ABP+∠ABC＝60°，
∠MAP＝∠BAM+∠BAP＝∠BAM+∠CAN＝60°＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△APM≌△ANM（SAS），
∴MP＝MN，
∵BM＝MN，
∴MP＝BM，
∵∠PBM＝60°，
∴△PBM为等边三角形，
∴BM＝BP＝CN，
∴MN＝CN．
（3）解：∵ ＝90°，AD＝4，AC＝6，
∴∠BAC＝∠αDAE＝90°，AB＝AC＝6，AE＝AD＝4，
∴BC2＝AB2+AC2＝72，DE2＝AD2+AE2＝32，
∠ABC+∠ACB＝90°，
连接BD，CE交于点O，如图所示：
则与解析（1）同理可证△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OBA+∠ABC+∠OCB
＝∠ABC+∠ACE+∠OCB
＝∠ABC+∠ACB
＝90°，
∴∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝∠BOC＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2＝72，OE2+OD2＝DE2＝32，
OB2+OE2＝BE2＝52＝25，CD2＝OC2+OD2，
∴OC2+OD2＝BC2+DE2﹣（OE2+OB2）＝BC2+DE2﹣BE2
＝72+32﹣25
＝79，
∴CD2＝79，
∴（负值舍去）．
