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专题 4.6 二次函数综合题必考十大类型
【人教版】
【类型1 二次函数与线段问题】..............................................................................................................................1
【类型2 二次函数与面积问题】............................................................................................................................11
【类型3 二次函数与角度问题】............................................................................................................................23
【类型4 二次函数与等腰三角形问题】................................................................................................................34
【类型5 二次函数与直角三角形问题】................................................................................................................49
【类型6 二次函数与平行四边形问题】................................................................................................................58
【类型7 二次函数与矩形问题】............................................................................................................................69
【类型8 二次函数与菱形问题】............................................................................................................................80
【类型9 二次函数与正方形问题】........................................................................................................................91
【类型10 二次函数中的定值问题】....................................................................................................................102
【类型1 二次函数与线段问题】
1．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上
一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 ．
【分析】CD的最大值即为点C的纵坐标减去点D的纵坐标，据此列出CD的表达式，为关于x的二次
函数，求出二次函数的最大值即可．
【解答】解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣
（x﹣1）2+2，
可见CD的最大值为2．
故答案为2．
2．抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y
轴于点P．（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出
所有满足条件的点D的横坐标．
【分析】（1）根据题意，令y＝0，得出x2﹣2x﹣3＝0，解出即可得出A，B两点的坐标；
（2）分两种情况：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D ；②若点D
1
在AC的上方时，点D 关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D 、D ，
1 2 3
D 、D 符合条件，然后构建方程组分别求解即可．
2 3
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），
∴令y＝0，可得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）解：∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣1，0），P（0，1）代入，可得：
{−k+b=0)
，
b=1
{k=1)
解得： ，
b=1
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
①如图，若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交点，即为D ，
1
∵BD ∥AC，
1
∴设直线BD 的解析式为y＝x+m，
1
又∵B（3，0），
∴可得：0＝3+m，
解得：m＝﹣3，∴直线BD 的解析式为y＝x﹣3，
1
∵直线BD 与抛物线相交于点D ，
1 1
{ y=x−3 )
∴可得： ，
y=x2−2x−3
{x=3) { x=0 )
解得： 或 ，
y=0 y=−3
∴D （0，﹣3），
1
∴点D的横坐标为0；
②如图，若点D在AC的上方时，点D 关于点P的对称点G（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物
1
线于点D 、D ，D 、D 符合条件，
2 3 2 3
∵直线l平行于直线AC，
∴设直线l的解析式为y＝x+n，
又∵G（0，5），
∴n＝5，
∴直线l的解析式为y＝x+5，
又∵直线l与抛物线相交于点D 、D ，
2 3
{ y=x+5 )
∴可得： ，
y=x2−2x−3
整理，可得：x2﹣3x﹣8＝0，
3−❑√41 3+❑√41
解得：x= 或 ，
2 2
3−❑√41 3+❑√41
∴D 、D 的横坐标为 或 ，
2 3 2 23−❑√41 3+❑√41
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0， ， ．
2 2
3．如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B
（1，﹣3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点
1
D，设点P的横坐标为m．当PD= OC时，求m的值．
2
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
1
（2）由题意可知：点P，D的坐标分别为 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4），由PD= CO＝2，即可
2
求解．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣4x，当y＝0时，﹣x2+4x＝0，
解得x ＝0，x ＝4．
1 2
则点A的坐标为：（4，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x﹣4，
则点C（0，﹣4）；
（2）由题意可知：点P，D的坐标分别为 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4），
∵点C的坐标为（0，4），
则OC＝4，
1
则PD= CO＝2，
2
即|m2﹣4m﹣m+4|＝2，5−❑√17
解得：m= 或2或3（不合题意的值已舍去）．
2
4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在
第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F
（1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值；
（2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标．
【分析】（1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点 A、B、C的坐标，再利用待
定系数法求出直线BC的解析式，根据点P的横坐标，找出点P、F的坐标，由此即可得出PF关于m的
函数关系式，利用配方法即可得出最值；
（2）根据P、F的坐标即可得出EF、PF的长度，结合EF：FP＝2：3即可得出m的值，将其代入点P
的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{ −3=b ) { k=1 )
∴ ，解得： ，
0=3k+b b=−3
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣3）．
当x＝m时，y＝m﹣3（0＜m＜3），
∴F（m，m﹣3）．
∴PF＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．3 9
∵PF＝﹣m2+3m=−(m− ) 2+ ，﹣1＜0，
2 4
3 9
∴PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m= 时，PF取最大值 ．
2 4
（2）∵F（m，m﹣3），FE⊥x轴，
∴EF＝﹣（m﹣3）＝3﹣m，
EF 3−m 1 2
= = =
∵ ，
FP 3m−m2 m 3
3
∴m= ，
2
3 15
此时点P的坐标为（ ，− ）．
2 4
3
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=− x+3与y轴交于
4
点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于
点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）；
（3）若PE＝5EF，求m的值；
【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定 C（0，3），D（4，0），则 CD＝5，设 P（m，﹣
3
m2+4m+5），则E（m，− m+3），F（m，0），根据平行线分线段成比例定理，由 EF∥OC得到
45
CE：m＝5：4，则CE= m（0＜m＜5）；
4
19 3 19
（3）先用m表示PE、PF得到PE＝﹣m2+ m+2，EF＝|− m+3|，再利用PE＝5EF得到﹣m2+
4 4 4
3
m+2＝5|− m+3|，然后讨论得到两个关于m的一元二次方程，再解方程求出满足条件的m的值；
4
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
3
（2）当x＝0时，y=− x+3＝3，则C（0，3），
4
3
当y＝0时，− x+3＝0，解得x＝4，则D（4，0），
4
所以CD=❑√32+42=5，
3
设P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，− m+3），F（m，0），
4
∵EF∥OC，
∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4，
5
∴CE= m（0＜m＜5）；
4
（3）存在．
3 19 3
PE＝﹣m2+4m+5﹣（− m+3）＝﹣m2+ m+2，EF＝|− m+3|，
4 4 4
∵PE＝5EF，
19 3
∴﹣m2+ m+2＝5|− m+3|，
4 4
19 3
当﹣m2+ m+2＝5（− m+3），解得m ＝6.5（舍去），m ＝2，
4 4 1 2
19 3 1−❑√69 1+❑√69
当﹣m2+ m+2＝﹣5（− m+3），解得m = （舍去），m = ，
4 4 1 2 2 2
1+❑√69
综上所述，m的值为2或 ；
2
6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+c（a，c是常数，且a≠0）．
（1）若该二次函数的图象经过点（1，0）和（5，4），求该二次函数的表达式；
（2）若a﹣c＝1，且该二次函数图象经过第一、二、四象限，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若该二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C左
侧），线段MN在抛物线的对称轴上移动（点N在点M下方），且MN＝1．求MA+NB的最小值．
【分析】（1）由待定系数法确定函数表达式即可得到答案；
3 9
（2）由二次函数图象与性质得到0＜a＜ ；1≤a＜ ，从而确定a的取值范围；
2 8
（3）过点A作对称轴的垂线交二次函数的图象于点 A′，过点A′作A′A″平行于对称轴，且使
A′A″＝MN＝1，连接NA″交对称轴于N，如图所示，从而由对称性确定当点B，N，A″在一条直线
1
上时，MA+NB的值最小，此时MA+NB＝A″B，结合已知条件及所得结论，求出A″(4， )、B（1，
2
0），最后根据两点之间距离公式代值求解即可得到答案．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+c（a，c是常数，且a≠0）的图象经过点（1，
0）和（5，4），代入得：
{ a+(2a−3)+c=0 )
，
25a+5(2a−3)+c=4
1
{a= )
2
解得 ，
3
c=
2
1 3
∴二次函数表达式为y= x2−2x+ ；
2 2
（2）∵图象经过第一、二、四象限，
2a−3
∴a＞0，且二次函数的对称轴− ＞0，
2a
3
解得0＜a＜ ；
2
∵a﹣c＝1，
∴c＝a﹣1≥0，∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＝﹣8a+9＞0，
9
解得1≤a＜ ；
8
9
综上所述，a的取值范围为1≤a＜ ；
8
1 3
（3）二次函数y= x2−2x+ 的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C左侧），
2 2
线段MN在抛物线的对称轴上移动（点N在点M下方），过点A作对称轴的垂线交二次函数的图象于
点A′，过点A′作A′A″平行于对称轴，且使A′A″＝MN＝1，连接NA″交对称轴于N，如图所
示：
∴四边形A′A″NM是平行四边形，
∴NA″＝MA′，
由抛物线的对称性知点A，A′关于对称轴对称，
∴MA＝MA'，
∴MA＝MA′＝NA″，
∴MA+NB＝NA″+NB，
当点B，N，A″在一条直线上时，MA+NB的值最小，此时MA+NB＝A″B，
1 3 1 1
由（1）得y= x2−2x+ = (x−2) 2− ，
2 2 2 2
∴对称轴是直线x＝2，
3
当x＝0时，y= ，
2
3 3 1
∴点A(0， )，点A′(4， )，点A″(4， )，
2 2 2
1 3
当y＝0时， x2−2x+ =0，
2 2
解得x＝1或x＝3，
∵点B在点C左侧，∴点B（1，0），
√ 1 2 ❑√37
∴MA+NB的最小值=A″B=❑(4−1) 2+( ) = ．
2 2
7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点
N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角
三角形，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）在抛物线解析式中，令x＝0可求得点C坐标，令y＝0则可求得A、B的坐标；
（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，
从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM面积最大值时t的值，可求得
点M坐标；
（3）由（2）可知点N坐标，设点Q坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分点C
为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m的方程，
可求出m的值，可求得点Q坐标．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∴A（﹣1，0），
∴B（3，0）；
{0=3k+b) {k=−1)
（2）设BC的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
b=3 b=3∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
3 9
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t− ）2+ ，
2 4
3
t= 时，PM最大，
2
3 15
此时点M坐标（ ， ）；
2 4
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
3
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（ ，0），
2
√ 3 2 3❑√5
∴CN=❑32+( ) = ，CQ=❑√1+(m−3) 2=❑√m2−6m+10，
2 2
√ 3 √ 1
NQ=❑(1− ) 2+m2=❑m2+ ，
2 4
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2＝NQ2
3❑√5 1 7
即（ ）2+（m2﹣6m+10）=m2+ ，解得：m = ，
2 4 2
7
此时点Q坐标为（1， ），
2
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2＝CN2，
1 3❑√5 3+❑√11 3−❑√11
即（m2﹣6m+10）+m2+ =（ ）2，解得：m = ，m = ，
4 2 1 2 2 2
3+❑√11 3−❑√11
此时点Q坐标为（1， ）或（1， ），
2 2
③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2＝CQ2，
3❑√5 1 1
即（ ）2+m2+ =（m2﹣6m+10），解得：m =− ，
2 4 4
1
此时点Q坐标为（1，− ），
41 7 3+❑√11 3−❑√11
综上所述，点Q坐标为（1，− ）或（1， ）或（1， ）或（1， ）．
4 2 2 2
【类型2 二次函数与面积问题】
1．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0）、B（2，6）两点．
（1）求抛物线的解析式；
27
（2）已知点P在抛物线上，且在直线l上方，若△PAB的面积为 ，求点P的坐标．
4
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E，设E（m，2m+2），P（m，﹣2m2+4m+6），然后根据
27
S =S +S = 可求解．
△APB △APE △BPE 4
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，6）代入二次函数解析式y＝﹣2x2+bx+c，
{−2−b+c=0
)
得 ，
−8+2b+c=6
{b=4)
解得 ，
c=6
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+n（k≠0），
{−k+n=0)
将A（﹣1，0）、B（2，6）代入得 ，
2k+n=6
{k=2)
解得 ，
n=2
∴直线AB的函数解析式为y＝2x+2；
如图，过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E．设E（m，2m+2），P（m，﹣2m2+4m+6），
PE＝﹣2m2+4m+6﹣（2m+2）＝﹣2m2+2m+4，
1
∴S =S +S = ⋅PE⋅(x −x )
△APB △APE △BPE 2 B A
3
= (−2m2+2m+4)=−3m2+3m+6，
2
27
∵△PAB的面积为 ，
4
27
∴−3m2+3m+6= ，整理得（2m﹣1）2＝0，
4
1
解得m= ．
2
1 2 1 15
∴−2m2+4m+6=−2×( ) +4×( )+6= ，
2 2 2
1 15
∴点P坐标为( ， )．
2 2
1
2．如图，抛物线y=− x2+mx+n与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，
4
1
直线AC的函数解析式为y=− x+2．
2
（1）求点A，C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标．1
【分析】（1）在直线y=− x+2中分别令x＝0和y＝0，可得A和C的坐标；
2
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
1 1 1
（3）方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设M(a，− a2+ a+2)则N(a，− a+2)
4 2 2
，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，
并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得
a的值，便可得M点的坐标．
1
【解答】解：（1）对于一次函数y=− x+2．
2
令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝4，
∴A（0，2），C（4，0）；
1
（2）将A（0，2），C（4，0）代入y=− x2+mx+n得：
4
{
2=n
)
1 ，
0=− ×42+4m+n
4
{ m= 1 )
解得 2 ，
n=2
1 1
∴y=− x2+ x+2；
4 2
（3）方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线x＝1，
∴B（﹣2，0），
1
∴S△ABC =
2
×2×6＝6，
如图1，过点M作直线l∥y轴交直线AC于点N，1 1 1
设M(a，− a2+ a+2)则N(a，− a+2)，
4 2 2
1 1 1 1
∴MN=− a2+ a+2−(− a+2)=− a2+a，
4 2 2 4
1 1 1
∴S =6+ ×(− a2+a)×4=− (a−2) 2+8，
四 边 形ABCM 2 4 2
∵0＜a＜4，
∴当a＝2时，四边形ABCN最大值为8且M（2，2）；
1 1
方法二：由（1）知：y=− x2+ x+2，
4 2
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵C（4，0），∴B（﹣2，0），
1 1
如图2，连接OM，设M(a，− a2+ a+2)，
4 2
∴S四边形ABCM ＝S△ABO +S△AOM +S△COM
1 1 1 1 1
= ×2×2+ ×2a+ ×4（− a2+ a+2）
2 2 2 4 2
1
=− a2+2a+6
2
1
=− (a−2) 2+8，
2
∴当a＝2时，四边形ABCM的面积有最大值，最大值为8，此时M（2，2）．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直
线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的
坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），
F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：
EF＝2：3时，S△BDE ：S△BEF ＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE ：S△BEF ＝3：2，从而可得到关于x的
方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
{ a−b+5=5 )
得： ，
25a+5b+5=0
{a=−1)
解得 ，
b=4
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
{ m=5 )
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
5k+m=0
{k=−1)
解得 ，
m=5
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE ：S△BEF ＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
2 2 65
解得x = ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 3 2 3 9
当DE：EF＝3：2时，S△BDE ：S△BEF ＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，3 3 35
解得x = ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 2 2 2 4
2 65 3 35
综上所述，当点D的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两
3 9 2 4
部分；
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C
（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
（3）若点P在直线BC的上方，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设出点P的坐标，连接AP、BP，利用二次函数图象上点坐标特征和三角形的面积作答；
（3）设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
{−9+3b+c=0)
得 ，
c=3
{b=2)
解得 ，
c=3
故二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接AP、BP，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，则可设P（t，﹣t2+2t+3）．
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）知，该抛物线与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4．
1 1
∴S△ABP =
2
AB•|y
P
| =
2
×4×|﹣t2+2t+3|＝10．
整理，得t2﹣2t+2＝0或t2﹣2t﹣8＝0．
方程t2﹣2t﹣2＝0中的Δ＝4﹣8＝﹣4＜0，故该方程无解；
解方程t2﹣2t﹣8＝0得到：t ＝4，t ＝﹣2．
1 2
故点P的坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）；
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，
{3m+n=0)
则 ，
n=3{m=−1)
解得 ，
n=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．
1 1 3 3 27
∴S△BPC ＝S△BPQ +S△CPQ =
3
QP•OB =
2
（﹣x2+3x）×3 =−
2
（x−
2
）2+
8
，
3
当x= 时，△BPC的面积最大，
2
3 15
此时，点P的坐标为（ ， ）．
2 4
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于A（4，0），B（﹣3，0）两
点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是第四象限抛物线上的动点，令四边形ABCD的面积为S，求S的最大值及此时点D
的坐标；
（3）如图2，点P是第三象限抛物线上一点，直线BE∥AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，若四
边形AEBF的面积被坐标轴分为1：2两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；
1 1
（2）连接OD，设点D的坐标为(m，
3
m2−
3
m−4)，根据S＝S△BOC +S△OCD +S△OAD 解答即可求解；
1 1
（3）设P(t， t2− t−4)，直线BP的表达式为y ＝k x+b ，直线AP的表达式为y ＝k x+b ，求
3 3 BP 1 1 AP 2 2
出BP、AP的解析式，求出OF，再求出EP的解析式，求出OE，分两种情况：①四边形AEBF的面积
被y轴分为1：2两部分；②四边形AEBF的面积被x轴分为1：2两部分；进行解答即可求解．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a＞0）与x轴交于A（4，0），B（﹣3，0）两点，将A，B点的坐标代入y＝ax2+bx﹣4得：
{16a+4b−4=0)
，
9a−3b−4=0
1
{ a= )
3
解得 ，
1
b=−
3
1 1
∴抛物线的表达式为y= x2− x−4；
3 3
（2）点D是第四象限抛物线上的动点，令四边形ABCD的面积为S，连接OD，如图1，设点D的坐标
1 1
为(m， m2− m−4)，
3 3
则S＝S△BOC +S△OCD +S△OAD
1 1 1
= OB⋅OC+ OC⋅x + OA⋅(−y )
2 2 D 2 D
1 1 1 1 1
= ×3×4+ ×4×m+ ×4×(4+ m− m2 )
2 2 2 3 3
2 8
=− m2+ m+14
3 3
2 50
=− (m−2) 2+ ，
3 3
2
∵m＞0，− ＜0，
3
50 10
∴当m＝2时，S最大，最大值为 ，此时点D的坐标为(2，− )；
3 3
（3）点 P 是第三象限抛物线上一点，直线 BE∥AP 交 y 轴于点 E，直线 BP 交 y 轴于点 F，设1 1
P(t， t2− t−4)，直线BP的表达式为y ＝k x+b ，直线AP的表达式为y ＝k x+b ，
BP 1 1 AP 2 2
3 3
∵A（4，0），B（﹣3，0），
{ −3k 1 +b 1 =0 )
∴ 1 1 ，
tk +b = t2− t−4
1 1 3 3
{ k = 1 t− 4 )
解得 1 3 3 ，
b =t−4
1
1 4
∴y =( t− )x+t−4，
BP 3 3
1 4
同理可得y =( t+1)x− t−4，
AP 3 3
∴F（0，t﹣4），
∴OF＝4﹣t，
∵BE∥AP，
1
∴设BE的表达式为y =( t+1)x+b ，代入B（﹣3，0），得b ＝t+3，
BE 3 3 3
1
∴y =( t+1)x+t+3，
BE 3
∴E（0，t+3），
∴OE＝t+3，
①当四边形AEBF的面积被y轴分为1：2两部分时，
∵S△BEF ：S△AEF ＝OB：OA＝3：4≠1：2，
∴此情况不成立；
②当四边形AEBF的面积被x轴分为1：2两部分时，
（ⅰ）当S△ABE ：S△ABF ＝OE：OF＝2：1时，（t+3）：（4﹣t）＝2：1，
5
∴t= ，
3
∵点P在第三象限，
∴﹣3＜t＜0，
∴此情况不成立；
（ⅱ）当S△ABE ：S△ABF ＝OE：OF＝1：2时，（t+3）：（4﹣t）＝1：2，2
∴t=− ，
3
1 1 98
此时 t2− t−4=− ；
3 3 27
2 98
综上，点P的坐标为(− ，− )．
3 27
6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上
的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求QA+QO的最小值；
（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别
为S ，S ，设S＝S +S ，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
1 2 1 2
【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C，可得C（0，﹣6），运用待定系数法设y＝a
（x+2）（x﹣6），将C（0，﹣6）代入，即可求得答案；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′关于
直线BC对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据QA+QO′≥AO′，QO′＝QO，得出答案；
1
（3）连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，设P（m，
2
m2﹣2m﹣6），由S＝S
1
+S
2
＝S△PAQ +S△PBQ ＝
S△PCQ +S△PBQ ＝S△PBC ＝S梯形PCOH +S△PBH ﹣S△BOC ，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求
得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴设y＝a（x+2）（x﹣6），
∵抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C，
∴C（0，﹣6），将C（0，﹣6）代入得，
得：﹣12a＝﹣6，B
1
解得：a= ，
2
1 1
∴y= （x+2）（x﹣6）= x2﹣2x﹣6，
2 2
1
∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x﹣6；
2
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，
∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC对称，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（6，﹣6），
在Rt△ABO′中，AO′=❑√AB2+O′B2=❑√82+62=10，
∵QA+QO′≥AO′，QO′＝QO，
∴QO+QA＝QA+QO′≥AO′＝10，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10；
（3）如图，连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，∵PQ∥AC，
∴△PAQ与△PCQ的面积相等，
∴S＝S
1
+S
2
＝S△PAQ +S△PBQ ＝S△PCQ +S△PBQ ＝S△PBC ＝S梯形PCOH +S△PBH ﹣S△BOC ，
1
设P（m， m2﹣2m﹣6），
2
1 1 1 1 1 3 3 27
则S= （− m2+2m+6+6）m+ （6﹣m）（− m2+2m+6）− ×6×6=− m2+9m=− （m﹣3）2+
2 2 2 2 2 2 2 2
，
由题意，得0＜m＜6，
∴当m＝3时，S最大，
15 27
即点P的坐标为（3，− ）时，S有最大值 ．
2 2
【类型3 二次函数与角度问题】
1 16
1．如图，抛物线y= x2− 与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P（1，﹣3）在抛物线上，D是抛物线
5 5
上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标．
【分析】根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标．
【解答】解：如图，1 16
抛物线y= x2− 与x轴交于A，B两点，
5 5
1 16
令y＝0，0= x2− ，
5 5
x ＝﹣4，x ＝4．
1 2
∴A（﹣4，0），B（4，0），
当点D在OP左侧时，如图：
由∠D PO＝∠POB，得D P∥OB，
1 1
∴D 与P关于y轴对称，且P（1，﹣3），
1
∴D （﹣1，﹣3）；
1
当点D在OP右侧时，延长PD 交x轴于点G．
2
作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3．
∵∠D PO＝∠POB，
2
∴PG＝OG．
设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．
∴点G（5，0）．
3 15
∴直线PG的解析式为y= x− ，
4 4
3 15 11
{y= x− ) { x= )
4 4 { x=1 ) 4
解方程组 得 或 ．
1 16 y=−3 27
y= x2− y=−
5 5 16
∵P（1，﹣3），
11 27
∴D （ ，− ）．
2 4 16
11 27
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（ ，− ）．
4 162．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，使
∠PCB＝∠CAB，求出点P的坐标．
【分析】证明△GKA≌△AOC（AAS），得到点G（﹣3，﹣1），C（0，﹣2），求出直线CG的解析式
1
为y=− x﹣2，即可求解．
3
【解答】解：对于y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，即x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
如图，延长PC交x轴负半轴于点H，过点A作AG⊥AC交CH于点G，过点G作GK⊥x轴于点K．
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，∠PCB+∠ACG+∠ACB＝180°
又∵∠CAB＝∠PCB，
∴∠ACG＝∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠AGC＝45°，
∴AG＝AC，
又∠GAK+∠OAC＝∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠GAK＝∠ACO，∴△GKA≌△AOC（AAS），
∴AK＝OC＝2，KG＝OA＝1，
∴OK＝3，
∴G（﹣3，﹣1），
∵点G（﹣3，﹣1），C（0，﹣2），
1
∴直线CG的解析式为y=− x﹣2，
3
2
{y=x2−x−2) { x= )
3
联立 1 ，解得： （不合题意的值已舍去），
y=− x−2 20
3 y=−
9
2 20
∴P（ ，− ）．
3 9
1 1
3．如图，抛物线y= x2− x﹣2与x轴交于点A和B两点，点C（6，4）在抛物线上，D为y轴左侧抛物
4 2
线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标．
【分析】依据题意，由∠DCA＝2∠CAB，得到∠CAB＝∠CMA，则CA＝CM，进而求解．
【解答】解：延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CMA．
∴CA＝CM．
1 1
∵抛物线y= x2− x﹣2与x轴交于点A，B，
4 2
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
过点C作CQ⊥AM于点Q，
∴QM＝AQ＝8．
∴点M坐标为（14，0）．
1
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：y=− x+7，
2
1 1 1
令y=− x+7= x2− x﹣2，
2 4 2
解得x＝﹣6或6（舍去），
1
∴x＝﹣6，y=− ×（﹣6）+7＝10．
2
∴点D坐标为（﹣6，10）．
1 1
4．如图，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=− x2+bx+c经过A，B两点，与x轴
2 2
的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，先
求得直线AB′的解析式，进而求得BD的解析式，然后联立方程，解方程即可．
1
【解答】解：（1）由y= x+2可得：
2
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），
1
把A、B的坐标代入y=− x2+bx+c得：
2
{
c=2
)
1 ，
− ×16−4b+c=0
2
{ b=− 3 )
解得： 2 ，
c=2
1 3
∴抛物线的解析式为：y=− x2− x+2；
2 2
（2）如图，取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点
D，
∵B、B′关于x轴对称，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，
设AB′：y＝kx﹣2，
1
代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k=− ，
2
1
则BD：y=− x+2，
2
1
{ y=− x+2 )
2
联立方程得： ，
1 3
y= x2− x+2
2 2
{x=−2) {x=0)
解得： 或 （不合题意，舍去），
y=3 y=2
∴D点的坐标为（﹣2，3）．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶
点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝x+1，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点
1
G，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，根据S△PBC =
2
PG
（x ﹣x ），即可求解；
C B
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+5，
{ 25a−5b+5=0 )
得： ，
16a−4b+5=−3
{a=1)
解得： ，
b=6
∴该抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①；
（2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣5，
1 2
∴点C（﹣1，0），{−4k+d=−3)
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B、C的坐标代入得： ，
−k+d=0
{k=1)
解得： ，
d=1
∴直线BC的解析式为y＝x+1…②，
如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
1 1 3 15 3 5 27
∴S△PBC =
2
PG•（x
C
﹣x
B
）=
2
×（﹣t2﹣5t﹣4）×3 =−
2
t2−
2
t﹣6 =−
2
（t +
2
）2+
8
，
3
∵− ＜0，
2
5 27 5 15
∴S△PBC 有最大值，当t =−
2
时，其最大值为
8
，此时P（−
2
，−
4
）；
②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4），
设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
5 3
∵线段BC的中点坐标为（− ，− ），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
2 2
5 3 3 5
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（− ，− ）代入上式得− =−（− ）+m，
2 2 2 2
解得：m＝﹣4，
∴直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
{ −k′+b′=0 )
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得： ，
−3k′+b′=−4
{k′=2)
解得： ，
b′=2
∴直线CD的解析式为：y＝2x+2…④，
{y=−x−4)
联立③④得： ，
y=2x+2
{x=−2)
解得： ，
y=−2
∴点H（﹣2，﹣2），
{−4k″+b″=−3)
设直线BH的解析式为y＝k″x+b″，则 ，
−2k″+b″=−2
{ k″= 1 )
解得： 2 ，
b″=−11
∴直线BH的解析式为：y= x﹣1…⑤，
2
{y=x2+6x+5)
联立①⑤得 1 ，
y= x−1
2
3
{x =− )
1 2 {x =−4 )
2
解得： ， （舍去），
7 y =−3
y =− 2
1 4
3 7
故点P（− ，− ）；
2 4
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
3 7
综上所述，点P的坐标为P（− ，− ）或（0，5）．
2 4
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C
（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP．
（1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即
可得其顶点坐标；
（2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；
（3）需要分两种情况，当∠AQB＝2∠ACB及∠ACB＝2∠AQB，再根据题目中条件求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点B（﹣3，0）、C（0，﹣3），
{9−3b+c=0) { b=2 )
∴ ，解得： ，
c=−3 c=−3
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣4，
即顶点坐标为：（﹣1，﹣4）；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为（p，p2+2p﹣3），则D的坐标为（p，﹣p﹣3），
∴PD＝﹣p﹣3﹣p2﹣2p+3＝﹣p2﹣3p，
1 3 3 27
∴S△BCP =
2
×3（﹣p2﹣3p）=−
2
（p +
2
）2+
8
，3 27 3 15
∴当p=− 时，△BCP面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（− ，− ）；
2 8 2 4
（3）设Q（m，﹣m﹣3），
Ⅰ，当∠AQB＝2∠ACB，如图2，
∵∠AQB＝∠ACB+∠QAC，
∴∠E AC＝∠ACQ，
Q
∴AQ＝CQ，即点Q在线段AC的垂直平分线上，
∵抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．令y＝0，则x2+2x﹣3＝0．
解得x＝﹣3或1，
∴A（1，0），C（0，﹣3），
5
∴（1﹣m）2+（﹣m﹣3）2＝m2+（﹣m﹣3+3）2，解得m=− ，
2
5 1
∴点Q的坐标为（− ，− ）；
2 2
Ⅱ，当∠ACB＝2∠AQB时，如图3，
∵∠ACB＝∠AQB+∠CAQ，∴∠AQB＝∠CAQ，
∴AC＝CQ=❑√32+12m2+（﹣m﹣3+3）2，
∴m2+（﹣m﹣3+3）2＝（❑√10）2，
∴m=❑√5或−❑√5（舍去），
∴点Q的坐标为（❑√5，−❑√5−3）；
当∠AC′C＝∠ACB＝2∠AQ′B时，AC′＝AC，C′Q′＝AC′，
设C′（n，﹣n﹣3），
∴（1﹣n）2+（﹣n﹣3）2＝（❑√10）2，解得n＝﹣2或0（舍去），
∴C′（﹣2，﹣1），
∴（﹣2﹣m）2+（﹣m﹣3+1）2＝（❑√10）2，
∴m＝﹣2−❑√5或﹣2+❑√5（舍去），
∴点Q的坐标为（﹣2−❑√5，❑√5−1）；
5 1
综上，点Q的坐标为（− ，− ）或（❑√5，−❑√5−3）或（﹣2−❑√5，❑√5−1）．
2 2
【类型4 二次函数与等腰三角形问题】
1．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴
1
交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为− ．
2
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△BCD的面积；
（3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN
为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；1 7
（2）先求出D(− ， )，设直线l的解析式为：y＝px+q，利用待定系数法求出直线 l的解析式为
2 4
1 3 3 3
y=− x+ ，进而得到E(0， )，根据抛物线的解析式求出点 C 坐标，得到CE= ，最后根据
2 2 2 2
1
S = CE⋅(x −x )，即可求解；
△BCD 2 B D
（3）设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，得到P（1，
0），N（1，1），设M（1，a），分两种情况讨论：当BN＝MN时，当BM＝MN时，结合勾股定理求
解即可．
【解答】解：（1）解：将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
{−1−b+c=0
)
，
−9+3b+c=0
{b=2)
解得： ，
c=3
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
1 1 2 1 7
（2）将x=− 代入y＝﹣x2+2x+3得：y=−(− ) +2×(− )+3= ，
2 2 2 4
1 7
∴D(− ， )，
2 4
设直线l的解析式为：y＝px+q，
1 7
将点D(− ， )，B（3，0）代入得：
2 4
{
3p+q=0
)
1 7
− p+q=
2 4
1
{p=− )
2
，解得：
3
q=
2
1 3
，∴直线l的解析式为：y=− x+ ，
2 2
1 3 3
在y=− x+ 中，令x＝0，则y= ，
2 2 23
∴E(0， )，
2
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
3 3
∴CE=3− = ，
2 2
1 7
∵D(− ， )，B（3，0），
2 4
1 1 3 1 21
∴S = CE⋅(x −x )= × ×(3+ )= ；
△BCD 2 B D 2 2 2 8
3
（3）存在，点M的坐标为(1，❑√5+1)或(1，−❑√5+1)或(1，− )，理由如下：
2
设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，
2
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=− =1，
2×(−1)
∴P（1，0），
1 3 1 3
把x＝1代入直线y=− x+ 中得：y=− ×1+ =1，
2 2 2 2
∴N（1，1），
∴PN＝1，BP＝3﹣1＝2，
∴BN=❑√PN2+BP2=❑√12+22=❑√5，
设M（1，a），
当BN＝MN时，|a−1|=❑√5，
解得：a=❑√5+1或a=−❑√5+1，
∴M (1，❑√5+1)或M (1，−❑√5+1)，
1 2
当BM＝MN时，
在Rt△PBM 中，由勾股定理可得：
3
BM 2=PM 2+BP2，
3 3
即（1﹣a）2＝a2+22，
3
解得：a=− ，
23
∴M (1，− )，
3 2
3
综上所述，存在，点M的坐标为(1，❑√5+1)或(1，−❑√5+1)或(1，− )，使△BMN是以MN为腰
2
的等腰三角形．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，
0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰
三角形，求新抛物线的解析式．
【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）利用等腰三角形定义分类求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
∴﹣4a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），设直线BC的解析式为：y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上，
∴P（m，﹣m+3），（0≤m≤3），
∴设新抛物线的解析式为y＝s（x﹣m）2﹣m+3，
∵点A（1，0）、点B（3，0），
∴PA2＝（m﹣1）2+（﹣m+3）2，PB2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，AB2＝4．
分情况讨论：
（1）当PA＝PB时，则（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得m＝2，
此时，P（2，1），
∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣2）2+1，
∵新抛物线经过原点，
∴0＝4s+1，
1
解得s=− ，
4
1
∴新抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+1；
4
（2）当PA＝AB时，（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝4，
解得m ＝1，m ＝3（此时P与B重合，舍去），
1 2
∴P（1，2），
∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣1）2+2，
∵新抛物线经过原点，
∴0＝s+2，
解得s＝﹣2，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2．
1
综上所述，新抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+1或y＝﹣2（x﹣1）2+2．
4
3．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB
上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大？
（3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达
式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可；
（3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于
点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0），
{9a−3b+3=0)
∴ ，
a+b+3=0
{a=−1)
解得： ，
b=−2
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
3 9
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t=−(t+ ) 2+ ，
2 4
∵a＝﹣1＜0，3
∴当t=− 时，DP的长最大，
2
3 15
此时，点P的坐标为（− ， ）；
2 4
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴x ﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
E
∴x ＝﹣2﹣t，
E
∴PE＝|x ﹣x |＝|﹣2﹣2t|，
E P
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t ＝1（舍去），t ＝﹣2，
1 2
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
−5+❑√17 −5−❑√17
解得：t = ，t = （舍去），
1 2 2 2
−5+❑√17 −5+3❑√17
∴P（ ， ），
2 2
−5+❑√17 −5+3❑√17
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（ ， ）时，使△PDE为等腰直角三角形．
2 2
4．如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两
点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接AC、BC，求S△ABC ；（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存
在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4），
∴4＝3+m，
∴m＝1，
∴y＝﹣x+1，
∴B（0，1），
二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
顶点坐标为C（﹣1，0）；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为直线x＝﹣1，
∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D，
∴设点D（﹣1，y），
∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2，
∴D（﹣1，2），
1 1
∴△ABC的面积＝S△ACD +S△BCD =
2
×2×2+
2
×2×1=3；
（3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
∵顶点坐标为C（﹣1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣1，
过点A作AE⊥CD于点E，
在Rt△ACE中，AC=❑√AE2+CE2=❑√22+42=2❑√5．①当AQ＝CQ时，设CQ＝m，
在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2
∴22+（4﹣m）2＝m2
5
解之得m=
2
5
∴Q (−1， )；
1 2
②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4，
∴CE＝2CE＝8，
∴Q （﹣1，8）；
2
③当CA＝CQ时，CQ=AC=2❑√5，
∴Q (−1，2❑√5)，Q (−1，−2❑√5)．
3 4
5
综上所述：点Q的坐标为(−1， )或（﹣1，8）或(−1，2❑√5)或(−1，−2❑√5)．
2
5．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，并且与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线BC的解析式为 y ＝﹣ x + 4 ；
（3）若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的
长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；
（4）在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，
请证明；如果不存在，说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）由抛物线解析式得出点C坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）由题意知M（t，﹣t2+3t+4），N（t，﹣t+4），则MN＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，从而
得出答案；
（4）分当PC＝BC或PB＝BC或PC＝BC三种情形，分别求解．
【解答】解：（1）∵物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
{ a−3+c=0 )
∴ ，
16a+3×4+c=0
{a=−1)
解得 ，
c=4
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点B（4，0）、C（0，4）代入得：
{4k+b=0)
，
b=4
{k=−1)
解得 ，
b=4
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
故答案为：y＝﹣x+4；
（3）如图，∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，
∴M（t，﹣t2+3t+4），
∵MN⊥x轴，
∴N（t，﹣t+4），
∴MN＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∴h＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0＜t＜4），
∴当t＝2时，h的值最大，最大值为4；
（4）存在，理由如下：
当PC＝BC时，
∵OC⊥BP，
∴OP＝OB，
∵B（4，0），点P在x轴的负半轴上，
∴P（﹣4，0），
当PB＝BC时，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OC＝OB＝4，
∴BP＝BC=❑√42+42=4❑√2，
∴OP＝BP﹣OB＝4❑√2−4，
∵点P在x轴的负半轴上，
∴P（4﹣4❑√2，0）；
当PC＝PB时，点P位于BC的垂直平分线上，
∵OB＝OC＝4，
∴点O位于BC的垂直平分线上，
∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去；
综上，在x轴的负半轴上存在点P（﹣4，0）或（4﹣4❑√2，0），使以B，C，P三点为顶点的三角形
为等腰三角形．
6．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作
CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．
（1）填空：m＝ 3 ，a＝ ﹣ 1 ，c＝ ﹣ 3 ；
（2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接 OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；
（3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角
形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c，可得a＝﹣1，c＝﹣3，可得抛物线
的解析式，令y＝0解方程可得点B的坐标，即可得m的值；
（2）连接PC，由点P的横坐标为n得P（n，﹣n2+4n﹣3），根据面积和可得四边形OCDP的面积，
利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点 P的坐标列方程求得n
的值，即可得点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c得，
{a−4a+c=0) {a=−1)
，解得 ，
c=−3 c=−3
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x﹣3，
y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝3或1，
∴B（3，0），
∴m＝3，
故答案为：3，﹣1，﹣3；
（2）连接PC，∵C（0，﹣3），CD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D的纵坐标为﹣3，
﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝0或4，
∴D（4，﹣3），
∵点P的横坐标为n，
∴P（n，﹣n2+4n﹣3），
∴S四边形OCDP ＝S△COP +S△PCD ，
1 1
= ×3n+ ×4（﹣n2+4n﹣3+3）
2 2
19
＝﹣2n2+ n，
2
19 361
＝﹣2（n− ）2+ ，
8 32
∵﹣2＜0，
19
∴当n=
8
时，S四边形OCDP 有最大值，
19
∴n的值为 ；
8
（3）∵y＝﹣x2+4x﹣3，
4
∴抛物线的对称轴为直线x =− = 2，
2×(−1)
∴点Q的横坐标为2，
分三种情况：
①当P为直角顶点时，PQ＝PD，如图2，过P作MN∥y轴，过Q作QM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，
∴∠PMQ＝∠DNP＝90°，
∵△PQD是等腰直角三角形，且PQ＝PD，∠DPQ＝90°，
∴∠MPQ+∠PQM＝∠MPQ+∠DPN＝90°，
∴∠PQM＝∠DPN，
∴△PQM≌△DPN（AAS），
∴QM＝PN，
∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，
∴PN＝QM＝|2﹣n|，
5+❑√17 5−❑√17 3±❑√17
∴3﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3，解得n= 或 或
2 2 2
5+❑√17 −7−❑√17 5−❑√17 −7+❑√17 3+❑√17 7−❑√17
∴点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（
2 2 2 2 2 2
3−❑√17 7+❑√17
， ）；
2 2
②当D为直角顶点时，DQ＝PD，如图3，过D作MN∥y轴，过P作PM⊥MN于M，过Q作QN⊥MN
于N，同理△PDM≌△DQN（AAS），
∴DM＝QN，
∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，
∴DM＝QN＝4﹣2＝2，
∴3﹣2＝n2﹣4n+3，解得n＝2+❑√2或2−❑√2，
∴点P的坐标为（2+❑√2，﹣1）或（2−❑√2，﹣1）；
如图5，
同理△PDM≌△DQN（AAS），
∴PM＝DN，DM＝QN，
∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，
∴DM＝QN＝4﹣2＝2，∴2＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝2+❑√6或2−❑√6，
∴点P的坐标为（2+❑√6，﹣5）或（2−❑√6，﹣5）；
③当Q为直角顶点时，DQ＝PQ，如图4，过P作PM⊥l于M，过D作DN⊥l于N，
同理△PQM≌△QDN（AAS），
∴QM＝DN，PM＝QN，
∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2，
∴DN＝QM＝4﹣2＝2，PM＝QN＝|2﹣n|，
∴MN＝QM﹣QN＝2﹣|2﹣n|，
∴2﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝0或5或4或﹣1，
当n＝4时与D重合，舍去，
∴点P的坐标为（0，﹣3）或（5，﹣8）或（﹣1，﹣8）；
5+❑√17 −7−❑√17 5−❑√17 −7+❑√17
综上所述，点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（2+❑√2，﹣1）或
2 2 2 2
（2−❑√2，﹣1）或（2+❑√6，﹣5）或（2−❑√6，﹣5）或（5，﹣8）或（4，﹣3）或（﹣1，﹣8）．
【类型5 二次函数与直角三角形问题】
1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点
B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值；
（3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的
坐标．【分析】（1）根据A（﹣1，0），BC＝2OA，得到OA＝1，BC＝2，对y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝
﹣3，得到C（0，﹣3），则OC＝3，根据BC∥x轴，得到B（2，﹣3），把A（﹣1，0），B（2，﹣
3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得 a，b的值，即可求得到抛物线解析式；
（2）由题意得，Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
故|m2﹣2m|＝7，解方程即可；
（3）抛物线解析式并配方为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线 x＝1，设P
（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1，AC2＝12+32＝10，根据△PAC是
以AC为直角边的直角三角形，分两种情况：当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，当∠PCA＝90°时，
PC2+AC2＝AC2，分别列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），BC＝2OA，
∴OA＝1，BC＝2，
在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），则OC＝3，
∵BC∥x轴，
∴B（2，﹣3）；
把点A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3得：
{ a−b−3=0 )
，
4a+2b−3=−3
{ a=1 )
解得： ，
b=−2
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
∴|m2﹣2m|＝7，则m2﹣2m＝7①或m2﹣2m＝﹣7②，
解①得：m=1+❑√2或m=1−❑√2；
解②无解，
∴m=1+❑√2或m=1−❑√2；（3）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线 x＝1，
设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12，AC2＝12+32＝10，
∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，
∴当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，
∴m2+4+10＝（m+3）2+1，
2
解得：m=
3
2
∴P(1， )；
3
当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝PA2，
∴（m+3）2+12+10＝m2+4，
8
解得：m=− ，
3
8
∴P(1，− )，
3
2 8
综上：P(1， ) 或 P(1，− )．
3 3
2．在平面直角坐标系中，把与 x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 L ：
1
1 1
y=− x2− x+2交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L 与L 是“共根抛物
4 2 2 1
线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L 经过点（1，﹣5），求抛物线L 对应的函数关系式；
2 2
（2）当△BPC的周长最小时，求抛物线L 对应的函数关系式；
2
（3）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线 L
2
对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．1 1
【分析】（1）根据抛物线L ：y=− x2− x+2求出点A，B的坐标，由抛物线L 与L 是“共根抛物
1 4 2 2 1
线”，可设出抛物线L 的解析式，最后把点（1，﹣5）代入即可求解；
2
（2）连接AC交对称轴直线x＝﹣1于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小，先求出
直线AC的解析式，从而求出点P的坐标，据此即可求解；
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），求得AC=2❑√5，PC=❑√(2−m) 2+12，PA=❑√m2+32，分点P在x
轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解．
1 1 1 1
【解答】解：（1）在抛物线L ：y=− x2− x+2中，令y＝0，则0=− x2− x+2，
1 4 2 4 2
解得：x＝﹣4或x＝2，
即点A（﹣4，0），点B（2，0），
根据题意，设抛物线L 的函数关系式为：y＝a（x+4）（x﹣2），
2
将点（1，﹣5）代入得：﹣5＝a（1+4）（1﹣2），
解得：a＝1，
∴抛物线L 的函数关系式为：y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8；
2
−4+2
（2）连接AC交对称轴直线x= =−1于点P，连接BP，交y轴于点E，此时△BPC的周长最小．
2
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A（﹣4，0）代入得，0＝﹣4k+2，
1
解得：k= ，
2
1
∴直线AC的解析式为y= x+2，
2
3
当x＝﹣1时，y= ，
23
∴点P的坐标为(−1， )，
2
3 3
将点(−1， )代入y＝a（x+4）（x﹣2）得： =a(−1+4)(−1−2)，
2 2
1
解得：a=− ，
6
1
∴抛物线L 的函数关系式为：y=− (x+4)(x−2)；
2 6
（3）假设存在，设点P的坐标为（﹣1，m），
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AC=❑√22+42=2❑√5，PC=❑√(2−m) 2+12，PA=❑√m2+32，
当点P在x轴上方时，
由题意得AC2+PC2＝AP2，即(2❑√5) 2+[❑√(2−m) 2+12 ] 2 =(❑√m2+32 ) 2 ，
解得m＝4，
即点P的坐标为（﹣1，4），
将点（﹣1，4）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：4＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2），
4
解得：a=− ，
9
4
∴抛物线L 的函数关系式为：y=− (x+4)(x−2)；
2 9
当点P在x轴下方时，
由题意得AC2+AP2＝PC2，即(2❑√5) 2+(❑√m2+32 ) 2 =[❑√(2−m) 2+12 ] 2 ，
解得m＝﹣6，
即点P的坐标为（﹣1，﹣6），
将点（﹣1，﹣6）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：﹣6＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2），
2
解得：a= ，
3
2
∴抛物线L 的函数关系式为：y= (x+4)(x−2)；
2 3
2 4
综上，抛物线L 的函数关系式为：y= (x+4)(x−2)或y=− (x+4)(x−2)．
2 3 9
3．如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y＝x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为
直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y
＝x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE＝﹣
x2+3x+4，然后依据S△BDP ＝S△DPE +S△BPE ，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的
性质求解即可；
（3）设直线y＝x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐
标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG＝90°和∠DGQ＝90°两种情况求
解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）＝﹣8，
解得a＝1，
∴该抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣4）或y＝x2﹣2x﹣8．
{y=x2−2x−8)
联立方程组： ，
y=x−4
{x=4) {x=−1)
解得 （舍去）或 ，
y=0 y=−5
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交BD于点E，
设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4．
1 1 1 5 5
∴S△BDP ＝S△DPE +S△BPE =
2
PE•（x
p
﹣x
D
）+
2
PE••（x
B
﹣x
E
）=
2
PE•（x
B
﹣x
D
）=
2
（﹣x2+3x+4）=−
2
3 125
（x− ）2+ ．
2 8
3 125
∴当x= 时，△BDP的面积的最大值为 ．
2 8
3 35
∴P（ ，− ）．
2 4
（3）设直线y＝x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐
标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB＝OK＝4．
∴∠OKB＝∠OBK＝45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG＝45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG＝90°时，过点D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，QG＝﹣x2+3x+4，DH＝x+1，
∴﹣x2+3x+4＝2（x+1），解得：x＝﹣1（舍去）或x＝2，
∴Q （2，﹣2）．
1
②当∠DGQ＝90°，则DH＝QH．
∴﹣x2+3x+4＝x+1，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，
∴Q （3，﹣1）．
2
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
4．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△MBC的面积；（3）对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 N的坐
标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当y＝0时，代入y＝x2﹣2x﹣3即可求解；
（2）设直线BC与抛物线的对称轴交于点G，先确定C（0，﹣3），然后利用待定系数法可得y ＝x﹣
BC
3，再将y＝x2﹣2x﹣3配成顶点式可得M（1，﹣4），进而得到G（1，﹣2），GM＝2，即可求解；
（3）设N（1，t），可得：BC2＝18，BN2＝t2+4，CN2＝t2+6t+10，分三种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，
x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设y ＝kx+b，
BC
{3k+b=0)
，
b=−3
{ k=1 )
解得： ，
b=−3
∴y ＝x﹣3，
BC
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
设直线BC与抛物线的对称轴交于点G，
则G（1，﹣2），
∴GM＝﹣2﹣（﹣4）＝2，1
∴S = ×2×3=3；
△MBC 2
（3）对称轴上存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形；理由如下：
∵B（3，0），C（0，﹣3），设N（1，t），
则：BC2＝32+32＝18，
BN2＝22+t2＝t2+4，
CN2＝12+（t+3）2＝t2+6t+10，
当BC边为斜边时：
BN2+CN2＝BC2，
t2+6t+10+t2+4＝18，
−3+❑√17 −3−❑√17
解得：t = ，t = ，
1 2 2 2
−3+❑√17 −3−❑√17
∴N (1， )，N (1， )；
1 2 2 2
当BN边为斜边时：
BC2+CN2＝BN2，
t2+6t+10+18＝t2+4，
解得：t＝﹣4，
∴N （1，﹣4）；
3
当CN边为斜边时：
BC2+BN2＝CN2，
t2+4+18＝t2+6t+10，
解得：t＝2，
∴N （1，2）；
4
−3+❑√17
综上所述：存在点 N，使得以 B，C，N 为顶点的三角形是直角三角形，N (1， )，
1 2
−3−❑√17
N (1， )，N （1，﹣4），N （1，2）．
2 2 3 4
【类型6 二次函数与平行四边形问题】
1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
1
（2）过E点作EG∥y轴交BC于点G，设E（t，−
2
t2+t+4），则G（t，﹣t+4），可得S△BCE ＝﹣（t﹣
2）2+4，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
1
（3）设Q（1，m），P（n，− n2+n+4），B（0，4），C（4，0），根据平行四边形的对角线分三种
2
情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
将B、C点代入y＝ax2+x+c，
{16a+4+c=0)
∴ ，
c=4
{ a=− 1 )
解得 2 ，
c=4
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+x+4；
2
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过E点作EG∥y轴交BC于点G，
1
设E（t，− t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
21
∴EG=− t2+2t，
2
1 1
∴S△BCE =
2
×（−
2
t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
1 1 9
∵y=− x2+x+4=− （x﹣1）2+ ，
2 2 2
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
1
设Q（1，m），P（n，− n2+n+4），B（0，4），C（4，0），
2
①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4，
解得n＝3，
5
∴P（3， ）；
2
②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5，
7
∴P（5，− ）；
2
③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1，
解得n＝﹣3，
7
∴P（﹣3，− ）；
2
5 7 7
综上所述：P点坐标为（3， ）或（5，− ）或（﹣3，− ）．
2 2 2
2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，已知A（﹣
1，0），连接BC，抛物线对称轴与BC交于点E．（1）求b的值及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知b及顶点D的坐标；
（2）结合第一问求得直线BC解析式，可求得DE的长．根据题意设P（a，a2﹣2a﹣3）和Q（a，a﹣
3）分类讨论即可求得答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得：
0＝（﹣1）2+b×（﹣1）﹣3，
解得：b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）．
（2）存在以DE为边，且以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，﹣3）代入得：
{0=3m+n)
，
−3=n
{m=1
)
解得： ，
n=−3
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴E（1，﹣2），
则DE＝2．
设P（a，a2﹣2a﹣3）、Q（a，a﹣3）分类讨论：
①当点P在点Q下方时，
（a2﹣2a﹣3）﹣（a﹣3）＝2，
3+❑√17 3−❑√17
解得：a = ，a = ，
1 2 2 2
②当点P在点Q上方时，
（a﹣3）﹣（a2﹣2a﹣3）＝2，
解得：a ＝1（舍去），a ＝2，
1 2
3+❑√17 1+❑√17 3−❑√17 1−❑√17
综上所述，点P的坐标为（2，﹣3）或( ， )或( ， )．
2 2 2 2
3．如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣
1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出
N的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
1 3 1 1
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，− t2+ t+2），则Q（t，− t+2），则S= ×4×（
2 2 2 2
1
− t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
2
1 3
（3）设M（m，− m2+ m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐
2 2
标公式求n的值即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c，{
a−b+c=0
)
∴ c=2 ，
16a+4b+c=0
1
{a=− )
2
解得 ，
3
b=
2
1 3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+2；
2 2
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
1
解得k=− ，
2
1
∴直线BC的解析式为y=− x+2，
2
过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
1 3 1
设P（t，− t2+ t+2），则Q（t，− t+2），
2 2 2
1 3 1 1
∴PQ=− t2+ t+2+ t﹣2=− t2+2t，
2 2 2 2
1 1
∴S= ×4×（− t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
2 2
当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）；
1 3
（3）设M（m，− m2+ m+2），N（n，0），
2 2
1 3
当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2=− m2+ m+2，
2 2
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1，
∴N（1，0）；
1 3
当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0=− m2+ m+4，
2 2
3+❑√41 −5+❑√41 3−❑√41 −5−❑√41
解得m= ，n= 或m= ，n= ，
2 2 2 2
−5+❑√41 −5−❑√41
∴N（ ，0）或（ ，0）；
2 21 3
当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2=− m2+ m+2，
2 2
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7，
∴N（7，0）；
−5+❑√41 −5−❑√41
综上所述：N点坐标为（1，0）或（ ，0）或（ ，0）或（7，0）．
2 2
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上
的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D．
（1）求A，B的坐标和直线BC的解析式；
（2）连接BP，求△CPB面积的最大值；
（3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，
E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
【分析】（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一
次函数解析式即可；
（2）根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3，得出P（t，﹣
3 3
t2+2t+3），D（t，﹣t+3），从而得出PD＝﹣t2+3t，然后由三角形的面积公式得出S△CPB =−
2
（t−
2
）
27
2+ ，再由函数的性质求最值即可；
8（3）分四边形PDEQ为平行四边形和四边形PDQE为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出PD，
EQ，再根据PD＝EQ得出关于t的方程，解方程求出t即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{3k+b=0)
把B（3，0），C（0，3）代入解析式得： ，
b=3
{k=−1)
解得 ，
b=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3，
∴P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
1 1 3 3 3 27
∴S△CPB =
2
PD•OB =
2
（﹣t2+3t）×3 =−
2
（t2﹣3t）=−
2
（t−
2
）2+
8
，
3
∵− ＜0，
2
3 27
∴当t =
2
时，S△CPB 有最大值，最大值为
8
，
27
∴△CPB面积的最大值为 ；
8
（3）①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时，
∵PM⊥x轴，QF⊥x轴，
∴PD∥EQ，∵四边形PDEQ为平行四边形，
∴PD＝QE，
∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，E在直线y＝﹣x+3，
∴Q（t+2，﹣t2﹣2t+3），E（t+2，﹣t+1），
∴QE＝﹣t2﹣2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2﹣2t+3+t﹣1＝﹣t2﹣t+2，
∴﹣t2+3t＝﹣t2﹣t+2，
1
解得t= ；
2
②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时，
同①得出QE＝﹣t+1﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+t﹣2，
∴﹣t2+3t＝t2+t﹣2，
1+❑√5 1−❑√5
解得t = ，t = ，
1 2 2 2
∵0＜t＜3，
1+❑√5
∴t= ．
2
1 1+❑√5
综上所述，t= 或 ．
2 2
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线
的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称
点 D′（0，﹣2），连接 D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即 MH+DH 的最小值为
D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据
平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
{−1−b+c=0)
，
c=3
{b=2)
解得： ，
c=3
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
{ k+d=4 )
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则 ，
−k+d=0
{k=2)
解得： ，
d=2
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图1，∴DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M=❑√(1−0) 2+(4+2) 2=❑√37，
∴MH+DH的最小值为❑√37；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
如图2，当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，得：{ 0+1=m+1 )
，
2+4=−m2+2m+3+n
{m=0)
解得： ，
n=3
∴Q（1，3）；
如图3，当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，得：
{ 0+m=1+1 )
，
2−m2+2m+3=4+n
{m=2)
解得： ，
n=1
∴Q（1，1）；
如图4，当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，得：{ 0+1=1+m )
，
2+n=4−m2+2m+3
{m=0)
解得： ，
n=5
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点 Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点 Q的坐标为
（1，3）或（1，1）或（1，5）．
【类型7 二次函数与矩形问题】
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C
的坐标为（0，3），直线l经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC
于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以
C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为y＝﹣x+3，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），所以S四ECFD
＝S△CDE +S△CDF ＝﹣m2+3m，即可求面积的最大值；
3❑√2
（3）设P（n，﹣n2+2n+3），①当CP⊥PB时，根据PJ= 构建方程求解；②当CP⊥CB时，P
2
（1，4），可求P点横坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，{−9+3b+c=0)
则有 ，
c=3
{b=2)
∴ ，
c=3
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为x＝1，
∵CD∥x轴，
∴D（2，3），
∴CD＝2，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+3，
设E（m，﹣m2+2m+3），
∵EF⊥CD交线段BC于点F，
∴F（m，﹣m+3），
1 1
∴S四边形ECFD ＝S△CDE +S△CDF =
2
×2×（﹣m2+2m）+
2
×2×m＝﹣m2+3m，
3 9
当m= 时，四边形ECFD的面积最大，最大值为 ；
2 4
3 15
此时E（ ， ）；
2 4
（3）设P（n，﹣n2+2n+3），
3 3
①当CP⊥PB时，设BC的中点为J（ ， ），
2 2
1 3❑√2
则有PJ= BC= ，
2 2
3 3 3❑√2
∴（n− ）2+（﹣n2+2n+3− ）2＝（ ）2，
2 2 2
整理得n（n﹣3）（n2﹣n﹣1）＝0，
1±❑√5
∴n＝0或3或 ，
2
∵P在第一象限，
1+❑√5
∴P点横坐标为 ；
2②当CP⊥CB时，P（1，4）．
∴P点横坐标为1；
1+❑√5
综上所述：P点横坐标为 或1．
2
2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四
边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4），进而得到M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）；再表
示出PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定
理解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得：
{ a−b−3=0 )
，
9a+3b−3=0
{ a=1 )
解得： ，
b=−2
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C点的坐标为（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入得：{3k+b=0)
，
b=−3
{ k=1 )
解得： ，
b=−3
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4）．
∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2），
∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2，
∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，
当a＝1时，（PM+QN） ＝4，
max
∴Q（2，﹣3）；
（3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴y′的对称轴为x＝2
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C．
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°；
如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，
∵D在y′的对称轴为x＝2，
∴FD＝2，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单
位可得到E（5，﹣3）；
如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于F，∵D在y′的对称轴为x＝2，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单
位可得到点E（﹣1，﹣2）；
如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D（2，d），E（m，n），
3 3
∴BC的中点F的坐标为（ ，− ），依题意得：
2 2
2+m 3
{ = )
2 2
，
d+n 3
=−
2 2
{ m=1 )
解得： ，
d+n=−3
又∵DE＝BC，∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：d﹣n＝±❑√17，
{d−n=±❑√17)
联立 ，
d+n=−3
−3±❑√17
解得：n= ，
2
−3−❑√17 −3+❑√17
∴点E的坐标为(1， )或(1， )．
2 2
−3−❑√17 −3+❑√17
综上，存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣2）或(1， )或(1， )使以点B、C、D、E为
2 2
顶点的四边形是矩形．
1
3．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为A（4，4），与直线y= x交于点O和点C．
4
（1）直接写出点B的坐标 （ 8 ， 0 ） ；
（2）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
1
（3）如图2，点T（t，0）（t＞0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y= x于
4
点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG＝2．当矩形DEFG的面积
随着t的增大而增大时，求t的取值范围．
【分析】（1）作AD⊥OB交OB于点D，则D（4，0），得到 OD＝4，由二次函数的性质可得 OD＝
BD＝4，即可得出点B的坐标，
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将B（8，0）代入抛物线得：a×（8﹣4）2+4＝0，求出a
1
{y=− x2+2x)
4
的值，即可得出抛物线解析式，联立 ．即可求出点C的坐标．
1
y= x
41 1
（3）根据题意得 D(t， t)，E(t，− t2+2t)，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在
4 4
点C的右侧时，分别计算即可得到答案．
【解答】解：（1）如图1，作AD⊥OB交OB于点D，
∵A（4，4），
∴D（4，0），
∴OD＝4，
∵O、B为二次函数与x轴的交点，
∴O、B关于直线AD对称，
∴OD＝BD＝4，
∴OB＝OD+BD＝4+4＝8，
∴B（8，0）．
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
将B（8，0）代入抛物线得：a×（8﹣4）2+4＝0，
1
解得：a=− ，
4
1 1
∴抛物线解析式为y=− (x−4) 2+4=− x2+2x，
4 4
1
{y=− x2+2x)
4
联立 ，
1
y= x
4
解得：x ＝7，x ＝0（不符合题意，舍去），
1 2
7
当x＝7时，y= ，
4
7
∴C(7， )．
41
（3）∵点T（t，0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y= x于点D，交抛物线
4
于点E，
1 1
∴D(t， t)，E(t，− t2+2t)，
4 4
如图2，当点D在点C左侧时，
1 1 1 7
DE=− t2+2t− t=− t2+ t，
4 4 4 4
1 7 1 1 7 2 49
∴S =DG⋅DE=2⋅(− t2+ t)=− (t2−7t)=− (t− ) + ，
矩 形DEFG 4 4 2 2 2 8
1
∴− ＜0，
2
7
∴当0＜t≤ 时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大，
2
如图3，当点D在点C右侧时，
点D是和直线的交点，点E是和抛物线的交点，1 1 1 7
DE= t2−2t+ t= t2− t，
4 4 4 4
1 7 1 1 7 2 49
∴S =DG⋅DE=2⋅( t2+ t)= (t2−7t)= (t− ) + ，
矩 形DEFG 4 4 2 2 2 8
1
∴ ＞0，
2
∴当7＜t≤8时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大．
7
综上所述，当0＜t≤ 或7＜t≤8时，矩形DEFG的面积随着t的增大而增大．
2
4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC
于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛
物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩
形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+3）（x﹣1），展开得﹣3a＝3，解方程求出a即可得到抛物线解析
式；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出 EF的表达式，从而建立起PD+EF
的函数表达式，最终利用二次函数的性质求最值；
（3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由题意，C（0.3），则△OAC为等腰直角三角形，∠CAO＝45°，
{k=1)
设AC的解析式为y ＝kx+b，将A（﹣3，0）与C（0.3）代入得 ，则y ＝x+3，
AC b=3 AC
∵点P在抛物线上，PD∥y轴交AC于点D，
∴设P（m，﹣m2﹣2m+3），则D（m，m+3），PD＝﹣m2﹣3m，其中﹣3＜m＜0，
如图，延长FE交PD于点G，则FG⊥PD，
1 −m2−3m
且由题可知，△PDE为等腰直角三角形，由”三线合一“知，EG= PD= ，
2 2
m2+m
∴EF= ，
2
m2+m 1 5 1 5 25
∴PD+EF＝﹣m2﹣3m+ =− m2− m=− （m+ ）2+ ，
2 2 2 2 2 8
5 25 5 7
由二次函数的性质可得，当m=− 时，PD+EF最大值为 ，此时P（− ， ）；
2 8 2 4
（3）由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M
（﹣2，3）；
①以AM为边，作MN ⊥AM交对称轴于N ，可构造矩形AMN H ，设N （﹣1，y ），
1 1 1 1 1 1
∴AM2＝10，MN 2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y ﹣3）2，AN 2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y ﹣0）2，
1 1 1 1
∵AM2+MN 2＝AN 2，
1 1
∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y ﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y ﹣0）2，
1 1
8 8
解得y = ，即N （﹣1， ），
1 3 1 3
此时设H （p ，q ），由A、M、N 、H 四点的相对位置关系可得：
1 1 1 1 1{(−1)+(−3)=(−2)+p
1)
{p
1
=−2
)
8 ，解得： 1 ，
0+ =3+q q =−
3 1 1 3
1
∴H （﹣2，− ）；
1 3
②同理，以AM为边，作MN ⊥AM交对称轴于N ，可构造矩形AMH N ，设N （﹣1，y ），
2 2 2 2 2 2
∵AM2+AN 2＝MN 2，
2 2
∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y ﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y ﹣3）2，
2 2
2 2
解得y =− ，即N （﹣1，− ），
2 3 2 3
此时设H （p ，q ），由A、M、N 、H 四点的相对位置关系可得：
2 2 2 2 2
{(−1)+(−2)=(−3)+p
2)
{p
2
=0
)
2 ，解得： 7 ，
3+(− )=0+q q =
3 2 2 3
7
∴H （0， ）；
2 3
③以AM为对角线，作MN ⊥AN 交对称轴于N ，可构造矩形AN MH ，设N （﹣1，y ），
3 3 3 3 3 3 3
∵AM2＝AN 2+MN 2，
3 3
∴10＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y ﹣0）2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y ﹣3）2，
3 3
解得y ＝1，y ＝2，即N （﹣1，1），N （﹣1，2），
3 4 3 4
此时设H （p ，q ），由A、M、N 、H 四点的相对位置关系可得：
3 3 3 3 3
{(−3)+(−2)=(−1)+p
)
{p =−4
)
3 3
，解得： ，
3+0=1+q q =2
3 3
∴H （﹣4，2）；
3设H （p ，q ），由A、M、N 、H 四点的相对位置关系可得：
4 4 4 4 4
{(−3)+(−2)=(−1)+p
)
{p =−4
)
4 4
，解得： ，
3+0=2+q q =1
4 4
∴H （﹣4，1）．
4
1 7
综上所述，点H的坐标为（﹣2，− ）或（0， ）或（﹣4，2）或（﹣4，1）．
3 3
【类型8 二次函数与菱形问题】
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A
（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于
1
点F，当DF= EF时，求点E的坐标；
3
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，
使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解；（2）待定系数法求出直线AC的解析式，设D（m，0），分别表示出E和F的坐标，进而得到DF和
1
EF，利用DF= EF，列式计算即可；
3
（3）分AE是边和AE是对角线两种情况，进行讨论求解．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
{16a−4b+c=0
)
a+b+c=0 ，
c=−2
1
{a=
)
2
解得 3 ，
b=
2
c=−2
1 3
∴抛物线的解析式为y= x2+ x−2；
2 2
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+d，将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得：
{−4k+d=0)
，
d=−2
{ k=− 1 )
解得 2 ，
d=−2
1
∴直线AC的解析式为y=− x−2，
2
1 3 1
设D（m，0），则E(m， m2+ m−2)，F(m，− m−2)，
2 2 2
1 1 1 3 1
∴DF= m+2，EF=− m−2−( m2+ m−2)=− m2−2m，
2 2 2 2 2
1
∵DF= EF，
3
1 1 1
∴ m+2= (− m2−2m)，
2 3 2
解得m＝﹣3或﹣4（不合题意，舍去），
1 3
将m＝﹣3代入 m2+ m−2得：
2 21 3
m2+ m−2=−2，
2 2
∴E（﹣3，﹣2）；
（3）存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，△AEM是等腰三角形，
∵E（﹣3，﹣2），A（﹣4，0），
∴AD＝﹣3﹣（﹣4）＝1，DE＝2，
1 3
∵y= x2+ x−2，
2 2
3
2 3
∴对称轴为：直线x=− =− ，
1 2
2×
2
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=❑√AD2+DE2=❑√5，
①当AE是边时，
3 5
当AM=AE=❑√5时，点A到直线l的距离为− −(−4)= ＞❑√5，
2 2
∴此时点M不存在；
当EM=AE=❑√5时，如图，此时菱形为AM EN或AM EN，
1 2
过点E作EH⊥l于点H，
3 3
则y ＝y ＝﹣2，EH=− −(−3)= ，
H E 2 2
❑√11
在Rt△EMH中，由勾股定理得MH=❑√EM2−EH2= ，
2
❑√11 ❑√11
∴y =−2+ 或y =−2− ，
M 2 M 23 ❑√11 3 ❑√11
∴M (− ，−2+ )，M (− ，−2− )，
1 2 2 2 2 2
3 ❑√11
当点M(− ，−2+ )时，由EM＝AN得x ﹣x ＝x ﹣x ，y ﹣y ＝y ﹣y ，
2 2 M E N A M E N A
3 ❑√11
即− −(−3)=x −(−4)，−2+ −(−2)= y −0，
2 N 2 N
5 ❑√11
解得x =− ，y = ，
N 2 N 2
5 ❑√11
∴N (− ， )，
1 2 2
5 ❑√11
同理，可得N (− ，− )；
2 2 2
②当AE是对角线时，MA＝ME，此时菱形为AM EN，设对称轴与x轴交于点G，
3
∵MA2＝ME2，
∴MG2+AG2＝MH2+EH2，
3 5 2 3 2
设M(− ，n)，则n2+( ) =(n+2) 2+( ) ，
2 2 2
解得n＝0，
3
∴M (− ，0)，点M 在x轴上，
3 2 3
3 5
则EN=AM =− +4= =x −x =−3−x ，
3 2 2 E N N
11
解得x =− ，y ＝y ＝﹣2，
N 2 N E
11
∴N (− ，−2)，
3 2
5 ❑√11 5 ❑√11 11
综上：N (− ， )，N (− ，− )，N (− ，−2)．
1 2 2 2 2 2 3 2
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C（0，
4）．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线
AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐
标；
（3）在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛
物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点 N，
使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标．
【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），利代入点C的坐标即可求出函数解析
式；
（2）先求出直线 AC 的函数解析式为 y＝﹣x+4 和抛物线的对称轴为直线 x＝1．设
1 1
P(p，− p2+p+4)(1＜p＜4)， 则 F(1，− p2+p+4)， E （ p ， ﹣ p+4 ） ， 得 到
2 2
1 1 1 7
PE+PF=− p2+2p+p−1=− p2+3p−1=− (p−3) 2+ ．进一步即可求出答案；
2 2 2 2
29 41
（3）求出点H（4，0）．设M（1，m）．求出PH2= ，PM2=m2−5m+ ，MH2＝9+m2．设N
4 4
（x′，y′）．分三种情况分别进行求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，
∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）（x+2）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，4），则﹣8a＝4，
1
解得a=− ．
2
1 1
∴抛物线的函数解析式为y=− (x−4)(x+2)=− x2+x+4．
2 2
（2）设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A（4，0），C（0，4）代入得，{4m+n=0)
，
n=4
{m=−1)
解得
n=4
∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+4．
1
1 x=− =1
由y=− x2+x+4，可得抛物线的对称轴为直线 1 ．
2 2×(− )
2
1 1
设P(p，− p2+p+4)(1＜p＜4)，则F(1，− p2+p+4)，E（p，﹣p+4），
2 2
1 1
∴PE=− p2+p+4−(−p+4)=− p2+2p，PF＝p﹣1，
2 2
1 1 1 7
∴PE+PF=− p2+2p+p−1=− p2+3p−1=− (p−3) 2+ ．
2 2 2 2
1
∵− ＜0，
2
7
∴当p＝3时，PE+PF有最大值，最大值为 ，
2
1 5
当p＝3时，y=− ×32+3+4= ，
2 2
5
此时点P的坐标为(3， )．
2
1
（3）∵抛物线y=− x2+x+4与x轴交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，
2
∴平移后的抛物线与x轴交于（10，0），（4，0）两点，即点H（4，0）．
∵M为平移前抛物线对称轴上一点，平移前抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴设M（1，m）．
5
∵P(3， )，
2
5 2 29 5 2 41
∴PH2=(4−3) 2+( ) = ，PM2=(3−1) 2+(m− ) =m2−5m+ ，MH2＝（4﹣1）2+m2＝
2 4 2 4
9+m2．
设N（x′，y′）．
①如图1，当MH为对角线时，PH＝PM，29 41
∴
=m2−5m+
，
4 4
5+❑√13 5−❑√13
解得m= 或 ，
2 2
5+❑√13 5−❑√13
∴点M的坐标为(1， )或(1， )．
2 2
5
∵H（4，0），P(3， )，
2
5 5+❑√13 5 5−❑√13
∴MH的中点的坐标为( ， )或( ， )，
2 4 2 4
5 5+❑√13 5 5−❑√13
即PN的中点的坐标为( ， )或( ， )，
2 4 2 4
5 5
3+x′ 5 + y′ 3+x′ 5 + y′
∴ = ，2 5+❑√13，或 = ，2 5−❑√13，
2 2 = 2 2 =
2 4 2 4
❑√13 ❑√13
解得x′＝2，y′= ，或x′＝2，y′=− ，
2 2
❑√13 ❑√13
∴点N的坐标为(2， )或(2，− )；
2 2
②当MP为对角线时，PH＝MH，
29
∴
=9+m2
，此方程无解．故此种情况不存在；
4
③如图2，当PH为对角线时，PM＝MH，41
∴m2−5m+ =9+m2
，
4
1 1
解得m= ，即M(1， )．
4 4
5
∵H（4，0），P(3， )，
2
7 5
∴PH的中点的坐标为( ， )，
2 4
1
1+x′ 7 + y′
同理可得， = ，4 5，
2 2 =
2 4
9
解得x′＝6，y′= ，
4
9
∴点N的坐标为(6， )．
4
❑√13 ❑√13 9
综上所述，点N的坐标为(2， )或(2，− )或(6， )．
2 2 4
1 3
3．已知抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
2 2
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四
边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积；
（3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得以P、C、
M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明
理由．【分析】（1）利用待定系数法求出点A，B，C的坐标，表达OA，OB，OC的长度，利用勾股定理逆
定理可得结论；
（2）根据A，C的坐标可得出直线AC的表达式，由点P的坐标表达点Q的坐标，根据S四边形OAPC ＝
S△OAC +S△APC 可表达四边形OAPC的面积，利用二次函数的性质可得结论；
（3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则△PCM是等腰三角形，分三
种情况讨论，列出方程解之即可．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
1 3
∵y=− x2+ x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，
2 2
∴令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1或x＝4，
∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝1，OC＝4，
∴AB=❑√5，BC＝5，AC＝2❑√5，
∵（❑√5）2+（2❑√5）2＝52，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°；
（2）∵A（0，2），C（4，0），
1
∴直线AC的解析式为：y=− x+2，
2
1 3
∵P（m，− m2+ m+2），
2 2
1
∴Q（m，− m+2），H（m，0），
2
1 3 1 1
∴PQ=− m2+ m+2﹣（− m+2）=− m2+2m，
2 2 2 2
1 1
∵S△OAC =
2
•OA•OB =
2
×2×4＝4，1 1 1
S△APC =
2
•PQ•（x
C
﹣x
A
）=
2
•（−
2
m2+ 2m）•（4﹣0）＝﹣m2+4m，
∴S四边形OAPC ＝S△OAC +S△APC ＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8，
∴当m＝2时，S四边形OAPC 的最大值为8，此时P（2，3）；
∴Q（2，1），H（2，0），
1 1
∴S△QHC =
2
•CH•QH =
2
×2×1＝1；
3 ❑√51 3 ❑√51 3 3❑√3 3 3❑√3 3 1
（3）点M的坐标为（ ， ）或（ ，− ）或（ ， ）或（ ，− ）或（ ， ）．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
理由如下：
1 3
∵y=− x2+ x+2，
2 2
3 3
∴抛物线的对称轴为直线x= ，则可设M（ ，t），
2 2
3 3
∴PM2＝（2− ）2+（3﹣t）2，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（ −4）2+（t﹣0）2，
2 2
由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则△PCM是等腰三角形，则需要分
以下三种情况：
3
①当PM＝PC时，则（2− ）2+（3﹣t）2＝13，
2
❑√51
解得t＝3± ，
2
3 ❑√51 3 ❑√51
∴M（ ，3+ ）或（ ，3− ）；
2 2 2 2
3
②当MC＝PC时，则（ −4）2+（t﹣0）2＝13，
2
3❑√3
解得t＝± ，
2
3 3❑√3 3 3❑√3
∴M（ ， ）或（ ，− ）；
2 2 2 2
3 3
③当MC＝MP时，则（ −4）2+（t﹣0）2＝（2− ）2+（3﹣t）2，
2 2
1
解得t= ，
23 1
M（ ， ）．
2 2
3 ❑√51 3 ❑√51 3 3❑√3 3 3❑√3 3 1
综上，M（ ，3+ ）或（ ，3− ）或（ ， ）或（ ，− ）或（ ， ）．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两
点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线
BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿射线CB方向平移❑√5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面
内确定一点N，使得以点A（﹣1，0），Q（2，3），M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件
的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【分析】（1）根据题意，由待定系数法求函数表达式即可得到答案；
1
（2）由 C△PDE 最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），求出直线 BC的表达式为y=−
2
x+2，设
1 3 1
P(m，− m2+ m+2)，则E(m，− m+2)，表示出PE，求出最值代入即可得到答案；
2 2 2
（3）根据题意，抛物线沿射线CB方向平移❑√5个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单
1 7 7
位，得到平移后的解析式y=− x2+ x−4，设M( ，m)，在平面直角坐标系中标出 A（﹣1，
2 2 2
7
0），Q（2，3），M( ，m)，过△AMQ顶点作对边平行线，分别交于点N ，N ，N ，如图所示，分
2 1 2 3
情况讨论，利用点的平移得到N ，N ，N ，结合菱形性质列方程求解即可得到答案．
1 2 3
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），交x轴于点A（﹣1，0），
{a+b+2=3)
∴由题意得 ，
0=a−b+21
{a=− )
2
解得 ，
3
b=
2
1 3
∴抛物线的表达式为y=− x2+ x+2；
2 2
1 3
（2）令y=− x2+ x+2=0，
2 2
解得x＝4或﹣1，即点B（4，0），
当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，
2 1
∴sin∠PED= ，cos∠PED= ，
❑√5 ❑√5
{0=4k+b′)
设直线BC的表达式为y＝kx+b′，将B（4，0）、C（0，2）代入得 ，
2=b′
{ k=− 1 )
解得 2 ，
b′=2
1
∴直线BC的表达式为y=− x+2，
2
1 3 1
设P(m，− m2+ m+2)，则E(m，− m+2)，
2 2 2
1 3 1 1
∴PE=− m2+ m+2+ m−2=− (m−2) 2+2，
2 2 2 2
1
由− ＜0得抛物线开口向下，当m＝2时，PE有最大值，为2，此时，点P（2，3），
2
2 1 10+6❑√5
∴C△PDE 最大值=PE(1+sin∠PED+cos∠PED)=(1+
❑√5
+
❑√5
)PE=
5
，
10+6❑√5
∴△PDE周长的最大值为 ，此时点P（2，3）；
5
（3）抛物线沿射线CB方向平移❑√5个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，
1 3 1 3 1 7
∴平移后的抛物线为y=− (x−2) 2+ (x−2)+2−1=− (x−2) 2+ (x−2)+1=− x2+ x−4，
2 2 2 2 2 27
∴抛物线的对称轴为x= ，
2
∵点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，
7 7
∴设M( ，m)，在平面直角坐标系中标出A（﹣1，0），Q（2，3），M( ，m)，过△AMQ顶点
2 2
作对边平行线，分别交于点N ，N ，N ，如图所示：
1 2 3
7 5
N ：在 AMQN 中，A（﹣1，0），Q（2，3），M( ，m)，则由点的平移可得N (− ，3−m)，
1 1 2 1 2
▱
∵ AMQN 是菱形，
1
▱
√ 7 2 √ 7 2
∴MA＝MQ，即❑( +1) +m2=❑( −2) +(m−3) 2，
2 2
3
解得m=− ，
2
5 9
∴N(− ， )；
2 2
7 1
N ：在 AQMN 中，A（﹣1，0），Q（2，3），M( ，m)，则由点的平移可得N ( ，m−3)，
2 2 2 2 2
▱
∵ AQMN 是菱形，
2
▱
∴QA＝MQ，即❑√(2+1) 2+32=❑ √ ( 7 −2) 2 +(m−3) 2，则(m−3) 2= 63 ，
2 4
3
解得m=3± ❑√7，
2
1 3 1 3
∴N( ，− ❑√7)或N( ， ❑√7)；
2 2 2 27 13
N ：在 MAQN 中，A（﹣1，0），Q（2，3），M( ，m)，则由点的平移可得N ( ，m+3)，
3 3 2 3 2
▱
∵ MAQN 是菱形，
3
▱
∴MA＝AQ，即❑ √ ( 7 +1) 2 +m2=❑√(2+1) 2+32，则m2=− 9 ＜0，方程无解，
2 4
∴N不存在；
5 9 1 3 1 3
综上所述，所有符合条件的点N的坐标为N(− ， )或N( ，− ❑√7)或N( ， ❑√7)．
2 2 2 2 2 2
【类型9 二次函数与正方形问题】
1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x
轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上
由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点
F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG ＝4时，求t的值；
（3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形
MNPQ沿射线BC方向，以每秒❑√2个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形
MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围．
【分析】（1）求出B（4，0），C（0，4），代入抛物线解析式即可；
（2）过点G作GM⊥EF于M，点G的坐标为（t+2，2），由点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，得到﹣
❑√17−1
（t+2）2+3（t+2）+4＝2，则当S△EFG ＝4时，t的值为
2
秒；
（3）由题意可知当正方形运动❑√2t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个
单位，平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t），①当N点移动后在抛
物线上时1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，0＜t＜3−❑√2时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；②当P点在抛物线上时，1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4，t＝2+❑√3，当M点在抛物线上时，t＝﹣
（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，t＝3+❑√3，所以2+❑√3＜t＜3+❑√3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个
交点．
【解答】（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（4，0），C（0，4），
{−16+4b+c=0)
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点 ，
c=4
{b=3)
解得：
c=4
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x+4；
（2）过点G作GM⊥EF于M，
∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵EH⊥BC，
∴∠BEH＝45°，
∴EF⊥x轴，
∴∠MEG＝90°﹣45°＝45°，
∴MG＝ME，
∵CD∥x轴，EF⊥x轴，
∴EF＝OC＝4，
1
∴S = EF⋅GM=4，
△EFG 2
∴GM＝ME＝2，
∵点E从O点运动，时间为t，
∴OE＝t，
∴点E，M的横坐标都为t，点G的横坐标都为t+2，
∴点G的坐标为（t+2，2），
∵点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，
∴﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2，
❑√17−1 −❑√17−1
解得：t = ，t = （舍去），
1 2 2 2❑√17−1
∴当S△EFG ＝4时，t的值为
2
秒；
（3）∵B（4，0），C（0，4），
∴∠CBO＝45°，
∵正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒❑√2个单位长度的速度平移，时间为t秒，
∴当正方形运动❑√2t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位，
∵M（5，0），N（5，1），P（4，1），Q（4，0），
∴平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t），
①当N点移动后在抛物线上时
1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，
解得t＝3+❑√2或t＝3−❑√2，
∵此时N点在对称轴的右侧，
∴t＝3−❑√2，
∴0＜t＜3−❑√2时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；
②当P点在抛物线上时，
1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4，
解得t＝2+❑√3或t＝2−❑√3，
∵此时N点在对称轴的左侧，
∴t＝2+❑√3，
当M点在抛物线上时，
t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，
解得t＝3+❑√3或t＝3−❑√3，
∵此时N点在对称轴的左侧，
∴t＝3+❑√3，
∴2+❑√3＜t＜3+❑√3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；
综上所述：0＜t＜3−❑√2或 2+❑√3＜t＜3+❑√3时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点P是抛物线上的动
点，且横坐标为m，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，以PQ为边在PQ的右侧作正方形
PQMN．
（1）直接写出此抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）当抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，求m的值；
（4）当此抛物线在正方形PQMN内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标
之差为2时，直接写出m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求得直线BC的解析式，利用m表示出点Q的坐标，则结论可求；
（3）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，再利用正方形的性质，分类讨论的思想方法分 m≥1和m＜1
两种情况讨论解答即可；
（4）由题意可得：当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，即PQ
＝2，再利用分类讨论的思想方法列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
{−1−b+c=0
)
∴ ，
−9+3b+c=0
{b=2)
解得： ，
c=3∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
{3k+n=0)
∴ ，
n=3
{k=−1)
∴ ，
n=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵点P是抛物线上的动点，且横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
∵过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，
∴Q（m，﹣m+3）．
∵点P在直线BC上方的抛物线上运动，
∴PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
①当m≥1时，
∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点），
∴此时点P与抛物线的顶点重合，
∴m＝1；
②当m＜1时，
∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点），
∴此时点Q的纵坐标与顶点的纵坐标相同，
∴﹣m+3＝4，
∴m＝﹣1．
综上，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上（包括顶点）时，m的值为1或﹣1；
（4）∵当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴PQ＝2，
①点P在直线BC的上方时，
∴﹣m2+3m＝2，∴m＝1或m＝2．
②点P在直线BC的下方时，
∵PQ＝（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，
∴m2﹣3m＝2，
3+❑√17 3−❑√17
解得：m= （不合题意，舍去）或m= ．
2 2
综上，当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1或2
3−❑√17
或 ．
2
3．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 （ 1 ， 2 ） ；
（3）点D为二次函数位于线段AB下方图象上一动点，过点 D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求
△ABD面积的最大值；
（4）在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得到关于m，n的二元一次方程组求解即
可；
（2）抛物线的对称轴为x＝1，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设D（d，d2﹣2d﹣3），则E（d，d+1），则DE＝（d+1）﹣（d2﹣2d﹣3）＝﹣d2+3d+4（﹣1＜d
＜4），根据二次函数的性质得出DE的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得：{ 1−m+n=0 )
，
16+4m+n=5
{m=−2)
解这个方程组得 ，
n=−3
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把点 A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝kx+b，
{−k+b=0)
得 ，
4k+b=5
{k=1)
解得 ，
b=1
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
−2
由（1）知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x=− =1，
2×1
∵点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB，
∴当点C在AB上时，AC+BC最小，
把x＝1代入y＝x+1，得y＝2，
∴点C的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）如图2，由（2）知 直线AB的解析式为y＝x+1，设D（d，d2﹣2d﹣3），则E（d，d+1），
3 2 25
则DE=(d+1)−(d2−2d−3)=−d2+3d+4=−(d− ) + (−1＜d＜4)，
2 4
3 25
当d= 时，DE有最大值为 ，
2 4
1 1 25 75
∴△ABD面积的最大值为 ED×|x −x |= × ×(4+1)= ；
2 B A 2 4 8
（4）∵直线AB的解析式为：y＝x+1，
∴直线与y轴的交点为D（0，1），OD＝1，
∵A（﹣1，0），OA＝1，
∴OA＝OD，∠DAO＝∠ADO＝45°，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点 C 作 CM ⊥y 轴于点 M ，则△DM C 为等腰直角三角形，过点 C 作 CN ⊥DN ，则四边形
1 1 1 1 1
CM DN 为正方形，如图3，依题意，知D与F重合，点N 的坐标为（1，1）；
1 1 1
②如图 4，以 M 为中心分别作点 F，点 C 的对称点 M ，N ，连接 CM ，M N ，N F，则四边形
1 2 2 2 2 2 2
M N FC是正方形，则点N 的坐标为（﹣1，2）；
2 2 2③如图5，延长N M 到N 使N M ＝M C，作N F ⊥AB于点F ，则四边形M N F C是正方形，则N
2 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 1 3
的坐标为（1，4）；
1 5
④如图6，取M C的中点N ，FC的中点F ，则M F CN 为正方形，则N 的坐标为( ， )，
2 4 2 1 2 4 4 2 2
1 5
综上所述，点N的坐标为：N （1，1），N （﹣1，2），N （1，4），N （ ， ）．
1 2 3 4 2 2
2
4．如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物
3
线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，当∠D＝∠BCO时，
求点D的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 BPDQ为正方形时，请直
接写出点Q的坐标．
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线BC的解析式，由∠D＝∠BCO可证明CD＝CE，作CH⊥DE于H，则DH＝
HE，设点D的横坐标为t，分别表达DH和HE，建立方程即可得出结论；
（3）若四边形BPDQ为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且∠BPD＝90°，根据题意画出对应图
形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论．
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，
3
2），
{ − 2 ×9+3b+c=0)
∴ 3 ，
c=2
{ b= 4 )
解得 3 ，
c=2
2 4
∴抛物线的函数解析式为：y=− x2+ x+2；
3 3
（2）∵DF⊥x轴，
∴DF∥y轴，
∴∠DEC＝∠BCO，
∵∠D＝∠BCO，
∴∠D＝∠DEC，
∴CD＝CE，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，{3k+m=0)
将B（3，0），C（0，2）代入得， ，
m=2
{ k=− 2 )
解得 3 ，
m=2
2
∴直线BC的解析式为y=− x+2，
3
如图，作CH⊥DE于H，则DH＝HE，
2 4 2
设点D的横坐标为t，则D（t，− t2+ t+2），H（t，2），E（t，− t+2），
3 3 3
2 4 2 4 2 2
∴DH＝（− t2+ t+2）﹣2=− t2+ t，HE＝2﹣（− t+2）= t，
3 3 3 3 3 3
2 4 2
∴− t2+ t = t，
3 3 3
解得t＝0（舍）或t＝1，
8
∴D（1， ）；
3
2 4 2 8
（3）∵y=− x2+ x+2=− （x﹣1）2+ ，
3 3 3 3
∴抛物线的对称轴为x＝1，
若四边形BPDQ为正方形，则△BPD是等腰直角三角形，且∠BPD＝90°，
2 4
设点D的横坐标为n，则D（n，− n2+ n+2），
3 3
如图2，过点D作DM⊥l于点M，设直线l与x轴交于点N，
则∠DMP＝∠BNP＝∠BPD＝90°，PD＝BP，N（1，0），
∴∠DPM+∠MDP＝∠BPN+∠DPM，
∴∠MDP＝∠BPN，
∴△PDM≌△BPN（AAS），∴DM＝PN＝n﹣1，BN＝PM＝2，
∴MN＝n+1，
2 4
∴n+1=− n2+ n+2，
3 3
3
解得n＝﹣1或n= ，
2
当n＝﹣1时，点D与点A重合，如图3，P（1，2），则Q（1，﹣2）或P（1，﹣2），则Q（1，
2）；
3 1
当n= 时，P（1， ），则Q（3.5，2）；
2 2
如图4，过点D作DM⊥l于点M，设直线l与x轴交于点N，
同理可证，△PDM≌△BPN（AAS），
∴DM＝PN＝n﹣1，BN＝PM＝2，
∴MN＝n+1，
2 4
∴n+1＝﹣（− n2+ n+2），
3 3
9
解得n＝﹣1或n= ，
2
当n＝﹣1时，点D与点A重合，同上；
9 9 11 7
当n= 时，D（ ，− ），P（1，− ），则Q（6.5，﹣2）；
2 2 2 2综上，Q（3.5，2）或（1，2）或（1，﹣2）或（6.5，﹣2）
【类型10 二次函数中的定值问题】
1．如图1，抛物线C ：y=−x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接
1
AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，连接AD，DC．
（1）求抛物线C 的解析式；
1
（2）求△ADC面积的最大值；
（3）如图2，将抛物线C 沿y轴翻折得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，
1 2 2
过点H（1，2）的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究GM•GN是
否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；
（2）过点 D 作 DE⊥x 轴，交直线 AC 于点 E，结合抛物线，直线 AC 解析式，设 D（m，﹣m2﹣
2m+3 ） ， 则 E （ m ， m+3 ） ， 则 DE ＝ ﹣ m2﹣ 2m+3﹣ （ m+3 ） ＝ ﹣ m2﹣ 3m ， 表 示 出
1 1 3 3 2 27
S = DE⋅(x −x )= ×(−m2−3m)×3=− (m+ ) + ，利用二次函数的最值解答即可．
△ACD 2 C A 2 2 2 8（3）先根据y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对称后的解析式，根据题意，不妨设 J
（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3），连接解析式构成方程组，转化根与系数关系定理应用，确定
解析式后求得交点坐标，计算线段长度，再计算积即可．
【解答】解：（1）抛物线C ：y=−x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
1
{−9−3b+c=0)
∴ ，
−1+b+c=0
{ c=3 )
解得 ，
b=−2
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴C（0，3），
过点D作DE⊥x轴，交直线AC于点E，如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+p，
将A（﹣3，0），C（0，3）代入直线AC的解析式得：
{−3k+p=0)
，
p=3
{k=1)
解得 ，
p=3
∴直线AC的解析式为：y＝x+3．
设D（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），则DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
1 1 3 3 2 27
∴S = DE⋅(x −x )= ×(−m2−3m)×3=− (m+ ) + ，
△ACD 2 C A 2 2 2 8
3 27
∴当m=− ，△ACD的面积最大，且最大值为 ．
2 8
3 27
故当m=− ，△ACD的面积取得最大值，且最大值为 ．
2 8（3）GM•GN为定值；理由如下：
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，抛物线C 沿y轴翻折得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为F，
1 2 2
∴y＝﹣（﹣x+1）2+4＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故F（1，4），
设直线JI的解析式为y＝kx+b，
∴2＝k+b，
解得b＝2﹣k，
∴y＝k（x﹣1）+2，
设J（m，﹣m2+2m+3），I（n，﹣n2+2n+3），
{y=k(x−1)+2)
根据题意，得 ，
y=−x2+2x+3
整理，得x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0，
∴m，n是x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0的两个根，
{m+n=2−k)
∴ ，
mn=−k−1
同理可证，直线JF的解析式为y＝a（x﹣1）+4，
把J（m，﹣m2+2m+3）代入解析式y＝a（x﹣1）+4，
解得a＝﹣（m﹣1），
故直线JF的解析式为y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，
令y＝0，得﹣（m﹣1）（x﹣1）+4＝0，
4
解得x=1+ ，
m−1
4
∴M(1+ ，0)，
m−1
∵F（1，4），
∴G（1，0），
4 4
∴GM=1−(1+ )=− ，
m−1 m−1
4
同理可证，GN= ，
n−1
4 4 16
∴GM⋅GN=− ×(− )=−
n−1 m−1 mn−n−m+116
=− =8．
−k−1+k−2+1
2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的
坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作
x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N．
①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不
是，请说明理由．
【分析】（1）由题意知，C（0，﹣3），将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，计算求解b，c
的值，进而可得解析式；
（2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当
BM∥AC时，A（﹣3，0），待定系数法求直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则直线BM的解析式为y＝
3 3
﹣x+d，待定系数法求解即可；②当BM过A、C中点时，由题意知，A、C中点坐标为(− ，− )，
2 2
设直线BM的解析式为y＝ex+f，待定系数法求解即可；
（3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N
（ m+1 ， ﹣ （ m+1 ） ﹣ 3 ） ， 则 DM ＝ ﹣ m2﹣ 3m ， FN ＝ ﹣ （ m+1 ） 2﹣ 3 （ m+1 ） ， 则
(DM+NF)×1
S = =−(m+2) 2+2，根据二次函数的性质求最值，然后求D点坐标即可；
四 边 形DFNM 2
DM×(m+3) NF×(0−m−1)
②由题意知，S +S = + =2，然后作答即可．
△ADM △CFN 2 2【解答】解：（1）由题意知，OC＝3OB＝3，
∴C（0，﹣3），
将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
{1+b+c=0)
，
c=−3
{ b=2 )
解得： ，
c=−3
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，
①当BM∥AC时，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：
{−3k+b=0)
，
b=−3
{k=−1)
解得： ，
b=−3
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设直线BM的解析式为y＝﹣x+d，
将B（1，0）代入得：﹣1+d＝0，
解得：d＝1，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1；
②当BM过A、C中点时，
3 3
由题意知，A、C中点坐标为(− ，− )，
2 2
设直线BM的解析式为y＝ex+f，
3 3
将(− ，− )，B（1，0）代入得：
2 2
{ − 3 e+f =− 3 )
2 2 ，
e+f =03
{ e= )
5
解得： ，
3
f =−
5
3 3
∴直线BM的解析式为y= x− ，
5 5
3 3
综上所述，直线BM的解析式为y＝﹣x+1或y= x− ；
5 5
（3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N
（m+1，﹣（m+1）﹣3），
∴DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1），
(DM+NF)×1 −m2−3m−(m+1) 2−3(m+1)
∴S = = =−m2−4m−2=−(m+2) 2+2，
四 边 形DFNM 2 2
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2，
∴D（﹣2，﹣3）；
②△ADM与△CFN的面积之和为定值；理由如下：
DM×(m+3) NF×(0−m−1)
由题意知，S +S = +
△ADM △CFN 2 2
(−m2−3m)×(m+3) [−(m+1) 2−3(m+1)]×(0−m−1)
= +
2 2
＝2，
∴△ADM与△CFN的面积之和是定值，且定值为2．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，若（x ，y ），
1 1
（x ，y ）是抛物线上不同的两点，当x +x ＝0时，总有y ＝y ，且AB＝4．
2 2 1 2 1 2
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，连接PA、PB、AC，若∠PAC＝∠PCA，求点P的坐标．
（3）点M，N的横坐标分别为m、n（m≠n，m﹣n≠4），且点M，N均在抛物线上，已知直线AM、
BN相交于点H．当直线MN经过点O时，判断△ABH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不
是，请说明理由．【分析】（1）当x +x ＝0时，总有y ＝y ，则函数的对称轴为直线x＝0，即b＝0，进而求解；
1 2 1 2
（2）根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式列方程，进而求解；
（3）求出直线AM和BN的表达式，从而确定AM、BN的交点H坐标，进而求解．
【解答】解：（1）当x +x ＝0时，总有y ＝y ，
1 2 1 2
则函数的对称轴为直线x＝0，即b＝0，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴点A（﹣2，0），
即b＝0，A（﹣2，0）；
（2）由（1）知，b＝0，A（﹣2，0）；
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4，
∴C（0，4），
设P（m，﹣m2+4），
∴AP=❑√(−2−m) 2+(−m2+4) 2，PC=❑√(−m) 2+(4+m2−4) 2，
∵∠PAC＝∠PCA，
∴AP＝PC，
∴❑√(−2−m) 2+(−m2+4) 2=❑√(−m) 2+(4+m2−4) 2，
−1±❑√41
解得m= ，
4
−1+❑√41 11−❑√41 −1−❑√41 11+❑√41
∴P（ ， ）或（ ， ）；
4 8 4 8
（3）△ABH的面积是定值16，理由如下：
A（﹣2，0），M（m，﹣m2+4），设AM的表达式为 y＝k x+b ，将A（﹣2，0）M（m，﹣m2+4）代入得，
1 2
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为 y＝（2﹣m）x+4﹣2m，
同理可得：BN的表达式为 y＝﹣（2+n）x+4+2n，
MN的表达式为 y＝﹣（m+n）x+4+mn，
∵MN 经过点O，
∴0＝4+mn，mn＝﹣4，
{y=(2−m)x+4−2m)
直线AM、BN相交于点H， ，
y=−(n+2)x+2n+4
2m+2n
解得x= ，
4−m+n
2m+2n
当x= 时，
4−m+n
(2−m)(2m+2n)
y= +4−2m=8，
4−m+n
∴点H的纵坐标为8，
1
∴△ABH 的面积= ×4×8＝16．
2
4．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）如图1，∠ACB＝90°，求出抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点D（x ，y ）（x ＜0）是抛物线上y＝ax2﹣3ax﹣4ac的动点，直线DO与抛
1 1 1
物线的另一个交点为E；
①若D、E关于点O对称，求D点坐标；
②若点P（0，m）是y轴上一点，直线DP的表达式为y＝k x+b ，直线EP的表达式为y＝k x+b ，当
1 1 2 2
k +k 的值是一个定值时，求m的值．
1 2
【分析】（1）根据二次函数的图象求出对称轴，再根据抛物线与A的交点求出c，根据抛物线y＝ax2﹣3
3ax﹣4a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且对称轴为直线x= ，求出B（4，0），进而求出OA＝
2
1，OB＝4，得出AB＝5，因为抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C，求出C（0，﹣4a），得到OC
＝﹣4a，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2＝1+16a2，BC2＝OB2+OC2＝16+16a2，则AB2＝AC2+BC2，推出
1 1 3
a=− ，则抛物线y=− x2+ x+2，
2 2 2
（2）①先根据抛物线的对称性，得到B（4，0），再求出抛物线与y轴的交点C（0，﹣4a），利用勾
1 1 3
股定理列方程，求得a=− ，进而得到抛物线y=− x2+ x+2；根据坐标关于原点对称的特征，得
2 2 2
到E（﹣x ，﹣y ），将点D、E代入抛物线解析式，求出x 、y 的值，即可得到D点坐标；
1 1 1 1
1 3 2
②设直线 DO 的解析式为 y＝ax，先求出a=− x + + ，然后联立直线 DO 与抛物线，求得
2 1 2 x
1
4 8 6
E(− ，− − +2)，再利用待定系数法分别求出k 和k 的值，即而得到k +k 的值，最后利用
x x x 1 2 1 2
1 1 1
k +k 的值是一个定值，即可求出m的值．
1 2
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac，
−3a 3
∴对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4ac（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a+3a﹣4ac＝0，即4a＝4ac，
解得：c＝1；
3
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且对称轴为直线x= ，
2
∴B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5，
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C，
∴C（0，﹣4a），
∴OC＝﹣4a，
由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2＝1+16a2，BC2＝OB2+OC2＝16+16a2，
∵∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，∴（1+16a2）+（16+16a2）＝52，
1
整理得：a2=
，
4
∵a＜0，
1
∴a=− ，
2
1 3
∴抛物线y=− x2+ x+2，
2 2
1 3
（2）①∵点D（x ，y ）、点E是抛物线y=− x2+ x+2上的点，且D、E关于点O对称，
1 1 2 2
∴E（﹣x ，﹣y ），
1 1
整理得：x12＝4，
∵x ＜0，
1
∴x ＝﹣2，
1
1 3
∴y =− ×(−2) 2+ ×(−2)+2=−2−3+2=−3，
1 2 2
∴D（﹣2，﹣3）；
②设直线DO的解析式为y＝ax，
∵D（x ，y ）为直线DO与抛物线的一个交点，
1 1
1 3
∴ax =− x12+ x +2，
1 2 2 1
1 3 2
∴a=− x + + ，
2 1 2 x
1
1 3 2
∴直线DO的解析式为y=(− x + + )x，
2 1 2 x
1
1 3 2
{y=(− x + + )x)
2 1 2 x
联立 1 ，
1 3
y=− x2+ x+2
2 2
{ x 1 =x 1 )
解得： 4 ，
x =−
2 x
1
4 1 3 8 6
当x=− 时，y=− x2+ x+2=− − +2，
x 2 2 x x
1 1 14 8 6
∴E(− ，− − +2)，
x x x
1 1 1
将D（x ，y ）、P（0，m）代入直线DP：y＝k x+b ，
1 1 1 1
1 3 2−m
∴k =− x + + ，
1 2 1 2 x
1
4 8 6
将E(− ，− − +2)、P（0，m）代入直线EP：y＝k x+b ，
x x x 2 2
1 1 1
{ k ⋅(− 4 )+b =− 8 − 6 +2)
∴ 2 x 2 x x ，
1 1 1
b =m
2
2 3 2−m
∴k = + − x ，
2 x 2 4 1
1
∴
1 3 2−m 2 3 2−m 1 2−m 2−m+2 m−4 4−m
k +k =− x + + + + − x =(− − )x + +3=( )x + +3
1 2 2 1 2 x x 2 4 1 2 4 1 x 4 1 x
1 1 1 1
，
∵k +k 的值是一个定值，
1 2
∴m﹣4＝4﹣m＝0，
∴m＝4．
5．如图，直线l：y＝﹣x+4交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a＞
0）．
（1）求证：当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点；
（2）当a（a＞0）变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理
由；
（3）设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论a（a＞0）怎么变
化，PM⋅PN恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点 P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若
不存在，请说明理由．【分析】（1）根据Δ＝（1﹣2a）2﹣4a×（﹣2）＝（1+2a）2≥0，即可求证；
（2）由y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝a（x2﹣2x）+x﹣2，即可求解；
2
（3）设点 M，N的横坐标为 x ，x ，联立可得 ax2+（2﹣2a）x﹣6＝0，从而得到x +x =2− ，
1 2 1 2 a
6
x ⋅x =− ， 设 点 P （ t ， 4﹣ t ） ， 再 由 △ ODE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 可 得
1 2 a
2(t−3)
PM=❑√2|t−x |，PN=❑√2|t−x |，从而得到PM⋅PN=2|t2−2t+ |，即可求解．
1 2 a
【解答】（1）证明：∵a＞0，且Δ＝（1﹣2a）2﹣4a×（﹣2）＝（1+2a）2≥0，
∴当a（a＞0）变化时，抛物线与x轴恒有两个交点；
（2）解：当a（a＞0）变化时，抛物线恒经过定点；理由如下：
∵y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝a（x2﹣2x）+x﹣2，
∴当x2﹣2x＝0，即x＝0或2时，抛物线恒经过定点，定点为（0，﹣2）或（2，0）；
（3）解：存在，理由如下：
根据题意画出图象如下：
设点M，N的横坐标为x ，x ，
1 2{ y=−x+4 )
联立得： ，
y=ax2+(1−2a)x−2
整理得：ax2+（2﹣2a）x﹣6＝0，
2 6
∴x +x =2− ，x ⋅x =− ，
1 2 a 1 2 a
设点P（t，4﹣t），
对于y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴E（4，0），D（0，4），
∴OD＝OE＝4，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴PM=❑√2|t−x |，PN=❑√2|t−x |，
1 2
2(t−3)
∴PM⋅PN=2|t2−2t+ |，
a
∴当t＝3时，PM⋅PN恒为定值，此时点P（3，1），
当x＝3时，y
P
＝1，此外当点P和点M或N重合时，PM⋅PN＝0是定值，
当M、N不是定点，故舍去，
此时对应抛物线上的点的纵坐标为：y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝9a+3（1﹣2a）﹣2＝3a+1＞1，
即x＝3时，抛物线上对应点在点P的上方，故点N在点P的左方，
故点P不在线段MN上，
综上，符合条件点的坐标为：（3，1），点P不在线段MN上．
6．如图1，抛物线C ：y=−x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接
1
AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段DE的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C 沿y轴翻折得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，
1 2 2
过点H（1，2）的直线（直线FH除外）与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．
试探究GM•GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求AC的解析式，设D（t，﹣t2﹣2t+3），过点D作DF∥y轴交直线AC于点F，
则F的坐标是（t，t+3），用含t的代数式表示DF的长度，证明△DEF是等腰直角三角形，根据等腰
直角三角形的性质即可得到答案；
（3）由翻折抛物线C 的解析式为yy＝﹣x2+2x+3，可得求出直线JF的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣
2
4 4
1）+4，得到M（1+ ，0），同理可得，GN= ，即可求解．
m−1 n−1
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣
2x+3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点D作DF∥y轴交直线AC于点F，
当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．∵A（﹣3，0），
∴△DEF是等腰直角三角形，
❑√2
∴DE= DF，
2
∴当DF最大时，线段DE有最大值，
设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
{−3k+d=0)
将A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d得 ，
d=3
{k=1)
解得 ，
d=3
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
设点D（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则点F的坐标是（t，t+3），
3 9
∴DF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+ ）2+ ，
2 4
3 9
∴当t=− 时，线段DF的最大值为 ，
2 4
❑√2 9❑√2
∴线段DE的最大值为DE= DF= ，
2 8
3 15
∴此时点D的坐标为（− ， ）；
2 4
（3）是定值，理由：
∵将抛物线C ：y＝﹣x2﹣2x+3沿y轴翻折得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为F，
1 2 2
∴抛物线C ：y＝﹣x2+2x+3，F（1，4），
2
∵直线JI过点H（1，2），故设直线JI的表达式为：y＝k（x﹣1）+2，
设点J、I的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3），
联立y＝k（x﹣1）+2和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k﹣1＝0，
则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k﹣1，
由点J、F的坐标得，直线JF的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，
4 4
令y＝0，则x＝1+ ，即点M（1+ ，0），
m−1 m−1
4 4
则GM＝1﹣1− =− ，
m−1 m−14
同理可得，GN= ，
n−1
4 4 16 −16 −16
则GM•GN =− × =− = = = 8．
m−1 n−1 (m−1)(n−1) mn−(m+n)+1 −k−1−2+k+1
7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣
3，0），对称轴为直线x＝﹣1．点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点
N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求点N到直线AC的距离最大值，并求出
此时点P的坐标．
（3）若点M在线段AC上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线MP上一动点，连接AD、
CD，直线AD、CD分别交抛物线于E、F，连接EF，当MN平分EF时，点D的横坐标是否为定值，请
说明理由．
【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而用两点式求出函数解析式；
（2）求出点C的坐标，从而得到直线AC的解析式，即可证明△AOC是等腰直角三角形，过点N作
NQ⊥AC于点Q，设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点M的坐标为（t，﹣t﹣3），列出表达式即可得
到答案；
（3）设点E的坐标为（m，m2+2m﹣3），则点F的坐标为（n，n2+2n﹣3），求出y ＝（m﹣1）x+3
AE
（m﹣1），y ＝（n+2）x﹣3，由MN平分EF，列出式子求出答案．
CF
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）∴当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
设AC的解析式为y＝kx+d，依题意得：{−3k+d=0)
，
d=−3
{k=−1)
解得： ，
d=−3
∴AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵在坐标系中OA＝OC＝3，
∴△AOC是等腰直角三角形，∠BAC＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠MPA＝90°，
∴∠NMQ＝∠AMP＝180°﹣∠BAC﹣∠APM＝45°，
过点N作NQ⊥AC于点Q，如图，
∴△NMQ是等腰直角三角形，
❑√2
∴NQ= MN，
2
设点N的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点M的坐标为（t，﹣t﹣3），
MN＝（﹣t﹣3）﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
❑√2 ❑√2 3❑√2 ❑√2 3 9❑√2
∴NQ= MN=− t2− t=− (t+ ) 2+ ，
2 2 2 2 2 8
3 9❑√2 3
当t=− 时，点N到直线AC的距离NQ最大值为 ，此时点P的坐标为(− ，0)；
2 8 2
3
（3）点D的横坐标是定值，x =− ，
D 2
设点E的坐标为（m，m2+2m﹣3），则点F的坐标为（n，n2+2n﹣3），
∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴y ＝（m﹣1）x+3（m﹣1），
AE
y ＝（n+2）x﹣3，
CF3m
∴x = ，
D n−m+3
∵MN平分EF，
3m m+n
∴ = ，
n−m+3 2
∴6m＝（m+n）（n﹣m+3）＝n2﹣m2+3m+3n，
∴m2﹣n2+3m﹣3n＝0，
∴（m﹣n）（m+n+3）＝0，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣3，
∴即D点的横坐标是定值．
